メカニズムデザイン 宿題 3
奥村 恭平∗†‡ October 13, 2017
定義の確認が主な内容でした．問題としては比較的易しめだと思っていたのですが，集合の記述の 仕方等，数学的にきちっと書くことが苦手な人が多く見受けられました．早いうちに，適当な数学の本 で集合や論理の基礎を学んでおくことを強くオススメします．例えば，新井敏康(2016)『集合・論理と 位相』 東京図書 は経済学部の学部生でも無理なく読める良い本だと思います．
問 1: 配分集合を数理的に定義せよ
N := {1, 2, . . . , n}とする．aij で「agent iがj 財をaij 単位配分される」ことを意味することとし， ai:= (ai1, . . . , aim)⊤∈ Nm (i ∈ N )と定義する．1 2 このとき，配分集合Aは以下のように定義できる．
A := {
(a1, . . . , an) ∈ Nm×n
∀h ∈ {1, 2, . . . , m};
∑n i=1
aih≤ lh }
問 2: 二位価格入札
(1)優位戦略を求めよ
i ∈ Nを任意にとる．プレイヤーiの利得は，
Ui(a, ti, ω) := {1
3ωi− ti if a = i
0 o.w.
となる．3これは，ωi/3が真のタイプであると考えたときの通常の二位価格入札と同じ形をしているの で，bsi(ωi) := ωi/3が優位戦略であることがわかる．
(2) 二位価格入札と同じ配分と支払いを達成する直接メカニズムを示せ
Direct mechanismとは，allocation rule gと，payment rule xの組(g, x)であった．「Indirect mechanism (M, bg, bx)における均衡戦略bsがわかっている場合は，対応するdirect mechanismを機械的に構成でき る.」というのがrevelation principleの主張であった．
まず，allocation rule gは次のようになる．
g(ω) := bg(bs(ω)) = arg max
i∈N
1 3ωi
= arg max
i∈N ωi
∗first-year master student at Graduate School of Economics, the University of Tokyo
†E-mail: utgame2017@gmail.com
‡誤り等見つけた場合は教えて頂ければ幸いです．質問がある場合も上のメールアドレスまでご連絡ください．
1a⊤は，ベクトルaの転置を表します．例えば，
(1, 2)⊤=(1 2 )
2ここでは，自然数の集合Nは，0を含むとします．i.e. N := {0, 1, 2, . . . }
3o.w.はotherwiseの略です．この場合は，”if a ̸= i”を意味します．
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次に，payment rule xは次のようになる．4 xi(ω) := bxi(bs(ω)) =
{maxj∈N \{i}bsj(ωj) if i = g(ω)
0 o.w. (i ∈ N )
=
{maxj∈N \{i} 13ωj if i = g(ω)
0 o.w. (i ∈ N )
これは確かに，元のメカニズムと同じ配分と支払いを達成している．(各自確認されたし．)
4厳密には，同じ額を
bidする人が出た場合についてもう少しきちんと考える必要がありますが，ここでは省略します．
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