講義資料 aichimeduniv

公衆衛生学：

　統計学・第 3-4 回

　　－線形モデル

愛知医大 公衆衛生　西山毅（たけし）

2017 _{年 4 月 24 日}

目次



推測統計学のコンセプト



_推定



_検定



_演習①



_{線型モデル}



_演習②



_課題

目次



推測統計学のコンセプト



_推定



_検定



_演習①



_{線型モデル}



_演習②



_課題

推測統計学とは



ここまでやったことが記述統計学です．こ

れからやるのが，統計学の中止となる推測

統計学です．

 1922 年の Fisher RA” On the mathematical f oundations of theoretical statistics” が嚆 矢



標本（サンプル）と母集団とを区別し，標

本から母集団について調べる統計理論

推測統計学のコンセプト

 母集団＝神の世界のことが知りたいが，人間界で はその一部のサンプルしか手に入らない．

 一部のサンプルから母集団のことを何とかうかが い知るというのが推測（ inference ）のコンセプト 母集団（ population ） 標本（ sample ）

神の世界 神の世界 _人間界 人間界

どうすればそんなことができる① ？

 _{母集団＝神の世界を}ある統計モデルで近似する

 どのような統計モデルを使うかが統計解析の腕の見せ所

母集団（ population ）

神の世界 神の世界

統計　 モデル

統計　 モデル

≒

統計モデルとは

 身長の測定値＝真の身長＋測定誤差

　　　　　　（誤差 は正規分布）

 統計モデルを書くときの約束

 X ＝ α + 誤差（ ε ）

 誤差も観測値でないので，ギリシャ文字 ε と書く 178.0=178.0 + 0

178.1=178.0 + 0.1 177.9=178.0 + (-0.1)

パラメータはギリシャ文字（ α, β など）で書く 観測値はローマ字（ X, Y など）で書く

パラメータはギリシャ文字（ α, β など）で書く 観測値はローマ字（ X, Y など）で書く

統計モデルとは

 統計モデル＝真の世界の代用品．

 統計モデルは現実と完全に同じでない

 現実のデータを上手く説明できる統計モデルを作 れれば，そのデータを生み出すメカニズムに対し て洞察が得られる

統計モデルは世界を見る枠組

統計モデルは世界を見る枠組

どうすればそんなことができる② ？

 サンプルは母集団の一部をランダムに取って きたものとする

母集団（ population ）

統計 　モ

デル

統計 　モ

デル

≒

標本（ sample ） サンプリン

グ

サンプリン グ

推測にもいろいろあります

 X （身長の観測値）＝ α （真の身長）＋誤差

 X = 170.0cm, 172.5cm, 162.7cm,… のサンプル データを使って，

 α を見積もる：推定（ estimation ）

 α に関する仮説が成り立つか調べる：検定（ tes t ）

目次



推測統計学のコンセプト



_推定



_検定



_演習①



_{線型モデル}



_演習②



_課題

推定のコンセプト

 神の世界 = 母集団について限られた情報しかもたないわ れわれ人間は，神の世界を統計モデルで近似することに よって，神さましか知らない真の値 = パラメータを見積 もる

統計 　モ

デル

統計 　モ

デル

≒

サンプリン グ

サンプリン グ

標本（ sample ） α _の見積も

り

α _の見積も 母集団（ population ）り

推定の「良さ」の基準は外から与える

 例えば，推定の「良さ」の基準には，

 誤差の 2 乗の和を最小にする（最小二乗法）

 尤度を最大にする（最尤法） 　など色々ある．

 という統計モデルのもとでは， α の推定量はど ちらの基準を用いても， X の平均値となる．

• 身長の測定値 X = 真の身長 α+ 誤差 ε

• _{誤差 ε は正規分布}

• 身長の測定値 X = 真の身長 α+ 誤差 ε

• _{誤差 ε は正規分布}

推定量にもいろいろあります



_{最尤法では， σ}

_の推定量



_{最小二乗法では，}

　　　　　　 σ

の推定量

　　と推定量が異なる

• 身長の測定値 X = 真の身長 α+ 誤差 ε

• ε は正規分布 N(0, σ

⁾

• 身長の測定値 X = 真の身長 α+ 誤差 ε

• ε は正規分布 N(0, σ

⁾

同じ統計モデルを使っても，用いる「良さ」の基準 によって推定の結果が異なる

同じ統計モデルを使っても，用いる「良さ」の基準 によって推定の結果が異なる

推定の「良さ」の基準はどうするの？

EZR のデフォルトで OK

EZR のデフォルトで OK

 どの推定法を使ったのかは知っておいた方が良 い

サンプルにはズレがある

真の分布（黒色）の中からサンプ ル（赤点）は均等に取れない

⇒α の推定値≠ α の真の値

⇒ 推定に幅を持たせる

　　区間推定 （ vs. 点推定）

• 身長の測定値 Y = 真の身長 α+ 誤差 ε

• _{誤差 ε は正規分布}

• 身長の測定値 Y = 真の身長 α+ 誤差 ε

• _{誤差 ε は正規分布}

信頼区間の意味



「 α が 95 ％入る区間」⇒☓



「信頼区間を 100 個作れば，そのうち 95

個の区間には α が含まれる」⇒◯

パラメータは定数

動くのは信頼区間

パラメータは定数

動くのは信頼区間

推定のまとめ

 統計モデルと，推定の「良さ」の基準で決まる

 推定の「良さ」の基準は統計ソフト EZR でデフォ ルトの方法で OK

 パラメータの点推定値がパラメータの真の値にぴっ たり一致することはまずないので，区間推定も行う

 ふつうは 95 ％信頼区間

パラメータの推定⇒

　　　　　　点推定値と 95% 信頼区間を求める

パラメータの推定⇒

　　　　　　点推定値と 95% 信頼区間を求める

？？？ Questions ？？？

目次



推測統計学のコンセプト



_推定



_検定



_演習①



_{線型モデル}



_演習②



_課題

検定のコンセプト



神さましか知らない真の値 = パラメータがあ

る値であるか判定することを検定という

統計 　モ

デル

統計 　モ

デル

≒

サンプリン グ

サンプリン グ

標本（ sample ） α=0 _かどう

か判定

α=0 _かどう 母集団（ population ）か判定

検定のコンセプト

 X （身長の観測値）＝ α （真の身長）＋誤差

X = 170.0cm, 172.5cm, 162.7cm,… のサンプルデータ を使って，

H0:α=178cm という仮説が成り立つか判定する

H0 とデータが合致するかしないか？

合致しない→ H0 を否定（ α≠178cm ）

合致する→ H0 を受け入れる

最初に立てた仮説 H0:α=178cm を帰無仮説と呼ぶ

その反対側の仮説 H1:α≠178cm を対立仮説と呼ぶ

検定のコンセプト

 パラメータについて帰無仮説 H0 を立てる

その反対側が対立仮説 H1

 H0 が正しいと仮定した場合に，サンプルデータが得られる確 率を求める

すごく小さい⇒ H0 を否定して H1 と判断する

あまり小さくない⇒ H0 は否定できない

 まず言いたいことの反対を否定して，間接的に主張が正しいと 判断する点で検定は背理法である

H0 H0 _H1 H1

P 値とは

 H0 が正しかったときに，サンプルデータ（かそれ より極端な値）が得られる確率＝ P 値と呼ぶ

 H0 がサンプルデータに合致しない程度を表す

 小さいほど， H0 とサンプルデータが合致しない

 P 値が小さい→ H0 は否定

 検定結果は P 値だけを見れば良い

 P 値が検定前にあらかじめ決めた値 α より小さければ H 0 を否定（棄却）する

 P 値はデータから決まる値だが， α （有意水準とよぶ） は検定する人が勝手に定めた値．

有意水準と P 値は別

物

有意水準と P 値は別

物

有意水準 α と P 値を区別しよう

 検定前に有意水準 α を決める

 P 値＜ α なら H0 を否定するという閾値のこと

 検定前に解析者が自由に決める

 実態としては，ほとんどの場合 α=0.05 が使われる

 データを解析した（検定した）結果 P 値が得 られる

_{検定前 検定後}

α P _値

H0 _を否定 H0 _{を否定できず}

検定のコンセプト（続）

 _{検定結果の判定法}

 ほとんどの場合， α の値として 0.05 が使われる

P 値＜ 0.05→H0 を否定 =H1 が正しい

P 値≧ 0.05→H0 を否定できず（ H0 か H1 かわからな い）

 α は検定する人が検定前に決めておく．

 ほとんど場合は α=0.05 が使われる．

検定では H0 を否定できるかどうかだけを見る

検定では H0 を否定できるかどうかだけを見る

t 検定

 男女の真の体重 μ1 と μ2 が等しいかどうかの検定

 この統計モデルと仮説についての検定を t 検定とよぶ

• （男）体重 Y1 = μ1 + 誤差 ε1 　（女）体重 Y2 = μ2 + 誤差 ε2

• 誤差 ε1, ε2 は正規分布

• （男）体重 Y1 = μ1 + 誤差 ε1 　（女）体重 Y2 = μ2 + 誤差 ε2

• 誤差 ε1, ε2 は正規分布

仮説 H0: μ1 = μ2 vs. H1:μ1 ≠ μ2 仮説 H0: μ1 = μ2 vs. H1:μ1 ≠ μ2

◯◯ 検定は，統計モデルと仮説のペアのこ

と

◯◯ 検定は，統計モデルと仮説のペアのこ

と

χ2 検定

 質的変数の検定では χ2 検定を使う

 母集団の男女数が等しいかどうかを調べる際は

，以下のような統計モデル・仮説を使う．

 得られた P 値＜ 0.05 なら H0 を否定する

（統計モデル）　男の人数は 2 項分布する

（仮説） H0: # 男＝ # 女 vs. H1:# 男≠

# _女

（有意水準） α ＝ 0.05

（統計モデル）　男の人数は 2 項分布する

（仮説） H0: # 男＝ # 女 vs. H1:# 男≠

# _女

（有意水準） α ＝ 0.05

男 女

110

人 ¹¹⁵人

χ2 検定（続）

 2 重クロス表データでも χ2 検定を使う

 得られた P 値＜ 0.05 なら H0 を否定する

（統計モデル）　省略　 [ 知らなくても良 い ]（仮説） H0: 性別と学歴は関連がない

　　　　　 vs. H1: 性別と学歴は関連あり

（有意水準） α ＝ 0.05

（統計モデル）　省略　 [ 知らなくても良 い ]（仮説） H0: 性別と学歴は関連がない

　　　　　 vs. H1: 性別と学歴は関連あり

（有意水準） α ＝ 0.05

関連とは？

 性別と学歴に関係ないこと

 性別側から見れば，男でも女でも中・高・大卒の割合が等 しい

 学歴側から見れば，中卒でも高卒でも大卒でも，男女の割 合が等しい

 両者がどれくらい離れているかが P 値に反映する．

 関連がなくなるほど（ H1 に近づくほど） P 値は小さくなる

　 中卒 高卒 大卒 男 4 6 10 女 3 9 8

　 中卒 高卒 大卒 男 3.5 7.5 ⁹ 女 3.5 7.5 9

観測値 関連なしのとき

検定のまとめ

 統計モデルと仮説 H0/H1 で決まる

 _{検定結果は p 値}

 H0 か H1 かは p 値と 0.05 の大小で判定する

 P 値 <0.05→H0 を棄却

 P 値≧ 0.05→H0 か H1 かわからない

検定に慣れるまでは，統計モデルと仮説 H0/H1 _{をノートに書き出そう}

検定に慣れるまでは，統計モデルと仮説 H0/H1 _{をノートに書き出そう}

実際には

 統計ソフトでは推定も検定も同時に行われる

 統計モデルだけ指定すれば推定値と P 値が得られる

 推定の「良さ」の基準はデフォルトで決まっている

 _{ほとんどが最尤推定法}

 検定の仮説 H0/H1 はデフォルトで決まっている

 「差がない」「関連がない」場合を H0 とする

 男女差がない，学歴と性別に関連がないなど

 EZR では，ツールバーの「統計解析」に含まれる 選択肢はすべて様々な統計モデルを表している

EZR では統計モデルを指定するだけ で OK

EZR では統計モデルを指定するだけ で OK

？？？ Questions ？？？

演習①

demo.csv を読み込み以下の問いに答えなさい．

① 以下の統計モデルと仮説の検定を行いなさい． 　　ただし，有意水準は 0.05 とする．

　　　＊ｔ検定ではどんな場合も Welch test を使うべ き

• （男）体重 Y1 = μ1 + 誤差 ε1 　（女）体重 Y2 = μ2 + 誤差 ε2

• 誤差 ε1, ε2 は正規分布

• （男）体重 Y1 = μ1 + 誤差 ε1 　（女）体重 Y2 = μ2 + 誤差 ε2

• 誤差 ε1, ε2 は正規分布

仮説 H0: μ1 = μ2 vs. H1:μ1 ≠ μ2 仮説 H0: μ1 = μ2 vs. H1:μ1 ≠ μ2

演習①

② 以下の統計モデルと仮説の検定を行いなさい

．

　　ただし，有意水準は 0.05 とする

　＊どんな場合も Χ² 検定より Fisher 正確検定の方 が良い

 _{EZR のデフォルト}

（統計モデル）　省略　 [ 知らなくても良 い ]（仮説） H0: 性別と学歴は関連がない

　　　　　 vs. H1: 性別と学歴は関連あり

（統計モデル）　省略　 [ 知らなくても良 い ]（仮説） H0: 性別と学歴は関連がない

　　　　　 vs. H1: 性別と学歴は関連あり

目次



推測統計学のコンセプト



_推定



_検定



_演習①



_{線型モデル}



_演習②



_課題

線型モデル Linear Model (LM)

 この統計モデルでは，すべての人の体重は α に等し く，体重の測定値の違いはすべて誤差によるもので あるという，現実にはあり得ない仮定をしています

．

 _{この例では，}

 α の推定値＝ 58.1 （ 95 ％ CI ： 57.5-58.6 ）

 H0:μ0≠0 の検定： P 値 <0.05 より H0 を棄却→ H1

• 体重 Y = α + 誤差 ε 　誤差 ε は正規分布

• 体重 Y = α + 誤差 ε 　誤差 ε は正規分布

右辺が量的変数１つの場合

 この統計モデルは，体重は身長と誤差で決まるという モデルで，身長が 1cm 伸びるごとに体重が βkg 重くな ると仮定しています．

 _{この例では，}

 仮説はデフォルトで H0:α=0 vs. H1:α≠0

H0:β=0 vs. H1:β≠ 0

 α の推定値＝ -84.8, P 値 <0.05 より H0 を棄却→ H1

 β の推定値＝ 0.88, P 値 <0.05 より H0 を棄却→ H1

• 体重 Y = α + β× 身長＋誤差 ε 　誤差 ε は正規分布

• 体重 Y = α + β× 身長＋誤差 ε 　誤差 ε は正規分布

右辺が質的変数１つの場合

 説明変数に質的変数 Sex を使ったモデルです． 女性はすべて同じ体重 α をしており，測定値の 違いはすべて誤差のせいである．同様に，男性 もすべて同じ体重 α ＋ β をしており，測定値の 違いはすべて誤差のせいであるという現実には 考えにくいモデルです．

（女性）体重 Y =α ＋誤差 ε

（男性）体重 Y =α + β + 誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（女性）体重 Y =α ＋誤差 ε

（男性）体重 Y =α + β + 誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（続）

 質的変数を右辺に使った場合は，基準（この場 合は女）に対する増加分で質的変数の効果を表 します．

女女 男男

基準の女の体重 α _{からの増分 β}

β1β1

中卒の体重 α 中卒の体重 α

β2β2 高卒の体重

高卒の体重

大卒の体重 大卒の体重

（中卒）体重 Y =α ＋誤差 ε

（高卒）体重 Y =α + β1 + 誤差 ε

（大卒）体重 Y =α + β2 + 誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（中卒）体重 Y =α ＋誤差 ε

（高卒）体重 Y =α + β1 + 誤差 ε

（大卒）体重 Y =α + β2 + 誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（続）

 _{面倒くさいので}

 を以下のように書くことにします．

 この（性別）変数は女の体重に対する男の増加 分を表すものとします

体重 Y =α ＋（性別）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

体重 Y =α ＋（性別）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（女性）体重 Y =α ＋誤差 ε

（男性）体重 Y =α + β + 誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（女性）体重 Y =α ＋誤差 ε

（男性）体重 Y =α + β + 誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（続）

 _{同じように}

 を以下のように書くことにします．

 この（学歴）変数は中卒の体重に対する高卒また は大卒の増加分を表すものとします

体重の測定値 Y =α ＋（学歴）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

体重の測定値 Y =α ＋（学歴）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

（中卒）体重の測定値 Y =α ＋誤差 ε

（高卒）体重の測定値 Y =α + β1 + 誤差 ε

（大卒）体重の測定値 Y =α + β2 + 誤差 ε

　　誤差 ε は正規分布

（中卒）体重の測定値 Y =α ＋誤差 ε

（高卒）体重の測定値 Y =α + β1 + 誤差 ε

（大卒）体重の測定値 Y =α + β2 + 誤差 ε　　誤差 ε は正規分布

（続）

 例えば学歴の統計モデルの場合は，

 _{この例では，}

 仮説はデフォルトで H0:α=0 vs. H1:α≠0

H0:β1=0 vs. H1:β1≠0, H0:β2=0 vs. H1:β2≠0

 α の推定値＝ 56.8, P 値 <0.05 より H0 を棄却→ H1

 β1 の推定値＝ 0.56, P 値≧ 0.05 より H0 を棄却でき ず

 β2 の推定値＝ 1.88, P 値 <0.05 より H0 を棄却→ H1

体重 Y =α ＋（学歴）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

体重 Y =α ＋（学歴）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

右辺が量的変数と質的変数の場合

 _{この例では，}

 仮説はデフォルトで H0:α=0 vs. H1:α≠0

H0:β=0 vs. H1:β≠0, H0: 性差 γ=0 vs. H1: 性差 γ≠0

体重 Y =α ＋ β× 身長＋（性別）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

体重 Y =α ＋ β× 身長＋（性別）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

演習②

demo.csv を読み込み以下の統計モデルについて 答えなさい．

① H0: 男女差あり vs H1 ：男女差なしの検定を行 いなさい．ただし，有意水準は 0.05 とする．

② _{β を推定しなさい．}

ふつうは独立変数 X が Y に及ぼす影響を調べた いので切片 α の推定や検定は行わない

体重 Y =α ＋ β× 身長＋（性別）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

体重 Y =α ＋ β× 身長＋（性別）＋誤差 ε 　　誤差 ε は正規分布

この場合の結果の読み方

 身長の係数 β=0.63 は何を表すのか？

 男女差は γ=5.71 で吸収される

 _β=0.63 は性別の影響を除外した上での，身長が体重に 及ぼす影響力を表す

 影響を除外した変数を右辺に入れれば良い 体重 = -46.7 ＋ 0.63× 身長＋（男 5.71/ 女 0 _）＋誤差

体重 = -46.7 ＋ 0.63× 身長＋（男 5.71/ 女 0 _）＋誤差

まとめ・線型モデル

 量的変数＝ α ＋ β× 量的変数＋誤差

 _回帰分析

 量的変数はいくつあっても OK

 量的変数＝ α ＋（質的変数）＋誤差

 _{分散分析 ANOVA}

 質的変数が男女のように 2 水準なら t 検定となる

 量的変数＝ α ＋ β× 量的変数＋（質的変数）＋誤差

 共分散分析 ANCOVA

以上すべての統計モデルをまとめて線型モデル Linear model と呼ぶ

？？？ Questions ？？？

課題

自分の番号のデータ”番号 .csv” を読み込み以 下の統計モデルについて答えなさい．

① Sleep に Depression が影響するか検定しなさ い．

② Sleep に Sex が影響するか検定しなさい．

③ _{β を推定しなさい．}

④ 女性に対する男性の睡眠時間増加分を推定しな さい．

Sleep =α ＋ β×Depression ＋

（ Sex ）＋誤差

・・・誤差 ε は正規分布

Sleep =α ＋ β×Depression ＋

（ Sex ）＋誤差

・・・誤差 ε は正規分布

提出

 解答は統計学課題用紙に記入してプリントア ウトして次回 5 月 8 日（月） 3 限に提出