H23 コマの物理から素粒子のスピン

(1)

YAMAGATA UNIVERSITY

回転座標系

と

慣性力

(2)

ちょっとした思考実験

x

y

① 質点が先端につけられている単振り子

振り子をゆらした時、床面に投影された質点の影の運動は？

(3)

x

y

振り子運動の軌跡

① 質点が先端につけられている単振り子

振り子をゆらした時、床面に投影された質点の影の運動は？

(4)

振り子の質点の影：　床が回転していると？

振り子は同じように振動している。

床が振り子の支点を通る鉛直線を軸として回転している場合、質点の影はどのような軌跡を描く？

x

y

②　振り子の周期と床の回転周期が同じ場合

(5)

考え方：

回転版

角速度 _ω₂_で回転

 ^y ^x  ⁼ _ ^{sin } ^{sin }

¹

^t ^t ^{⋅cos } ^{⋅sin }

²

^t ^t _

ω ₂ t

r

x

y

( ^x ^y ) ⁼ ₍ ^r ^r ^{(t)cos ω} ^{(t )sin ω}

2²

^t ^t ₎

r (t)=r sin ω ₁ ^t

原点からの距離角速度 _ω

1^{の単振動で変動}

(6)

回転版上の振り子の軌跡

₁=2  , ₂=2  ₁=2  , ₂= ₁=2  , ₂=2  /3

₁=2  , ₂=2  /4 ₁=2  , ₂=2  /5 ₁=2  , ₂=2  /6

 ^y ^x  ⁼ _ ^{sin } ^{sin }

¹₁

^t⋅cos ^{t⋅sin }

₂²

^t ^t _

②

回転周期と振子周期が

同じ

③

回転周期が振子周期の

半分

(7)

では、地球上で同じ事を考える

北極点にいる観測者から、質点の運動はどの様に観察されるか？

x

y

北極点に振り子を設置する。空気抵抗が無視できるように、振り子の糸は十分長く

質点は十分重い。

北極点に振り子を設置する。空気抵抗が無視できるように、振り子の糸は十分長く

質点は十分重い。

(8)

フーコーの振り子

霞城セントラルの振り子は

どんな運動をするのだろうか？

地表にいる観察者は地球の自転を感じない。

観察者にとって、この振り子の先端に結びつけられた質点の力学はどのように理解されるのか？

地表にいる観察者は地球の自転を感じない。

観察者にとって、この振り子の先端に結びつけられた質点の力学はどのように理解されるのか？

霞城セントラルのフーコーの振り子霞城セントラルのフーコーの振り子

ジャン・ベルナールレオン・フーコー

Wikipediaより

(9)

二つの座標系：　『静止座標系』と『回転座標系』

振り子が固定されている座標系 _{x, y}

x

x ' y

y '

回転板に固定された座標系 _{x', y'}

静止座標系座標系回転

(10)

回転座標系

 x

y

x '

y '

二つの座標系の関係は

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

x

y _

i = _ ¹

0 _

j= _ ⁰

1 _

単位ベクトルで確認

(x, y) 系 → (x', y') 系

⃗i = ₍ ¹

0 ₎ ^→ ₍

cos θ

−sin θ ₎

j= _ ⁰

1 _ ^ _

sin 

cos _

④

⑤

⃗r' = ₍ ^{x '}

y ' ₎

⃗r= ₍ ^x

y ₎

(11)

質点の速度

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

x

y _

d 

dt ^=

^一定

質点の速度を求める

→ 上の式の両辺を時間で微分

 x

y

x '

y '

⃗r' = ₍ ^{x '}

y ' ₎

⃗r= ₍ ^x

y ₎

今回は、等速回転している場合を考える一般的には

座標の回転角度も時間に依存

_θ(t)

(12)

回転座標系での見かけの速度

 ^{˙x '} ˙y '  ⁼  − ˙ cos  − ˙sin  ^{−˙ sin } ^{˙cos } _ _

x

y _ ^ _

cos  sin 

−sin  cos  _ _ ^˙x _˙y _

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

x

y _

d  f t  g t 

dt ⁼

d f t 

dt ^gt  f t ^dg^t dt d  f  g t

dt ⁼

d f t  dt

dg t dt

sin  /2=cos cos /2=−sin 

( ^{˙x '} ˙y ' ) ⁼⁻ ^ω ( cos(θ+π /2) sin(θ+π /2)

−sin (θ+π/2 ) cos( θ+π /2 ) ₎ ₍

x

y ₎ ⁺ ₍

cosθ sin θ

−sin θ cosθ ₎ ₍ ^˙x _˙y ₎

θ 回転 (θ + π/2) ^回転

⑥ ⑦

⑧ ⑨

両辺時間微分

(13)

回転変換行列

⃗r' = ^R ^(θ) ⃗r

 x

y

x '

y ' ^⃗r= ₍ ^{⃗r' =} ₍ ^{x '} _{y '} ₎

x

y ₎

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

x

y _

※　角度θだけ座標を回転させる変換

R(θ) の性質（和・積、微分）を確認してみる

(14)

微分微分足し算足し算

回転変換行列の演算

˙R =−R /2 = R − /2 

二階微分二階微分

_{¨R =}

²

_R _ _ _=−

²

_R _

˙R =−R  ^R /2= R ^R − /2

x

y



x '

y '

ϕ

y ' ' ^{x ' '} ⃗r ' '=R(ϕ)⃗r '

⃗r ' =R(θ)⃗r

⃗r ' '=R(θ+ϕ)⃗r

⃗r ' ' =R(ϕ)R (θ)⃗r

R (θ+ϕ)=R (θ)R(ϕ)

˙R(θ)=

₍

^{−sin θ} ^cosθ

−cosθ −sin θ

₎

^˙θ

R _(θ)= ₍ ^{cos θ} ^{sin θ}

−sin θ cos θ ₎

˙R(θ)=−

₍

cos(θ+π/ 2) sin (θ+π /2)

−sin (θ+π/2) cos(θ+π /2)

₎

^ω

(15)

回転座標系からみた速度

⃗r' = ^R ^(θ) ⃗r

 x

y

x '

y ' ^⃗r= ₍ ^{⃗r' =} ₍ ^{x '} _{y '} ₎

x

y ₎

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

x

y _

速度の変換速度の変換

˙⃗r' ^{=ω R (} ^θ−π/2 )⃗r+R(θ) ˙⃗r

˙⃗r' =R(θ) _[ ω R(−π/ 2)⃗r+ ˙⃗r _]

˙⃗r' = ˙R ⃗r+R (θ) ˙⃗r ^{˙R(θ)=ω R(} ^θ−π/2 ⁾

(16)

方程式の意味する事

˙r' =R  _[ R− /2r ˙r _]

r' =R  _[ r _]

 x

y

x ' y '

r

(x,y) 座標系での位置 (x',y') 座標系への変換

大きさが ωr で、位置ベクトルを -90度回転。 (x',y') 座標系

での位置

(x',y') 座標系での速度 ^{(x,y) 座標系}

(x',y') 座標系への変換 での速度

この項が余分：　みかけの速度

(17)

みかけの速度：　回転座標系での質点の運動

(x,y) 系で静止している物体

˙r=0

^⑩

(x',y') 系では

˙r' =R R − /2r

^⑪

x

y

x '

y '

r

速度の大きさ

v ' =∣˙⃗r '∣=ω r

^⑫

※　並進する座標系での話と同じ

˙r' =R  _[  ^R − /2r  ˙r _]

逆回転に速度 v' で 等速回転するように見える



(18)

回転座標系で静止している質点

˙r' =0

回転座標系で静止

 ^R _{− /2r} _{ ˙r=0}

˙⃗r=ω ^R (π /2)⃗r

位置ベクトルを90°回転した方向に大きさ ^rω の速度を持つ。

˙r' =R  _[  ^R − /2r  ˙r _]

コマの上に書いた『点』は、

コマが角速度_ωで等速回転している時どのように見えるか？

R _{(−π /2)⃗r} ₌₋ R _(π/2)⃗r

∣ ^˙⃗r ∣ ⁼ ^r ^ω

おおきさ

x '

y '

⃗r'

θ=ω t

r ω

角速度_ωで等速回転しているように見える

(19)

二階微分：　等速回転系

r' =R r

˙⃗r' =R(θ) _[ ω R(−π/ 2)⃗r+ ˙⃗r _]

¨⃗r' = ˙R(θ) _[ ω R(−π /2)⃗r+ ˙⃗r _] ^{+R (θ)} _[ ω R(−π /2) ˙⃗r+ ¨⃗r _]

¨⃗r' =R(θ)ω R (−π/2) _[ ω R(−π /2)⃗r+ ˙⃗r _] ^{+R (θ)} _[ ω R (−π/2) ˙⃗r+ ¨⃗r _]

¨⃗r' =R(θ) _[ −ω

²

⃗r+ω R (−π/2) ˙⃗r _] +R(θ) _[ ω R(−π /2) ˙⃗r+ ¨⃗r _]

¨⃗r' =R(θ) _[ −ω

²

⃗r+2 ω R (−π/2) ˙⃗r + ¨⃗r _]

˙R(θ)=ω R(θ−π/2)=ω R (θ)R (−π/2)

R(θ+π)=R(θ)R(ϕ) R_{(−π)⃗r=−⃗r}

(20)

(等速)回転座標系での運動方程式

x

y

x '

y '

r

−m

²

r r' =R r

¨r' =R  _[ −

²

r2 R− /2 ˙r ¨r _]

˙r' =R  _[ R− /2r ˙r _]

m ¨ r ' =R _[ −m

²

r 2 m R − /2 ˙r m ¨r _]

“みかけの”向心力

物体が _{(x, y) 系で} 速度を持つと現れる

F ' ⃗ ≠R(θ) ⃗ F

F ⃗ _{=m ¨⃗r}

F ' ⃗ _{=m ¨⃗r' '}

力の単純な回転ではないこれは一体なんだろうか?

(21)

等速回転座標系からみた質点：　質点が等速運動している場合

x

y

x '

y '

r

−m

²

r

v

2 mR − /2r

“みかけの”向心力質点が運動している時のみかけの力

F '  =R _[ −m

²

r 2 m R− /2 ˙r   F _]

例）　原点から遠ざかる質点例）　原点から遠ざかる質点

v ∝r

速度に対して_{垂直方向（-90度）}に力が作用しているように見える

見かけの力によって、進行方向に対して

速度と垂直方向の慣性力

コリオリの力

(22)

振り子の質点の影：　『コリオリの力』

振り子は同じように振動している。

床が振り子の支点を通る鉛直線を軸として回転している場合、質点の陰はどのような軌跡を描く？

x

y

②　振り子の周期と床の回転周期が同じ場合

(23)

『コリオリの力』

『コーヒーカップ』

に乗りながら、キャッチボールをすると・・・

共に回転している人からは、ボールが進行方向右向きに曲がるように見える

(24)

角速度ベクトルを使ってあらわす

x

y

θ=ω t

 

−  _ _×r

 

˙⃗r' =R(θ) _[ ω R(−π /2)⃗r + ˙⃗r _]

位置ベクトルを角速度ベクトルを軸に -90°回転させて、角速度をかける。

− ω _⃗ _×⃗r

角速度ベクトル ω をもつ質点の速度

静止している質点を角速度 ω の回転系から見たみかけの速度 角速度ベクトル _{ω をもつ質点の速度}

静止している質点を角速度 ω の回転系から見たみかけの速度

  _×r

−  _ _{×r=r×}  _

R − /2 f  −  ^{× f}

一般的に

  _×r

位置ベクトルと垂直角速度ベクトルと垂直

r と ω の外積 ^=⃗r× ^ω ^⃗

r

(25)

外積による表現との対応

˙r' =R  _[ R− /2r ˙r _] ˙r' =R  _[ − ×r  ˙r _]

¨r' =R  _[ −

²

r2 R− /2 ˙r ¨r _]

¨r' =R  _[ −

²

r −2  × ˙r  ¨r _]

３次元ベクトルに拡張しても基本的には同じ

r' =R r r ' =R r

R − /2 f  −  ^{× f}

F '  =R _[ −m

²

r2 m R− /2 ˙r F _]

F '  =R _[ −m

²

r −2 m  × ˙r   F _]

コリオリの力

(26)

地表面に固定された座標系

山形市の緯度北緯 _{38 度}

sin 38° = 0.62 cos 38° = 0.79

地球の平均半径 _R _{= 6.4 × 10}⁶_m

→@山形市では R cos 38° = 5.0×10⁶ m 自転の周期 T = 24 h = 1440 min = 86400 s 自転の角速度 ω = 2π/(86400) = 7.3×10^-5 s^-1

 

' 



₀

コリオリの力を考える：

鉛直方向の動きを無視できる場合、

『緯度 θ₀ の位置に固定された座標系』^は

『角速度 _ω'=ωsinθ₀_{の回転座標系』} として近似できる。

(27)

台風はなぜいつも進行方向に対して右に曲がるのか？

地球の外側の系で直進（北上）する「台風」は地表に固定された座標系（回転座標系）

からは曲がって見える。

= 見かけの力により曲げられたように見える地球の外側の系で直進（北上）する「台風」は地表に固定された座標系（回転座標系）

からは曲がって見える。

= 見かけの力により曲げられたように見える見かけの力

F '  =R _[ 2 m R− /2sin 

₀

˙r _]

 

' 

(28)

単振り子

−mg

F ∼−mg sin θ

L

x



F ' =−mg sin θ

重力の弦に垂直な成分は



−mg



角度 θ が十分小さい時は、水平方向の力の大きさに等しい

F ∼− ^mgx

L

x

L



振動係数 mg/L の単振動に等しい 　

m _¨x=− ^mg

L ^x

(29)

フーコーの振り子

フーコーの振り子(1851年・フーコー)

弦の長さ _{L = 67 m}

おもりの質量 m = 28 kg

周期 _{T = 16.4} _s

フーコーの振り子＠霞城セントラル

弦の長さ _{L = 20 m}

おもりの質量 m = 32 kg 周期 _{T = 9.0 s}

単振り子の周期 T=2

_

^L

g

重力加速度 g=9.8 m/s²

⑬

⑭

(30)

等速回転系から見た単振り子

−mg

F ∼− ^mg

L ^x

L

x



m ¨ r=−k r−2 m  × ˙r

バネ_{定数 k の単振動} 地球の自転によるコリオリ力

（角速度 ω の回転運動） 北緯 θ₀ では、角速度 ωsinθ₀ と近似

振り子は、

・　周期 T = 2π√(L/g) の単振動

・　原点周りに角速度 ωsinθ₀^で回転地表に設置された振り子の運動

地球の自転の周期が 24時間とすると、

北緯 θ₀ での振り子のコリオリ力による周期は 24/sinθ₀ 　時間

F ⃗ (⃗r)=−k ⃗r (k =mg/ L)

(31)

１時間あたりの単振り子の振動数

周期 _{T = 9.0 s}

60×60/9.0 = 400^回

一回転するのに必要な振動数

38.8 h × 400 ~ ^およそ15000^回

フーコーの振り子＠霞城セントラル

山形₍北緯_38°)での地球の自転によるコリオリ力

角速度 _{ω sin 38°} １時間あたりの回転角度

(360°/24)×sin 38° = 9.3°

周期（時間） 24 h /sin38° = 38.8 h

⑯

⑰

⑱

⑮

⑰ ⑱ ⑲

(32)

フーコーの振り子＠高速回転する星

振り子の軌跡を書くのは無謀霞城セントラルの振り子が、角速度 _{0.01 s}^-1_{で回転する} 星の上に置かれていた時

（重力加速度は同じ）の軌跡は

(33)

等速回転系からみた単振り子

m ₍ ⃗r× ¨⃗r ₎ =−k ⃗r×⃗r−2 m ₍ ⃗r× ₍ ω× ˙⃗r ⃗ ₎ ₎

d

dt

^

^{r× ˙r}

^

^{=r× ¨r} d

dt

⁽

^{⃗r× ˙⃗r}

⁾

= ˙⃗r× ˙⃗r+⃗r× ¨⃗r d

dt

⁽

^{⃗r× ˙⃗r}

⁾

m ¨ r=−k r−2 m  × ˙r

d

dt

^

^r×

^

^×r^

^ ^

⁼²

^

^{r ×}

^

^{× ˙r}^

^ ^

d

dt

⁽

^⃗r×

⁽

^ω×⃗r^⃗

⁾ ⁾

^{= ˙⃗r×}

⁽

^ω×⃗r^⃗

⁾

^+⃗r×

⁽

^{˙⃗ω×⃗r}

⁾

^+⃗r×

⁽

^{ω× ˙⃗r}^⃗

⁾

˙=0

˙⃗r×

(

ω×⃗r⃗

)

=−⃗^ω×

(

⃗r× ˙⃗r

)

−⃗r×

(

˙⃗r×⃗ω

)

r× ˙r ∝ 

˙r×



×r



=r×



× ˙r



d

dt ^ ^{r× ˙r} ^ ⁼⁻

d

dt ^ ^r× ^ ^×r ^ ^ ^

r× ˙r ⁼⁻ r× _ ×r  _

角速度 _{ω での回転}

（角速度成分のみに注目）両辺の、位置ベクトルとの外積を考える

d

dt

⁽

^⃗r×

⁽

^ω×⃗r^⃗

⁾ ⁾

˙⃗r×

(

ω×⃗r⃗

)

˙⃗r=−⃗ω×⃗r

H23 コマの物理から素粒子のスピン

回転座標系

と

慣性力

ちょっとした思考実験

x

y

x

y

振り子運動の軌跡

振り子の質点の影： 床が回転していると？

x

y

考え方：

 y x  =  sin  sin 

t t ⋅cos  ⋅sin 

t t 

ω 2 t

r

x

y

( x y ) = ( r r (t)cos ω (t )sin ω

t t )

r (t)=r sin ω 1 t

回転版上の振り子の軌跡

 y x  =  sin  sin 

t⋅cos t⋅sin 

t t 

では、地球上で同じ事を考える

x

y

フーコーの振り子

二つの座標系： 『静止座標系』と『回転座標系』

振り子が固定されている座標系 x, y

x

x ' y

y '

回転板に固定された座標系 x', y'

回転座標系

 x

y

x '

y '

 x ' y '  =  −sin  cos cos  sin   

x

y 

i =  1

0 

j=  0

1 

⃗i = ( 1

0 ) → (

cos θ

−sin θ )

j=  0

1   

sin 

cos 

⃗r' = ( x '

y ' )

⃗r= ( x

y )

質点の速度

 x ' y '  =  −sin  cos cos  sin   

x

y 

d 

dt =

 x

y

x '

y '

⃗r' = ( x '

y ' )

⃗r= ( x

y )

θ(t)

回転座標系での見かけの速度

 ˙x ' ˙y '  =  − ˙ cos  − ˙sin  −˙ sin  ˙cos   

x

振り子の質点の影：　床が回転していると？

 ^y ^x  ⁼ _ ^{sin } ^{sin }

^t ^t ^{⋅cos } ^{⋅sin }

^t ^t _

ω ₂ t

( ^x ^y ) ⁼ ₍ ^r ^r ^{(t)cos ω} ^{(t )sin ω}

^t ^t ₎

r (t)=r sin ω ₁ ^t

 ^y ^x  ⁼ _ ^{sin } ^{sin }

^t⋅cos ^{t⋅sin }

^t ^t _

二つの座標系：　『静止座標系』と『回転座標系』

振り子が固定されている座標系 _{x, y}

回転板に固定された座標系 _{x', y'}

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

y _

i = _ ¹

0 _

j= _ ⁰

1 _

⃗i = ₍ ¹

0 ₎ ^→ ₍

−sin θ ₎

j= _ ⁰

1 _ ^ _

cos _

⃗r' = ₍ ^{x '}

y ' ₎

⃗r= ₍ ^x

y ₎

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

y _

dt ^=

⃗r' = ₍ ^{x '}

y ' ₎

⃗r= ₍ ^x

y ₎

_θ(t)

 ^{˙x '} ˙y '  ⁼  − ˙ cos  − ˙sin  ^{−˙ sin } ^{˙cos } _ _

y _ ^ _

−sin  cos  _ _ ^˙x _˙y _

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

y _

( ^{˙x '} ˙y ' ) ⁼⁻ ^ω ( cos(θ+π /2) sin(θ+π /2)

−sin (θ+π/2 ) cos( θ+π /2 ) ₎ ₍

y ₎ ⁺ ₍

−sin θ cosθ ₎ ₍ ^˙x _˙y ₎

⃗r' = ^R ^(θ) ⃗r

y ' ^⃗r= ₍ ^{⃗r' =} ₍ ^{x '} _{y '} ₎

y ₎

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

y _

_{¨R =}

_R _ _ _=−

_R _

˙R =−R  ^R /2= R ^R − /2

y ' ' ^{x ' '} ⃗r ' '=R(ϕ)⃗r '

₍

₎

R _(θ)= ₍ ^{cos θ} ^{sin θ}

−sin θ cos θ ₎

₍

₎

⃗r' = ^R ^(θ) ⃗r

y ' ^⃗r= ₍ ^{⃗r' =} ₍ ^{x '} _{y '} ₎

y ₎

 ^{x '} ^{y '}  ⁼ ^ −sin  cos ^{cos } ^{sin } _ _

y _

˙⃗r' ^{=ω R (} ^θ−π/2 )⃗r+R(θ) ˙⃗r

˙⃗r' =R(θ) _[ ω R(−π/ 2)⃗r+ ˙⃗r _]

˙⃗r' = ˙R ⃗r+R (θ) ˙⃗r ^{˙R(θ)=ω R(} ^θ−π/2 ⁾

˙r' =R  _[ R− /2r ˙r _]

r' =R  _[ r _]

みかけの速度：　回転座標系での質点の運動