§3 全微分と合成関数の微分法 演習問題 3 解答

§3 全微分と合成関数の微分法 演習問題 3 ^解答

問題の難易度の目安【基礎】899 ^【標準】889 ^【発展】888

1

a, bを定数として，2変数関数f(x, y)とx = au + bv, y = −bu +av の合成関数 z =f(au+bv, −bu+av)を考える．

(1) z_u, z_vをz_x, z_yで表せ．

(2) z_u²+z_v²をz_x, z_yで表せ．

解 x=au+bv, y=−bu+avに対し，x_u =a, x_v =b，y_u =−b, y_v =aである．

(1) Chain ruleにより，

z_u=z_xx_u+z_yy_u =az_x−bz_y, z_v =z_xx_v+z_yy_v =bz_x+az_y.

(2) (1)より

z_u²+z²_v = (az_x−bz_y)²+ (bz_x+az_y)² =(a²+b²)(z_x²+z²_y).

2

極座標表示x=rcosθ, y=rsinθを考える．

(1) x, yについて偏微分可能な2変数関数z = z(x, y)がxzx+yzy = 0を満たすな らば，zは角度θのみの関数であることを示せ．

(2) x, yについて偏微分可能な2変数関数z = z(x, y)がxz_y −yz_x = 0を満たすな らば，zは動径rのみの関数であることを示せ．

解 極座標変換x=rcosθ, y =rsinθに対し，x_r =cosθ, x_θ =−rsinθ，y_r=sinθ, y_θ =rcosθ である．

(1) Chain ruleより，

z_r=z_xx_r+z_yy_r=cosθ·z_x+sinθ·z_y · · ·.¹

一方，仮定より0 =xz_x+yz_y =r(cosθ·z_x+sinθ·z_y)であるから，これをに代入する1

とz_r = 0を得る．したがって，zは角度θのみの関数である．

(2) Chain ruleより，

z_θ =z_xx_θ+z_yy_θ =−rsinθ·z_x+rcosθ·z_y · · ·² .

一方，仮定より0 = xz_y−yz_x =r(cosθ·z_y−sinθ·z_x)であるから，これをに代入する2

とz_θ = 0を得る．したがって，zは動径rのみの関数である．

3

x, yについて偏微分可能な2変数関数f(x, y)に対して，極座標変換x =rcosθ, y = rsinθとの合成関数z =f(rcosθ, rsinθ)を考える．このとき以下を示せ：

(1) r_x =cosθ, r_y =sinθ, θ_x=−1

rsinθ, θ_y = 1 rcosθ. (2) (z_x)²+ (z_y)² = (z_r)²+ 1

r²(z_θ)².（左辺から変形して右辺を導け．）

解 (1) r² =x²+y²· · ·¹ の両辺をxで偏微分して，2rr_x = 2x，したがって，r_x = x

r =cosθ．

同様に，の両辺を1 yで偏微分して，2rr_y = 2y，したがって，r_y = y

r =sinθ． 一方，tanθ= y

x· · ·² であるから，の両辺を2 xで偏微分して， θ_x

cos²θ =− y

x²．ゆえに，

θx =− y

x²cos²θ =−1

rsinθ．同様に，の両辺を2 yで偏微分して， θ_y

cos²θ = 1

x．ゆえに，

θ_y = 1

xcos²θ = 1

rcosθ．

(2) Chain ruleにより(1)の結果を用いると，

z_x =z_rr_x+z_θθ_x=cosθ·z_r− 1

rsinθ·z_θ· · ·¹ z_y =z_rr_y+z_θθ_y =sinθ·z_r+ 1

rcosθ·z_θ· · ·² したがって，1 ,より，²

(zx)² + (zy)² =

cosθ·zr− 1

r sinθ·zθ

2

+

sinθ·zr+ 1

rcosθ·zθ

2

= (z_r)²+ 1 r²(z_θ)² となり，証明された．

4

x, yについて偏微分可能な2変数関数f(x, y)に対して，極座標変換x =rcosθ, y = rsinθとの合成関数z =f(rcosθ, rsinθ)を考える．このとき以下を示せ：

(1) x_r =cosθ, x_y =sinθ, x_θ =−rsinθ, y_θ =rcosθ. (2) (z_x)²+ (z_y)² = (z_r)²+ 1

r²(z_θ)².（右辺から変形して左辺を導け．）

解 (1) x =rcosθ, y =rsinθより，x_r =cosθ, x_y =sinθ, x_θ = −rsinθ, y_θ =rcosθ はすぐにわかる．

(2) Chain ruleにより(1)の結果を用いると，

z_r =z_xx_r+z_yy_r =cosθ·z_x+sinθ·z_y z_θ =z_xx_θ+z_yy_θ =−rsinθ·z_x+rcosθ·z_y したがって，

(z_r)² + 1

r²(z_θ)² = (cosθ·z_x+sinθ·z_y)²+ (−sinθ·z_x+cosθ·z_y)²

= (zx)²+ (zy)² となり証明が完了した．

Check

3 , 4 を見比べてみて，単に計算の手間を考えるならば 4 のように，右辺から左辺 を導く形で証明する方が早く，問題としてのレベルも簡単になる．しかし，直交座標 で見た場合の(z_x)²+ (z_y)²が，極座標で見た場合どうなるか，という思考の流れで捉 える方が自然であり，右辺がどうなるか分からない段階で計算を始めることが多いこ とを踏まえると，左辺から右辺を導く形の方が変形の手順としてはより自然である．

5

f(x, y)はC²級として，z =f(x, y)，x=e^ucosv，y=e^usinvとする．このとき，

z_xx+z_yy =e^−2u(z_uu+z_vv)

が成り立つことを示せ．

解 計算の簡便のため，右辺から左辺を導く．証明に必要とする細々な計算を先に済ませてお こう．まず，x=e^ucosv，y=e^usinvに対して，

x_u =e^ucosv, x_v =−e^usinv, y_u =e^usinv, y_v =e^ucosv

xuu =e^ucosv, xuv=−e^usinv =xvu, xvv =−e^ucosv (?) y_uu =e^usinv, y_uv =e^ucosv =y_vu, y_vv =−e^usinv.

したがって，Chain ruleより

z_u =z_xx_u+z_yy_u, z_v =z_xx_v +z_yy_v

(z_x)_u =z_xxx_u+z_xyy_u, (z_x)_v =z_xxx_v +z_xyy_v (z_y)_u =z_yxx_u+z_yyy_u, (z_y)_v =z_yxx_v+z_yyy_v

となる．fがC²級だからz_xy =z_yxとなることに注意すると，

z_uu = (z_xx_u+z_yy_u)_u = (z_x)_ux_u+z_xx_uu+ (z_y)_uy_u+z_yy_uu

= (zxxxu +zxyyu)xu+zxxuu+ (zxyxu+zyyyu)yu+zyyuu

= (x_u)²z_xx+ (y_u)²z_yy+ 2x_uy_uz_xy +z_xx_uu+z_yy_uu · · ·.¹

同様に計算すると，

z_vv = (x_v)²z_xx+ (y_v)²z_yy + 2x_vy_vz_xy +z_xx_vv+z_yy_vv · · ·.²

ここで，1 +² で現れるzxx, zyy, zxy, zx, zyの係数について(?)より計算しておくと，

(x_u)²+ (x_v)² =e^2u = (y_u)²+ (y_v)² x_uy_u+x_vy_v = 0

x_uu+x_vv = 0 =y_uu+y_vv

であるから，1 +² より，

z_uu+z_vv =

(x_u)²+ (x_v)²

| {z }

=e^2u

z_xx+

(y_u)² + (y_v)²

| {z }

=e^2u

z_yy

+ 2 [x_uy_u+x_vy_v]

| {z }

=0

z_xy

+ [x_uu+x_vv]

| {z }

=0

z_x+ [y_uu+y_vv]

| {z }

=0

z_y

=e^2u(z_xx+z_yy)

⇐⇒ e^−2u(z_uu+z_vv) = z_xx+z_yy

となり．証明された．

【別解】　ここでは左辺から右辺を導く．x=e^ucosv，y =e^usinvよりe^2u =x²+y²· · ·¹ の 両辺をxで偏微分して，2uxe^2u = 2x，したがって，ux = x

e^2u = 1

e^u cosv．同様に，の両辺を1

yで偏微分して，2u_ye^u = 2y，したがって，u_y = y e^2u = 1

e^u sinv．

一方，tanv = y

x· · ·² であるから，の両辺を2 xで偏微分して， v_x

cos²v = −y

x²．ゆえに，

v_x = − y

x² cos²v = −1

e^u sinv．同様に，の両辺を2 yで偏微分して， v_y

cos²v = 1

x．ゆえに，

v_y = 1

xcos²v = 1

e^u cosv． ここまで計算をまとめると，

u_x =e^−ucosv, u_y =e^−usinv, v_x =−e^−usinv, v_y =e^−ucosv. ³ また，より3

u_xx =−e^−uu_xcosv+e^−u(−sinv)·v_x =e^−2u sin²v−cos²v u_xy =−e^−uu_ycosv+e^−u(−sinv)·v_y =−2e^−2usinvcosv =u_yx u_yy =−e^−uu_ysinv+e^−ucosv·v_y =e^−2u cos²v −sin²v v_xx =e^−uu_xsinv−e^−ucosv·v_x = 2e^−2usinvcosv

v_xy =e^−uu_ysinv−e^−ucosv·v_y =e^−2u sin²v−cos²v

=v_yx v_yy =−e^−uu_ycosv+e^−u(−sinv)·v_y =−2e^−2usinvcosv と求まる．したがって，Chain ruleより

z_x =z_uu_x+z_vv_x, z_y =z_uu_y+z_vv_y

(zu)x =zuuux+zuvvx, (zu)y =zuuuy+zuvvy

(z_v)_x =z_vuu_x+z_vvv_x, (z_v)_y =z_vuu_y+z_vvv_y

となる．fがC²級だからz_uv =z_vuとなることに注意すると，

z_xx = (z_uu_x+z_vv_x)_x = (z_u)_xu_x+z_uu_xx+ (z_v)_xv_x+z_vv_xx

= (z_uuu_x+z_uvv_x)u_x+z_uu_xx+ (z_vuu_x+z_vvv_x)v_x+z_vv_xx

= (ux)²zuu+ (vx)²zvv+ 2uxvxzuv+uxxzu +vxxzv · · ·⁴ .

同様に計算すると，

z_yy = (u_y)²z_uu+ (v_y)²z_vv+ 2u_yv_yz_uv+u_yyz_u+v_yyz_v · · ·⁵ .

ここで，4 +⁵ で現れるz_uu, z_vv, z_uv, z_u, z_vの係数について計算しておくと，

(u_x)²+ (u_y)² =e^−2u = (v_x)²+ (v_y)² u_xv_x+u_yv_v = 0

u_xx+u_vv = 0 =v_xx+v_yy

であるから，4 +⁵ より，

z_xx +z_yy =e^−2u(z_uu+z_vv) となり，所望の等式が得られる．