代数学ＩＢ2016冬学期ー可換代数入門 Akira Masuoka

2016年度冬学期 大学院向け授業

可換代数入門

担当 増岡 彰

U. G¨ortz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I, Schemes with Examples and Exer-

cises, Vieweg+Teubner Verlag (Springer Fachmedien), 2010

^．

上記テキストに，代数幾何学を学ぶために必要な，可換代数に関する基礎知 識を鮮やかにまとめた，

Appendix B, Commutative Algebra, pp.547–572,

^がある

(Springer

社 同テキストのウェブサイトから入手可能

₎

．これに沿い，証明・注

釈等を加える形で講義を進める．末尾に演習題を加えた．

₍₁₎

途中省略した証 明，

₍₂₎

実例，

₍₃₎

扱われなかった基本事項，以上を補うことを意図している． 断らない限り，環は乗法単位元１をもつ可換環を意味する．環の射は１を１ に写すものとする．

1. 環に関する基本的定義

A

^{を環とする．} 元

_{a ∈ A}

が

(1)

^零因子

(zero-divisor): ab = 0

^なる

0 , b _{∈ A}

^{が存在する}

.

(2)

^正則

(regular): a

が零因子でない．同値に

_{, a}

倍

_{: A → A}

が単射．

(3)

^単元

(unit): ab = 1

^なる

b _{∈ A}

^{が存在する}

.

(4)

^ベキ零

(nilpotent):

^ある整数

n _{≥ 1}

^に対し

a

ⁿ

= 0.

(5)

^既約

(irreducible): a

^{は単元でなく，}

a = bc

^ならば

b

^または

c

^が単元．

(6)

^素

(prime):

^{単項イデアル}

(a)

が非零素イデアル．または同値に，

_a

は零元

 でも単元でもなく，

_{a | bc}

ならば

_{a | b}

または

_{a | c.}

(7)

^ベキ等

(idempotent): a

²

= a.

A

の単元全体は乗法に関してアーベル群をなす．これを

_A

^×で表す． 環

_A

が

(1)

^整域

(integral domain): A , 0

^{かつ零因子を含まない}

.

(2)

^体

(field): A , 0

^{かつすべての元}

^, 0

^が単元．

(3)

^局所環

(local):

ただ１つの極大イデアルをもつ

_.

(4)

^半局所環

(semi-local):

^{極大イデアルが有限}

(> 0)

^個

.

(5)

^被約

(reduced):

^ベキ零元

^, 0

^{を含まない}

.

(6)

^{単項イデアル整域}

= PID (principal ideal domain):

^{整域であって，すべて}  のイデアルが１元生成

_.

イデアル

_{a ⊂ A}

が

(1)

^{素イデアル}

(prime ideal): ^{a ,} A

^，かつ

ab _{∈ a}

^ならば

a _{∈ a}

^または

b _{∈ a.}

 または同値に

_A/a

が整域．

(2)

^{極大イデアル}

(maximal ideal): ^{a ,} A

^，かつ

^a ( b ( A

^{なるイデアル}

b _{⊂ A}

 が存在しない．または同値に

_A/a

が体．

(3)

^ベキ零

(nilpotent):

^ある整数

n _{≥ 1}

^に対し

a

ⁿ

= 0.

(4)

^{単項イデアル}

(principal ideal):

^１元生成

.

真のイデアル

_{a ( A}

はある極大イデアルに含まれる¹．

_A

の素イデアル全体か らなる集合を

_{Spec A}

で表す．

命題_{1 (}中国剰余定理

_{) A}

のイデアル

a

₁

, . . . , a

n^{が互いに素（すべての}

i , j

に対し

_a

_i

_{+ a}

_j

_{= A}

）ならば，

^∩

_i

_a

_i

₌ ^∏

_i

_a

_i であって，射影

_{A → A/a}

_iたちが与 える環の射

_{A →} ^∏

_i

_A/a

_iが同型

A/ ^∏

i

a

_i

_−→

^

^∏

i

A/a

i

を引き起こす．

証明 n に関する帰納法．n = 2 の場合．a1_{∩ a}2= (a1_{∩ a}2)(a1+ a2)_{⊂ a}1^a2_{⊂ a}1_{∩ a}2^よ

り_{a1∩ a2= a1a2}．環準同型定理により，あと標準射_{A→ A/a1× A/a2}が全射を示せば よい．a₁+ a₂= A より A/a₁(または A/a₂) の勝手な元はある元 x_{2∈ a2}(または x_{1 ∈ a1}) を以て_{x2mod a1(または x1mod a2) の形．(x2mod a1, x1mod a2) はたしかに x1+ x2}の 像．n > 2 の場合．A =^∏n_i=2(a₁+ a_i)_{⊂ a1}+ a₂. . . a_{n⊂ A より a1}+ a₂. . . a_n= A．帰納法 の仮定をa₂, . . . , an^{に適用すれば，}r = 2 の場合の結果から示すべき結果が従う．

A

^{のイデアル}

^a _{⊂ A}

^に対し

(1.1) ^{√ a} := { f ∈ A ; ∃r ∈ Z

≥0

^{: f}

^r

∈ a} = ^∩

p_{⊃a 素イデアル}

p

を

a

の根基

_(radical)

と呼ぶ．イデアル

a

が根基イデアル

(radical ideal)

^である とは

_{, a =}

√ a

^{のとき，同値に}

A/a

^{が被約のときにいう．}

A

^{のイデアル}

a

^に対し

a

^{極大イデアル}

_{⇒ a}

^{素イデアル}

_{⇒ a}

^{根基イデアル}

.

零イデアルの根基

√ 0

はベキ零元全体からなる．これを

_A

のベキ零根基

_(nil-

radical)

^{と呼ぶ．この}

^√ 0

は有限生成であればベキ零イデアルである．

r(A) := {a ∈ A ; ∀b ∈ A : 1 − ab ∈ A

^×

} = ^∩

m_{⊂A 極大}

m

を

_A

の_Jacobson根基と呼ぶ

_.

A

が局所環のとき，その唯一の極大イデアルを

m

_Aで，剰余体を

_{κ(A) = A/m}

_A で表す．局所環の間の射

_{φ : A → B}

が局所的

_(local)

とは，

_φ(m

_A

_{) ⊂ m}

_Bを意 味する．省略した言い回しとして，

_“A

が

m

を極大イデアルにもつ局所環

_”

の

代わりに

_{“(A, m)}

が局所環

_”

を用いる．

命題₂

(1)

^{素イデアル}

^p

^{が有限個のイデアル}

^a

1

, . . . , a

r^の積

^∏

i

^a

i^{を含めば，ある}

i

^に対し

p _{⊃ a}

_i

:

^すなわち

p _⊃ ^∏

i

a

_i

⇒ ∃i : p ⊃ a

i

^.

p = ^∩

_i

a

_i^または

p = ^∏

_i

a

_i^ならば

,

^ある

i

^に対し

p = a

_i

.

1イデアルの包含を順序として_Zornの補題を適用して示される．素イデアルの包含の逆を

順序として次が示される．環において，勝手な素イデアルに含まれる極小素イデアル₍真に小 さい素イデアルを含まない素イデアル₎が存在する_.

2

(2) (prime avoidance)

^イデアル

a

^{が有限個の素イデアル}

p

₁

, . . . , p

_r ^の和集 合

∪

i

^p

i^{に含まれれば，ある}

i

^に対し

^a _{⊂ p}

i

:

^すなわち

a _⊂ ^∪

i

p

_i

⇒ ∃i : a ⊂ p

ⁱ

^.

証明 (2) p₁, . . . , p_rの間に包含関係なしと仮定してよい．r に関する帰納法．r = 2 の 場合．a 1 p_i, i = 1, 2 と仮定し xi _{∈ a \ p}i, i = 1, 2 を選ぶ．a_{\ p}1_{∪ p}2^{が空でないの}

を示すのに，x₁, x2ともにこれに含まれないとすると（x_{1∈ p2\ p1}, x2 ∈ p1\ p2^より

x1+ x2^<p1_{∪ p}2^ゆえ）x1+ x2^{が含まれる．}(この場合，p1, p2は素イデアルでなくてよ い_.) r > 2 の場合．_{∀i : a 1 p}i^{と仮定する．}r− 1 の場合の結果から，x ∈ a \^∪ri=1^−1piが

存在．p_rが素イデアルゆえap₁. . . p_r−11p_r. y_{∈ ap1}. . . p_{r−1\ pr}を選ぶと，x, x + y はと もにa に含まれるが，どちらかは p₁, . . . , prのいずれにも含まれない．実際，_{x，x + y} ともにp₁, . . . , p_r−1のいずれにも含まれない．x_{∈ pr}とすれば, y < p_rゆえx + y < p_r． x + y_{∈ p}r^{とすれば，}y < pr^ゆえx < pr. ^

代数

A-

^代数

(A-algebra)

^とは

,

^環

B

^と

A

^{からの環の射}

_{φ : A → B}

^{の組をいう．通常}

φ

は表記せず，

_φ(a)b

（ここに

_{a ∈ A, b ∈ B}

）に替えて

_ab

とかく．この

_A

の元と の積により

_A-

代数

_B

は

_A-

加群になる．

_(T

_i

₎

_i∈Iを変数の族にもつ多項式全体か らなる

_A-

代数を

_A[(T

_i

₎

_i∈I

_]

で表す．我々が用いるのはほとんど，

_{I =} {1, . . . , n}

が有限集合の場合で，その場合

_A[T

₁

, . . . , T

_n

]

^とかく．

B

^を

A-

^{代数とする．}

B

^{の元からなる族}

(b

i

)

i_∈I ^{が生成する}

B

^の

A-

^{部分代数を}

A[(b

_i

)

_i∈I

] (

^再び

I = {1, . . . , n}

^の場合

^A[b

1

, . . . , b

_n

])

^で表す．

β(T

_i

) = b

_i

( _{∀i ∈ I)}

を満たす

_A-

代数射

_{β : A[(T}

_i

₎

_i∈I

_{] → A[(b}

_i

₎

_i∈I

_]

がただ１つ存在する．

_β

が単射の 場合，

_(b

_i

₎

_i∈Iは

_A

上代数的に独立

(algebraically independent)

^{であるという．}

T

1

, . . . , T

n ^{を変数とし}

A

^{に係数をもつ}

,

形式ベキ級数全体からなる

_A-

代数を

A[[T

₁

, . . . , T

_n

]]

^で表す．

2. 加群に関する基本的定義

A

^{を環とする．}

M

^を

A-

^{加群とし，}

N, N

^′を

M

の部分加群とする．このとき

(N : N

^′

) := {a ∈ A ; aN

^′

⊂ N}

は

_A

のイデアルになる．

Ann(M) := (0 : M)

^を

M

^{の零化イデアル}

(annihilator)

と呼ぶ．

_{Ann(M) = 0}

の場合，

_M

は忠実

_(faithful)

であるという．

中山の補題のいくつかのバージョンを記す． 命題₃

_M

を

_A-

加群，

a _{⊂ A}

をイデアルとする．

(1) M

^{が有限生成で}

, M = aM

^{を満たせば，ある}

x ≡ 1 (mod a)

^を以て

xM = 0.

(2) u : N _{→ M}

^を

A-

^{加群射とする．}

(i) a

^{がベキ零，または}

(ii) M

^が有限生 成かつ

_{a ⊂ r(A)}

ならば

_{, u}

が全射

_{⇔ u ⊗}

_A

_id

_A/a

_{: N/aN → M/aM}

が全射．

(3) (A, m)

^{が局所環で}

M

^{が有限生成とする．}

M

^の元たち

m

₁

, . . . , m

_r^が

M

を生成する

_⇔

それらの像が

_A/m-

ベクトル空間

_M/mM

を生成する．

3

証明 (1) M の生成系 m₁, . . . , mr^{を選んでm =t(m}1, . . . , mr) とおく. M = aM より， a に成分をもつあるr× r 行列 F に対し m = Fm ∴ (I − F)m = 0. I − F の余因子行列 を左から掛けると，x = det(I− F) を以て xm = 0 ∴ xM = 0. 明らかに x ≡ 1 (mod a)． (2) M = aM の場合，(i) または (ii) が成り立てば M = 0. 実際 (i) の場合, aⁿ = 0 とす れば_{M = a}ⁿ_{M = 0.} (ii) の場合 (1) が使える．(1) にいう x はいま単元ゆえ M = 0. 示した結果をCoker(u) に適用して⇐ が従う. ⇒ は自明．

(3) u : A^r_{→ M, u(}^∑_iaiei) =^∑_iaimi^に(2), (ii) の場合を適用せよ． ^

系₄ 有限生成

_A-

加群

_M

の全射自己準同型

_{u : M → M}

は必ず同型である． 証明 T m := u(m) により A-加群構造を延長して, M を A[T ]-加群と見なせる．T M = u(M) = M ゆえ，命題 3 (1) を環 A[T ] とイデアル (T ) に適用可能．ある b _{∈ A[T ] を} 以て(1 + bT )M = 0 が従う．m∈ Ker u とすれば, m = m + bu(m) = (1 + bT )m = 0.  命題5 (Five Lemma) ^{各行完全なる}

A-

^{加群の可換図式}

M

₁

M

₂

M

₃

M

₄

M

₅

N

₁

N

₂

N

₃

N

₄

N

₅

// // // //

// // // //

u1



u2



u3



u4



u5



において

_{, u}

₁全射

_{, u}

₂

_{, u}

₄単射

_{⇒ u}

₃単射

_{; u}

₂

_{, u}

₄全射

_{, u}

₅単射

_{⇒ u}

₃全射

_.

自由加群

A-

^加群

M

^が自由

(free)

^{とは，ある集合}

I

^{に対し同型}

A

^(I)

:= ^⊕

_i∈I

A _{−→ M}

^{ が} 存在するときにいう．

_{A , 0}

であれば

_I

の濃度は

_M

により一意に決まり，

_M

の 階数

_(rank)

と呼ばれる．

_A

^(I)において，

_j-

成分が

_δ

_{i j}であるような元

_e

_i

_{∈ A}

^(I)か らなる族

_(e

_i

₎

_i∈Iは基底をなす．これを

_A

^(I)の標準基底

(standard basis)

^と呼ぶ

.

加群の長さ

A-

^加群

M , 0

^が単純

(simple)

^とは，

0

^と

M

よりほかに部分加群をもたないと き，同値にある極大イデアル

_m

に対し

_{M  A/m}

となるときにいう．

_A-

加群

M

^の組成列

(composition series

^{）とは，部分加群の鎖}

0 = M

0

_{⊂ M}

1

⊂ · · · ⊂ M

^ℓ

^{= M}

で

_,

すべての

i = 1, . . . , ℓ

^に対し

M

_i

/M

_i−1^{が単純なるものを指す}

.

M

^{が組成列をもてば，}

M

_i

/M

_i−1たちの同型類がなす列は，順序を除き

_M

のみ による．とくに

_ℓ

は

_M

のみによる．これは

_M

の長さ

_(length)

と呼ばれ

_{, lg}

_A

_(M)

で表される．

_M

が組成列をもたない場合は

_lg

A

^{(M) :=} ∞

^とする．

0 _{→ M}

^′

_{→ M → M}

^′′

_{→ 0}

^が

A-

^{加群の完全列のとき，}

M

^{が有限の長さをも}

つためには，

_M

^′

_{, M}

^′′ がともに有限の長さをもつことが必要十分．その場合，

lg

_A

(M) = lg

_A

(M

^′

) + lg

_A

(M

^′′

)

^{が成り立つ}

.

加群のねじれ

A-

^加群

M

^に対し

M

tors

:= _{{m ∈ M ; ∃}

^正則元

a ∈ A : am = 0}

4

は

_M

の部分加群（

∵

正則元全体が積閉）．これを

_M

のねじれ部分

_(torsion

module)

^と呼ぶ．

M

tors

= 0

^の場合，

M

^{はねじれをもたない}

(torsion free)

^と いう．

3. 加群と代数に関する有限性

定義₆

_M

を

_A-

加群とする．

(1) M

^{が有限生成}

(finitely generated)

^{または有限型}

(of finite type)

^であると は

_,

ある整数

_{n ≥ 0}

に対し全射

_A

ⁿ

_{→ M}

が存在するときにいう．

(2) M

^{が有限表示をもつ}

(finitely presented)

^とは

,

^ある整数

n, m _{≥ 0}

^に対し

完全列

_A

^m

_{→ A}

ⁿ

_{→ M → 0}

が存在するときにいう．

命題₇

_{0 → M}

^′

_{→ M → M}

^′′

_{→ 0}

を

_A-

加群の完全列とする．

(1) M

^′

, M

^′′がともに有限型（または有限表示をもつ）ならば

_{, M}

も有限型

（または有限表示をもつ）

_.

(2) M

^{が有限型で}

M

^{′′が有限表示をもてば，}

M

^{′は有限型である．}

(3) M

^{が有限表示をもち}

M

^{′が有限型ならば，}

M

^{′′は有限表示をもつ}

.

証明 _{(1) 全射 u}^′_{: A}^m_{→ M}^′_{, u}^′′ _{: A}ⁿ _{→ M}^′′が与えられたとき，A-加群射 u : A^m_⊕Aⁿ_→ M で次を可換図式にするものが存在する．

0 A^m A^m_{⊕ A}ⁿ Aⁿ 0

0 M^′ M M^′′ 0

//

包含

//

射影

// //

// // // //

u^′



u



u^′′



Five Lemma から u は全射．よって M は有限型．有限表示に関しては，あと Snake Lemma を使えばよい．

(2) 全射 u : A^ℓ → M と完全列 0 → L → A^{n u}→ M^{′′ ′′} → 0 (L は有限型) が与えられたと き，各行完全なる可換図式

0 P A^ℓ Aⁿ

0 M^′ M M^′′ 0

// //

^v

//

// // // //



u



u^′′



を得る．_{v の存在は，A}^ℓの自由性と_u^′′の全射性から．これを全射としてよい．実際， 必要なら_A^ℓ に_Aⁿを直和し，この直和因子から_Aⁿへの射を恒等射に，_{M への射を} M _{→ M}^{′′との合成が}u^′′に一致するように選べばよい．v が全射であれば, 第１行は 分裂短完全列．従ってP は有限型．Snake Lemma から，L のある全射像 N に対し完 全列P_{→ M}^′→ N → 0 を得る．従って M^{′は有限型．}

(3) 0 _{→ L → A}^ℓ → M → 0 (L は有限型) を完全列とする． M^{u ′} → M を包含と見て P = u⁻¹(M^′) とおく．この定義から次の各行完全なる可換図式を得る．

0 P A^ℓ M^′′ 0

0 M^′ M M^′′ 0

// // // //

// // // //



u



id_M′′



5

Snake Lemma から P _{→ M}^′の核はL に同型．従って有限型．M^′が有限型ゆえP も そう．第１行短完全列から_M^′′は有限表示をもつ． 

系_7a

_A-

加群

_M

に対し次が互いに同値になる．

(i) M

^{が有限表示をもつ．}

(ii)

^{有限表示をもつある}

A-

^加群

L

^から

M

^への全射

f : L _{→ M}

^で，核

Ker( f )

が有限生成なるものが存在する．

(iii) M

が有限生成，かつ有限生成

_A-

加群から

_M

への全射の核が必ず有限

生成である．

証明 前命題_{(2) から (i)}⇒ (iii) が，(3) から (ii) ⇒ (i) が従う．(iii) ⇒ (ii) は自明． 

定義₈

_B

を

_A-

代数とする．

(1) B

^{が有限生成}

(finitely generated)

^{または有限型}

(of finite type)

^であると は

_,

ある整数

_{n ≥ 0}

に対し

_A-

代数全射

_{π : A[T}

₁

, . . . , T

_n

] _{→ B}

^が存在す るときにいう．

(2) B

^{が有限表示をもつ}

(finitely presented)

^とは

,

^{上のような}

π

^で

Ker π

^が 有限生成イデアルなるものが存在するときにいう．

A-

代数が有限表示をもてば有限生成である．

_A

が

_Noether

であれば逆も成り 立つ．これは

_Hilbert

基底定理（命題

₃₂

）による．

補題₉

_R

を環とし，

_(A

_λ

₎

_λ∈Λ を

_R-

代数の有向²帰納系，

_{A = lim}

−→

^A

^λ

する．

_B

が有限表示をもつ

_A-

代数であれば，ある

_{λ ∈ Λ}

に対し有限表示をもつ

_A

_λ

_-

代 数

_B

_λが存在して

_{B  A ⊗}

_A

λ

^B

λ ^{が成り立つ3．}

証明 _{B  A[T1}, . . . , Tn]/( f1, . . . , fr) とする. 十分大きな λ∈ Λ を選べば, すべての i に 対し，_fiはある_{gi∈ Aλ[T1}, . . . , Tn] の像になる（各 fi^{の係数がすべて}Aλ_{→ A の像に}

入る）．このときB  A_⊗AλA_λ[T₁, . . . , Tn^]/(g1, . . . , gr^{). }

命題₁₀

_{A → B → C}

を環の射とする．

(1) B

^{が有限表示をもつ}

A-

^{代数，かつ}

C

^{が有限表示をもつ}

B-

^{代数ならば，}

C

^{は有限表示をもつ}

A-

^{代数である．}

(2) C

^{が有限表示をもつ}

A-

^代数で，

B

^{が有限生成}

A-

^{代数であれば，}

C

^は

有限表示をもつ

_B-

代数である．

_{B → C}

が全射であれば，その核は有 限生成イデアルである．

証明 (2) (前半) A-代数全射 A[T1, . . . , Tn]→ C の核が有限生成とすると，その B へ の係数拡大 _B[T1, . . . , Tn] _{→ B ⊗}AC の核もそう．あと, C の積が与える B-代数全射 B_⊗AC→ C の核が有限生成を示せばよい．B = A[b1, . . . , br^{] とし， b}i^{のC での像を}

ciとすれば，問題の核は有限個の_bi⊗ 1 − 1 ⊗ c^{i, 1}≤ i ≤ r, で生成される． (後半) B- 代数全射B[X₁, . . . , Xm^]→ C は，B[X1, . . . , Xm^]→ B → C と分解する (Xi^{のC におけ}

る像が B に持ち上がる)．Five Lemma から，第２の全射の核は第１の核の全射像ゆ え，後者の有限生成が前者のそれから従う_. 

定義₁₁

_A-

代数が有限

_(finite)

とは，

_A-

加群として有限生成であることを意味 する．

2_Λ

は擬順序集合(pre-ordered set; 順序が反対称律を満たさずともよい_). これが有向的を仮 定．すなわち∀λ, µ ∃ν : λ ≥ ν ≤ µ.

3

代数として有限生成だけではこの結果が得られないことに注意せよ_. 6

明らかに，有限

_A-

代数は有限生成である．

命題₁₂ 有限

_A-

代数

_B

が

_A-

加群として有限表示をもつ

_{⇔ A-}

代数として有限 表示をもつ．

証明 一般に，環A は唯一の方法で Z-代数となり，また有限生成 Z-部分代数（必然 的にNoether）たちの有向帰納極限として表されることに注意．

(_{⇒) A}^m_{→ A}ⁿ→ B → 0 を A-加群の完全列とする．これはある有限生成 Z-部分代数 A0_{⊂ A と部分環 B}0⊂ B に対して与えられる，A^{0-加群の完全列 Am}0 → Aⁿ0→ B⁰→ 0 の，A0→ A に沿った係数拡大に一致する．^{（第１の射Am}→ A^{nの標準基底に関する} 表現行列の全成分を_{ai j}∈ A とする．さらに第２の全射 Aⁿ→ B による標準基底 e^iの 像_{bi∈ B を以て，bibj=}^∑n_{k=1ci jkbk}を満たす_{ci jk}∈ A を選ぶ．すべての a^{i j, ci jkで生成} されるZ-部分代数 ⊂ A を A^{0, すべての biで生成されるA0-部分加群}⊂ B を B^{0— そ} れは_A0-部分代数 — とすればよい．^{）明らかに}B0^はNoether 環 A0^{上の代数として有}

限生成．∴ 有限表示をもつ．従って_{B = A⊗A}

0^B0

4

はA-代数として有限表示をもつ． (⇐) 補題 9（の証明）と上の注意から，A-代数 B のある生成系 b1, . . . , br^とある有

限生成_{Z-部分代数 A0⊂ A を以て B0= A0[b1}, . . . , br] とおくと，B = A_⊗A₀B0^．B0^が

A₀-加群として有限表示をもつ，同値に有限生成を示せばよい．有限 A-代数の仮定か ら，各_biはA 上整，すなわちある A-係数モニック多項式 fi^{の根（命題}51 を見よ）． Z-代数 A0^{の生成系に} fiたちの係数すべてを加えて得られるZ-部分代数 ⊂ A を改め て_A0とできる．このときすべての_biは_A0上整，従って_B0は有限生成_A0-加群. 

定義₁₃

_A-

代数が本質的に有限型

(essentially of finite type)

^{とは，有限型}

A-

代数の局所化に同型であることを意味する．

4. 射影的加群，平坦加群，忠実平坦加群

A

^{を環とする．}

定義

_/

命題₁₄

_A-

加群

_P

が射影的

(projective)

とは，次の互いに同値な条件が

満たされるときにいう．

(i)

^関手

Hom

_A

(P, ₋₎

が右完全．すなわち勝手な

_A-

加群全射

_{p : M ։ M}

^′ と

_A-

加群射

_u

^′

_{: P → M}

^′に対し，

_{p ◦ u = u}

^′ なる

_A-

加群射

_{u : P → M}

が存在する．

(ii) M

^への全射

p : M _{→ P}

^{が必ず分裂．すなわち}

p _{◦ i = id}

_P^なる

A-

^加群 射

_{i : P → M}

が存在する．

(iii) P

^{はある自由}

A-

^{加群の直因子．}

定義

_/

命題₁₅

_A-

加群

_M

が平坦

_(flat)

とは，次の互いに同値な条件が満たされ

るときにいう．

(i)

^勝手な

A-

^{加群の完全列}

N

^′

_{→ N → N}

^{′′ をテンソルした}

N

^′

_⊗

_A

M _→

N _⊗

A

M _{→ N}

^′′

_⊗

A

M

^{もまた完全．}

(ii)

勝手な有限生成イデアル

_{a ⊂ A}

に対し

_{a ⊗}

_A

_M → M, a ⊗ m 7→ am

^が 単射．

(iii) M

^{を余核にもつ短完全列}

0 → E → F → M → 0

^と勝手な

^A-

^加群

^N

^に 対し，

_{0 → E ⊗}

_A

_{N → F ⊗}

_A

_{N → M ⊗}

_A

_{N → 0}

が完全．

4

前注意同様，_Bが有限生成_A-加群だけではこれが得られないことに注意_. 7

(iv) M

^{を余核にもつ短完全列}

0 → E → F → M → 0

^{において，}

^E

^が平坦

⇔ F

^が平坦．

証明 (i) は次と同値.

(i^′) 勝手な (同値に有限生成, 同値に１元生成) A-加群 N に対し, Tor₁^A(M, N) = 0. (i^′)⇔ (ii)．イデアル a ⊂ A に対し，短完全列 0 → a → A → A/a → 0 が引き起こす完 全列_{0 = Tor}^A

1^{(M, A)}→ Tor^A1^{(M, A/a)}→ a ⊗^AM→ M から，Tor^A1(M, A/a) = 0 _{⇔ 標準} 射_a⊗AM → M, a ⊗ m 7→ am が単射．この ⇒ から (i^′)⇒ (ii)．勝手なイデアル a は 有限生成イデアルの有向和集合^∪_λa_λとして表せる．(ii) を仮定すれば上の標準射 (= 標準単射a_λ⊗AM→ M の帰納極限) は単射ゆえ，先の ⇐ から (i^{′) が従う．}

(i^′)⇒ (iii). 容易．(i^′)⇐ (iii). F が自由（従って平坦）であるように短完全列を選び Tor^A₁(M, N) = 0 を得る．

(i)⇒ (iv). (i) のもと Tor^An(M, N) = 0, n = 1, 2 ゆえ，自然な射 Tor^A₁(E, N)_{→ Tor}^A₁(F, N) は同型. よって二者が 0 になるのは同時．(i)⇐ (iv). 平坦 A-加群 E = 0 に対し短完 全列_{0→ E → M}

→ M → 0 を選べ.id ^

定義

_/

命題₁₆

_A-

加群

_M

が忠実平坦

(faithfully flat)

とは，次の互いに同値な 条件が満たされるときにいう．

(i) A-

^加群の列

N

^′

_{→ N → N}

^{′′が完全}

_{⇔ N}

^′

_⊗

A

M _{→ N ⊗}

A

M _{→ N}

^′′

_⊗

A

M

が完全．

(ii) M

^{が平坦，かつ}

N _⊗

A

M = 0

^を満たす

A-

^加群

N

^は

0

^に限る．

(iii) M

が平坦，かつ各極大イデアル

m _{⊂ A}

に対し

_{M , mM.}

証明 (ii)⇒ (i). (ii) を仮定する．A-加群射 w : N^′→ N^{′′が0 射} ⇔ w ⊗A^idM^{が0 射}

(∵ Im(w) と Im(w_⊗idM) = Im(w)_⊗AM は同時に 0) に注意. A-加群の列 N^′_{→ N}^u _{→ N}^{v ′′が} 与えられ，_N^′_{⊗AM→ N⊗AM→ N}^′′_⊗AM は完全とする．上の注意を v◦u に適用し v◦u = 0, すなわち Im(u)⊂ Ker(v) を得る．Ker(v)/Im(u) ⊗A^{M = Ker(v}⊗ idM^)/Im(u⊗ idM^{) = 0}

よりKer(v)/Im(u) = 0．∴ 与えられた列は完全． ^

例₁₇

_{A → B}

を局所環の局所的射とし，

_{M , 0}

を有限生成

_B-

加群で

_A

上平 坦とする．このとき，

_M

は

_A-

加群として忠実平坦．実際，命題

₁₆

により，

_A

の極大イデアル

m

に対して

_{M , mM}

を確かめればよい．仮定から

m _B

は

_B

の極大イデアルに含まれるから，

_{M = mM}

とすると中山の補題（命題

₃

）か ら

_{M = 0}

が従う．

A-

^代数

B

が平坦または忠実平坦とは，

_B

が

_A-

加群として平坦または忠実平坦 であることを意味する．

例₁₈

_{n ≥ 0}

に対し，多項式環

_A[T

₁

, . . . , T

_n

]

^{は忠実平坦}

A-

^{代数（非零自由加} 群ゆえ忠実平坦）

_{. A}

が

_Noether

であれば，形式ベキ級数環

_A[[T

₁

, . . . , T

_n

]]

^は忠 実平坦

_A-

代数．また，

_A

のイデアル

_a

に対し

_A[[T

₁

, . . . , T

n

]]/aA[[T

1

, . . . , T

n

]] =

(A/a)[[T

₁

, . . . , T

_n

]]

⁵

.

次に示す不変性は定義から直ちに従う．

命題_{19 P}を次のいずれかの性質とする．有限型，有限表示をもつ，自由， 射影的，平坦，忠実平坦．

5命題_{39 (1)}を_A[T1, . . . , Tn]^{とイデアル}(T1, . . . , Tn)^に適用しA[[T1, . . . , Tn]]^はA[T1, . . . , Tn] 上，従って_A上平坦．イデアル_aが有限生成であることから，容易に_A[[T1, . . . , T_n]]_⊗AA/a  (A/a)[[T1, . . . , Tn]]^{．これより先の}A上平坦は忠実平坦に強まる_.

8

(1) A-

^加群

M, N

^が性質P^をもてば

M _⊗

_A

N

^{も同じ性質をもつ．}

(2) A-

^加群

M

^が性質P^をもてば

,

^環の射

A _{→ B}

^{による係数拡大たる}

B-

^加

群

_{B ⊗}

_A

_M

も同じ性質をもつ．

(3)

平坦加群たちの有向帰納極限はまた平坦．

(4) A-

^加群の族

(M

_i

)

_i∈I ^{に対し，直和}

^⊕

_i∈I

M

_i が射影的（または平坦）

_⇔

すべての

_{i ∈ I}

に対し

_M

_iが射影的（または平坦）

_.

証明 (1) P が有限表示をもつの場合．完全列 A^m_{→ A}ⁿ→ M → 0 を選び ⊗^{AN を施す} と，完全列N^m_{→ N}ⁿ_{→ M ⊗A}N→ 0 を得る．ここで N^{nは有限表示をもち，M}⊗A^N

への全射の核は有限生成．あと命題7 (3) を適用せよ. ^

自由加群は射影的，射影的加群は平坦である．とくに

_{A = k}

が体の場合，す べての

_k-

ベクトル空間は平坦．整域

_A

上の平坦加群

_M

はねじれをもたない⁶

_.

命題₂₀

_A

が半局所環，

_M

は有限表示をもつ平坦

_A-

加群であって，すべての 極大イデアル

_m

に対し次元

_dim

_A/m

_M/mM

が一定とする．このとき

_M

は自由 加群である．

証明 一定次元をd とする． r = r(A) とおく．m1, . . . , ms^をA の極大イデアルすべ てとすると，中国剰余定理から _{A/r =}

∏s

i=1^{A/mi. 従って M/rM =}

∏s

i=1^{M/miM }

∏s

i=1^(A/mi)

d _{= A}d_/rAd. mod r でこの同型 A^d/rA^d → M/rM に一致するような A-加群^ 射_{u : A}^d→ M を選ぶ．中山の補題をこの余核に適用すると，u は全射．命題 7 (2) か ら核N := Ker(u) は有限型．Tor^A₁(A/r, M) = 0 ゆえ N/rN = Ker(idA/r_⊗Au) = 0. 中山の 補題からN = 0．∴ u は同型． ^

5. 局所化

A

^を環，

M

^を

A-

^{加群とする．}

S _{⊂ A}

^{を積閉集合（すなわち}

1 ∈ S ; a, b ∈ S ⇒

ab _{∈ S}

^{を満たす）とする．}

A

^（または

M

^）の

S

^{に関する局所化を}

S

⁻¹

A

^（また は

_S

⁻¹

_M

）で表す．

_S

⁻¹

_A

の元は ^a

s^（ここに

^{a ∈ A, s ∈ S}

^{）で表される．}

^S

⁻¹

^A

の２元 ^a

s

^,

a^′

s^{′ が等しいのは，ある}

^{t ∈ S}

^を以て

^tas

^′

^{= ta}

^′

^s

^{が成り立つとき，ま}

たそのときに限る．同様の記法が

_S

⁻¹

_M

に対し用いられる．通常の，分数の 間の和・積の演算式によって，

_S

⁻¹

_A

上の環構造，

_S

⁻¹

_M

上の

_S

⁻¹

_A-

加群構造 が定義される．

元

_{f ∈ A}

と素イデアル

_{p ⊂ A}

に対し

(5.1) ^A

^f

^{:= S}

−1f

^A,

A

p

:= (A _{\ p)}

⁻¹

A,

M

_f

:= S

⁻¹_f

M,

M

p

:= (A _{\ p)}

⁻¹

M

とかく．ここに

_S

_f

_{= { f}

^r

_{: r ≥ 0}}

．

_f

⁰

_{:= 1}

と約束する． 環の射

ι = ι

_S

: A _{→ S}

⁻¹

A, a _7→ ^a

1

を標準射と呼ぶ．

_ι

は

_{ι(S ) ⊂ (S}

⁻¹

_A)

^×を満たし，しかもこの性質に関し普遍性 をもつ．すなわち環の射

_{φ : A → B}

が同じ性質

_{φ(S ) ⊂ B}

^×を満たせば，

_{ψ◦ι = φ}

を満たす環の射

_{ψ : S}

⁻¹

_{A → B}

がただ

₁

つ存在する．ペア

_(S

⁻¹

_{A, ι)}

はこの性 質によって，一意に決まる同型を除きただ１つに決まる．

次の主張は定義から直ちに従う．

6_{0 , a}

∈ A^{倍写像a : M}→ M^{は，単射a : A}→ A^{をテンソル}⊗^{AMしたものゆえ単射.} 9

(1) ι : A _{→ S}

⁻¹

A

^が同型

_{⇔ S ⊂ A}

^×

.

(2) ι

^が単射

_{⇔ S}

が正則元だけから成る．この場合，２元 ^a

s

^,

a^′

s^′

∈ S

⁻¹

^A

^が 等しい

_{⇔ as}

^′

_{= a}

^′

_s.

(3) S

⁻¹

A = 0 _{⇔ S}

^{がベキ零元を含む}

_{⇔ 0 ∈ S .}

u : M _{→ N}

^が

A-

^{加群射であれば，m}_s

_7→

^u(m)_s ^{で与えられる写像}

S

⁻¹

u : S

⁻¹

M _→

S

⁻¹

N

^は

S

⁻¹

A-

加群射になる．こうして，

_{M 7→ S}

⁻¹

_M

は

_A–

加群の圏から

_S

⁻¹

_A-

加群の圏への関手になる．

命題₂₁

_S

を環

_A

の積閉集合とする．

(1) A-

^加群

M

^に対し，

S

⁻¹

A _⊗

_A

M _{→ S}

⁻¹

M,

^a_s

_{⊗ m 7→}

^am_s ^は

S

⁻¹

A-

^{加群同型．}

(2) S

⁻¹

A

^は

A-

^{加群として平坦．}

(3)

^関手

M _{7→ S}

⁻¹

M

は完全であって，直和，有向帰納極限，テンソル積 と両立する．

S

⁻¹

A

のイデアルは必ず，あるイデアル

_{a ⊂ A}

を以て

_S

⁻¹

_a

の形をしている． より詳しく，

a _{7→ S}

⁻¹

a

が全単射

{ _a

⊂ A

^イデアル

^{: sa} ∈ a, s ∈ S

^ならば

^a ∈ a ^} −→

^

^{{ S}

⁻¹

^A

^{のイデアル}

^}

を与える⁷．逆写像は

_{b ( ⊂ S}

⁻¹

_{A) 7→ ι}

⁻¹

_(b)

．この全単射は全単射

{ _p

∈ Spec A : p ∩ S = ∅ ^} −→ Spec(S

^{ −1}

^A)

に制限される．しばしば，この全単射を通して２つの集合を同一視し

Spec(S

⁻¹

A) _{⊂ Spec A}

と見なす．

_{p ∩ T = ∅}

を満たす素イデアル

_p

が必ず

_{p ∩ S = ∅}

を満たす（すなわ ち

_{Spec A}

において

_Spec(S

⁻¹

_{A) ⊃ Spec(T}

⁻¹

_A)

）場合に，

_{S ≤ T}

とかく．これが

A

の積閉集合全体の集合における擬順序（必ずしも反対称律を満たさない順 序，脚注

₂

）を定める．

_A

^×

_{= A \}

∪

p_{∈Spec A}

^p

と局所化の普遍性から次が従う．

補題₂₂

_{S , T ⊂ A}

を積閉集合とする．

_A-

代数射

_ι

_T,S

_{: S}

⁻¹

_{A → T}

⁻¹

_A

が（必然 的にただ１つ）存在するためには，

_{S ≤ T}

が必要十分．

_{S ⊂ T}

であればこの 条件は満たされる．

証明 {a ∈ A : a/1 ∈ (T^−1A)×} = A \^∪p∩T =∅^{p ゆえ，}∃ι^T,S ⇔ ι^{T(S )}⊂ (T^−1A)× ⇔ S ⊂ A_\^∪_{p∩T =∅}p _{⇔ S ≤ T .} ^

とくに，

p

を素イデアルとするとき，各元

_{f ∈ A \ p}

に対し環の射

_A

_f

_{→ A}

_pが 得られる．これらの射が引き起こす射

lim

−→ f_∈A\p

A

f

_{→ A}

p

は同型である⁸

_.

また命題

₂₁

から，各

_A-

加群

_M

に対し同型

lim

−→

f_∈A\p

M

_f

_{→ M}

p

を得る．これは

_M

に関して自然である．

7左の集合の条件が次と同値なことに注意． 標準射_{A/a→ S}−1_{(A/a) = S}−1_A/S−1_aが単射_. 8

帰納極限が拠る擬順序_{Sf ≤ Sg}は_{D( f )⊃ D(g)}に同値．ここに_{D( f ) =}{p ∈ Spec S : f < p}. 10