システム工学基礎 2011 講義情報 1

2011年度 工学部 システム創成学科

システム工学基礎

８回目：2011年12月 5日

担 当：青山 和浩

[email protected]

東京大学大学院 工学系研究科 システム創成学専攻

技術経営戦略学専攻（兼任）

（工学部 システム創成学科 知能社会システムコース 担当）

http://www.msel.t.u-tokyo.ac.jp/

2011年度 工学部 システム創成学科

システム創成学概論

７回目：2011年12月 5日

担 当：青山 和浩

[email protected]

東京大学大学院 工学系研究科 システム創成学専攻

技術経営戦略学専攻（兼任）

（工学部 システム創成学科 知能社会システムコース 担当）

http://www.msel.t.u-tokyo.ac.jp/

システムの評価 （代替案の総合評価）

狙い：問題解決をする上で，導出された代替案の価値

や優劣を判定することが要求される．多種多様な要素

から構成されるシステム自体が多様な側面を有してい

るので，どのように評価すべきかを決めること自体が

大きな問題となる．代替案の総合評価に有用な手法を

学習し，評価における意思決定を理解する．

システムの評価の要点

階層構造モデルによる

評価と意思決定

  評価をすると言うことは「意

思決定」をすると言うことに

等しい。

また，

  問題解決のために考案される

代替案や価値の優劣を判定す

ることが「評価」と言える。

  意思決定においては，

  評価者（評価主体），代替案，

評価基準（尺度）の３つが必

要不可欠。

  評価主体と評価基準には何ら

かの関係がある。

  無意識のうちに価値というもの

の存在を信じているが，価値は

決して絶対的ではない。

  工学の対象となる問題（well-

defined problem）では，

明白な評価関数が存在し，数量

的な評価が可能である。ill-

defined problemは？

  価値とは，個人的・主観的な量

であるが，人間が社会を形成し

て集団生活をしていけるのは，

価値観にある程度の共通性・客

観性が存在するからである。

  個人的価値と社会的価値を結び

つけるのがシステム工学の役割

である。

4

システム創成学概論 2011

尺度

  _絶対尺度

  原点と単位が不動のものとして決まっている。計られた量の

数値自体が重要な意味を持つ。物理量など。

  _間隔尺度

  測った数値の差だけに意味がある。個人の体温，文化の地域

差など。

  _順序尺度

  数値で表現した値には意味が無く，大小関係だけが意味を持

つ。順位など。

  _名義尺度

  分類や識別のために数を対応させただけ。選手の背番号，学

籍番号

比較可能性と推移性

  _{比較可能性}

  _推移性

う性質

のいずれかになるとい

か，

必ず，

を取り上げたときに，

代替案の中から２個の

∼

∼

x

y

y

x

y

x





,

がなりたつという性質

必ず

であったならば

で，かつ，

もし，

を取り上げたときに，

任意の３つの代替案

∼

∼

∼

z

x

z

y

y

x

z

y

x





 _,

,

,

6

システム創成学概論 2011

代替案の順序付け

  _半順序

  推移性は成り立つが，必

ずしも全部の代替案が比

較可能でない場合

  _弱順序

  推移性も比較可能性も完

全に成り立つ場合

  無差別な選好も含まれる。

  _全順序

  無差別な選好が無く，全

ての代替案に順位がつけ

られる場合

階層構造モデルによる

システムの総合評価

AHP（階層分析法）

意思決定のための構造化法

AHP法の概要と手法

AHP法

  Analytic Hierarchy Process

  _1971年

  Thomas L. Saaty

  _{ピッツバーグ大学}

  不確定な状況や多用な評価基準における意思決

定手法

  問題を，目標，評価基準，代替案に分解し，設

定した評価基準によって，目標を最も満足する

代替案を選択する方法．

AHP法

December 5, 2011

₁₀

システム創成学概論 2011

レベル２

（レベル _k-1 ）

レベル３

（レベル _k ）

レベル１ _最終目的

評価属性１ 評価属性ｈ 評価属性ｎ

代替案１ 代替案１ 代替案１ 代替案１ 代替案１

評価属性ｈ

最終目的

評価基準１ 評価属性ｈ 評価基準ｎ

代替案１ 代替案 _i 代替案 _j 代替案 _l 代替案 _m

評価基準ｈ

ＡＨＰの階層図の作成

  問題を，目標，評価基準，代替案に分解し，設定した評価基準に

よって，目標を最も満足する代替案を選択する方法．

  同一階層レベルの評価基準は，互いに独立あるいは独立に近いもの

を選定

階層図の要素

AHPのフロー

問題の階層図

を作成

要素間のペア比較

（一対比較）

評価基準毎に

代替案をペア比較

December 5, 2011

₁₂

システム創成学概論 2011

AHP法（第1段階）

  問題に対する要素の抽出

  要素の数は，（７±２）

  _{総合目的は１}

  問題を階層構造に分解

  各レベルの要素間のペア

比較

  重要性の尺度は１，３，

５，７，９

  要素がｎのときｎ（ｎ−

１）／２個のペア比較

AHPの概要（第２段階）

  ペア比較マトリックスを計算

  各レベルの要素間の重みの計算

  線形代数の固有値を利用

  固有ベクトルを計算し，それを正規化したものが重み

[ ]

[ ]

(

_{1 2 3 4 5}

) ^{を求めたい．}

2 1 3 2

1

2 3

2 1

2

1 3

1 2

1 2

1

3 2

1

,

/

1

,

/

1

5

3

1

1

5

/

1

1

1

5

/

1

3

/

1

3

/

1

5

1

3

/

1

1

1

5

3

1

3

1

3

1

3

/

1

1

1

/

/

/

/

/

1

/

/

/

/

1

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

a

a

w

w

a

where

V

IV

III

II

I

V

IV

III

II

I

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

A

A

A

A

A

A

A

a

A

T

n T

ij ji

j i ij

m m

m

m m

n

n

ij

=

=

=

=

 

 

 





 

 

 





=

 

 





 

 





=

=























( )

( )

( 0 . 174 0 . 356 0 . 110 0 . 071 0 . 289 )

1

)

(

0

max max

=

=

=

⋅ =

⋅

−

⋅

⋅ =

∑

T

ij T

w

w

w

n

w

I

n

A

w

n

w

A

したがって，

固有ベクトル

に対する正規化した

は固有値

となり，

固有値

としたとき，

λ

λ

14

システム創成学概論 2011

各要素の重要度の一対比較

mW

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

AW

m

m

m

m

m

=

 

 





 

 





 

 





 

 





=

4

3

2

1

3

2

1

2

3

2

1

2

1

3

1

2

1

1

/

/

/

/

/

1

/

/

/

/

1

















行列Ａの固有値（ _eigenvalue ）の式

m: ^{はＡの１つの固有値}

Ｗ：固有ベクトル (eigenvector ^）

簡便なウェイトの計算（幾何平均法）

[ ]

 

 

 





 

 

 





=

=

1

5

3

1

1

5

/

1

1

1

5

/

1

3

/

1

3

/

1

5

1

3

/

1

1

1

5

3

1

3

1

3

1

3

/

1

1

V

IV

III

II

I

V

IV

III

II

I

a

A

_ij

( )

( ^{0.174 0.356 0.110 0.071 0.289} ) ^{( )}

0.279

0.068

0.144

0.347

0.162

0.279

171

.

6

/

1.719

0.068

171

.

6

/

0.422

0.144

171

.

6

/

0.889

0.347

171

.

6

/

2.141

0.162

171

.

6

/

000

.

1

固有値計算

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

T T V IV II I II I

w

w

w

w

w

w

w

171

.

6

1.719

0.422

0.889

2.141

000

.

1

1.71877193

15

1

5

3

1

1

:

6

0.42168460

75

/

1

5

/

1

1

1

5

/

1

3

/

1

:

6

0.88908953

9

/

5

3

/

1

5

1

3

/

1

1

:

2.14112737

45

1

5

3

1

3

:

0

.

1

1

1

3

1

3

/

1

1

:

5 5

5 5

5 5

5 5

5 5

=

+

+

+

+

=

=

×

×

×

×

=

=

×

×

×

×

=

=

×

×

×

×

=

=

×

×

×

×

=

=

×

×

×

×

V

IV

III

II

I

幾何平均を求める

正規化する（合計が１）

December 5, 2011

₁₆

システム創成学概論 2011

AHPの概要（第３段階）

  _{コンシステンシー指数}

（C.I.）の計算

  C.I.=（最大固有値 − 要

素個数）／（要素個数 −

１）

  _{整合性を評価}

  完全に整合性がある場合

は0

  0.1 以下ならばOK

  各レベルの重み付けを利

用して，階層全体の重み

付けを計算する。

  総合目的に対する各代替

AHPの概要（第４段階）

  _{各レベルの重み付け}

を利用して，階層全

体の重み付けを計算

する。

  _{総合目的に対する各}

代替案の優先順序を

決定する。

0.174 _{0.356 0.110} 0.071 0.289

0.163 0.530 0.307

December 5, 2011

₁₈

システム創成学概論 2011

例題１：車の購入（便益性 １階層）

例題１：車の購入（費用 １階層）

便益性と費用から選択する

December 5, 2011

₂₀

システム創成学概論 2011

例題２：誘致球団の選択（２階層）

例題２：誘致球団の選択（２階層）

December 5, 2011

₂₂

システム創成学概論 2011

意思決定問題の構造化（ISM法）

意思決定に関する階層構造

24

システム創成学概論 2011

ペア比較（シナリオ１） レシピエントの選択基準を重視

選好要因に関する代替案のペア比較 ^{（シナリオ１）}

December 5, 2011

₂₆

システム創成学概論 2011

選好順序の算出（シナリオ１）

ペア比較／選好順序の算出 ^{（シナリオ２，３）}

ドナーの選択基準を重視

社会的合意を重視

December 5, 2011

₂₈

システム創成学概論 2011

閑話休題：選好順序の逆転

情報のDL方法

  本講義「システム工学基礎」に関する情報は，

下記URLよりDLできるようにしている。

https://sites.google.com/a/m.sys.t.u-

tokyo.ac.jp/class/e_system/

  _{アップされる情報}

  講義で使用する資料，参考情報／URL など

  受講に関する注意事項，アナウンス など

  講義で紹介した手法のツール

  AHP法のツールはMS-Exelで用意してある．

  ツール：AHP.xls

  講義資料：20101209.pdf

システム創成学概論 2011

30

社会的意思決定手法

：選好順位付け

一対比較法 順位法

CR法

出典：わかりやすい意思決定入門 ̶基礎からファジイ理論まで̶：木下栄蔵 著 pp.95-110

順位法

出典：わかりやすい意思決定入門 ̶基礎からファジイ理論まで̶：木下栄蔵 著 pp.95-100

美人コンテスト：投票結果

  各審査員（50名）が5人の候補者の美人度を

チェックし，順位Ⅰから順位Ⅴまで順列化する

加重平均による順位付けの問題点

  各順位を等間隔と仮定

  最上位，最下位は決めやすい

  → 真ん中付近の順位は決めにくい

仮定： ・各順位は，標準正規分

布の面積を等しく分割す

るように存在する．

・各順位の重みをそれぞ

れの順位が占める面積を

等分する位置に定める．

候補者が５の場合，５等分

34

システム創成学概論 2011

標準正規分布を仮定した順位付け

比較

December 5, 2011

₃₆

システム創成学概論 2011

比較

一対比較法

出典：わかりやすい意思決定入門 ̶基礎からファジイ理論まで̶：木下栄蔵 著 pp.100-104

シナリオの順位付け

  _シナリオ

（A，B，C）の

順位付け

P(A>B)=６／１０

ABCはAが最も好ましく，

Cが最も好ましくない

選好尺度値の算出 （正規分布での期待値）

40

システム創成学概論 2011

選好尺度値の算出 （正規分布での期待値）

CR法

出典：わかりやすい意思決定入門 ̶基礎からファジイ理論まで̶：木下栄蔵 著 pp.104-110

車種の評価

  プラス・マイナス５点法

  最も素晴らしい候補に５点

  最も駄目な候補に−５点

  その他の候補には，−５点から＋５点

総合評価の問題

  単純に 各審査員の得点を集計し，各対象ごとの

総合得点の順序で評価して良いのか？

  反対意見をどのように扱うのか？

  微妙な評価の差をどのように扱うのか？

１５ ー３０ １７ ５ ３ ９ ー９

December 5, 2011

₄₄

システム創成学概論 2011

集団の総合評価を求める

審査員 _l の対象 _i,j に対する Contribution function

審査員 _l の対象 _i,k に対する Contribution function

審査員 _l の対象 _i,j,k に対する Contribution function

個人の Contribution function の和を集団の選好とした場合

反対意見を重視，微妙な評価の差を除去することを考慮

w

_l

=1, λ=0, θ=0

意見の一致度

弱い関係

車種の評価グラフ（λ，θの変更）

December 5, 2011

₄₆

システム創成学概論 2011

美人コンテスト

評価グラフ

48

システム創成学概論 2011