熊本大学 数理科学総合教育
全微分 合成関数 微分法 演習問題２ 解答
問 1. 次 極限 存在 調 ， 存在 値 求 ．
lim
(x,y)
→(0,0)
xy x 2 + y 2 .
（ Hint: x 軸 沿 (x, y) (0, 0) 近 場合 直線 y = x 沿 (x, y) (0, 0) 近 場合 比較 ．）
解答 . f (x, y) = xy/(x 2 + y 2 ) ． x → 0 ， (x, 0) → (0, 0) ， f (x, 0) = 0 → 0.
一方， x → 0 ， (x, x) → (0, 0) ， f (x, x) = 1/2 → 1/2. (x, y) (0, 0)
近 方 f (x, y) 異 値 近 lim
(x,y)
→(0,0) f (x, y) 存在 ． 問 2. 関数
f (x, y) =
xy
x 2 + y 2 ((x, y) ̸ = (0, 0) )
0 ((x, y) = (0, 0) )
.
，以下 問 答 ．
(i) 関数 f (x, y) (0, 0) 連続 調 ． ，必要 問 1 結果
用 ．
解答 . 問 1 結果 ， lim
(x,y)
→(0,0) f (x, y) 存在 ． ，
lim
(x,y)
→(0,0) f (x, y) = f (0, 0)
成 立 f(x, y) (0, 0) 連続 ．
(ii) 関数 f (x, y) (0, 0) 偏微分可能 調 ．
（ Hint: “ 偏微分可能 ” 定義 確認 ．）
解答 . x ̸ = 0
f (x, 0) − f (0, 0)
x − 0 = 0 − 0
x = 0 → 0 (x → 0).
f (x, y) (0, 0) x 関 偏微分可能 f x (0, 0) = 0 ．同様
y ̸ = 0
f (0, y) − f (0, 0)
y − 0 = 0 − 0
y = 0 → 0 (y → 0).
f (x, y) (0, 0) y 関 偏微分可能 f y (0, 0) = 0 ．
注意 . 問 2 f (x, y) ， (0, 0) 偏微分可能 連続 例 ． (0, 0)
全微分可能 (0, 0) 連続 ， f (x, y) (0, 0) 全微分可能
， (0, 0) 偏微分可能 例 ．
問 3. 2 変数関数 z = x 2 − y 1 変数関数 x = e t , y = t 以下 問 答 ． 関数 （全）微分可能性 認 ．
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(i) 上記関数 合成 ， z t 関数 表 ．
解答 . z = (e t ) 2 − t = e 2t − t.
(ii) (i) 結果 直接微分 ， dz
dt 求 ．
解答 .
dz dt = d
dt (e 2t − t) = 2e 2t − 1.
(iii) 合成関数 微分 *1 用 ， dz
dt 求 ．
解答 .
∂z
∂x = 2x, ∂z
∂y = − 1, dx
dt = e t , dy dt = 1
，合成関数 微分
dz dt = ∂z
∂x (e t , t) dx
dt (t) + ∂z
∂y (e t , t) dy dt (t)
= (2e t ) · e t + ( − 1) · 1 = 2e 2t − 1.
注意 . (i) 授業 紹介 z = f (x, y) x = φ(t), y = ψ(t) 合成 得 合成関数
z = f (φ(t), ψ(t)) 微分
dz dt = ∂z
∂x dx
dt + ∂z
∂y dy
dt (0.1)
，各項 意味 正確 理解 ．授業 紹介 ，等式 (0.1) 正確 意味
dz
dt = f x (φ(t), ψ(t))φ
′(t) + f y (φ(t), ψ(t))ψ
′(t), f x (x, y) ∂z
∂x (x, y) 等 用 表 dz
dt = ∂z
∂x (φ(t), ψ(t)) dx
dt (t) + ∂z
∂y (φ(t), ψ(t)) dy dt (t)
． 等式 (0.1)
• 左辺 dz
dt z = f (x, y) x = φ(t), y = ψ(t) 合成 z t 関数 z =
f (φ(t), ψ(t)) t 関 導関数 ,
• 右辺 ∂z
∂x ， z = f (x, y) 一旦 x 偏微分 偏導関数 ∂z
∂x (x, y) x = φ(t),
y = ψ(t) 合成 得 t 関数 ∂z
∂x (φ(t), ψ(t)),
• dx
dt x = φ(t) 導関数 dx dt (t),
．同様
*1
