二標本問題の仮説検定 経済統計 鹿野研究室

担当：鹿野（大阪府立大学）

2014 年度前期

はじめに

前回の復習

 仮説検定の概要。

 母平均の_t検定・母分散のカイ₂乗検定。

今回学ぶこと

 二標本問題の仮説検定。

 処置効果と因果関係。

 テキスト該当箇所：_12.2章。

1 ^{二標本問題の仮説検定}

1.1

^{母平均の差：二標本}

 二標本問題（講義ノート_#18）：二つの正規母集団_{N(µX, σ}²

X^{)、N(µY, σ} 2

Y^{)の、母平均・母分}

散の差。

⊲ ^例：「新薬を投与した被験者」と「非投与の被験者」で、血糖値の平均に差がある？

⊲ N(µX^{, σ2}_X)_{−−−−−−−−→}^X1,X2,...,Xn

無作為抽出

標本平均_X¯、標本分散_s²

X^{（サンプル数n）。}

⊲ N(µY^{, σ2}_Y)_{−−−−−−−−→}^Y1,Y2,...,Yk

無作為抽出

標本平均_Y¯、標本分散_s²

Y^{（サンプル数k）。}

⊲ ^{母平均の差 を、標本平均の差 で推定。}

 _Remark：二標本問題でテストしたい仮説値は、多くの場合「母平均に差が無い」_{D∗= 0}。

つまり

H_{0: D = µX− µY = 0 ⇔} . (1)

⊲ ^実測値_{D = ¯}^ˆ _{X − ¯Y}^と理論値_{D = 0}^{の差を二標本}t^{統計量（講義ノート}#18^{）に直すと} t_∗= ^{D − 0ˆ}

s^√_{1/n + 1/k} ⁼

X − ¯Y¯

s^√_{1/n + 1/k} ∼ T(n + k − 2). ⁽²⁾ ここで_s²は合併分散。

1

 母平均の差の両側_t検定：「母平均に差が無い」を帰無仮説と置くと、対立仮説は

H₀: µ_{X = µY}, H₁: . (3)

このとき_t値は

t_∗= ^{X − ¯Y¯}

s^√_{1/n + 1/k}^{. (4)}

⊲ ^{有意水準を}5%とする。両側検定なので、

or _{(|t∗| > t0.025}) _⇒ H₀: µ_{X = µY}^を棄却. (5) t0.025^は自由度m = n + k − 2^{のt分布の2.5%臨界値。}

⊲ ∴t値の求め方は異なるが、検定の手順は一標本の_t検定（講義ノート_#20）と同じ。

⊲ ^{検定の結果}H0: µX = µY^{が棄却された場合、「µ}X^とµY^{は統計的に 」、}

「二つの母平均に有意差がある」と言う。

 母平均の差の右片側_t検定（左片側も同様）：帰無仮説、対立仮説は

H₀: µ_{X = µY}, H₁: . (6)

t^{値の求め方は、}(4)^{式と同様。}

⊲ ^{有意水準を}5%とする。右片側検定なので、

⇒ ^{H0: µX} = µY ^を棄却. (7)

t_0.05^は自由度m = n + k − 2^{のt分布の5%臨界値。}

⊲ ^{検定の結果}H0: µX = µY^{が棄却され、}H1: µX ^{> µ}Yが間接的に支持された場合、「_µX は_µYより（統計的に）有意に大きい」と言う。

 例：母平均の差に関する次の仮説を、両側_t検定。

H₀: µ_{X = µY}, H₁: µ_X ^µ_Y. (8) ただし_{X = 50}¯ 、_{Y = 60}¯ 、合併分散_{s = 20}、サンプル数_{n = 8}、_{k = 8}。

⊲ ^{平均の差の}t^値は

t_∗= ¹⁰

20^√1/4 ^{= . (9)}

⊲ ^自由度m = n + k − 2 = 14^{のt分布の右端臨界値はt}0.025= ^。

⊲ −2.145 < t∗= −1 < 2.145 →^{棄却域に入らない。∴母平均に 。}

⊲ ...^{この問題、講義ノート}#18の例（焼き肉店の売り上げの比較）を正式な仮説検定に 模様替えしただけ。

1.2

母平均の差の検定：分析例

 _Remark：母平均の差の検定は、非常に多くの場面で利用される。

⊲ 特に実験データの分析。詳しくは次節。

⊲ 例：医療技術の治験。治療を受けた被験者グループ（処置群）と、比較のため何も 治療を受けない被験者グループ（制御群）で、血糖値や血圧に差があるか検定。

 例：₃₀代男性の飲酒グループ_Xiと飲酒しないグループ_Yiで、血圧の差_{µX− µY}を右片側 検定。厚生労働省『第₅次循環器疾患基礎調査』（₂₀₀₀年）より、

血圧（上） 標本平均 標本分散 サンプル数 毎日₃合以上 _{X = 130.02}¯ _s²

X ^{= 13.1}

2 _{n = 33}

飲酒なし _{Y = 121.50}¯ _s²

Y ^{= 12.92 k = 136}

差 X − ¯Y = 8.52¯

⊲ 合併分散の公式（講義ノート_#18）から、

s² ₌ 32 · 171.61 + 135 · 166.41

32 + 135 ^{= 167.41. (10)}

合併標準偏差は_{s = 12.94}。∴_t値は

t_∗= ^8.52

12.94^√1/33 + 1/136 ^{= 3.39. (11)}

⊲ ^{自由度が大きい}_→標準正規分布の臨界値で近似：_{t0.05≈ Z0.05= 1.645}。

⊲ t_∗= 3.39 > 1.645 ⇒ H^{0 : µX} = µY棄却。飲酒グループの血圧は 。

 例：Carmichale & Thomas (2005)。サッカーにおける、ホーム・アドバンテージに関する 実証分析。

⊲ ^英国の1997-1998 Premier Leagu^、380試合について、ホーム・チームとアウェー・ チームのプレーを比較。（一部抜粋。）

ホーム標本平均 アウェー標本平均 平均差 _t値 ゴール数 _{1.56 1.12 0.43 4.64} 枠内シュート数 _{4.39 3.36 1.03 6.19} バイタルエリアでのパス _{7.18 4.93 2.24 8.49}

味方_GKセーブ数 _{3.33 4.30 -0.97 -5.94}

被イエローカード _{1.29 1.98 -0.68 -7.42}

⊲ 臨界値を標準正規分布で近似した_{t0.025 = 1.960}で両側_t検定すると、これらの変数

全てに 。

⊲ Carmichale and Thomas (2005), “Home-Field Effects and Team Performance: Evidence from English Premiership Football”, Journal of Sports Economics 6(3), pp264-281.

2 ^{処置効果と因果関係}

2.1

^処置効果

 処置群・制御群とアウトカム：新しい治療法や新薬に関する臨床実験（治験）でも、母平 均の差の検定は使われる。専門用語として

⊲ ：治療、投薬など何らかの処置を施された被験者グループ。

⊲ ：比較のため、何も処置を施していない被験者グループ。

⊲ ：処置の結果、差が生じると期待される変数（血糖値、血圧、発がん リスク、余命など）。

 処置効果の検定：処置群のアウトカム_Xiと制御群のアウトカム_Yiの母平均の差

D = µX − µY ⁽¹²⁾

を、 と呼ぶ。その推定値は、標本平均の差_{D = ¯}ˆ _{X − ¯Y}。

⊲ 処置効果の検定の基本は、₍₆₎式の右片側検定。

⊲ H0: µX = µYが棄却されれば、対立仮説_{H1: µX > µY}（期待通りの処置効果あり）の 統計的な証拠となる。

 _Remark：被験者の「これは新薬だから聞くはず」という思い込みや、「お医者さんの期

待に応えなければ」という気負いが、人体に影響を与え得る。

⊲ ^{これを （}placebo effect）と呼ぶ。いわゆる「病は気から」。

⊲ 分析上の問題点：処置群と制御群の平均に有意差が検出されても、それが真の薬効 によるものか、プラシーボ効果によるものか、識別できない。_...極端な話、薬効が 無いのに有意差が出る可能性がある。

 二重盲検法：プラシーボ効果による検定結果のかく乱を防ぐため、現在は次のようなサン プリングが行われる。これを （double-blind test^{）と呼ぶ。}

1. に、彼（彼女）が処置群・制御群のどちらであるかを伝えない。そのうえ で、処置群に新薬を、制御群に効果のない偽薬を投与。_→思い込みによるプラシー ボ効果を防ぐ。

2. も、処置群・制御群の区別がつかない状態で被験者を診断。_→「新薬が 効いてほしい」という分析者側の思い込みや、不正を排除。

2.2

「有意差」は「因果関係」なのか？

 「有意差」の意味するもの： で統計的な有意差が出れば、その原因は分析 者の介入。

⊲ ^例：「発がん物質を投与したマウス（処置群）と投与しないマウス（制御群）で、が んの発生割合は処置群が有意に高かった」_→がんを引き起こした原因は、分析者の 投与した発がん物質。

⊲ ∴^{実験データは、 が明確。}

⊲ ^一方、 では、統計的な有意差が、必ずしも因果関係を意味しない。

 例：「検定の結果、喫煙者は、非喫煙者よりも肺がんリスクが有意に高いことが判明した。」

⊲ 喫煙者は、非喫煙者よりも自分の健康に関心が低い。_→たばこによる害ではなく、 健康管理の違い（ ）が肺がんリスクに影響しているのでは？

⊲ ∴いくら有意差があっても、必ずしも「喫煙」_→「肺がん」の因果関係を意味しない。

 例：「検定の結果、学生時代バスケットボール部だった社会人は、そうでない社会人より 身長が有意に高いことが判明した。」

⊲ バスケで身長が伸びたのではなく、身長が高い人がバスケをしていただけでは？（想 定とは の因果関係。）

⊲ ∴いくら有意差があっても、必ずしも「バスケ」_→「身長」の因果関係を意味しない。

 _Remark：非実験データでは、統計的な有意差 因果関係。自分の_or他者が提示し

た検定結果を解釈する際、注意。

⊲ 一方、コスト面や倫理上の制約から、実験が行えない問題も多い。

⊲ 非実験データから、どうやって因果関係を推測するか？_⇒ の重要な テーマ。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 母平均の差の二標本_t検定。

 処置効果と因果関係：統計的な有意差因果関係。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。 1. 母平均の差に関する次の仮説を、右片側_t検定する。有意水準は_5%。

H0: µX = µY^, H1: µX ^{> µ}Y^. (13) ただし二標本から、_{X = 130}¯ 、_{Y = 100}¯ 、_{s = 20}、_{n = 8}、_{k = 8}を得ている。

(a) t^{値を求めよ。}（計算過程は省略してよい。以下同文。）

(b) ^{適切な臨界値を}t分布表から求め、棄却域を構成せよ。

(c) H₀^{が棄却されれば○、されなければ× と答えよ。}

2. 「自宅に本がたくさんある子供は、本が少ない子供よりも学力テストのスコアが統計的に 有意に高い。よって各家庭に本を配布して回れば、子どもの学力格差を解消できる！」_... この能天気な意見（しかし正当な検定手順を踏まえている）を、因果関係の観点から批評 せよ。