2015.7.7.
宿題
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提出期限：7/14の講義開始時．
問題
1.–4. Durrett 3.4.2, 3.4.3, 3.4.9, 3.4.12.
5. Lindeberg条件はみたすが，Lyapunov条件(Durrett 3.4.12の条件)をみたさないような r.v.’sの例を一つ与えよ．
6. 以下の2問は講義ノートThm. 11.1の記号を用いるものとする．講義ノートThm. 11.3の 議論を修正して，次のバウンドを導出せよ：∀h ∈ C3(R) s.t. ∥h′′∥∞∨ ∥h′′′∥∞< ∞,
|E[h(Sn)] − E[h(Z)]| ≤ 2∥h
′′′∥∞
3
n
∑
m=1
E[|Xm,n|3]. (∗)
7. (i) Rから[0, 1]へのC3級関数gであって，
g(x) =
1, if x ≤ 0, 0, if x ≥ 1 をみたすものを一つ与えよ(具体的に！)．
(ii) 与えられたx ∈ R, ϵ > 0に対して，hx,ϵ(y) = g((y − x)/ϵ), y ∈ Rとおく．このhx,ϵ
に(∗)を適用して，次のバウンドを導出せよ：
sup
x∈R
|P (Sn ≤ x) − P (Z ≤ x)| ≤ A(∑nm=1E[|Xm,n|3])1/4.
ただし，A > 0は絶対定数である(Aの値を具体的に求める必要はない)．
8. ϵn, n = 1, 2, . . . をi.i.d. r.v.’sとし，その共通分布は
P (ϵ1= 1) = P (ϵ1= −1) = 1 2
とする．このとき，∑∞n=1n−αϵnがa.s.に収束するための必要十分条件はα > 1/2である ことを示せ．
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