資料置き場 hustat2017 20171215slide

統計学 第

11

回： 仮説検定

担当者： 高木 真吾

講義資料等は，

http://sites.google.com/site/hustat2017/

質問等は，

stakagi@econ.hokudai.ac.jp

までお願いします．

母集団分布が正規分布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布でないとき

復習

導入：仮説の検証とは

仮説検定

母集団平均 µ に関す る仮説検定

母集団比率 p に関す る仮説検定

解説編

母集団：母集団平均 µX，母集団分散 σ2 X

大きさ n の無作為標本:{X1, X2, . . . , Xn}

標本平均・標本分散

¯

X = 1

n

n

X

i=1

Xi, S_X2 =

1

n ₋ 1

n

X

i=1

母集団分布が正規分布のとき

1. 標本平均について（σ2 をそのまま用いて）

¯

X ₋ µX

p

σ2_/n ∼ N(0,1) (1)

n の大きさにかかわりなく成立する結果

2. 標本平均について（σ2

X を S2 で置き換えると）

¯

X ₋ µX

p

S2_/n ∼ t(n − 1) 自由度 n − 1 のｔ分布 (2)

n の大きさにかかわりなく成立する結果

3. 標本分散について

母集団分布が正規分布でないとき

1. 標本平均について（σ2 をそのまま用いて）

¯

X ₋ µX

p

σ2_/n (4)

厳密にはどのような分布に従うかは分からないが，n が大きければ，中心極限定理

から標準正規分布で近似可能

2. 標本平均について（σ2

X を S2 で置き換えると）

¯

X ₋ µX

p

S2_/n = ¯

X ₋ µX

p

σ_X2 /n · p

σ_X2 /n p

S2_/n (5)

厳密にはどのような分布に従うかは分からないが，n が大きければ，中心極限定理

復習

布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布でないとき

復習

正規母集団

導入：仮説の検証とは

仮説検定

母集団平均 µ に関す る仮説検定

母集団比率 p に関す る仮説検定

正規母集団

母集団分布：正規分布／母集団平均 µX・母集団分散 σ2 X

大きさ n の標本：{X1, X2, . . . , Xn}, Xi ∼ N(µ, σ2)

標本平均，標本分散

¯

X = 1

n

n

X

i=1

Xi, S_X2 =

1

n ₋ 1

n

X

i=1

基準化した標本平均について

¯

X ₋ µX

p

σ_X2 /n ∼ N(0,1)

次のような統計量（確率変数）を考える

Z(k) _{≡ p}X¯ − k

σ_X2 /n (6)

この Z(k) は以下のように書き換えることができる

Z(k) = _pX¯ − k

σ2 /n =

¯

X ₋ µX

p

σ2 /n +

µX − k

p

前提条件 :

¯

X ₋ µX

p

σ_X2 /n ∼ N(0,1)

興味ある統計量 : Z(k) =

¯

X ₋ µX

p

σ_X2 /n +

µX − k

p

σ_X2 /n

1. µ_X = k のとき，Z(k) ∼ N(0,1)

2. µ_X > k のとき，第一項は標準正規分布，第二項は正の値：中心が正の方向へ

3. µ_X < k のとき，第一項は標準正規分布，第二項は負の値：中心が負の方向へ

図解

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z(k) の分布: µ

X=

2 , σ

X 2

=1 , n=10

cbind(y1, y2, y3)

µX=

k

µX>

k ( ex. k=1)

µX<

基準化した標本平均について

¯

X ₋ µX

p

S_X2 /n ∼ t(n − 1)

次のような統計量（確率変数）を考える

T(k) _{≡ p}X¯ − k

S_X2 /n (8)

この T(k) は以下のように書き換えることができる

T(k) = _pX¯ − k

S_X2 /n =

¯

X ₋ µX

p

S_X2 /n +

µX − k

p

前提条件 :

¯

X ₋ µX

p

S_X2 /n ∼ t(n − 1)

興味ある統計量 : T(k) =

¯

X ₋ µX

p

S_X2 /n +

µX − k

p

S_X2 /n

1. µ_X = k のとき，Z(k) ∼ t(n − 1)

2. µ_X > k のとき，第一項はｔ分布，第二項は正の値：中心が正の方向へ

3. µ_X < k のとき，第一項はｔ分布，第二項は負の値：中心が負の方向へ

図解

-5 0 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T(k) の分布: µ

X=

2 , n=10 ( σ

X 2

=1 )

cbind(y1, y2, y3)

µX=

k

µX>

k ( ex. k=1)

µX<

導入：仮説の検証とは

布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布でないとき

復習

導入：仮説の検証とは

仮説の検証

問題１：蛍光灯の 寿命

問題２：蛍光灯の 寿命

仮説検定

母集団平均 µ に関す る仮説検定

仮説の検証

統計調査には誤差が伴う

視聴率 10%％以下なら打ち切り？

例）600 世帯で調査を行う視聴率調査：目標視聴率 10%，調査結果 9.2%：目

標達成ならず？

食品の目方は大丈夫？

例）300g 入りの食品が出荷前に検査を受けた．1000 個を無作為に抜き出し，

重さを量ったところ平均 299g，分散 20g であったとき，この程度は誤差とい

えるか？

どの程度の確信を持って，結論を下せるのか？仮説検定ではこの問題に答える．

統計調査に伴う誤差 or，何か理由があって乖離している?

問題１：蛍光灯の寿命

ある蛍光灯の寿命に関して，設計通りならば定格寿命 6000 時間とされている

また寿命に関して，個々の製品ごとに製造時の異物混入や実験場の不備等で若干寿

命がばらつくものの，寿命の差異はだいたい正規分布に従うとされている．

ここから製品 6 個を抜き出し，寿命について調査をしたところ，

{6005,5930,5940,5930,6000,5970_} （単位：時間）となった． 1. 寿命までの時間の平均値，分散値を求めてください．

2. 6000 時間は持続するとされているので，寿命に関する真の平均（母集団平均）

が 6000 時間であることを仮説として表現するとどうなりますか？

解答１：蛍光灯の寿命

大きさｎの標本 {X1, X2, . . . , Xn} に関して，標本平均・標本分散は以下のように与 えられる

¯

X = 1

n

n

X

i=1

Xi, S2 =

1

n ₋ 1

n

X

i=1

(Xi − X¯)2

解答１（つづき）

：蛍光灯の寿命

1. 問題の観測値 {6005,5930,5940,5930,6000, 5970} を用いて，平均値，分散値を計算 すると，

¯

x = 6005 + · · · + 5970

6 ≈ 5963

s2 = 1

6 ₋ 1{(6005 − 5963)

2 ₊

· · · + (5970 ₋ 5963)2_{} ≈} 1178

となった．

2. 寿命の平均が 6000 時間持続すると考えると，母集団平均 µ を用いて，µ = 6000 と

表現できる．

3. 寿命の平均が 6000 時間持続することが成り立たないので µ 6= 6000 と表現できる．

µ = 6000 と µ 6= 6000，上のデータからは，この二つのうちどちらがもっともらし

問題２：蛍光灯の寿命

改良した蛍光灯の寿命に関して，設計通りならば従来の定格寿命 6000 時間を越える

とされている

また寿命に関して，個々の製品ごとに製造時の異物混入や実験場の不備等で若干寿

命がばらつくものの，寿命の差異はだいたい正規分布に従うとされている．

ここから製品 7 個を抜き出し，寿命について調査をしたところ，

{6010,6000,5980,5990,6000,6040,6100_} （単位：時間）となった． 1. 寿命までの時間の平均値，分散値を求めてください．

2. 6000 時間は持続するとされているので，寿命に関する真の平均（母集団平均）

が 6000 時間であることを仮説として表現するとどうなりますか？

解答２：改良した蛍光灯の寿命

大きさｎの標本 {X1, X2, . . . , Xn} に関して，標本平均・標本分散は以下のように与 えられる

¯

X = 1

n

n

X

i=1

Xi, S2 =

1

n ₋ 1

n

X

i=1

(Xi − X¯)2

解答２：改良した蛍光灯の寿命

1. 問題の観測値 {6010,6000,5980,5990,6000,6040,6100} を用いて，平均値，分散値 を計算すると，

¯

x = 6010 + · · · + 6100

7 ≈ 6017

s2 = 1

7 ₋ 1{(6010 − 6017)

2 ₊

· · · + (6100 ₋ 6017)2_{} ≈} 1690

となった．

2. 寿命の平均が 6000 時間持続すると考えると，母集団平均 µ を用いて，µ = 6000 と

表現できる．

3. 改良した製品の寿命の平均は 6000 時間以上持続すると考えられているので

µ > 6000 と表現できる．

µ = 6000 と µ > 6000，上のデータからは，この二つのうちどちらがもっともらし

仮説検定

布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布でないとき

復習

導入：仮説の検証とは

仮説検定

検定の手順

検定の手順

母集団平均 µ に関す る仮説検定

母集団比率 p に関す る仮説検定

仮説検定

仮説検定とは

帰無仮説（問題１では，µ = 6000）

対立仮説（問題１では，µ 6= 6000）

の二つをデータから判断してどちらがもっともらしいかを見る方法である

具体的には，『帰無仮説が正しい』という仮説を棄却するか，しないかで判断する

『帰無仮説が正しい』という仮説を棄却：対立仮説の方がもっともらしい

『帰無仮説が正しい』という仮説を棄却できない：帰無仮説の方がもっともら

検定の手順

考え方：

二

======

つ

======

の

======

仮

======

説

======

からどちらが妥当かを判断

帰無仮説と対立仮説

一方の仮説が正しいと想定し， 統

˜˜˜˜˜

計

˜˜˜˜˜

量

˜˜˜˜˜

の分布を考える

帰無仮説が正しいと想定，

その統計量が，あ

∼ ∼

る

∼ ∼

低

∼ ∼

い

∼ ∼

確

∼ ∼

率

∼ ∼

以下でしか起きないはずのことが観測

→

最初の想定がおかしい

帰無仮説が正しいきには起きないと思われることが起きた＝対立仮説

検定の手順

1 二つの仮説を立てる（帰無仮説 H0 と対立仮説 H1） 2 有意水準を定める

上記，太破線の低い確率＝有意水準（通常，５％か１％）

帰無仮説が正しいときには，マレ（5%程度の確率）にしか起きない領域が棄却

域（後述）

仮説検定では，「帰無仮説が正しいとしても，非常に小さい確率で発生するかも

しれないが，普通は対立仮説が正しいから起きるような自体」がおきたら帰無

仮説を棄てて，対立仮説を採用するという考え方

3 検定統計量を定める（上記，破線）

標本から構成できる量（未知の母数を含まない）

検定の手順

4 棄却域を決める（棄却のためのルール：検定統計量の実現値がこの領域に入ること）

棄却域とは，帰無仮説が正しいとき検定統計量の実現値が出にくく，対立仮説

が正しいときには実現しやすい領域となるように選ぶ

帰無仮説が正しいとき，この領域で実現する確率は有意水準となるようにして

設定する

5 検定統計量の値が棄却域に含まれるかどうかをみる

棄却域に含まれるとき，帰無仮説を棄てる

仮説検定における二種類の誤りと望ましい検定

第一種の過誤（Type I Error）：帰無仮説が正しいのに，帰無仮説を捨てる誤り

第一種の過誤の発生確率：帰無仮説が正しいとき，検定統計量の値が棄却域に入

る確率

第二種の過誤（Type II Error）：帰無仮説が正しくないのに，帰無仮説を捨てない誤り

第二種の過誤の発生確率：対立仮説が正しいとき，検定統計量の値が棄却域に入

らない確率

検出力（Statistical Power）：帰無仮説が正しくないとき，帰無仮説を棄却する確率

１− 第二種の過誤の発生確率：対立仮説が正しいとき，検定統計量の値が棄却域

望ましい検定（の一つ）

なるべく検出力が高い

第一種の過誤はあまり大きくない

望ましい検定の作り方

第一種の過誤を小さい値に固定して，棄却域を選ぶ

例：コインが公平？

帰無仮説：コインが公平（p = 1/2）／ 対立仮説：コインは公平でない（ここでは，

p = 1/5 とする）

判定基準：コインを５回投げて，そのうち 表が１回以下 ならこのコインが公平でな

いと判断

Type I Error：

Pr[Y _≤ 1_|p = 1/2] =5 C0

1 2 0 1 2

5−0

+5 C1

1 2 1 1 2

5−1

= 0.1875

Type II Error：

Pr[Y _≥ 2_|p = 1/5] =5 C2

1 5 2 4 5

5−2

+_{· · ·}+5C5

1 5 5 4 5

5−5

= 0.26272

例：コインが公平？

帰無仮説：コインが公平（p = 1/2）／ 対立仮説：コインは公平でない（p = 1/5）

判定基準：コインを５回投げて，そのうち 表が４回以上 ならこのコインが公平でな

いと判断

Type I Error：

Pr[Y _≥ 4_|p = 1/2] =5 C4

1 2 4 1 2

5−4

+5 C5

1 2 5 1 2

5−5

= 0.1875

Type II Error：

Pr[Y _≤ 3_|p = 1/5] =5 C0

1 5 0 4 5

5−0

+_{· · ·}+5C3

1 5 3 4 5

5−3

= 0.99328

例：コインが公平？

帰無仮説：コインが公平（p = 1/2）／ 対立仮説：コインは公平でない（p = 1/5）

判定基準：コインを５回投げて，そのうち 表が２回以下 ならこのコインが公平でな

いと判断

Type I Error：

Pr[Y _≤ 2_|p = 1/2] =5 C0

1 2 0 1 2

5−0

+5C1

1 2 1 1 2

5−1

+5C2

1 2 1 1 2

5−2

= 0.5

Type II Error：

Pr[Y _≥ 3_|p = 1/5] =5 C3

1 5 3 4 5

5−3

+5C4

1 5 4 4 5

5−4

+5C5

1 5 5 4 5

5−5

= 0.05792

検出力： Pr[Y ≤ 2|p = 1/5] = 1 − 0.05792 = 0.94208

母集団平均

µ

に関する仮説検定

布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布でないとき

復習

導入：仮説の検証とは

仮説検定

母集団平均 µ に関す る仮説検定

問題２（つづき）

H0 : µ = µ0,

H1 : µ > µ0 のタ イプ

問題２：図解

問題２（つづき）

H0 : µ = µ0,

H1 : µ > µ0 のタ イプ

問題２：図解（自由 度n− 1 =

7₋1 = 6） 問題１（つづき）

H0 : µ = µ0,

H1 : µ 6= µ0 のタ イプ

問題１：図解

問題１（つづき）

のタ イプ

問題１：図解（自由 度

）

練習問題 ：内容量 検査：

のタ イプ

練習問題 解答： 内容量検査

練習問題 ：図解 （自由度が大きいと

きは正規分布と 同じ）

練習問題 解答： 内容量検査

問題２（つづき）

H

:

µ

=

µ

,

H

:

µ > µ

のタイプ

問題２を用いて，改良した蛍光灯の寿命が平均的に 6000 時間を越えるかどうかの検定

を行う

1 帰無仮説 H0 : µ = 6000 ／ 対立仮説 H1 : µ > 6000

2 有意水準は５％とする

3 検定統計量として T =

¯

X_√−6000

S2_/n

を考える．

この T は H0 : µ = 6000 が正しいとき，T =

¯

X−µ

√

S2_/n

となって（9）式より，自由

度 n − 1 = 7 − 1 = 6 のｔ分布に従う．

この T は H1 : µ > 6000 が正しいとき，本当の母集団平均が 6000 より大きいの

で T =

¯

X√−6000

問題２：図解

-4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

t : Pr[ T > t ] = 0.05

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ > µ

0

H

1

が正しい：µ >> µ

0

H

1

が正しい：µ >>> µ

0

0.2

0.3

問題２（つづき）

H

:

µ

=

µ

,

H

:

µ > µ

のタイプ

問題２を用いて，改良した蛍光灯の寿命が平均的に 6000 時間を越えるかどうかの検定

を行う

4 棄却域は図より，有意水準を５％とすると [1.943,∞] となる．

5 検定統計量の値は以下のように 1.19 なので棄却域に含まれていない．

t = x¯_p− 6000

s2_/n =

6017.14 ₋ 6000

p

1690.48/7 = 1.10

したがって帰無仮説 H0 : µ = 6000 は棄却されないので，新製品の寿命が延びたと

問題２：図解（自由度

n

−

1 = 7

−

1 = 6

）

-4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

t = 1.943

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ > µ

0

H

1

が正しい：µ >> µ

0

H

1

が正しい：µ >>> µ

0

0.2

0.3

問題１（つづき）

H

:

µ

=

µ

,

H

:

µ

6

=

µ

のタイプ

問題１を用いて，蛍光灯の寿命が平均的に 6000 時間かどうかの検定を行う

1 帰無仮説 H0 : µ = 6000 ／ 対立仮説 H1 : µ 6= 6000

2 有意水準は５％とする

3 検定統計量として T =

¯

X_√−6000

S2_/n を考える．

この T は H0 : µ = 6000 が正しいとき，T =

¯

X−µ

√

S2_/n

となって（9）式より，自由

度 n − 1 = 6 − 1 = 5 のｔ分布に従う．

この T は H1 : µ 6= 6000 が正しいとき，本当の母集団平均が 6000 より大きい，

あるいは小さいので T =

¯

X√−6000

S2_/n は０から離れる値をとりやすい傾向（（9）式

問題１：図解

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x H

0:µ = µ0

が正しい

t: Pr[T>t]=0.025 t: Pr[T<t]=0.025 0.2 0.3 0.4 H 1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ > µ

0

H

1

が正しい：µ >> µ

0

0.2

0.3

問題１（つづき）

H

:

µ

=

µ

,

H

:

µ

6

=

µ

のタイプ

問題１を用いて，蛍光灯の寿命が平均的に 6000 時間かどうかの検定を行う

4 棄却域は図より，有意水準を５％とすると [∞, −2.571,] あるいは [2.571,∞] となる．

5 検定統計量の値は以下のように -2.68 なので棄却域に含まれている．

t = x¯_p− 6000

s2_/n =

5962.50 ₋ 6000

p

1177.50/6 = −2.68

したがって帰無仮説 H0 : µ = 6000 は棄却されるので，この製品の寿命が 6000 時間

問題１：図解（自由度

n

−

1 = 6

−

1 = 5

）

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x H

0:µ = µ0

が正しい

Pr[T>2.571]=0.025 Pr[T<-2.571]=0.025 0.2 0.3 0.4 H 1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ > µ

0

H

1

が正しい：µ >> µ

0

0.2

0.3

練習問題

A

：内容量検査：

H

:

µ

=

µ

,

H

:

µ < µ

のタ

イプ

300g 入りの食品が出荷前に検査を受けた．

1000 個を無作為に抜き出し，重さを量って検査を行った

平均値 299g，分散値 20 であったとき，この程度は誤差といえるか？

1. 真の平均を µ としてこの問題にふさわしい帰無仮説と対立仮説を立ててくだ

さい．

2. その上で，有意水準５％で検定を行ってください

ヒント）本当に知りたいことは「真の（内容量の）平均が 300 であるかどうか」で

練習問題

A

解答：内容量検査

問題の設定より n = 1000，x¯ = 299，s2 = 20 である．

1 帰無仮説 H0 : µ = 300 ／ 対立仮説 H1 : µ < 300 （300g 以上なら消費者に損は

ない）

2 有意水準は５％とする

3 検定統計量として T =

¯

X₋300

√

S2_/n

を考える．

この T は H0 : µ = 300 が正しいとき，T =

¯

X−µ

√

S2_/n

となって（9）式より，自由

度 n − 1 = 999 のｔ分布に従う

1

．

この T は H1 : µ < 300 が正しいとき，本当の母集団平均が 300 より小さいので

T = √X¯−300

練習問題

A

：図解（自由度が大きいときは正規分布と同じ）

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

z = -1.64

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ <<< µ

0

0.2

0.3

練習問題

A

解答：内容量検査

問題の設定より n = 1000，x¯ = 299，s2 = 20 である．

4 棄却域は図より，有意水準を５％とすると [∞, −1.64] となる（ｎが大きいとき，表 の下段を利用）．

5 検定統計量の値は以下のように-7.071 なので棄却域に含まれている．

t = x¯_p− 300

s2_/n =

299 ₋ 300

p

20/1000 = −7.071

したがって帰無仮説 H0 : µ = 300 は棄却されるので，傾向的にはほんのわずかに少

ないだけのように見えるが，1000 個も調べてこの結果であれば統計的には強く 300g

練習問題

A

：図解（自由度が大きいときは正規分布と同じ）

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

z = -1.64

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ <<< µ

0

0.2

0.3

母集団比率

p

に関する仮説検定

布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布でないとき

復習

導入：仮説の検証とは

仮説検定

母集団平均 µ に関す る仮説検定

母集団比率 p に関す る仮説検定

問題３：視聴率の 問題

問題３解答：視聴率 の問題 ／

H0 : p = p0，

H1 : p < p0のタ イプ

問題３解答：視聴率 の問題：図解

問題３解答：視聴率 の問題 ／

H0 : p = p0，

H1 : p < p0のタ イプ

練習問題 ：視聴率 の問題

練習問題 解答：

問題３：視聴率の問題

600 人にある番組を見たかどうかを尋ねたところ，55 人が「見た」と回答した

真の視聴率が 10 ％未満であると打ち切りの問題が出るので，統計的に 10 ％とみな

せるのか，それとも 10 ％未満とみなすべきなのかが知りたい

上の問題を有意水準５％で検定してください

ヒント）真の視聴率（母集団比率）が p であるとき，近似的に次の結果が成り立つ

Z = _p X¯ − p

p(1 ₋ p)/n ∼ N(0,1),

¯

X は１（「見た」）となる割合

問題３解答：視聴率の問題 ／

H

:

p

=

p

，

H

:

p < p

の

タイプ

問題の設定より n = 600，x¯ = 55/600 = 0.0917 である． 1 帰無仮説 H0 : p = 0.10 ／ 対立仮説 H1 : p < 0.10

2 有意水準は５％とする

3 検定統計量として Z =

¯

X₋0.10

√

0.10·(1−0.10)/n

を考える．

この Z は H0 : p = 0.10 が正しいとき，Z =

¯

X−p

√

p(1−p)/n

となって（10）式より，

標準正規分布に従う（p = 0.10 が成り立っていているので（10）式と比較する）

2

この Z は H1 : p < 0.10 が正しいとき，本当の母集団比率が 0.10 より小さいの

で Z =

¯

X−0.10

√

問題３解答：視聴率の問題：図解

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

z = -1.64

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ <<< µ

0

0.2

0.3

問題３解答：視聴率の問題 ／

H

:

p

=

p

，

H

:

p < p

の

タイプ

問題の設定より n = 600，x¯ = 55/600 = 0.0917 である．

4 棄却域は図より，有意水準を５％とすると [∞, −1.64] となる（ｎが大きいとき，表 の下段を利用）．

5 検定統計量の値は以下のように-0.680 なので棄却域に含まれていない．

z = _p x¯ − 0.10

0.10 _· (1 ₋ 0.10)/600 =

0.0917 ₋ 0.10

p

0.1 _· 0.9/600 = −0.6804

練習問題

B

：視聴率の問題

先ほどの調査が 6000 人について行われたとすればどうなるか？

つまり，6000 人にある番組を見たかどうかを尋ねたところ，550 人が「見た」と回

答した

真の視聴率が 10 ％未満であると打ち切りの問題が出るので，統計的に 10 ％とみな

せるのか，それとも 10 ％未満とみなすべきなのかが知りたい

練習問題

B

解答：視聴率の問題

問題の設定より n = 6000，x¯ = 550/6000 = 0.0917 である． 1 帰無仮説 H0 : p = 0.10 ／ 対立仮説 H1 : p < 0.10

2 有意水準は５％とする

3 検定統計量として Z =

¯

X₋0.10

√

0.10·(1−0.10)/n

を考える．

この Z は H0 : p = 0.10 が正しいとき，Z =

¯

X−p

√

p(1−p)/n

となって（10）式より，

標準正規分布に従う（p = 0.10 が成り立っていているので（10）式と比較する）

この Z は H1 : p < 0.10 が正しいとき，本当の母集団比率が 0.10 より小さいの

で Z =

¯

X−0.10

√

0.10_·(1₋0.10)/n は非常に小さい負値をとりやすい傾向がある

練習問題

B

解答：視聴率の問題：図解

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

z = -1.64

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ <<< µ

0

0.2

0.3

練習問題

B

解答：視聴率の問題

問題の設定より n = 6000，x¯ = 550/6000 = 0.0917 である．

4 棄却域は図より，有意水準を５％とすると [∞, −1.64] となる（ｎが大きいとき，表 の下段を利用）．

5 検定統計量の値は以下のように-2.15 なので棄却域に含まれる．

z = _p x¯ − 0.10

0.10 _· (1 ₋ 0.10)/6000 =

0.0917 ₋ 0.10

p

0.1 _· 0.9/6000 = −2.1517

したがって帰無仮説 H0 : p = 0.10 は棄却され，この調査結果からは視聴率が 10

本日の演習問題１

以下の問いについて，「帰無仮説・対立仮説」「有意水準」「検定統計量」「棄却域」を明

示的に用いて仮説検定を行って下さい．

練習問題 A について，100 個の無作為抜き取りについて，平均値が 299g，分散値が 20g であったとき，内容量の平均は 300g と主張できるか

練習問題 B について，2000 人の無作為調査を行い，188 人が視聴していたとすると，

解説編

布のとき

母集団分布が正規分 布のとき

母集団分布が正規分 布でないとき

復習

導入：仮説の検証とは

仮説検定

母集団平均 µ に関す る仮説検定

母集団比率 p に関す る仮説検定

解説編

宿題問題 A：内容量 検査：

H0 : µ = µ0,

H1 : µ < µ0 のタ イプ

練習問題 A 解答： 内容量検査

練習問題 A：図解 （自由度が大きいと

きは正規分布と 同じ）

練習問題 A 解答： 内容量検査

練習問題 ：図解 （自由度が大きいと

宿題問題

A

：内容量検査：

H

:

µ

=

µ

,

H

:

µ < µ

のタ

イプ

300g 入りの食品が出荷前に検査を受けた．

100 個を無作為に抜き出し，重さを量って検査を行った

平均値 299g，分散値 20 であったとき，この程度は誤差といえるか？

1. 真の平均を µ としてこの問題にふさわしい帰無仮説と対立仮説を立ててくだ

さい．

2. その上で，有意水準５％で検定を行ってください

ヒント）本当に知りたいことは「真の（内容量の）平均が 300 であるかどうか」で

練習問題

A

解答：内容量検査

問題の設定より n = 100，x¯ = 299，s2 = 20 である．

1 帰無仮説 H0 : µ = 300 ／ 対立仮説 H1 : µ < 300 （300g 以上なら消費者に損は

ない）

2 有意水準は５％とする

3 検定統計量として T =

¯

X₋300

√

S2_/n

を考える．

この T は H0 : µ = 300 が正しいとき，T =

¯

X−µ

√

S2_/n

となって（9）式より，自由

度 n − 1 = 99 のｔ分布に従う

4

．

この T は H1 : µ < 300 が正しいとき，本当の母集団平均が 300 より小さいので

T = √X¯−300

練習問題

A

：図解（自由度が大きいときは正規分布と同じ）

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

z = -1.64

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ <<< µ

0

0.2

0.3

練習問題

A

解答：内容量検査

問題の設定より n = 100，x¯ = 299，s2 = 20 である．

4 棄却域は図より，有意水準を５％とすると [−∞,−1.64] となる（ｎが大きいとき， 表の下段を利用）．

5 検定統計量の値は以下のように-2.236 なので棄却域に含まれている．

t = x¯_p− 300

s2_/n =

299 ₋ 300

p

20/100 = −2.236

したがって帰無仮説 H0 : µ = 300 は棄却されるので，傾向的にはほんのわずかに少

ないだけのように見えるが，100 個を調べてこの結果であれば統計的には 300g 以下

練習問題

A

：図解（自由度が大きいときは正規分布と同じ）

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

z = -1.64

0.1

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ <<< µ

0

0.1

0.2

0.3

宿題問題

B

解答：視聴率の問題

問題の設定より n = 2000，x¯ = 188/2000 = 0.094 である． 1 帰無仮説 H0 : p = 0.10 ／ 対立仮説 H1 : p < 0.10

2 有意水準は５％とする

3 検定統計量として Z =

¯

X₋0.10

√

0.10·(1−0.10)/n

を考える．

この Z は H0 : p = 0.10 が正しいとき，Z =

¯

X−p

√

p(1−p)/n

となって（10）式より，

標準正規分布に従う（p = 0.10 が成り立っていているので（10）式と比較する）

この Z は H1 : p < 0.10 が正しいとき，本当の母集団比率が 0.10 より小さいの

で Z =

¯

X−0.10

√

0.10_·(1₋0.10)/n は非常に小さい負値をとりやすい傾向がある

練習問題

B

解答：視聴率の問題：図解

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

H

0:µ = µ0

が正しい

z = -1.64

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：µ < µ

0

H

1

が正しい：µ << µ

0

H

1

が正しい：µ <<< µ

0

0.2

0.3

問題

B

解答：視聴率の問題

問題の設定より n = 6000，x¯ = 550/6000 = 0.0917 である．

4 棄却域は図より，有意水準を５％とすると [−∞,−1.64] となる（ｎが大きいとき， 表の下段を利用）．

5 検定統計量の値は以下のように-2.15 なので棄却域に含まれない．

z = _p x¯ − 0.10

0.10 _· (1 ₋ 0.10)/2000 =

0.094 ₋ 0.10

p

0.1 _· 0.9/2000 = −0.8944272

したがって帰無仮説 H0 : p = 0.10 は棄却されず，この調査結果からは視聴率が 10