佐藤得志 Darbouxの定理と関数のRiemann積分可能性について

(1)

(2)

の定理と関数の

積分可能性について

佐　　藤　　得　　志

要　旨

積分の定義の方法には主につの流儀がありそれは和から定義

するものとの上積分下積分から定義するものであるこのつの定義の同値

性を証明するための鍵となるのがの定理であるがその証明は積分

の理論の中では最も難しいものである本稿においては初学者の理解の手助けとなるよ

うにの定理の厳密かつ丁寧な証明を与えるまた積分可能な関数と

連続な関数の合成関数の積分可能性を証明しこれを用いて積分可能な関数の絶対値や積の積分可能性を導く

積分の定理合成関数

連続

∗ 宮城教育大学数学教育講座

Darboux

の定理と関数の

Riemann

積分可能性について

佐　　藤　　得　　志

要　旨

連続

宮城教育大学数学教育講座

の定理と関数の

積分可能性について

∗_{佐　　藤　　得　　志}

要　旨

連続

の定理と関数の

積分可能性について

佐　　藤　　得　　志

On Darboux’s theorem and integrability

of functions in the sense of Riemann

要　旨

連続

の定理と関数の

積分可能性について

佐　　藤　　得　　志

SATO Tokushi

要　旨

連続

の定理と関数の

積分可能性について

佐　　藤　　得　　志

要　旨

Riemann積分の定義の方法には主に2つの流儀があり,それは, Riemann和から定義

するものと, Darbouxの上積分,下積分から定義するものである. この2つの定義の同値

性を証明するための鍵となるのがDarboux の定理であるが,その証明はRiemann 積分

の理論の中では最も難しいものである. 本稿においては,初学者の理解の手助けとなるよ

うに, Darbouxの定理の厳密かつ丁寧な証明を与える. また,積分可能な関数とLipschitz

連続な関数の合成関数の積分可能性を証明し,これを用いて積分可能な関数の絶対値や積

の積分可能性を導く.

Key Words :

Riemann積分

Darbouxの定理合成関数 Lipschitz連続

Darboux の定理と関数の Riemann 積分可能性について

(3)

-序

高校の数学では「数学」において微分積分を初めて学習しそこで極限の概念が登場するが本格

的に極限について学習するのは「数学」において

であろうしかし致し方ないことではあるが高校の数学では極限の概念は直感的にしか扱われていな

いまた積分に関しては本来のリーマ

ン積分の話には触れることなく原始関数に関する事柄のみを扱いそれを基にして面積や体積の計算方法を学ぶことになる実際には被積分関数が連続である場合には微分積分学の基本定理によりその積分を原始関数を用いて計算できるので結果的には正しいことを学習していることになる

本学の学部年次の「微分積分学」においては実数や極限の概念を明確にした上で高校で学習した微分積分の理論をより厳密に学習し直すことになり

そこで初めて積分の概念が登場するこ

れは有界閉区間上で定義された有界関数に対して定義されるものであるがその定義の方法については主

につの流儀があり大学生向けの微分積分学の教

科書ではそのいずれかに従って書かれているものが多い

第の流儀は区間の分割の大きさを小さくした

ときの関数の和の極限が存在するときに

この関数が積分可能であると定義しその積分の値を和の極限として定義するものである黒田

御園生望月金子内山中村今井

清水赤高木浦川雪

江等このとき連続関数に対してはこの

意味での積分可能性は比較的容易に証明することができるまた正値連続関数に関しては積分の値は

その関数から定まる図形の面積次元ジョ

ルダン測度を与えることが分かるがこの事実は和の定義から直感的に理解できる性質である大学生向けの微分積分学の教科書では

積分に関しては連続関数に対してのみ記述されてい

るものも多い中村今井清水浦川

雪江等

第の流儀は関数のダルブーの上

積分と下積分が一致するときにこの関数が積分可能であると定義し積分の値を上積分と下積分の共通の

値として定義するというものである小池三

村鈴木山田柴田田中等この

流儀に従っても連続関数の積分可能性は容易に証明することができるのであるがこの流儀は一般の連

続とは限らない)積分可能な関数について議論するの

に適している. Darboux の上積分, 下積分を定義する際に, Riemann上和,下和を用いるのであるが,こ

れらの概念は Riemann 和の極端な場合のものと見

做すことができ, 正値の連続関数の場合にその積分

(Darbouxの上積分または下積分)の値が上述のよう

な図形の面積を与えることも,やはり直感的に理解で

きるものである.

第1の流儀で一般の(連続とは限らない)積分可能

な関数について議論する場合, 第2 の流儀での積分

可能性との同値性を証明してこれを用いるのが通常

である. その同値性(特に十分性)を証明するための

鍵となるのがDarboux の定理である. Darboux の

定理の証明は,独特の証明方法をとるため, Riemann

積分の理論の中では最も難しいものと言ってよいで

あろう. 勿論, Darboux の定理の証明を記述してあ

る教科書はいくつもあるが(黒田(2002),御園生·望月·金子·内山(1989),赤(2014),高木(1983)等),その証明を数学的にきちんと記述されていないことも

多く,初学者がこれを理解するのは必ずしも容易でな

いように思う.

一方,第2の流儀に従った場合,第1の流儀との関係については述べないという立場をとると, Darboux

の定理に触れる必要がないので, Riemann積分の理論

を簡明にできることになる. しかし,従来のRiemann

積分の定義の方法は,定義域が( 1 次元の)区間であ

れば,一般に(有限次元の) vector空間やもっと一般

にBanach (バナッハ)空間に値をとるような連続写

像に対しても容易に拡張できるという利点がある. 複

素関数の線積分などはこの方法に基いて定義される

ものである. その意味では,連続な関数や写像を扱う

という立場においては, 第1 の流儀も重要であると

言ってよいであろう.

本稿においては,第 1 の流儀に従って議論するこ

ととする. ここでは,初学者の理解のための手助けと

なるように,なるべく厳密に議論できるような記号を

導入してRiemann積分の理論(の一部)を再論し,改

めて Darbouxの定理の厳密かつ丁寧な証明を与え,

1. 序

高校の数学では,「数学II」において微分, 積分を

初めて学習し,そこで極限の概念が登場するが,本格

的に極限について学習するのは「数学III」において

であろう. しかし,致し方ないことではあるが, 高校

の数学では極限の概念は直感的にしか扱われていない. また,積分に関しては,本来のRiemann (リーマ

ン)積分の話には触れることなく,原始関数に関する

事柄のみを扱い,それを基にして面積や体積の計算方

法を学ぶことになる. 実際には, (被積分)関数が連続

である場合には,微分積分学の基本定理により,その

Riemann 積分を原始関数を用いて計算できるので,

結果的には正しいことを学習していることになる.

本学の学部1年次の「微分積分学A」においては,実

数や極限の概念を明確にした上で,高校で学習した微

分, 積分の理論をより厳密に学習し直すことになり,

そこで初めて Riemann 積分の概念が登場する. こ

れは,有界閉区間上で定義された有界関数に対して定

義されるものであるが,その定義の方法については主

に2 つの流儀があり,大学生向けの微分積分学の教

科書では,そのいずれかに従って書かれているものが

多い.

第1 の流儀は, 区間の分割の大きさを小さくした

ときの関数のRiemann和の極限が存在するときに,

この関数が積分可能であると定義し,その積分の値を

Riemann和の極限として定義するものである(黒田

(2002),御園生·望月·金子·内山(1989),中村·今井 ·清水(2003),赤(2014),高木(1983),浦川(2006),雪

江(2008)等). このとき,連続関数に対しては(この

意味での)積分可能性は比較的容易に証明することが

できる. また,正値連続関数に関しては, 積分の値は

その関数から定まる図形の面積( 2次元Jordan (ジョルダン)測度)を与えることが分かるが,この事実は

Riemann和の定義から直感的に理解できる性質であ

る. 大学生向けの微分積分学の教科書では, Riemann

積分に関しては,連続関数に対してのみ記述されてい

るものも多い(中村·今井·清水(2003),浦川(2006), 雪江(2008)等).

第 2 の流儀は, 関数の Darboux (ダルブー)の上

積分と下積分が一致するときに,この関数が積分可能

であると定義し,積分の値を上積分と下積分の共通の

値として定義するというものである小池三

村鈴木山田柴田田中等この

流儀に従っても連続関数の積分可能性は容易に証明することができるのであるがこの流儀は一般の連続とは限らない積分可能な関数について議論するの

に適しているの上積分下積分を定義す

る際に上和下和を用いるのであるがこ

れらの概念は和の極端な場合のものと見

做すことができ正値の連続関数の場合にその積分の上積分または下積分の値が上述のような図形の面積を与えることもやはり直感的に理解できるものである

第の流儀で一般の連続とは限らない積分可能

な関数について議論する場合第の流儀での積分

可能性との同値性を証明してこれを用いるのが通常であるその同値性特に十分性を証明するための

鍵となるのがの定理であるの

定理の証明は独特の証明方法をとるため

あろう勿論の定理の証明を記述してあ

る教科書はいくつもあるが黒田御園生望

月金子内山赤高木等そ

の証明を数学的にきちんと記述されていないことも多く初学者がこれを理解するのは必ずしも容易でないように思う

一方第の流儀に従った場合第の流儀との関係については述べないという立場をとると

の定理に触れる必要がないので積分の理論

を簡明にできることになるしかし従来の

積分の定義の方法は定義域が次元の区間であ

れば一般に有限次元の空間やもっと一般

にバナッハ空間に値をとるような連続写

像に対しても容易に拡張できるという利点がある複素関数の線積分などはこの方法に基いて定義されるものであるその意味では連続な関数や写像を扱う

という立場においては第の流儀も重要であると

言ってよいであろう

本稿においては第の流儀に従って議論するこ

ととするここでは初学者の理解のための手助けとなるようになるべく厳密に議論できるような記号を

導入して積分の理論の一部を再論し改

めての定理の厳密かつ丁寧な証明を与え

序

高校の数学では「数学」において微分積分を初めて学習しそこで極限の概念が登場するが本格

的に極限について学習するのは「数学」において

であろうしかし致し方ないことではあるが高校の数学では極限の概念は直感的にしか扱われていな

いまた積分に関しては本来のリーマ

ン積分の話には触れることなく原始関数に関する事柄のみを扱いそれを基にして面積や体積の計算方法を学ぶことになる実際には被積分関数が連続である場合には微分積分学の基本定理によりその積分を原始関数を用いて計算できるので結果的には正しいことを学習していることになる

本学の学部年次の「微分積分学」においては実数や極限の概念を明確にした上で高校で学習した微分積分の理論をより厳密に学習し直すことになり

そこで初めて積分の概念が登場するこ

れは有界閉区間上で定義された有界関数に対して定義されるものであるがその定義の方法については主

につの流儀があり大学生向けの微分積分学の教

科書ではそのいずれかに従って書かれているものが多い

第の流儀は区間の分割の大きさを小さくした

ときの関数の和の極限が存在するときに

この関数が積分可能であると定義しその積分の値を和の極限として定義するものである黒田

御園生望月金子内山中村今井

清水赤高木浦川雪

江等このとき連続関数に対してはこの

意味での積分可能性は比較的容易に証明することができるまた正値連続関数に関しては積分の値は

その関数から定まる図形の面積次元ジョ

ルダン測度を与えることが分かるがこの事実は和の定義から直感的に理解できる性質である大学生向けの微分積分学の教科書では

積分に関しては連続関数に対してのみ記述されてい

るものも多い中村今井清水浦川

雪江等

第の流儀は関数のダルブーの上

積分と下積分が一致するときにこの関数が積分可能であると定義し積分の値を上積分と下積分の共通の

値として定義するというものである(小池(2010),三村(1970), 鈴木·山田·柴田·田中(2007)等). この

流儀に従っても,連続関数の積分可能性は容易に証明

することができるのであるが,この流儀は一般の(連

続とは限らない積分可能な関数について議論するの

に適しているの上積分下積分を定義す

る際に上和下和を用いるのであるがこ

れらの概念は和の極端な場合のものと見

做すことができ正値の連続関数の場合にその積分の上積分または下積分の値が上述のような図形の面積を与えることもやはり直感的に理解できるものである

第の流儀で一般の連続とは限らない積分可能

な関数について議論する場合第の流儀での積分

可能性との同値性を証明してこれを用いるのが通常であるその同値性特に十分性を証明するための

鍵となるのがの定理であるの

定理の証明は独特の証明方法をとるため

あろう勿論の定理の証明を記述してあ

る教科書はいくつもあるが黒田御園生望

月金子内山赤高木等そ

の証明を数学的にきちんと記述されていないことも多く初学者がこれを理解するのは必ずしも容易でないように思う

一方第の流儀に従った場合第の流儀との関係については述べないという立場をとると

の定理に触れる必要がないので積分の理論

を簡明にできることになるしかし従来の

積分の定義の方法は定義域が次元の区間であ

れば一般に有限次元の空間やもっと一般

にバナッハ空間に値をとるような連続写

像に対しても容易に拡張できるという利点がある複素関数の線積分などはこの方法に基いて定義されるものであるその意味では連続な関数や写像を扱う

という立場においては第の流儀も重要であると

言ってよいであろう

本稿においては第の流儀に従って議論するこ

ととするここでは初学者の理解のための手助けとなるようになるべく厳密に議論できるような記号を

導入して積分の理論の一部を再論し改

めての定理の厳密かつ丁寧な証明を与え

これを用いての上積分下積分が一致する

という性質との同値性を証明するここで用いる記号は他の教科書のものと比較して煩雑に見えるかもしれないが議論を厳密に行うために敢えてこのよう

な記号を用いることとした本稿では連続関数の

積分可能性についてはの定理を

経由して証明するがこれを用いない直接的な証明については述べない

更に積分可能な関数とリプ

シッツ連続な関数の合成関数の積分可能

性について述べるこの事実はさほど難しいものとも思われないがこれについて言及している教科書は何故か見当たらないこれを用いると特に積分可

能な関数の絶対値及び積分可能な関数と級関

数の合成関数の積分可能性も導かれる更

につの積分可能な関数の積の

積分可能性も証明できる積分可能な関数の絶対値

小池黒田三村御園生望

月金子内山赤鈴木山田柴田

田中等やつの積分可能な関数の積三村

鈴木山田柴田田中等の積分可

能性について個別に証明している教科書は存在する

但しここでは関数の積分可能性という

数学的事実を証明しているだけであって関数の積分の新たな計算方法などを提案しているわけではないまた被積分関数に連続性を仮定すればその合成関数や積は再び連続となるのでここでの議論を用い

るまでもなくそれらは積分可能である

これらの性質はルベーグ積分の理論

を用いれば容易に得られる事実である即ち有界閉

区間上の関数が積分可能であるための必

要十分条件はこれが測度の意味で殆ど

至る所で連続となることであるという事実を用いれば上に述べた性質を容易に証明することができる

しかしながら積分の理論は積

分の理論に比べて遥かに難しいため少なくとも本学では学部教育の段階でそこまで至ることは至難である従ってこのような基本的な数学的事実をより初等的な理論を用いて証明することは意義のあることと思う

なお本稿の内容は「微分積分学」の講義内容の一部となっているが同様の内容の資料を受講者に配

布し学習教材として提供している

以下は実数全体の集合を表すはそれぞ

れ自然数全体整数全体の集合を表すこととし

とおくまたに対し開区間の長

さを

と表すことにするまた本文中で用いるため次の関数を定義しておく

定義とする

によってを定義する複号同順

によってを定義する

をそれぞれの正の部分負の部分という

これに関して次が成り立つことに注意しておく

注意

複号同順

積分の定義と簡単な性質

以下としを有界開区間

は有界閉区間とする積分の定義を述べるためその準備として区間の分割及び

和を定義する

これを用いてDarbouxの上積分,下積分が一致する

という性質との同値性を証明する. ここで用いる記

号は,他の教科書のものと比較して煩雑に見えるかも

しれないが,議論を厳密に行うために敢えてこのよう

な記号を用いることとした. (本稿では, 連続関数の

Riemann積分可能性については, Darbouxの定理を

経由して証明するが,これを用いない直接的な証明に

ついては述べない.)

さを

定義とする

注意

複号同順

積分の定義と簡単な性質

和を定義する

宮城教育大学紀要　第52巻　2017

(4)

-これを用いての上積分下積分が一致するという性質との同値性を証明するここで用いる記号は他の教科書のものと比較して煩雑に見えるかもしれないが議論を厳密に行うために敢えてこのよう

更に, Riemann積分可能な関数とLipschitz (リプ

シッツ)連続な関数の合成関数のRiemann積分可能

性について述べる. この事実は,さほど難しいものと

も思われないが,これについて言及している教科書は

(何故か)見当たらない. これを用いると,特に,積分可能な関数の絶対値,及び,積分可能な関数とC1-級関

数の合成関数のRiemann積分可能性も導かれる. 更

に, 2つのRiemann積分可能な関数の積のRiemann

積分可能性も証明できる. (積分可能な関数の絶対値

(小池(2010), 黒田(2002), 三村(1970), 御園生·望月·金子·内山(1989),赤(2014), 鈴木·山田·柴田·

田中(2007)等)や2つの積分可能な関数の積(三村

(1970),鈴木·山田·柴田·田中(2007)等)の積分可能性について個別に証明している教科書は存在する.)

但し,ここでは関数のRiemann積分可能性という

数学的事実を証明しているだけであって,関数の積分

の新たな計算方法などを提案しているわけではない.

また, (被積分)関数に連続性を仮定すれば,その合成

関数や積は再び連続となるので,ここでの議論を用い

るまでもなく,それらはRiemann積分可能である.

これらの性質は, Lebesgue (ルベーグ)積分の理論

を用いれば容易に得られる事実である. 即ち,有界閉

区間上の関数が Riemann 積分可能であるための必

要十分条件は,これが(Lebesgue測度の意味で)殆ど

至る所で連続となることである,という事実を用いれ

ば,上に述べた性質を容易に証明することができる.

しかしながら, Lebesgue積分の理論は Riemann積分の理論に比べて遥かに難しいため, (少なくとも本

学では)学部教育の段階でそこまで至ることは至難で

ある. 従って,このような基本的な数学的事実を, よ

り初等的な理論を用いて証明することは,意義のある

ことと思う.

なお,本稿の内容は「微分積分学A」の講義内容の

一部となっているが,同様の内容の資料を受講者に配

さを

定義とする

注意

複号同順

積分の定義と簡単な性質

和を定義する

さを

定義1.1. m∈N とする.

(i) ι(x) =x, ι±(x) =x±= max{0,±x}, [|ι|](x) =|x|= max{x,−x} forx∈R

によって ι, ι±,|ι|:R→R を定義する(複号同順). (ii) ι0(x) = 1, ιm₍_x_{) =}_xm _for_x_∈_R によって ι0, ιm:R_→R を定義する.

(iii) ι−m(x) = 1 ιm₍_x₎ =

1 xm

forx∈R_\{0}_{= (− ∞}_,₀₎_∪₍₀_,_∞)

によって ι−m:R_{\{0} →}R を定義する. _✷

x₊, x−をそれぞれxの正の部分,負の部分という. これに関して次が成り立つことに注意しておく.

注意1.1. _(i) ι(x) =x=x₊−x− =ι₊(x)−ι−(x), [|ι|](x) =|x|=x₊+x−

=ι₊(x) +ι−(x) forx∈R_.

(ii) |ι±(x₀)−ι±(x₁)|=|(x₀)±−(x₁)±| ≤ |x₀−x₁|,

|[|ι|](x₀)−[|ι|](x₁)|=||x₀| − |x₁|| ≤ |x₀−x₁| forx₀, x₁∈R (複号同順). ✷

2. 積分の定義と簡単な性質

以下, a < b ∈R とし, _I _{= (}_{a, b}₎ を有界開区間

(I = [a, b] は有界閉区間)とする. 積分の定義を述べ

るため, その準備として, 区間の分割及び Riemann

和を定義する.

布し,学習教材として提供している.

以下,Rは実数全体の集合を表す. N_,Zはそれぞ

れ自然数全体,整数全体の集合を表すこととし,

N_l,m₌_{_k_∈Z_|_l_≤_k_≤_m_}₍₌Z_∩_[_{l, m}_{] )}

for l≤m∈Z

とおく. また, a < b∈R _に対し_,_開区間₍_{a, b}₎_の長

さを

ℓ[(a, b)] =b−a(∈(0,∞))

と表すことにする. また,本文中で用いるため,次の

関数を定義しておく.

定義とする

注意

複号同順

積分の定義と簡単な性質

和を定義する

定義 2.1. _{(i) ∆ = (}_I(k)_[∆])

k∈N1,ν[∆]

= (I(1)[∆], I(2)[∆], . . . , I(ν[∆])[∆])

がI の分割であるとは, (ν[∆]∈N _であって₎

a=a(0)[∆]< a(1)[∆]< a(2)[∆]<· · ·

< a(ν[∆]−1)[∆]< a(ν[∆])[∆] =b,

I(k)[∆] = (a(k−1)[∆], a(k)[∆]) fork∈N 1,ν[∆]

(各 I(k)_[∆] _は開区間₎_{と表されることである}_. _この

とき,各a(k)_[∆]_を_∆_{の分点といい}_, |∆|= max

k∈N1,ν[∆]

ℓ[I(k)_[∆]]

= max

k∈N1,ν[∆]

(a(k)_[∆]₋_a(k−1)_[∆])

を∆の大きさという. また,

と表すことにする従って

右辺はの閉包であるまた

とおく

の分割全体の集合をと表す従って

がの分割であることはと表される

注意の有限部分集合に対し

を分点全体の集合とするようなの分割が唯一つ存在する

とするときこれをの分点の集合

と同一視し

と表すこともある

定義とするとき及び

に対し

をの和という

注意とすると

が成り立つ

これを用いて関数の積分可能性が定

義される

定義が上で積分可能であるとは

あるが存在して次をみたすことである

は上で有界である

任意のに対しが存在して

をみたすこのことをとも表す

このとき極限値をの上での積分

積分といい

等と表す

いま最も簡単な例を挙げる

例

は上で積分可能であり

が成り立つ

証明とする

と注意によって

(5)

-定義

がの分割であるとはであって

各は開区間と表されることであるこの

とき各をの分点といい

をの大きさというまた

とおく

と同一視し

に対し

をの和という

注意とすると

が成り立つ

義される

∆∈ P[I],|∆| ≤δ_ε, ξ∈Z[∆]

⇒ |S[f; ∆, ξ]−S| ≤ε

をみたす. (このことを, S[f; ∆, ξ]→S as|∆| →0

とも表す.)

このとき,極限値SをfのI上での積分(Riemann

積分)といい,

S=

∫

I

f(t)dt=

∫

[a,b]

f(t)dt=

∫

I f(x)dx

等と表す. ✷

いま,最も簡単な例を挙げる.

例2.1. ι0(x) (= [ι0|_I](x)) = 1 for x∈I= [a, b]

はI 上で積分可能であり,

∫

I

ι0(t)dt=

∫

I

1dt(=

∫

I

dt)=ℓ[I] =b−a

が成り立つ.

証明. _∆_{∈ P}_[I],ξ= (ξ(k)₎

k∈N1,ν[∆]∈Z[∆] とすると,注意2.2によって

S[ι0|_I; ∆, ξ] = ∑ k∈N1,ν[∆]

ι0(ξ(k))ℓ[I(k)[∆]]

= ∑

k∈N1,ν[∆]

ℓ[I(k)[∆]] =ℓ[I]

→ℓ[I] as |∆| →0

定義

I(k)[∆] = [a(k−1)[∆], a(k)[∆]],

˜

I(k)[∆] = (a(k−1)[∆], a(k)[∆]] fork∈N 1,ν[∆]

と表すことにする(従って,

I(k)[∆] =I(k)_{[∆] for}_k_∈_N 1,ν[∆]

(右辺はI(k)[∆]の閉包)である). また,

Z[∆] ={

ξ= (ξ(k))_k_∈_N

1,ν[∆]

= (ξ(1), ξ(2), . . . , ξ(ν[∆]))|

ξ(k)_∈_I(k)

[∆] fork∈N 1,ν[∆]

}

(=I(1)[∆]×I(2)[∆]× · · · ×I(ν[∆])[∆] )

とおく.

(ii) I の分割全体の集合をP[I]と表す. (従って, ∆

がI の分割であることは ∆∈ P[I] と表される.) ✷

注意 2.1. _(i) _I の有限部分集合 _A₍_⊂ _I₎ に対し_,

A∪ {a, b}を分点(全体)の集合とするようなI の分割が(唯一つ)存在する.

(ii) ∆∈ P[I] とするとき,これを∆ の分点の集合

{a(k)_[∆]_}

k∈N0,ν[∆] と同一視し,

∆ :a=a(0)[∆]< a(1)[∆]< a(2)[∆]<· · ·

< a(ν[∆]−1)[∆]< a(ν[∆])[∆] =b

と表すこともある. ✷

定義 2.2. _f _:_I _→ R とするとき_{, ∆} _{∈ P}_[_I_] 及び

ξ= (ξ(k)₎

k∈N1,ν[∆] ∈Z[∆] に対し,

をの和という

注意とすると

が成り立つ

義される

積分といい

等と表す

例

が成り立つ

証明とする

定義

とおく

と同一視し

に対し

S[f; ∆, ξ] = ∑ k∈N1,ν[∆]

f(ξ(k))ℓ[I(k)[∆]]

= ∑

k∈N1,ν[∆]

f(ξ(k))(a(k)[∆]−a(k−1)[∆])

をf のRiemann和という. ✷

注意2.2. _∆_{∈ P}_[I] とすると,

∑ k∈N1,ν[∆]

ℓ[I(k)[∆]] = ∑ k∈N1,ν[∆]

(a(k)[∆]−a(k−1)[∆])

=a(ν[∆])_[∆]₋_a(0)_[∆]

=b−a=ℓ[I]

が成り立つ. ✷

これを用いて,関数 f :I →R の積分可能性が定

義される.

定義2.3. _f_:_I _→R が_I 上で積分可能であるとは_,

あるS∈R が存在して_,次をみたすことである_.

(i) f はI 上で有界である.

(ii) 任意のε >0 に対し, δ_ε >0 が存在して

積分といい

等と表す

例

が成り立つ

証明とする

が得られる. ✷

次に,定義から比較的容易に得られる積分の性質に

ついて述べる.

定理2.1. _{f, g}_:_I_→R は_I 上で積分可能とし_, _γ _∈ R とすると_,次が成り立つ_.

(i) f+g, γf :I →R もI 上で積分可能であり,

∫

I

(f(t) +g(t))dt=

∫

I

f(t)dt+

∫

I g(t)dt,

∫

I

γ f(t)dt=γ

∫

I f(t)dt.

(ii) f(x)≤g(x) for allx∈I ならば,

∫

I

f(t)dt≤ ∫

I g(t)dt.

証明. _(i) _S_[_f₊_g_{; ∆}_{, ξ}_{] =}_S_[_f_{; ∆}_{, ξ}_{] +}_S_[_g_{; ∆}_{, ξ}_]_,

S[γf; ∆, ξ] =γ S[f; ∆, ξ]

for ∆∈ P[I], ξ∈Z[∆]

であるから, |∆| →0 とすると,主張が得られる. (ii) f(x)≤g(x) for allx∈I のとき,

S[f; ∆, ξ]≤S[g; ∆, ξ] for ∆∈ P[I], ξ∈Z[∆]

であるからとすると主張が得られる

の上積分下積分

次にの上積分下積分を用いて有界閉区

間上の関数の積分可能性について調べる

注意とする

はのによる像を表す

はの上限下限を表すのにおける最大

値最小値が存在するときこれらを

と表すがこのとき

が成り立つ

まず上和下和を定義する

定義は上で有界とし

とするとき

をそれぞれの上和下和とい

う

注意は上で有界とし

とする

は必ずしもの和で

はない

上和下和の性質を調べるため

区間の分割の細分を定義する

定義とするときがの細分

であるとは

をみたすことである

注意とするときがの細分

ならばが存在して

をみたす

まず次を示す

命題は上で有界

としをの細分とすると

が成り立つ

証明注意よりが

成り立つ

が得られる

次に定義から比較的容易に得られる積分の性質について述べる

定理は上で積分可能とし

とすると次が成り立つ

も上で積分可能であり

ならば

証明

のとき

の上積分下積分

注意とする

が成り立つ

とするとき

う

とする

はない

であるとは

をみたす

まず次を示す

が成り立つ

成り立つ

(6)

-が得られる

ならば

証明

のとき

の上積分下積分

注意とする

が成り立つ

とするとき

う

とする

はない

であるとは

注意3.3. _∆_,_∆˜ _{∈ P}_[_I_] とするとき_{, ˜}_∆が_∆の細分ならば,{j_k[∆,∆]˜ }_k_∈_N

0,ν[∆] ⊂ N

0,ν[ ˜∆] が存在して,

0 =j₀[∆,∆]˜ < j₁[∆,∆]˜ < j₂[∆,∆]˜ <· · ·

< j_ν[∆]₋₁[∆,∆]˜ < j_ν[∆][∆,∆] =˜ ν[ ˜∆],

a(k)[∆] =a(jk[∆,∆])˜ [ ˜∆] for_k∈N

0,ν[∆]

をみたす. ✷

まず,次を示す.

命題 3.1. _f _:_I _→R _は_I _上で有界_{, ∆}_,_∆˜ _{∈ P}_[_I_] とし, ˜∆を∆の細分とすると,

S[f; ∆]≤S[f; ˜∆]≤S[f; ˜∆]≤S[f; ∆]

が成り立つ.

証明. _(i) 注意 _{3.2 (ii)}より_, _S_[_f_{; ˜}_∆]_≤ _S_[_f_{; ˜}_∆] が成り立つ.

が得られる

ならば

証明

のとき

≤ ∈ P ∈

であるから, |∆| →0 とすると,主張が得られる. ✷

3. Darboux

の上積分,

下積分

次に, Darbouxの上積分,下積分を用いて有界閉区

間上の関数の積分可能性について調べる.

注意3.1. _f_:_I _→R_,_A_⊂_I とする_.

(i) f(A) ={f(x)∈R_|_x_∈_A_}₍_⊂R₎

はAのf による像を表す. (ii) supf(A) = sup

x∈A

f(x), inff(A) = inf

x∈Af(x)

はf(A)の上限, 下限を表す. f のAにおける最大値,最小値が存在するとき,これらを

maxf(A) = max

x∈Af(x), minf(A) = minx∈Af(x)

と表すが,このとき

maxf(A) = supf(A), minf(A) = inff(A)

とするとき

う

とする

はない

であるとは

をみたす

まず次を示す

が成り立つ

成り立つが得られる

ならば

証明

のとき

の上積分下積分

注意とする

が成り立つ

まず, Riemann上和, Riemann 下和を定義する.

定義3.1. f :I→R はI上で有界とし, ∆∈ P[I]

とするとき,

S[f; ∆] = ∑

k∈N1,ν[∆]

( supf(I(k)[∆]))ℓ[I(k)[∆]],

S[f; ∆] = ∑

k∈N1,ν[∆]

( inff(I(k)[∆]))ℓ[I(k)[∆]]

をそれぞれf のRiemann上和, Riemann下和とい

う. ✷

注意3.2. f :I→R はI上で有界とし, ∆∈ P[I]

とする.

(i) S[f; ∆],S[f; ∆]は必ずしもf のRiemann和ではない.

(ii) S[f; ∆]≤S[f; ∆, ξ]≤S[f; ∆]

for allξ∈Z[∆].

(iii) S[−f; ∆] =−S[f; ∆],

S[−f; ∆] =−S[f; ∆]. ✷

Riemann上和, Riemann下和の性質を調べるため,

区間の分割の細分を定義する.

定義3.2. _∆_,_∆˜ _{∈ P}_[_I_] _{とするとき}_{, ˜}_∆_が_∆_の細分であるとは,

{a(k)[∆]}k∈N0,ν[∆]⊂ {a

(j)_{[ ˜}_∆]_}

j∈N0,ν[ ˜∆]

をみたすことである. ✷

をみたす

まず次を示す

が成り立つ

成り立つ

(ii) 注意3.3の記号を用いると,

I(j)[ ˜∆] = [a(j−1)[ ˜∆], a(j)[ ˜∆]]

⊂[a(jk−1[∆,∆])˜ _{[ ˜}_∆]_{, a}(jk[∆,∆])˜ _{[ ˜}_∆]]

= [a(k−1)[∆], a(k)[∆]] =I(k)[∆],

f(I(j)[ ˜∆])⊂f(I(k)[∆]) forj∈N

j_k−₁[∆,∆]+1˜ , j_k[∆,∆]˜, k∈N1,ν[∆]

であるから,

supf(I(j)[ ˜∆])≤supf(I(k)[∆]) forj∈N

j_k−₁[∆,∆]+1˜ , j_k[∆,∆]˜, k∈N1,ν[∆]

が成り立つ. ここで,

j₀[∆,∆] = 0˜ , j_ν_[∆][∆,∆] =˜ ν[ ˜∆]

であり,

∑

j∈_Nj

k−1[∆,∆]+1˜ ,jk[∆,∆]˜

ℓ[I(j)[ ˜∆]]

= ∑

j∈_Nj

k−1[∆,∆]+1˜ ,jk[∆,∆]˜

(a(j)_{[ ˜}_∆]₋_a(j−1)_{[ ˜}_∆])

=a(k)[∆]−a(k−1)[∆] =ℓ[I(k)[∆]] fork∈N

1,ν[∆]

であるから,

S[f; ˜∆]

= ∑

j∈_N₁_,ν_{[ ˜}_∆]

( supf(I(j)[ ˜∆]))ℓ[I(j)[ ˜∆]]

= ∑

j∈_Nj

0[∆,∆]+1˜ ,jν[∆][∆,∆]˜

( supf(I(j)[ ˜∆]))ℓ[I(j)[ ˜∆]]

= ∑

k∈_N 1,ν[∆]

∑

j∈_Nj

k−1[∆,∆]+1˜ ,jk[∆,∆]˜

( supf(I(j)[ ˜∆]))ℓ[I(j)[ ˜∆]]

∑ ∑

が成り立つ

及び注意により

が成り立つ

更に区間の分割がつ与えられたときそれらの細分となる分割を定義する

定義とするとき

を分点全体の集合とするようなの分割を

と表すはの細分かつの細分

である

これらを用いると次が得られる

とすると

が成り立つ

証明はの細分かつの細分で

あるから命題によって

が得られる

の上積分下積分は次によって定義される

定義が上で有界であるとき

をそれぞれのの意味での上積分下積

分という

注意が上で有界であるとき

が成り立つ

これに関して次が成り立つ

命題が上で有界ならば

が成り立つ

証明とすると命題によって

であるから

が成り立つ従って

が得られる

(7)

-注意の記号を用いると

であるから

が成り立つここで

であり

であるから

が成り立つ

である

とすると

が成り立つ

が得られる

分という

が成り立つ

証明. _∆_{∈ P[}I] とすると,命題3.2によって

S[f; ∆]≤S[f; ˜∆] for all ˜∆∈ P[I]

であるから,

S[f; ∆]≤ inf ˜ ∆∈ P[I]

S[f; ˜∆] =S[f]

for all ∆∈ P[I]

が成り立つ. 従って,

S[f] = sup ∆∈ P[I]

S[f; ∆]≤S[f]

注意の記号を用いると

であるから

であり

であるから

≤ ∑

k∈_N₁ ,ν[∆]

∑

j∈Nj

k−1[∆,∆]+1˜ ,jk[∆,

˜ ∆]

( supf(I(k)[∆]))ℓ[I(j)[ ˜∆]]

= ∑

k∈_N 1,ν[∆]

( supf(I(k)[∆]))ℓ[I(k)[∆]]

=S[f; ∆]

が成り立つ.

(iii) (ii)及び注意3.2 (iii)により,

S[f; ∆] =−S[−f; ∆]≤ −S[−f; ˜∆] =S[f; ˜∆]

更に,区間の分割が2つ与えられたとき,それらの

細分となる分割を定義する.

である

とすると

が成り立つ

が得られる

分という

が成り立つ

であるから

が得られる

注意の記号を用いると

であるから

であり

であるから

が成り立つ

定義 3.3. _∆_,_∆˜ _{∈ P[}_I_] _{とするとき}_,

{a(k)[∆]}k∈_N

0,ν[∆]∪ {a (j)_{[ ˜}_∆]}

j∈_N₀_,ν_{[ ˜}_∆] を分点(全体)の集合とするようなI の分割を∆∧∆˜ ∈ P[I] と表す. ( ∆∧∆˜ は∆ の細分かつ_∆˜ _の細分

である.) ✷

これらを用いると,次が得られる.

命題 3.2. _f _:_I _→R は_I 上で有界_{, ∆}_,_∆˜ _{∈ P[}_I_]

とすると,

S[f; ∆]≤S[f; ˜∆]

が成り立つ.

証明. _∆∧_∆˜ _{∈ P[}_I_] は_∆の細分かつ _∆˜ の細分で

あるから,命題3.1によって

S[f; ∆]≤S[f; ∆∧∆]˜ ≤S[f; ∆∧∆]˜ ≤S[f; ˜∆]

Darbouxの上積分,下積分は次によって定義される.

定義 3.4. f :I→R がI 上で有界であるとき,

S[f] = inf

∆∈ P[I]S[f; ∆], S[f] =_∆sup∈ P[I]

S[f; ∆]

をそれぞれf の(Darbouxの意味での)上積分,下積

分という. ✷

注意 3.4. f :I→R がI 上で有界であるとき,

S[−f] =−S[f], S[−f] =−S[f]

これに関して,次が成り立つ.

命題 3.3. _f _:_I_→R が_I 上で有界ならば_,

S[f]≤S[f]

が成り立つ.

であるから

が得られる

いま,次を示しておく.

命題 3.4. f :I →R はI 上で有界とする. このとき, S[f] =S[f] であるための必要十分条件は,

(∗)₁

{

任意の ε >0 に対し, ∆ε∈ P[I] が存在して

0≤S[f; ∆_ε]−S[f; ∆_ε]≤ε となることである.

証明. (⇒) 定義3.4により,任意の ε >0 に対し, ˜

∆_ε/₂,∆ˆ_ε/₂∈ P[I] が存在して

S[f; ˜∆_ε/₂]≤S[f] + ε

2, S[f; ˆ∆ε/2]≥S[f]−

ε 2 が成り立つ. このとき, ∆ε = ˜∆ε/2∧∆ˆε/2 ∈ P[I]

とおくと, ∆εは∆˜ε/2,∆ˆε/2の細分であるから,命題

3.1 (i)によって

S[f; ˆ∆_ε/₂]≤S[f; ∆_ε]≤S[f; ∆_ε]≤S[f; ˜∆_ε/₂]

が得られる. ここで, S[f] =S[f] であるから,

0≤S[f; ∆_ε]−S[f; ∆_ε]

≤S[f; ˜∆_ε/₂]−S[f; ˆ∆_ε/₂]

≤(S[f] + ε 2

)

−(S[f]− ε

2

)

=ε

が成り立つ.

(⇐) 任意の ε >0 に対し,

0≤S[f; ∆_ε]−S[f; ∆_ε]≤ε

をみたす∆_ε∈ P[I]をとると,命題3.3によって

S[f; ∆_ε]≤S[f]≤S[f]≤S[f; ∆_ε]

であるから,

0≤S[f]−S[f]≤S[f; ∆_ε]−S[f; ∆_ε]≤ε

が得られる. ここで, ε >0 は任意であるから, 0≤S[f]−S[f]≤0, S[f] =S[f]

の定理

関数の積分可能性を調べる上で次のの

定理は重要である

定理が上で有界な

らば次が成り立つ

証明まずは上で有界であるから

をみたすが存在するこのとき

が成り立つ

を任意にとると定義より

が存在して

が成り立つこのとき

とおく

いまとすると各

に対し

をみたすが一意的に存在する

このときとおくと

より

となるが

が成り立つ実際もしをみ

たすが存在するならば

いま次を示しておく

命題は上で有界とするこのと

きであるための必要十分条件は

となることである

証明定義により任意のに対し

が存在して

とおくとはの細分であるから命題

によって

が得られるここでであるから

が成り立つ

任意のに対し

をみたすをとると命題によって

であるから

が得られるここでは任意であるから

が成り立つ

の定理

関数の積分可能性を調べる上で次のの

定理は重要である

定理が上で有界な

らば次が成り立つ

証明まずは上で有界であるから

をみたすが存在するこのとき

が成り立つ

を任意にとると定義より

が存在して

とおく

いまとすると各

に対し

をみたすが一意的に存在する

このときとおくと

より

となるが

が成り立つ実際もしをみ

たすが存在するならば

佐藤得志 Darbouxの定理と関数のRiemann積分可能性について

の定理と関数の

積分可能性について

佐 藤 得 志

要 旨

Darboux

の定理と関数の

Riemann

積分可能性について

佐 藤 得 志

要 旨

の定理と関数の

積分可能性について

の定理と関数の

積分可能性について

On Darboux’s theorem and integrability

of functions in the sense of Riemann

の定理と関数の

積分可能性について

SATO Tokushi

の定理と関数の

積分可能性について

佐 藤 得 志

要 旨

Key Words :

-序

1.

序

序

積分の定義と簡単な性質

積分の定義と簡単な性質

積分の定義と簡単な性質

2.

積分の定義と簡単な性質

積分の定義と簡単な性質

の上積分 下積分

の上積分 下積分

の上積分 下積分

3. Darboux

の上積分,

下積分

の上積分 下積分

の定理

の定理

佐　　藤　　得　　志

要　旨

佐　　藤　　得　　志

要　旨

佐　　藤　　得　　志

要　旨

の上積分下積分

の上積分下積分

の上積分下積分

の上積分下積分