§3 全微分と合成関数の微分法 演習問題 3

熊本大学 数理科学総合教育センター

§3 全微分と合成関数の微分法 演習問題 3

問題の難易度の目安【基礎】899 ^【標準】889 ^【発展】888

1

⁽899)(chain rule¹ )a, bを定数として，2変数関数f(x, y)とx=au+bv, y =−bu+av の合成関数z =f(au+bv, −bu+av)を考える．

(1) z_u, z_vをz_x, z_yで表せ．

(2) z_u²+z_v²をz_x, z_yで表せ．

2

⁽899)(chain rule² ) 極座標表示x=rcosθ, y =rsinθを考える．

(1) x, yについて偏微分可能な2変数関数z =z(x, y)がxz_x+yz_y = 0を満たすならば，zは 角度θのみの関数であることを示せ．

(2) x, yについて偏微分可能な2変数関数z =z(x, y)がxz_y −yz_x = 0を満たすならば，zは 動径rのみの関数であることを示せ．

3

⁽889)(chain rule：左辺からの変形³ ) x, yについて偏微分可能な2変数関数f(x, y)に 対して，極座標変換x=rcosθ, y =rsinθとの合成関数z =f(rcosθ, rsinθ)を考える．この とき以下を示せ：

(1) rx =cosθ, ry =sinθ, θx =−1

rsinθ, θy = 1 rcosθ.

(2) (z_x)²+ (z_y)² = (z_r)²+ 1

r²(z_θ)².（左辺から変形して右辺を導け．）

4

⁽899)(chain rule：右辺からの変形⁴ ) x, yについて偏微分可能な2変数関数f(x, y)に 対して，極座標変換x=rcosθ, y =rsinθとの合成関数z =f(rcosθ, rsinθ)を考える．この とき以下を示せ：

(1) x_r =cosθ, x_y =sinθ, x_θ =−rsinθ, y_θ =rcosθ. (2) (z_x)²+ (z_y)² = (z_r)²+ 1

r²(z_θ)².（右辺から変形して左辺を導け．）

5

⁽889)(chain rule⁵ ) f(x, y)はC²級として，z =f(x, y)，x= e^ucosv，y =e^usinvと する．このとき，

z_xx +z_yy =e^−2u(z_uu+z_vv) が成り立つことを示せ．

1