システム工学基礎 2011 講義情報 2

2011年度 工学部 システム創成学科

システム工学基礎

８回目：2011年12月 5日

担 当：青山 和浩

[email protected] 東京大学大学院 工学系研究科 システム創成学専攻 技術経営戦略学専攻（兼任）

（工学部 システム創成学科 知能社会システムコース 担当） http://www.msel.t.u-tokyo.ac.jp/

不確かさ・あいまいさと評価

ファジィの概要：ファジィ集合，ファジィ数 ファジィ測度，積分を利用した総合比較

ファジィの概要：

ファジィ集合，ファジィ数

社会科学とファジー理論

!  現代は情報の時代である

"  自然科学：ほぼ正確かつ客観的な情報を扱う

"  社会・人文科学：数値として表現されていなもの

やあいまいさを含む情報を扱う

あいまいさを含む情報の処理が

社会科学では求められる

人間の主観や言葉のもつあいまいさを扱う

ファジィ理論が必要

Fuzzy logic：ファジィ論理

!  1965年 カリフォルニア大学バークレー校

のロトフィ・ザデー（L. A. Zadeh）が生み

出す．

!  _{ファジィの語源}

"  fuzz (n)：うぶ毛，綿毛

"  fuzzy (a)：けばだった，ぼやけた

"  うぶ毛のようにふわふわして境界がはっきりしな

い

!  _{ファジィ論理の応用}

ファジィ概念とクリスプ概念

!  _{クリスプ概念}

"  概念の境界がはっきりしていて，あいまいさのな

い概念をクリスプ概念という

"  例： 満20歳以上である   

!  _{ファジィ概念}

"  概念の境界がはっきりしていない概念をファジィ

概念という

"  _{例： 大人になる}

!  我々は日常的にはファジィ概念を使用すること

が多い

! 20

x

ファジィ概念とクリスプ概念の関係

!  ファジィ概念とクリスプ概念が対応しているも

のもある

ファジィ概念 クリスプ概念

--- ^{人間である}

大人である 満２０歳以上である 背が高い 身長１７５㎝以上である

美しい _---

おいしい _---

! 対応するクリスプ概念があるファジィ概念

" 数値による比較が可能

メンバーシップ関数

!  _{ファジィ集合を表す関} 数

"  _例：老人

!  70以上で１（老人）

!  50から70の間がファ ジィ

!  _定義

"  対象ｘが集合Aにあては

まる度合いをμとする

"  このμを表す関数がメン

バーシップ関数となる    

メンバーシップ関数

メンバーシップ関数の導出

!  メンバーシップ関数について

"  与えられたファジィ集合を表すメンバーシップ関

数の一般的な決定方法はない

"  標準的なメンバーシップ関数といえるものはない

!  _{グレード値}

"  μの大小が大小の順序関係を表す。

"  客観的部分＋主観的部分

理由

メンバーシップのグレード（値）は，何かの何かに対 する割合を表しているのではない。

グレードは個人の主観によって決まる。

ファジィ集合

!  ある要素が，ある集合に所属している度合いを

０と１との間の１つの数値として表すという考

えに基づいて定義される集合

"  例えば，完全に属している場合に１，完全に属し

ていない場合に０，属している度合いに従ってそ の中間の値を与えるという考えで集合を生成

!  メンバーシップ関数によって定義される集合

!  従来の集合はクリスプ集合と呼ばれる．

"  ある要素がある集合に属している場合は１，属し

ていない場合は０のいずれかのみ

ファジィ演算

!  _公式

"  基本的に論理演算と同じ

!  _否定

"  Not A = B のとき，メンバーシップ関数のグ

レード値が ^B _=1!

_µ

_{( )}

B A

B A

A B

A B

A

X X

A A X

A A A

A

C B

A C

B A

C B

A C

B A

A B

B A

A B

B A

A A

A A A

A

! =

! =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

!

"

!

"

!

"

!

!

!

!

"

"

"

"

!

!

"

"

!

"

ならば ならば

, ,

,

) (

) (

, )

( )

(

, ,

,

"

"

"

ファジィ演算

!  _任意の

^x

"  A = B （AとBは等しい）

!         のとき

"  A⊆B（AはBに含まれる）

!  C＝A∩Bのとき（AでありBである）

!  C=A∪Bのとき（AまたはBである）  

( ) ^x

( ) ^x

A

^µ

µ =

( ) ^x

( ) ^x

A

µ

µ ^!

µ_C

_{( )}

_{( )}

_{( )}

_{( )}

_{( )}

µ_C

_{( )}

_{( )}

_{( )}

_{( )}

_{( )}

補集合，和集合，積集合

( )^x A( )^x B( )^x A( )^x B( )^x

C ^{µ µ µ µ}

µ = Min{ , }= ^!

( )^x A( )^x B( )^x A( )^x B( )^x

C ^{µ µ µ µ}

µ = Max{ , }= ^!

( )

B ₌₁^!

µ

ファジィ数の定義

!  ファジィ集合の定義は，一般の数の定義にも表

現可能

"  _{「６ぐらい」＝}

0.3/4+0.7/5+1.0/6+0.7/7+0.3/8

"  _{参考「６」=…}

+0.0/4+0.0/5+1.0/6+0.0/7+0.0/8+…

!  実数直線上の，次の性質をもつファジィ概念 A＝ aぐ らい をファジィ数という

"  例：予算＝1万円ぐらい，など

"  メンバーシップ関数について         を満たす。

"  aから両側に離れるにつれて，グレードは小さくなる。（凸

性）

( ) ^{a =} ₁

µ

ファジィ数の大小関係

!  _大小関係

!  こういう場合は大小関係が決まらない。

( ) ( )

( ) ( )

であると定める．

が存在するとき， 以下を満たす

であり， について

ファジィ数

B A

C X

x x

C X

x x

C

a a

B A

B A

B A

A B

!

"

!

"

, , ,

µ µ

µ µ

aB

aA

c

A B

aB

aA

B A

ファジィ数と通常の数との比較

!  _{通常の数との比較}

( )

数と呼ぶ． のときは負のファジィ

， のとき正のファジィ数

となる． は

である．また，逆の時 に限るとき，

より大きい時は， つまりグレードが

の時，

0 0

0 0

!

"

!

"

"

=

A A

A A

A

a a

a a

a a

a x

x a

x _µ

ファジィ数の演算

!  およそ20万円の品物とおよそ30万円の品物

を購入したら合計金額はいくらか？

!  およそ50kgに耐えられる台に，だいたい

20kgの荷物とだいたい30kgの荷物とを一

緒に載せたいが，大丈夫か？

!  ファジィ数の和は，どのようなメンバーシップ

関数で表現されるファジィ数になるのか？

ファジィ数の演算（足し算）

!  以下のファジィ数A，Bの和はどんなファジィ数になるか？

!  グレードが正になるのは９（＝６＋３）から１８（＝１０＋ ８）まで

!  例えば和が１２となる組み合わせは（９，３），（８，４），

（７，５），（６，６）

!  （９，３）のときは，０.７∧０.３＝０.３

!  同様に以下０.７，０.８，０.３となる和が１２となるには上記 の4通りのうちどれかでいいので，

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

A
0.0
0.3
0.8
1.0
0.7
0.3
0.0

B
0.0
0.3
0.7
1.0
0.8
0.5
0.2
0.0

8

.

0

3

.

0

8

.

0

7

.

0

3

.

0 _{! ! ! =}

ファジィ数の演算（足し算）

!  _{一般に，ファジィ数} ^A _， ^B が      

で表されているとき， ^z=x+y が    に

属しているメンバーシップのグレードは，

z=x+y となるようなすべての ^{( x, y )} の組

み合わせについて        を求め，

それらのなかで最大値であると定める。

( ) ^x

( ) ^y

A

^µ

µ ^および

( ) ^x

( ) ^y

A

^µ

µ ^!

A _! B

8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
A+B
0.0
0.3
0.3
0.7
0.8
1.0
0.8
0.7
0.5
0.3
0.2
0.0

ファジィ数の演算（足し算）

ファジィ数の演算（引き算）

!  足し算のときと同様に計算する。

!  ファジィ数の差のときは，通常の数の差ではお

こらないことがおこる。

-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A-B
0.0
0.2
0.3
0.5
0.8
0.8
1.0
0.7
0.7
0.3
0.3
0.0

A

B

A B

A

A

!

"

#

!

"

)

(

0

ファジィ数の演算（引き算）

ファジィ数の足し算，引き算

ファジィ数と数の積，商

設問１

28
30
32

0.5
1.0
0.5

8
10
12

0.8
1.0
0.2

13
15
22

0.5
1.0
0.4

A B ^C D

10分くらい 15分くらい 10分くらい

30分くらい

!  どちらのルートを選択すべきか？

"  ルートⅠ（A→B→C→D）

"  ルートⅡ（A→B→D）

8
10
12

0.2
1.0
0.8

ファジィ関係

!  人間関係や物の類似関係などあいまいな関係をあつかう

!  _反射律

"  ファジィ関係Rは次の式を満たすとき反射的という

"  例：似ているなど

!  _対称律

"  ファジィ関係Rは次の式を満たすとき対称的という

"  例：似ているなど

!  _推移律

"  ファジィ関係では推移律は簡単ではない。

"  クリスプ関係では成り立つ

!  例：AよりBが優秀。BよりCが優秀。よってAよりCが優秀。

"  ファジィ関係では特定の3者だけで成り立つのは不十分。別の第3者

を経由することで成立しない可能性がある。

(

)

µR

(

)

(

)

R ^{, µ ,}

µ =

ファジィ行列

!  ファジィ行列は，ファジィ関係を行列表現した

もの

!  _例：

"  新入社員（U,V,W）と上司（X,Y,Z）の信頼関係

ファジィ行列の演算（和と積，行列積）

例題：

ファジィ行列を用いた演算

!  新入社員（U,V,W）と上司（X,Y,Z）の信頼

関係

!  上司（X,Y,Z）の趣味Ｒ（麻雀，ゴルフ）

!  新入社員の趣味は何に変わるか？

ファジィグラフ

!  一般的にグラフは有向・無向に関わらず連結している か，していないか（１か０）の2種類。しかし，ファ ジィなグラフも存在する。（人間が関与している情報 の流れなど）

!  このようにある点iからある点jの連結の度合いはiから jへの直接・間接のすべてのパスについて連結の強さ を求め，それらの中の最大値となる。

0.5

0.3 0.4

a

b

c

1

aからcへの連結の度合いは，0.4 bを経由しては，0.5∧1.0=0.5

これより0.4∧0.5=0.5となる。

ファジィ積分を用いた代替案の評価

個々の評価とファジィ測度から

総合評価を求める

標準的な総合評価モデル

!  最も簡単な加法モデルによる総合評価

!  複数の対立する評価項目の重要度は加法的でな

いケースが一般的である．

!  ファジィ測度によるファジィ積分の総合評価

に対する評価値 の評価項目

は，代替案

のウェイト（重要度） は，評価項目

i j

ij

i i

ij i

a

w where

a

!

加法モデルによる総合評価（例題１）

! _例題：

" 英会話と情報処理からなる試験を考える。

"  _x

" _重要性

_g

_g

英会話
情報処理
Ｐ君
９０点
２０点
Ｑ君
６０点
６０点

どちらか一方の能力が優秀な人（つまりP)を とりたい。加法モデルだと，

でQのほうが評価が高くなる。

各要素の組合せに対する寄与率の重み（ファジィ測度）を 計算し，評価の際に考慮する．

測度

!  測る度合：ある対象を測るために用意する、共通の単 位のようなもの

"  物体を測るとき、物体の、長さ、面積、体積などの尺度

!  測度（加法的測度）の定義

１．空集合の測度は０となる。

!  何も無いものに対しては大きさなどの定義は出来ない． ２．集合Ａが集合Ｂの部分集合ならば、Ａの測度はＢの測度よ

りも小さい。（単調性）

!  測度を体積とすると，ＡはＢの一部であるのでＢの体積が Ａの体積よりも大きい

３．集合Ａと集合Ｂの積集合が空集合ならば、ＡとＢの和集合 の測度はＡの測度とＢの測度の和に等しい。（加法性）

!  測度を体積とすると，A,Bの体積の共通している（重なっ ている）部分は無く，ＡとＢを合わせた全体の体積．

ファジィ測度

例：古いつぼの年齢を考える。「1000年前から500年 前まで」というように期間を限ってその期間に壷があ るかどうかを考える。このとき，壷の製作年がその中 に絶対入っているときを１として，その期間にあるか どうかの確信度を与える。この各期間に主観的に与え る尺度がファジィ測度という。

例：英会話と情報処理という2科目の試験を考える。そ れぞれ50点づつ（０.５づつ），合計100点という加 法的なモデルに対して，どちらか優秀な人がほしいと きはそれぞれの科目に90点（０.９），合計100点と いう非加法的な配点を考える。このように各要素に与 える尺度がファジィ測度である。

ファジィ測度

!  数

^x

^y

!  空集合に対して０で，単調性を満たす集合関数をファジィ測度とい う。

!  λファジィ測度

!  例：製品の性能比較

"  A＝使いやすさ，B=機能とする。

"  _このとき

"  よってλは０より大きくなり2つの機能がそろっているときは相乗

的な場合である

"  λが０のときは加法的，0未満なら代替的という

( )

( )

(

)

( )

( )

g # ^{0, 1, !} " !

(

)

( )

( )

( ) ( )

(

)

g ^" when ^!

( )

( )

(

)

g

(

)

( )

( )

λ-ファジィ測度

!  各要素の測度から集合の測度が一定の法則にし

たがって決まる特別なファジィ測度

!  ^w

^{= g}

^({x

^}) が与えられた時，任意のAの測度 ^gi

({xi}) _{を求める手順}

"  n=4，λ=2 とし， ^w1:_：^w2_： ^w3 _：^w4 =1:2:3:4

であるような， λ-ファジィ測度を求める．

"  ^w₁^=c_， ^w₂^=2c_， ^w₃^=3c_， ^w₄^=4c _{とおいて，}

g_i(X)=10c+70c²+200c³+192c⁴ = 1 での c を求める．

(

)

( )

( )

( ) ( )

(

)

g ^" when g ^!

ファジィ評価（ファジィ積分の利用）

ファジィ積分（例題１）

! _例題：

" 英会話と情報処理からなる試験を考える。

"  _x

" _重要性

_g

_g

"  _g

英会話
情報処理
Ｐ君
９０点
２０点
Ｑ君
６０点
６０点

どちらか一方の能力が優秀な人（つまりP)を とりたい。加法モデルだと，

0.9 1.0 20

90

P

60

0.9 1.0 Q

ファジィ積分（例題２）

! _例題：

" PとQの２つの製品を機能，使い易さを評価基準に選択する．

"  _x

"  _g

_x

_g

_x

_g

_x

_x

ファジィ積分：和

!  _{定義：関数}

h

g

"

^{( )}

⁽

⁾

⁽

⁾

^{( )}

⁽

⁾

.... [_{h x}

_{( )}

_{( )}

_{( )}

例題とアプローチ

!  _例題：

"  戦略代替案A,B,C,Dを組織，経営資源，競争，顧

客にどのくらい適合しているかによって評価する．

!  _{アプローチ：}

"  各評価基準から観測される代替案の評点を求める．

"  評価基準のウェイトを階層化意思決定法（AHP）

により決定する．

"  _{λの値を決定する．}

"  最後に，代替案に順位を与える．

評価基準のウェイトの決定

AHP法による一対比較行列
代替案の評点（100点満点）

ファジィ測度の計算

λ=3 とした場合，c=0.569
ファジィ測度（ λ=3 ）

D → B → C → A

総合評価値

λ＜0.5では，Bが第一位
λ≧0.5では，Dが第一位

代替案の順位を決定するためには，λ の値を知る必要がある．

λの値を知るためには，評価項目の集 まり，例えば｛x

3

,x

4

｝の望ましさの度合 いg (｛x3,x4｝)が分かれば良い．

望ましさの度合いをインタビュー

λ＝1.5∼2.5の範囲をチェック

D → B → C → A