< 合成関数の微分法 3 >

「数学5」(2変数関数の微分積分)

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^{合成関数の微分法}

今後，2変数関数f(x, y)は何回でも微分可能であり，fxy =fyxが常になり たっているとする。

例 2変数関数f(x, y)と定数a，bに対し，z =f(a+ 2t, b+ 3t)の導関数は dz

dt = d

dtf(a+ 2t, b+ 3t) = 2f_x(a+ 2t, b+ 3t) + 3f_y(a+ 2t, b+ 3t) であった。2階導関数d²z

dt² を求めたい。f_x，f_yをtで微分すると，

d

dtf_x(a+ 2t, b+ 3t) = 2f_xx(a+ 2t, b+ 3t) + 3f_xy(a+ 2t, b+ 3t) d

dtf_y(a+ 2t, b+ 3t) = 2f_yx(a+ 2t, b+ 3t) + 3f_yy(a+ 2t, b+ 3t) となる。ここでf_xy =f_yxより

d²z dt² = d²

dt²f(a+ 2t, b+ 3t)

= 2

½d

dtf_x(a+ 2t, b+ 3t)

¾ + 3

½d

dtf_y(a+ 2t, b+ 3t)

¾

= 2n

2f_xx(a+ 2t, b+ 3t) + 3f_xy(a+ 2t, b+ 3t)o +3n

2f_yx(a+ 2t, b+ 3t) + 3f_yy(a+ 2t, b+ 3t)o

= 4f_xx(a+ 2t, b+ 3t) + 12f_xy(a+ 2t, b+ 3t) + 9f_yy(a+ 2t, b+ 3t)

問 2変数関数f(x, y)と定数a，b，h，kに対し，次の合成関数の2階導関数を

求めよ。

(1) z =f(a+ 4t, b+ 5t)

d²z dt² =

(2) z =f(a+ht, b+kt) d²z

dt² =