つの方法

• 各個人ごとに計算した統計量の分布を分析する

• Deconvolution^法

• グループ化

平均以外の統計量

変量係数モデルに関しては、近年も重要な研究がいくつか発表さ れている。

始めに、各個人ごとに推定した係数の統計量を計算する方法を紹 介する。

• Arellano and Bonhomme (2012)は、変量係数の平均分散の識 別推定を議論している。なお、この論文は変量係数の分布も 考えているがそれについては後述。

• Fern´andez-Val and Lee (2013)はモーメント条件で定義され るモデルの変量係数の平均や分散などの推定方法を議論して いる。

• 変量係数モデルとは少し異なるが、動学構造を示す係数の分 布を求める方法をOkui and Yanagi (2015)^{は考案している。}

Arellano and Bonhomme (2012)

先に見た一部の変数の係数が変量係数になっているモデルを考 える。

y_it=w_it^′a_i+x_it^′β+u_it (30) 各a_i^{の推定量は}

ˆ

ai = (W_i^′Wi)⁻¹W_i^′(Yi−Xiβ)ˆ (31) となる。

• 既に平均の推定については紹介したので、ここでは、分散の 推定に焦点を合わせる。

変量係数の分散の推定

ˆ

a_i ^の分散はa_i の分散の一致推定量にはなっておらず(^{非線形バイ} アス)、バイアス修正が必要になる。

Var(ˆa_i) =Var(ai) +Var((W_i^′W_i)⁻¹W_i^′U_i) (32) したがって、

(Var\(ai)) = 1 N

N

X

i=1

(ˆa_i−µˆa)(ˆa_i −µˆa)^′−Var((W_i\^′W_i)⁻¹W_i^′U_i) (33) として、分散の推定ができる。

しかし、Var((W_i\^′Wi)⁻¹W_i^′Ui)^{を推定するためには}Uiの相関構造 に制約が必要である。

分散の推定 : 誤差項が均一分散の場合

誤差項U_iが均一分散で系列相関がないなら、

ˆ

σ² = 1

N(T −q)

N

X

i=1

(Y_i−X_iβˆ)^′M_i(Y_i−X_iβ)ˆ (34)

として、

Var((W_i\^′Wi)⁻¹W_i^′Ui) = ˆσ²1 N

N

X

i=1

(W_i^′Wi)⁻¹ (35)

を使うと良い。

Fernand´ez-Val and Lee (2013)

モーメント条件で定義されるモデルに変量係数が入っている場合

E(g(z_it, θ₀, α_i0)) = 0 (36)

• g は既知の関数

• θ₀^{は個人間で共通の係数}θ^の真値

• αi0は個人間で異なる係数αi の真値

• この論文ではN,T → ∞の元での推定を考えている。

FE-GMM ^推定

推定はGMM^{の様な推定量で行う。}

(ˆθ,{αˆi}^Ni=1) = arg inf

(θ,{αi}^N_i=1) N

X

i=1

ˆ

g_i(θ, αi)^′W_igˆ_i(θ, αi) (37)

ただし、

ˆ

g_i(θ, αi) = 1 T

T

X

t=1

g(zit, θ, αi) (38)

かつW_i は重み付け行列である。

• 各個人ごとにGMMの目的関数を作って、その和を取る形で 目的関数が定義されている。

変量係数のモーメントの推定

αiの平均や分散は、αˆiの平均や分散を取ることで推定できる。例 えば、αi の平均は

ˆ µ_α = 1

N

N

X

i=1

ˆ

αi (39)

とする。

• この方法は、N,T → ∞の漸近理論のもとで一致性をもつ。

• T ^がNに比べて非常に大きくない場合には、推定量にバイア スがでるので、バイアス修正が必要となる。

• この論文では、バイアスの式を明示的に導出し、その式を元 にバイアスをanalyticalに推定する方法を提唱している。

Dhaene and Jochmans (2015)のハーフパネルジャックナイフ も使用可能。

Okui and Yanagi (2015)

動学構造が個人ごとに異なる場合に、平均や自己共分散などの分 布を分析する手法である。

設定は、以下の通りである。

• まず、αi をある分布から個人ごとの独立に抽出する。

• そして、{y_it}^Tt=1の値を、αiに依存する分布L({y_it}^Tt=1;αi) から抽出する。

• µi =E(yit|αi)が個人ごとに異なる平均になる。

w_it =y_it−µ_i ^とおく。

• γ_k,i =E(witw_i,t−k|αi)^が個人iにとっての自己共分散になる。

個人ごとの平均と自己共分散

まず、個人ごとの平均と自己共分散を計算する。

ˆ

µ_i := ¯y_i := 1 T

T

X

t=1

y_it,

と

ˆ

γ_k,i := 1 T −k

T

X

t=k+1

(yit−y¯i)(y_i,t−k −y¯i).

と定義する。

そして、µˆi とγˆ_k,i ^{の分布を用いて、}µiとγ_k,i ^{の分布を推定する。}

分布と分位点

分布や分位点の推定量は、µˆ_i ^あるいはγˆ_k,i^{の経験分布から得ら} れる。

例えば、µi の分布は、

F^µ_N^ˆ(a) := 1 N

N

X

i=1

1(ˆµi ≤a),

として推定する。ただし、 1(·)^{は指示関数であり}a∈R^である。

また、µiのτ ^{分位点は、}

ˆ

q_τ := inf{a:F^muN^ˆ (a)≥τ}. として、推定する。

ある関数の期待値

興味のある数量が、µi あるいはγ_k,i の滑らかな関数の期待値とし て書ける場合は、T がそれほど大きくなくとも、バイアスが小さ いことが証明できる。

θi をµiとγ_k,i ^{のベクトルとする。}

hを滑らかな関数とする。

H :=E(h(θi))^{の推定は、}

Hˆ := 1 N

N

X

i=1

h(ˆθi).

として出来る。HˆはN/T² →0のとき、漸近的にバイアスが ない。

• 例１：µi の平均の場合は、h(θi) =µi。

• 例２：µi とγ_1,i^{の共分散は、}h(θi) = (µiγ_1,i, µi, γ_1,i)^として、

Hˆ^{を推定し、}E(µ_iγ_1,i)−E(µ_i)E(γ_1,i)^{の推定量を求める。}

ハーフパネルジャックナイフ

Dhaene and Jochmans (2015)によるハーフパネルジャックナイフ

(HPJ)を使用して、バイアス修正を行う。

T が偶数の場合を考える。(奇数の場合は論文を参照)

1. まず、パネルデータを前半と後半の二つのパネルデータに分 ける。({{y_it}^T/2t=1}^Ni=1と{{y_it}^T_t=T/2+1}^Ni=1)

2. H(1)ˆ ^とH(2)ˆ ^{を、それぞれ、}{{y_it}^T/2t=1}^Ni=1あるいは

{{yit}^T_t=T/2+1}^Ni=1を使った推定量とする。

3. HPJ^{推定量は、}

H˜^HPJ = 2 ˆH−1 2

H(1) + ˆˆ H(2) .

となる。この推定量は、バイアスの最大項を消すことがで きる。

Deconvolution ^法

変量係数の分布を、Deconvolution法を用いて推定する方法が、近 年提唱されている。

• T → ∞の状況では、先に見たように直接的に分布を推定す ることができる。

• しかし、T が固定の場合は、変量係数の分布を推定するため

には、Deconvolution法、あるいはそれを一般化した線形作

用素の逆作用素を取る方法が必要になる。

Deconvolution ^{法の基本的なアイデア}

Deconvolution法の基本的なアイデアを説明するために、次の簡

単な例を考える。

X₁=u+e₁ (40)

X₂=u+e₂ (41)

X₁^とX₂の分布は分かっており、u,e₁ ,e₂^{は独立に分布し}e₁^とe₂ は同じ対称な分布を持つとする。

確率変数u^{の特性関数を}

φ_u(τ) =E(exp(juτ)) (42) と定義する。ただしj^{は虚数単位である。}

またe₁^とe₂^{の特性関数を}

φe(τ) =E(exp(je₁τ)) =E(exp(je₂τ)) (43) とする。

Deconvolution ^{法による識別}

X₁^とX₂の分布は分かっているので、その特性関数も分かる。

φ_X(τ) =E(exp(jX₁τ)) =φu(τ)φe(τ) (44) またX₁−X₂=e₁−e₂ ^{の特性関数から}e^{の特性関数も分かる。}

φe(τ) = (φe(τ)φe(τ))^1/2 =E(exp(j(e₁−e₂)))^1/2 (45) したがって、

φu(τ) = φX(τ)

φ_e(τ) (46)

として、uの特性関数も識別出来る。

• Deconvolution^法はKotlarski (1967)が初期の重要な研究とし てあげられる。その後、数学的にも応用上も大きな進展を遂 げた。

Deconvolution ^推定量

u^やe₁,e₂^{の分布は、}X₁^とX₁−X₂の特性関数を推定し、それを 逆フーリエ変換することで得られる。

たとえば、u^{の密度関数は、}

fˆ_u(a) = 1 2π

Z ∞

−∞

K(τ) exp(−jaτ) ˆφX(τ)/φˆe(τ)dτ (47) ただし、K(τ)はトリミング関数であり、大きい値のτ ^{を計算から} 除く。

• K(τ)を入れないと、推定はうまく行かない。

• Deconvolution^問題は、ill-posed inverse^{問題を起こす代表的} な例であり、トリミングなどといったregularization^がかなり 重要な役割を果たす。

経済学での応用

• Deconvolution^法は、Horowitz and Markatou (1996)^によって 経済学界で知られるようになったと思われる。かれらは、パ ネルデータへの応用を行っている。

• 近年、多くの分野で使用されるようになった。

• ファクターモデル: Cunha, Heckman and Schennach (2010) 測定誤差のある変数を含むモデルの分析: Schennach (2007) オークション: Krasnokutskaya (2011)

マッチング(ミクロ経済学の意味での。学校選択など):

Agarwal and Diamond (2014)

• ここでは、Deconvolution法を応用による、個人間の異質性 を分析する手法を紹介する。

Arellano and Bonhomme (2012)

先に見た一部の変数の係数が変量係数になっているモデルを考 える。

yit=w_it^′ai+x_it^′β+uit (48) 各aiの推定量は

ˆ

ai = (W_i^′Wi)⁻¹W_i^′(Yi−Xiβ)ˆ (49) となる。

ˆ

a_i =a_i+ (W_i^′W_i)⁻¹W_i^′U_i (50) という式から、(W_i^′Wi)⁻¹W_i^′Uiの分布が分かると、aiの分布が分 かる。

• 実際の方法は論文を参照のこと。

Mavroedis, Sasaki and Welch (2015)

パネルAR(1)モデルで、変量係数になっている場合の識別と推定

を考察している。

yit =αi+βiy_i,t−1+ǫit (51)

ただし、ǫit ∼N(0, σ²_i) というモデルを考える。

• おそらく、ここで議論されている方法はDeconvolution^法と は呼ばれないだろう。より一般的な線形作用素の逆変換の議 論を用いている。

変量係数からデータへの線形作用素

変量係数の分布F(α, β, σ²|y₁)^{からデータの分布}F(y_T, . . . ,y₂|Y₁) は、次の線形作用素で表現できる。

L(ξ)(yT, . . . ,y₂) (52)

= Z Z Z

ξ(a,b,s)

"

s^1−T

T

Y

t=2

φ

yt−a−by_t−1 s

#

da·db·ds

(53) データの分布F(yT, . . . ,y₂|y₁)^{は識別できるので、}L作用素の逆 変換をとることができれば変量係数の分布の識別が出来る。

• この論文の本論では、F(α, β, σ²|y₁)^{が正規分布と仮定し、}

local maximum likelihoodでの推定を考えている。Sieve^近似 を用いたnonparameteric^な方法はAppendix^にある。

グループ化

個人を数個のグループにわけて、各グループ内では係数の値は同 じだが、グループが異なると係数の値も異なるというモデル。

• いわゆる構造推定の分野では、広く使われてきた。Keane and Wolpin (1997)^など。

• 動学的離散選択モデルでは標準的な手法であり、計量経済学 での研究の蓄積も多い。Kasahara and Shimotsu (2009)^など。

• ただし、これまではいわゆる有限混合モデルが中心である。

• ここでは、線型モデルで、機械学習的な手法を使ってグルー プ分けを行う方法を紹介する。

Bonhomme and Manresa (2015)

次の切片が個人ごとにも時間を通じても異なるモデルを考える。

y_it =x_it^′β+α_git+v_it (54) ただし、全ての個人が異なる切片をもつわけではなく、各個人は G 個あるグループのどれかに属し、グループ内では、同じ切片を 持つものとする。

• これをグループ固定効果(Grouped fixed effects)^と呼ぶ。

• いわゆる“kmeans”と呼ばれる手法の拡張になる。

• N/T^ν →0^があるv>0に成り立つとよいという弱い条件の もとで正当化できる。ただしT → ∞^は必要。

• 係数がグループ構造を持つモデルもOnline Appendix^で議論 されている。

推定量

推定はOLS^で可能(STATA^{コードも存在する})

( ˆβ,α,ˆ ˆγ) = arg min

N

X

i=1 T

X

t=1

(yit−x_it^′β−αgit)² (55)

ただし、γ^はN^個体をG 個のグループに配分するやり方である。

• N,T → ∞^かつN/T^ν → 0^があるv >0^{に成り立つ、という} 条件が必要。

• ただし、標準誤差はT が固定の元で求めた分散の推定量を使 用するとよい。

アルゴリズム

1. β^とα^{の初期値を決める。}(β⁽⁰⁾, α⁽⁰⁾)^とする。s = 0^とおく。

2. ^すべてのiをグループ分けする。

g_i^(s+1) = arg min

g∈{1,...,G} T

X

t=1

(y_it−x_it^′β^(s)−α^(s)_git)² (56) 3. β^とα^{の値を更新する。}

(β^(s+1), α^(s+1)) = arg min

β,α T

X

t=1

(y_it−x_it^′β−α_g(s+1)

i t)² (57)

• 論文によると、この方法はG = 3^{までうまくいく。}

• しかし、kmeans法はより速く安定した手法が現在も開発さ れており、それらを応用することで、グループが多い場合も 計算が可能になる。

Su, Shi and Phillips (2014)

変量係数モデルを考える。

y_it=x_it^′βi+αi +v_it (58) ただし、β_iは個体ごとに異なるが、個体はG^{個のグループのどれ} かに属するし、グループ内では係数の値は同じとする。

• G ^{個の異なる係数を}(θ₁, . . . , θG)^とする。

• αiは個人ごとに異なってもよい。

CLasso ^推定

固定効果変換を行った変数に次のCLasso (classfier Lasso)^を使用 する。

( ˆβ,θ) = arg minˆ

β,θ

1 NT

N

X

i=1 T

X

t=1

(¨yit−x¨_it^′βi)²+ λ N

G

Y

g=1

kβi −θgk (59)

• λ^はtuning parameter^。

• L1^{罰則の性質により、}βˆi = ˆθg があるg ^{について漸近的に確} 率1^{で成り立つ。}

• N,T → ∞^が必要。T ^{の大きさの条件は}λ^{の大きさによる。}

補足

Su, Shi and Phillips (2014)では他にも多くの分析がなされて いる。

• 動学パネルデータモデルのCLasso^によるGMM^推定

• グループの数を情報量基準から選択する方法

• グループの数を検定する方法はLu and Su (2014)^{で紹介され} ている。

ドキュメント内 pdf 教育 OKUI, Ryo panel hetero v2 (ページ 31-60)