pdf 教育 OKUI, Ryo panel hetero v2

パネルデータを用いた個人間の異質性の分析

  _- 変量係数モデルの近年の展開 _-

奥井亮

VU University Amsterdam, ^京都大学

第₁₈回労働経済学コンファレンス 一橋大学

平成₂₇年₉月₁₂日

目次

始めに

変量係数モデル _- 平均の分析と同質性の検定 静学モデル

動学モデル

係数の同質性の検定

係数の分布の推定 平均以外の統計量 Deconvolution^法 グループ化

終わりに

目次

始めに

変量係数モデル _- 平均の分析と同質性の検定 静学モデル

動学モデル

係数の同質性の検定 係数の分布の推定

平均以外の統計量 Deconvolution^法 グループ化 終わりに

チュートリアルの内容

• この計量経済学チュートリアルでは、パネルデータを用いて、 どのように個人間の異質性を分析していくのかを紹介する。

• 前半では、変量係数モデルを扱い、係数の個人間での平均値 の推定法ならびに、個人間で係数が異なるのかあるいは同じ なのかを検定する方法を紹介する。

前半の内容は、基本的に_Wooldridgeの教科書 “Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data” (2010, 2nd

edition)^の11章に載っている内容ならびに、それらの補足的 な事柄からなる。

• 後半では、やはり変量係数モデルを中心に据えるが、係数の 分布全体を分析する方法を紹介する。

これは、近年の計量経済学界でよく研究されている分野であ り、最新の研究結果を紹介する。

背景

• 計量経済学は、統計データを利用して、ある変数から別の変 数への影響を調べる手法を中心としている。

• 多くの研究では、この影響は全ての観測個体で同じである、 あるいは多項式や交差項を使用することで表現できると、暗 黙に仮定している。

• しかし近年、こうした影響が観測個体ごとに異なるとした場 合に、どのように統計分析の結果を解釈するのか、あるい は、どのようにして影響の個体ごとの違いを調べることがで きるのかについての研究が進んでいる。

異質性に向き合う手法

個体間の影響の異質性を考慮するために、計量経済学では主に次 の二つの手法が考えられている。

1. ^{変量係数モデル} 2. ^{プログラム評価法}

• もちろん、この二つの方法は相反する物ではない。

• 変量係数モデルもプログラム評価法の観点から解釈していく ことで、変量係数モデルにおける係数の意味がより明確にな るであろう。

• また、プログラム評価法の観点から分析対象となる変数間の 関係を統計モデルに落とし込むと変量係数モデルとなること もよくあることである。

このチュートリアルではパネルデータ分析のための変量係数モデ ルの近年の研究を概説する。

目次

始めに

変量係数モデル _- 平均の分析と同質性の検定 静学モデル

動学モデル

係数の同質性の検定

係数の分布の推定 平均以外の統計量 Deconvolution^法 グループ化 終わりに

変量係数モデル

• 係数の値が個人ごとに異なる変量係数モデルを議論する。

y_it = α_i+ x_it^′b_i+ u_it (1)

• 静学的な線形パネルモデルの変量係数の平均値の推定法

• 動学モデルの場合の、変量係数モデルの難しさ

• 係数に異質性があるかどうかの検定法

固定効果推定量は何を推定しているのか

通常の固定効果推定量が、変量係数の平均を一致推定量となるた めの条件を解説する。

モデル_:

y_it= αi + x_it^′b_i + uit (2)

• ^{固定効果変換すると、}y¨_it = yit₋^PT_t=1^yit/T ^として、

¨

y_it= ¨x_it^′b_i + ¨u_it (3) となる。

• 固定効果推定量は、変換後のモデルの_OLS推定量である。

固定効果モデルを書き換える

• β = E (bi)^として、d_i = bi _{− β}^と書く。

• 固定効果変換後のモデルは、

¨

y_it = ¨x_it^′β + ¨x_it^′d_i+ ¨u_it (4) とかける。

• 従って、新しい誤差項である、_x¨it^′_{di+ ¨uit}と_x¨itの相関がなけ れば、固定効果推定量は_βの一致推定量となる。

条件

固定効果推定量が変量係数の平均の一致推定量となる条件は、変 量係数と回帰変数の間に相関が無いことである。

• 求める条件は、通常の固定効果推定の条件に加えて、

E(¨x_itx¨_it^′d_i) = 0 (5) である。

• この条件の十分条件は、

E(bi_|Xi) = E (bi) = β (6)

• ^bi^とXiの間に関係がなければよい。

係数の平均の推定

より一般的な場合に係数の平均を推定する方法を紹介する。 説明変数が₂種類あり、_(wit^′_{, xit}^′₎^′とする。_witの係数は個人ごと に異なり、_xitの係数はすべての個人で共通であるとする。

y_it= w_it^′a_i+ x_it^′β + uit (7)

• ^uitには固定効果は含まれていない。

• 固定効果がある場合には、_witが定数項を含んでいると解釈 するとよい。

推定するパラメーターは_{µa = E (ai)}と_βである。

共通係数の推定

β^{の推定は、}aiをモデルから消す変換による。

• ^Yi = (yi1, yi2, . . . , yiT)^{′として、各観測値を}i^{ごとにまとめた} ベクトルと行列を作る。

Y_i = Wi^ai + Xiβ + Ui (8)

• ^Mi = I − Wi^(W_i^′Wi^)−1Wi ^{とする。M}i^Wi ^{= 0であるので、}

各変数の左側から_Mi をかけることで、モデルから_aiを消す ことができる。

• ^Y¨i = Mi^Yi ^{とすると、}

Y¨_i = ¨X_iβ + ¨U_i (9) である。このモデルを_OLSで、推定することにより、_βの推 定値を得ることができる。

共通変数の推定のための条件

次に示す条件の下で、_β^ˆは一致性をもち、漸近正規になる。 1. (Yi, Wi, Xi)^はi.i.d.(^{横断面について})

2. ( ¨Ui, ¨Xi)^は4次までのモーメントを持つ。 3. E(uit_|Wi, Xi, ai) = 0^。

4. E( ¨X_i^′X^¨_i)^は正則。

この中で、特に重要な条件は、₃と₄である。

• 3は強外生の仮定である。条件付き期待値の条件の中身は、 すべての_tに渡っての説明変数の値が入っていることに注意 すること。

• 4は多重共線性がないと言う仮定である。この背後には、 (W_i^′Wi)の逆行列がとれるという仮定が暗にあることに注意。 この点についてはGraham and Powell (2012)^{に議論がある。}

変量係数の期待値

µa = E (ai)^{の推定は、まず、各}a_iを推定し、それらの推定値の標 本平均をとることで行う。

• ^各ai ^{の推定から始める。a}i^{の推定値は、Y}i_{− X}iβ^ˆをW_i^にi ごとに回帰すると得られる。

ˆ

a_i = (W_i^′W_i)⁻¹W_i^′(Yi _{− X}iβ)^ˆ (10)

• ^{続いて、µ}a^をaˆi^{の平均から推定する。}

ˆ µa = ¹

N

N

X

i=1

ˆ a_i = ¹

N

N

X

i=1

(W_i^′W_i)⁻¹W_i^′(Yi _{− X}iβ)^ˆ (11)

• なお、ここで紹介した推定量は、効率的なものではない。効 率的な推定量は、Chamberlain (1992)^{に記載がある。}

動学モデル

動学パネルデータモデルの場合には、変量係数の取り扱いには一 気に難しくなる。

• 係数と回帰変数には、モデルの構造上、相関がでる。

• 固定効果推定タイプの手法が_Tが有限では一致をもたない。 そのためT _{→ ∞}の状況について、これまでの文献では研究 されてきた。

パネル _AR(1) モデル

簡単化のため、動学パネルデータモデルの一例であるパネル

AR(1)モデルの係数が、変量係数になっているモデルを考える。

yit = ρiy_i,t−1+ ǫit (12)

• ^{このモデルは、}Pesaran and Smith (1995)^{の研究を嚆矢と} する。

• ここで考えているモデルにで、個人効果は入っていない。個 人効果が入るモデルはさらに分析が難しくなる。

問題点

動学モデルの場合は、係数が個人ごとに異なると、_OLSでは、係 数の平均を推定することは、できなくなる。

• もし係数が一定であれば、個人効果が入っていない場合は、 T ^{が固定でも、}OLSにより係数の一致推定ができる。

• なお、個人効果が入っている場合には_OLSでは係数の一致 推定はできない。

• しかし、係数が個人ごとに異なると、_OLS推定量の解釈が難 しくなる。

• ^{変量係数と}yitの間には、相関が出てしまうので。この問題 は、_{T → ∞}の場合にも発生する。

変量係数と _y

の相関

変量係数とy_i,t−1の相関を見るには、y_itを展開するとよい。 通常の_ARモデルの場合と同じように、_yitを展開すると、

y_it = (ρ_i)^ty_i0+

t−1

X

j=0

ρ^j_iǫ_i,t−j (13)

となる。

この式から、_yitと_ρi には相関関係があることが見て取れる。

• OLS^{推定では、}ρi の平均を一致推定することはできない。

• なお、一致推定できるのは、_{E(yityi,t−1)/E (yi}²_,t−1)である。 これは自己共分散の平均と、分散の平均の比である。

Pesaran and Smith (1995)

各個人ごとの_OLS推定量の平均をとる推定量である。 つまり、_ρˆi を

ˆ ρi =

T

X

t=2

y_i²_,t−1

!_{−1 T} X

t=2

y_i,t−1y_it (14)

として、_E(ρi)の推定量を

ˆ ρ = ¹

N

N

X

i=1

ˆ

ρ_i (15)

とする者である。

• ^T → ∞^{が必要。T} が小さいとバイアスが大きい。

• Hsiao, Pesaran and Tahmiscioglu (1999)^{はバイアス問題を解} 決するため、_Bayes型の推定量を提唱した。それでも、 T _{→ ∞}という条件は必要となっている。

同質性の検定

係数が個人ごとに異なるか、すべての個人が同じ係数をもってい るかを検定する方法を紹介する。

• Swamy (1970)

• Pesaran and Yamagata (2008)

• これらの検定が、比較的有名だと思われる。

設定

固定効果モデルを考える。

yit = αi+ x_it^′βi+ ǫit (16) 帰無仮説は、ある_βについて

H₀ : βi = β, _∀i, (17)

である。_βiの次元を_kとする。

ここで紹介する検定は、個人ごとに誤差項の分散が異ってもよい とする。

E(ǫ²_it) = σ_i² (18) と表記する。

基本的な考え方

係数の異質性の検定の基本的な考え方は、個人ごとに推定した係 数と、標本全体で計算した係数を比較することである。

• ^{次の行列を定義する。}

M₀ = IT _{− ι}Tι^′_T/T (19) ただし_ιT は₁を並べた_T 次元のベクトル、を定義する。

• ^{各個人のβ}i ^{のOLS推定量は、}

βˆ_i = X_i^′M₀X_i
⁻¹X_i^′M₀Y_i (20) である。ただし、_{Xi = (xi1}, . . . , xiT)^、Yi = (y_i1, . . . , yiT)^で ある。

表記

• ^{標本全体の}β^{の推定量は、}GLS(厳密には固定効果推定量の 重み付け版である₎を使用する。

βˆGLS =

N

X

i=1

X_i^′M₀X_i ˆ σ_i²

!_{−1 N} X

i=1

X_i^′M₀Y_i ˆ

σ_i^{2 (21)}

• ^{分散推定量の}σˆ²_i ^は

ˆ

σ_i²= ^{(Yi− Xiβˆi)}

′_M

0^(Yi − Xi^βˆi⁾

T_{− k − 1} ⁽²²⁾

として、各個人での_OLSから計算する。

Swamy (1970)

Swamy (1970)^{の検定統計量}:

S =

N

X

i=1

 ˆ_{βi − ˆβGLS}^{′ Xi′M0Xi} ˆ σ_i²

 ˆ_{βi − ˆβGLS}^ ₍₂₃₎

である。

帰無仮説の下で、_Nが固定で、_{T → ∞}のとき、

S _→d χ²_k(N−1) (24)

となる。

Pesaran and Yamagata (2008)

Pesaran and Yamagata (2008)^はN^がT よりもかなり大きくとも 検定が機能するように、_Swamy検定に改良を加えた。

• 現時点での標準的な検定といっても良いと思われる。

• Swamy検定統計量とは、分散の推定法が異なる。

分散の推定

• ^{各個人の分散を}

˜

σ_i²= ^{(Yi− XiβˆFE)}

′_M

0^(Yi− Xi^βˆFE⁾

T _{− 1} ⁽²⁵⁾

と、固定効果推定の残差を使用して計算する。

• GLS^推定量も

β˜_GLS =

N

X

i=1

X_i^′M₀Xi

˜ σ²_i

!_{−1 N} X

i=1

X_i^′M₀Yi

˜

σ²_i ^{, (26)} と_σ˜²_i を使う。

検定統計量

Pesaran-Yamagata^{検定統計量は、}

PY =^√N ^N

−1_{S˜− k}

√2k

!

(27)

ただし、

S˜=

N

X

i=1

 ˆ_{βi − ˜βGLS}^{′ Xi′M0Xi}

˜ σ_i²

 ˆ_{βi − ˜βGLS}^ ₍₂₈₎

N_{, T → ∞}^かつN/T⁴ _{→ 0}のとき、帰無仮説のもとで、

PY _→dN(0, 1) (29)

• なお、この検定は、動学モデルでも使用可能である。ただ し、N_{/T → κ}、0 ≤ κ < ∞^{という条件が必要。}

他の検定

他にも、Pesaran and Yamagata (2008)の検定では扱えない状況 に対処するために、様々な検定法が近年に提唱されている。

• Juhl and Lugovskyy (2014)^では、T が固定されている状況 や、もう少し柔軟に不均一分散を許しても、機能する検定が 提唱されている。

• ^{Lin (2011)}でも同じような状況で使用可能な検定が提唱され

ている。また_{Lin (2011)}は動学モデルの場合も考慮している。

目次

始めに

変量係数モデル _- 平均の分析と同質性の検定 静学モデル

動学モデル

係数の同質性の検定 係数の分布の推定

平均以外の統計量 Deconvolution^法 グループ化

終わりに

係数の分布を推定する ₃ つの方法

• 各個人ごとに計算した統計量の分布を分析する

• Deconvolution^法

• ^{グループ化}

平均以外の統計量

変量係数モデルに関しては、近年も重要な研究がいくつか発表さ れている。

始めに、各個人ごとに推定した係数の統計量を計算する方法を紹 介する。

• Arellano and Bonhomme (2012)は、変量係数の平均分散の識 別推定を議論している。なお、この論文は変量係数の分布も 考えているがそれについては後述。

• Fern´andez-Val and Lee (2013)はモーメント条件で定義され るモデルの変量係数の平均や分散などの推定方法を議論して いる。

• 変量係数モデルとは少し異なるが、動学構造を示す係数の分 布を求める方法をOkui and Yanagi (2015)^{は考案している。}

Arellano and Bonhomme (2012)

先に見た一部の変数の係数が変量係数になっているモデルを考 える。

y_it= w_it^′a_i+ x_it^′β + uit (30) 各_aiの推定量は

ˆ

ai = (W_i^′Wi)⁻¹W_i^′(Yi_{− X}iβ)^ˆ (31) となる。

• 既に平均の推定については紹介したので、ここでは、分散の 推定に焦点を合わせる。

変量係数の分散の推定

ˆ

a_i ^の分散はa_i の分散の一致推定量にはなっておらず₍非線形バイ アス₎、バイアス修正が必要になる。

Var(ˆa_i) = Var (ai) + Var ((W_i^′W_i)⁻¹W_i^′U_i) (32) したがって、

(Var (a\i)) = ¹ N

N

X

i=1

(ˆa_{i− ˆ}µa)(ˆa_{i − ˆ}µa)^′₋Var((W_i^\′W_i)⁻¹W_i^′U_i) (33) として、分散の推定ができる。

しかし、_Var((Wi\^′_Wi)⁻¹_Wi^′_Ui)を推定するためには_Uiの相関構造 に制約が必要である。

分散の推定 _: 誤差項が均一分散の場合

誤差項_Uiが均一分散で系列相関がないなら、

ˆ

σ² = ¹ N_{(T − q)}

N

X

i=1

(Y_{i− Xi}β)^{ˆ ′}M_i(Y_{i− Xi}β)^ˆ (34)

として、

Var((W_i\^′Wi)⁻¹W_i^′Ui) = ˆσ²¹ N

N

X

i=1

(W_i^′Wi)⁻¹ (35)

を使うと良い。

Fernand´ez-Val and Lee (2013)

モーメント条件で定義されるモデルに変量係数が入っている場合

E(g (z_it, θ₀, α_i0)) = 0 (36)

• ^{g は既知の関数}

• θ₀^{は個人間で共通の係数}θ^の真値

• αi0^{は個人間で異なる係数}αi ^の真値

• ^{この論文ではN}, T → ∞の元での推定を考えている。

FE-GMM ^推定

推定は_GMMの様な推定量で行う。

(ˆ_{θ, {ˆ}αi_}^N_i=1) = arg inf

(θ,{αi}^N_i=1) N

X

i=1

ˆ

g_i(θ, αi)^′W_igˆ_i(θ, αi) (37)

ただし、

ˆ

g_i(θ, αi) = ¹ T

T

X

t=1

g(zit, θ, αi) (38)

かつ_Wi は重み付け行列である。

• ^{各個人ごとに}GMMの目的関数を作って、その和を取る形で 目的関数が定義されている。

変量係数のモーメントの推定

αi^{の平均や分散は、}αˆiの平均や分散を取ることで推定できる。例 えば、_αi の平均は

ˆ µ_α = ¹

N

N

X

i=1

ˆ

αi (39)

とする。

• ^{この方法は、N}_{, T → ∞}の漸近理論のもとで一致性をもつ。

• ^{T がN}に比べて非常に大きくない場合には、推定量にバイア スがでるので、バイアス修正が必要となる。

• この論文では、バイアスの式を明示的に導出し、その式を元 にバイアスを_analyticalに推定する方法を提唱している。 Dhaene and Jochmans (2015)のハーフパネルジャックナイフ も使用可能。

Okui and Yanagi (2015)

動学構造が個人ごとに異なる場合に、平均や自己共分散などの分 布を分析する手法である。

設定は、以下の通りである。

• ^まず、αi をある分布から個人ごとの独立に抽出する。

• ^そして、_{yit_}^T_t=1^の値を、αi^{に依存する分布L}_({yit_}^T_t=1; αi) から抽出する。

• µi = E (yit_|αi)が個人ごとに異なる平均になる。 w_it = y_{it− µi} ^とおく。

• γ_k,i = E (witw_i,t−k|αi)^が個人iにとっての自己共分散になる。

個人ごとの平均と自己共分散

まず、個人ごとの平均と自己共分散を計算する。

ˆ

µ_i := ¯y_i := ¹ T

T

X

t=1

y_it,

と

ˆ

γ_k,i := ¹ T _{− k}

T

X

t=k+1

(yit_{− ¯}yi)(y_{i,t−k − ¯}yi).

と定義する。

そして、_µˆi と_γˆk,iの分布を用いて、_µiと_γk,i の分布を推定する。

分布と分位点

分布や分位点の推定量は、_µˆi あるいは_γˆk,iの経験分布から得ら れる。

例えば、_µi の分布は、

F^µ_N^{ˆ(a) := 1} N

N

X

i=1

1(ˆµi _{≤ a),}

として推定する。ただし、 _1(·)は指示関数でありa_{∈ R}である。 また、_µiの_τ 分位点は、

ˆ

q_τ := inf{a : F^muN^ˆ (a) ≥ τ}. として、推定する。

ある関数の期待値

興味のある数量が、_µi あるいは_γk,iの滑らかな関数の期待値とし て書ける場合は、T がそれほど大きくなくとも、バイアスが小さ いことが証明できる。

θi ^をµi^とγ_k,i ^{のベクトルとする。} hを滑らかな関数とする。

H := E (h(θi))^{の推定は、}

Hˆ := ¹ N

N

X

i=1

h(ˆθi).

として出来る。H^ˆは_N/T² _{→ 0}のとき、漸近的にバイアスが ない。

• ^例１：µi ^{の平均の場合は、}h(θi) = µi^。

• ^例２：µi ^とγ_1,i^{の共分散は、}h(θi) = (µiγ_1,i, µi, γ_1,i)^として、 Hˆ^{を推定し、}E(µ_iγ_{1,i) − E (µi})E (γ_1,i)^{の推定量を求める。}

ハーフパネルジャックナイフ

Dhaene and Jochmans (2015)によるハーフパネルジャックナイフ

(HPJ)を使用して、バイアス修正を行う。

T が偶数の場合を考える。₍奇数の場合は論文を参照₎

1. まず、パネルデータを前半と後半の二つのパネルデータに分 ける。_({{yit}^T/2_t=1}^N_i=1と_{{yit}^T

t=T /2+1^}Ni=1⁾

2. H(1)^{ˆ と}H(2)^{ˆ を、それぞれ、}_{{yit_}^T/2_t=1}^N_i=1^あるいは

{{y^it}^T_{t=T /2+1}}^Ni=1を使った推定量とする。 3. HPJ^{推定量は、}

H˜^HPJ = 2 ˆH₋¹

2^{ ˆH(1) + ˆH(2)}

 .

となる。この推定量は、バイアスの最大項を消すことがで きる。

Deconvolution ^法

変量係数の分布を、Deconvolution法を用いて推定する方法が、近 年提唱されている。

• ^T _{→ ∞}の状況では、先に見たように直接的に分布を推定す ることができる。

• ^{しかし、T} が固定の場合は、変量係数の分布を推定するため には、Deconvolution法、あるいはそれを一般化した線形作 用素の逆作用素を取る方法が必要になる。

Deconvolution ^{法の基本的なアイデア}

Deconvolution法の基本的なアイデアを説明するために、次の簡

単な例を考える。

X₁=u + e1 (40)

X₂=u + e₂ (41)

X₁^とX₂の分布は分かっており、_{u, e1 ,e2}は独立に分布し_e1と_e2 は同じ対称な分布を持つとする。

確率変数_uの特性関数を

φ_u(τ ) = E (exp(juτ )) (42) と定義する。ただし_jは虚数単位である。

また_e1と_e2の特性関数を

φe(τ ) = E (exp(je₁τ )) = E (exp(je₂τ )) (43) とする。

Deconvolution ^{法による識別}

X₁^とX₂の分布は分かっているので、その特性関数も分かる。 φ_X(τ ) = E (exp(jX₁τ )) = φu(τ )φe(τ ) (44) また_{X1− X2= e1− e2} の特性関数から_eの特性関数も分かる。

φe(τ ) = (φe(τ )φe(τ ))^1/2 = E (exp(j(e_{1− e2})))^1/2 (45) したがって、

φu(τ ) = ^{φX(τ )}

φ_e(τ ) ⁽⁴⁶⁾

として、_uの特性関数も識別出来る。

• Deconvolution^法はKotlarski (1967)が初期の重要な研究とし てあげられる。その後、数学的にも応用上も大きな進展を遂 げた。

Deconvolution ^推定量

u^やe₁, e₂^{の分布は、}X₁^とX_{1− X2}の特性関数を推定し、それを 逆フーリエ変換することで得られる。

たとえば、_uの密度関数は、 fˆ_u(a) = ¹

2π Z ∞

−∞

K(τ ) exp(−jaτ) ˆ^{φX(τ )/ ˆφe(τ )dτ (47)}

ただし、_{K(τ )}はトリミング関数であり、大きい値の_τ を計算から 除く。

• K(τ )を入れないと、推定はうまく行かない。

• Deconvolution^問題は、ill-posed inverse^{問題を起こす代表的} な例であり、トリミングなどといったregularization^がかなり 重要な役割を果たす。

経済学での応用

• Deconvolution^法は、Horowitz and Markatou (1996)^によって 経済学界で知られるようになったと思われる。かれらは、パ ネルデータへの応用を行っている。

• 近年、多くの分野で使用されるようになった。

• ^{ファクターモデル}: Cunha, Heckman and Schennach (2010) 測定誤差のある変数を含むモデルの分析: Schennach (2007) オークション: Krasnokutskaya (2011)

マッチング₍ミクロ経済学の意味での。学校選択など_): Agarwal and Diamond (2014)

• ^{ここでは、}Deconvolution法を応用による、個人間の異質性 を分析する手法を紹介する。

Arellano and Bonhomme (2012)

先に見た一部の変数の係数が変量係数になっているモデルを考 える。

yit= w_it^′ai+ x_it^′β + uit (48) 各_aiの推定量は

ˆ

ai = (W_i^′Wi)⁻¹W_i^′(Yi_{− X}iβ)^ˆ (49) となる。

ˆ

a_i = ai+ (W_i^′W_i)⁻¹W_i^′U_i (50) という式から、_(Wi^′_Wi)⁻¹_Wi^′_Uiの分布が分かると、_aiの分布が分 かる。

• 実際の方法は論文を参照のこと。

Mavroedis, Sasaki and Welch (2015)

パネル_AR(1)モデルで、変量係数になっている場合の識別と推定

を考察している。

yit = αi+ βiy_i,t−1+ ǫit (51)

ただし、_{ǫit ∼ N(0, σ}²_i) というモデルを考える。

• おそらく、ここで議論されている方法はDeconvolution^法と は呼ばれないだろう。より一般的な線形作用素の逆変換の議 論を用いている。

変量係数からデータへの線形作用素

変量係数の分布_{F(α, β, σ}²_|y1)からデータの分布_F(yT, . . . , y_2|Y1) は、次の線形作用素で表現できる。

L(ξ)(yT, . . . , y₂) (52)

= Z Z Z

ξ(a, b, s)

" s^1−T

T

Y

t=2

φ^{ yt− a − byt−1} s

^#

da_{· db · ds} (53) データの分布F(yT, . . . , y_2|y1)^{は識別できるので、}L作用素の逆 変換をとることができれば変量係数の分布の識別が出来る。

• ^{この論文の本論では、F}(α, β, σ²_|y1)^{が正規分布と仮定し、} local maximum likelihoodでの推定を考えている。_Sieve近似 を用いたnonparameteric^な方法はAppendix^にある。

グループ化

個人を数個のグループにわけて、各グループ内では係数の値は同 じだが、グループが異なると係数の値も異なるというモデル。

• いわゆる構造推定の分野では、広く使われてきた。_Keane and Wolpin (1997)^など。

• 動学的離散選択モデルでは標準的な手法であり、計量経済学 での研究の蓄積も多い。Kasahara and Shimotsu (2009)^など。

• ただし、これまではいわゆる有限混合モデルが中心である。

• ここでは、線型モデルで、機械学習的な手法を使ってグルー プ分けを行う方法を紹介する。

Bonhomme and Manresa (2015)

次の切片が個人ごとにも時間を通じても異なるモデルを考える。

y_it = x_it^′β + α_git+ v_it (54) ただし、全ての個人が異なる切片をもつわけではなく、各個人は G 個あるグループのどれかに属し、グループ内では、同じ切片を 持つものとする。

• これをグループ固定効果(Grouped fixed effects)^と呼ぶ。

• ^いわゆる“kmeans”と呼ばれる手法の拡張になる。

• N/T^ν _{→ 0}^があるv> 0に成り立つとよいという弱い条件の もとで正当化できる。ただし_{T → ∞}は必要。

• 係数がグループ構造を持つモデルもOnline Appendix^で議論 されている。

推定量

推定は_OLSで可能_(STATAコードも存在する₎

( ˆβ, ˆα, ˆγ) = arg min

N

X

i=1 T

X

t=1

(yit_{− xit}^′_{β − α}git)² (55)

ただし、_γは_N個体を_G 個のグループに配分するやり方である。

• ^N, T → ∞^かつN/Tν → 0^{があるv > 0に成り立つ、という} 条件が必要。

• ^{ただし、標準誤差はT} が固定の元で求めた分散の推定量を使 用するとよい。

アルゴリズム

1. β^とα^{の初期値を決める。}(β⁽⁰⁾, α⁽⁰⁾)^とする。s = 0^とおく。 2. ^すべてのiをグループ分けする。

g_i^(s+1)= arg min

g∈{1,...,G } T

X

t=1

(y_{it− xit}^′β^(s)_{− α}^(s)_git)² (56)

3. β^とα^{の値を更新する。}

(β^(s+1), α^(s+1)) = arg min

β,α T

X

t=1

(y_{it− xit}^′_{β − αg}(s+1)

i ^t

)² (57)

• 論文によると、この方法は_{G = 3}までうまくいく。

• ^{しかし、kmeans}法はより速く安定した手法が現在も開発さ

れており、それらを応用することで、グループが多い場合も 計算が可能になる。

Su, Shi and Phillips (2014)

変量係数モデルを考える。

y_it= x_it^′βi+ αi + vit (58) ただし、_βiは個体ごとに異なるが、個体は_G個のグループのどれ かに属するし、グループ内では係数の値は同じとする。

• G ^{個の異なる係数を}(θ₁, . . . , θG)^とする。

• αiは個人ごとに異なってもよい。

CLasso ^推定

固定効果変換を行った変数に次のCLasso (classfier Lasso)^を使用 する。

( ˆβ, ˆθ) = arg min

β,θ

1 NT

N

X

i=1 T

X

t=1

(¨yit_{− ¨xit}^′βi)²+ ^λ N

G

Y

g=1

kβⁱ − θ^gk (59)

• ^λはtuning parameter^。

• L1^{罰則の性質により、}β^ˆi = ˆθg ^があるg ^{について漸近的に確} 率₁で成り立つ。

• ^N, T → ∞^{が必要。T の大きさの条件はλの大きさによる。}

補足

Su, Shi and Phillips (2014)では他にも多くの分析がなされて いる。

• 動学パネルデータモデルの_CLassoによる_GMM推定

• グループの数を情報量基準から選択する方法

• グループの数を検定する方法はLu and Su (2014)^{で紹介され} ている。

目次

始めに

変量係数モデル _- 平均の分析と同質性の検定 静学モデル

動学モデル

係数の同質性の検定 係数の分布の推定

平均以外の統計量 Deconvolution^法 グループ化 終わりに

終わりに

• 個体間の異質性の問題は、これからの経済学の実証分析での 重要な課題であろう。

• このチュートリアルでは、異質性の問題に対処する統計手法 の一つである変量係数モデルのこれまでの研究成果の概観を 行った。

• 前半で紹介した手法は、現時点でも標準的な手法と考えても よいだろう。

• 後半では、最新の研究成果を紹介した。これらの手法は計算 量の問題があるものや理論的にさらに詳細な検討が必要なも のもあるが、今後標準的な手法となる可能性を秘めている。