(B,f )が存在．f (B)は体ゆえm=Ker( f )は極大イデアル．ペアの極大性からB=Bm． 従って(B,m)は局所環で，明らかにAを支配する．このBがvの延長を与える付値 環であるのを見るのに，あと定義66の条件(i)を確かめればよい．x∈L×とする．x が B上整の場合．f を延長する射 B[x] → kが構成できる30からペアの極大性から x∈B．xがB上整でない場合．x<B[x−1]が成リ立ち，x−1はB[x−1]の非単元．標準 射B→B[x−1]/(x−1),0は非零環への全射となるから，x−1を含むB[x−1]の極大イデ アルnが存在してB/m=B[x−1]/n．ペアの極大性からx−1∈B.
(3) 一般に体拡大L/KとLの付値vに対し，付値群の指数 e(L/K)=[v(L×) : v(K×)] を 分岐指数と呼ぶ．L/Kが有限次拡大であればe(L/K)は有限 (実際e(L/K)≤[L : K]) で あることが知られている[Bourbaki, Chap. VI, Sect. 8.1, Lemma 2]．この場合v(K×)Z であれば，v(L×)はねじれをもたない階数１の有限生成アーベル群，すなわち Z.
これを証明するには，命題68より，(a)の各素因子pに対しpApが単項(命題85証 明)を示せばよい．局所Noether整閉整域Apにおいて極大イデアルpApが(a/1)の素 因子であることに注意すると，命題68 (ii)⇒(iv)の証明において既に示されている．
(事実)から標準射A/(a)→∏
ht(p)=1Ap/aApは単射．実際，最短準素分解(a)=q1∩· · ·∩qr から生じる単射A/(a)→∏
iA/qi⊂∏
i(A/(a))√qiと同一視できる．(a)の非自明な⊃を 示すのに，b/a<A，すなわちb.0 mod(a)とすると，∃p: ht(p)=1, b.0 mod(aAp), すなわちb/a<Ap．
(4) 0 , a ∈ Aに対し，有限個のpを除きvp(a) =0 (∵ vp(a) , 0 ⇔ a ∈ pAp ⇔ a ∈ p ⇔ pが(a)の素因子). 従ってx=b/a (,0)に対しても，有限個のpを除き vp(x)=vp(b)−vp(a)=0.
(6) 局所化によりA→ Bを局所Noether環の間の平坦な局所的射としてよい((⇒)に
Spec(B)→Spec(A)の全射性を用いる)．その場合，命題78と79を合わせればよい．
(7) 帰納法によりn=1としてよい．(6)により，各p∈Spec(A)に対し(Ap/pAp)[T ] (これはPID)が整閉であることを示せばよい．PID,より一般にUFDは整閉．
命題
/
定義71
整域A
が一意分解整域またはUFD (unique factorization domain)
であるとは，次の互いに同値な条件が満たされるときにいう．(i)
非零元f ∈ A
が既約元の積f = f
1. . . f
r として表せ，しかもここに現 れる既約元f
iたちが順序と単元倍を除き一意的である．(ii)
非零元f ∈ A
が素元の積として表せる．(iii)
既約元がすべて素元であって，かつ単項イデアルの昇鎖が必ず停滞する．
証明 例えば順に(iii)⇒(ii)⇒(i)⇒(iii)が見て取れる．
UFD
A
において，あらゆる素元(=
既約元) p
の生成するイデアル(p)
がすべ ての非零素イデアルを与える．A
(p)はp
を素元にもつ離散付値環．とくに整 閉(
命題70 (5))
．従ってUFDは整閉(=
正規)
整域である．命題
72 A
を整域とする．(1) A
が UFDであれば多項式環A[T
1, . . . , T
n]
もUFD．勝手な積閉集合S ( = 0)
による局所化S
−1A
もUFD．(2) A
がNoether
の場合，A
がUFD⇔
高さ１の素イデアルがすべて単項．(3) A
をNoether
とし，S ⊂ A
をいくつかの素元で生成された積閉集合とする．このとき，
A
がUFD⇔ S
−1A
がUFD.
証明 (1) Aが一般の整域の場合，S のどの元も割らない，Aの素元全体が,単元倍を
除きS−1Aの素元すべてを与える．∴Aが上の条件(ii)を満たせばS−1Aも満たす．
(2) (⇒) ht(p)=1とし0,a∈pを勝手に選ぶ．素元分解a= f1. . .frに現れる素元の いずれか fiがpに含まれるが，高さからp=( fi). (⇐) Noether性から各非零元は既 約分解可能．既約元aが必ず素元であることを示せばよい．pを(a)の極小素因子と するとht(p)=1．pの生成元をb (素元)とすればa∈(b)．aの既約性から(a)=(b)． (3) (⇒) (1)で済み. (⇐) (2)より，ht(p)=1の場合，この素イデアルpが単項であ ることを示せばよい．Γを素元から成るS の生成系とする．p∩S ,∅ならばpはΓ に含まれるある素元aを含むが，高さからp=(a)．p∩S =∅ならばp(S−1A)はS−1A の素イデアル．S−1Aに対する(2)より ∃a ∈ p:p(S−1A)=a(S−1A)．このaを(a) が極大となるように選べば，aはΓのどの元も割らないことに注意．p=(a)のため に，sb=ac, s∈S , b,c∈Aのときb∈(a)を示せばよい．s= f1. . .fr, fi∈Γとする と，最後の注意から∀iに対しc∈( fi)．とくにc∈( fr)．rに関する帰納法でc∈(s)．
∴b∈(a).
34
定義/命題73 局所Noether環(A,m)が正則(regular)とは，次の互いに同値な条件が 満たされるときにいう．ここでk=A/mは剰余体とする．
(i) dim A=dimk(m/m2).
(ii) grm(A)k[T1, . . . ,Tn]．すなわち次数k-代数grm(A)が多項式環に同型．
(iii) mがdim A個の元で生成され得る．
Noether環Aが正則(regular)とは，すべての極大イデアルmに対し局所Noether環
Amが正則であるときにいう．
証明 (ii)⇒(i). 自明. (i)⇔(iii). 中山により，mの元から成るa1, . . . ,arがイデア ルmの(極小)生成系 ⇔ a1mod(m2), . . . ,armod(m2) がm/m2のk上生成系(基底)．
(iii)⇒(ii). 一般に局所Noether環(A,m)に対し，k=A/mを剰余体として
χ(n)=dimk(A/mn), n≫0 (十分大)
はnに関し整数係数多項式になる．これを特性多項式と呼ぶ
32．Aの次元の特徴づけ として，命題61bに与えたdim A=min{µ(q) : √
q=m}に加え
(事実) 局所Noether環の次元は特性多項式の次数に一致する: dim A=deg χ.
証明は[松村,定理13.4]または[Atiyah–MacDonald, Theorem 11.4]を参照．χ(n)が grm<n(A)=⊕
i<ngrmi (A)の次元に一致することに注意すると，次が従う．A:=grm(A)
において，添加イデアルA+:=⊕
i>0grmi (A)の高さht(A+)がdim Aに一致する(∵A+ による局所化に付随する次数環がgrm(A)に一致).
d=dim A, m=(a1, . . . ,ad)とする．
(14.1) Ti7→aimodm2∈grm1(A), 1≤i≤d
が次数k-代数射φ: k[T1, . . . ,Td] → A=grm(A)を与えるが，これは明らかに全射，
0, 1-成分上同型．核Ker(φ)が非零斉次多項式 f を含めばdeg( f ) >1．とくに f は k[T1, . . . ,Td]の添加イデアル(T1, . . . ,Td)に含まれ，引き起こされる[T1, . . . ,Td]/( f )→
Aは(T1, . . . ,Td)/( f )をA+の上に写す．ht(T1, . . . ,Td)=dに注意．命題60と前段の
結果から d−1=ht((T1, . . . ,Td)/( f ))≥ht(A+)=d．これは矛盾 ゆえKer(φ)=0.
局所Noether環Aに対し，一般にd :=dim A≤dimk(m/m2)．Aが正則 ⇔ mがある
d元a1, . . . ,adで生成される．このようなa1, . . . ,adはとくに巴系．正則巴系(regular
system of parameters)と呼ばれる．列(a1, . . . ,ad)は必然的にA-正則33で，(14.1)が与
える次数k-代数射k[T1, . . . ,Td]→grm(A)が同型になる.
命題74 (1)–(3)において(A,m)を正則局所環，kをその剰余体とする．
(1) すべての素イデアルp⊂Aに対しApは正則である．
(2) (Auslander–Buchsbaumの定理) AはUFD(とくに整域)である．
(3) a1, . . . ,ar ∈ m，r ≤ dim A とする．それらのm/m2 における像 aimodm2,
1≤i≤rがk-線形独立 ⇔ A/(a1, . . . ,ar)が正則でその次元=dim A−r.
(4) 正則環A上の多項式環A[T ]，形式ベキ級数環A[[T ]]はともに正則．
(5) A→Bを局所Noether環の間の平坦な局所的射とする．Bが正則 ⇒ Aが正
則．A, B/mABがともに正則 ⇒ Bが正則．
(6) 局所Noether環Rが正則 ⇔ その完備化Rˆが正則．
32
これは，m-準素イデアルqの特性多項式χq(n)=lgA/q(A/qn) (n≫0)に一般化される(A/q Artinを想起せよ)．次数degχqはqに依らずdim Aに一致する.
33
命題74 (3)の証明参照．a1は整域Aの非零元ゆえA-正則．a2, . . . ,adが正則局所環A/(a1) の正則巴系を与えるから，a2はA/(a1)-正則．これを続ける．証明された事実から正則局所環 がCohen-Macaulayであること，命題74 (1)と合わせて，正則環がCohen-Macaulayであるこ とが従う．これを知った上で，命題80証明中の(事実)にも注意を払うこと.
35
証明 (3) A=A/(a1, . . . ,ar)とおく. (⇒) 与えられたa1, . . . ,arは正則巴系a1, . . . ,ar,
. . . ,adに延長可能．系62からdim A=d−r．ar+1, . . . ,adがAの極大イデアルを生成．
従って正則巴系となる. (⇐) ar+1, . . . ,ad−r ∈mがAの正則巴系を与えるとすれば，
a1, . . . ,ar, . . . ,adがmを生成．従って正則巴系となり，mod(m2)でk-基底を与える.
(1) 次のSerreによる重要な結果[松村,定理19.2]を用いる.
(事実) 局所Noether環(A,m)が正則 ⇔ A-加群k=A/mの射影次元proj.dimAk (=
大域次元gl.dim A)が有限．この場合，有限値はdim Aに一致する.
いまAは正則ゆえ，(⇒)からkの有限A-自由分解が存在．それを局所化してkの有 限Ap-自由分解を得るから(⇐)よりApは正則.
(2) 定義73条件(ii)から容易に従うように，Aは整域である．(2)の証明はd=dim A に関する帰納法．d=0の場合，上と同じ条件からAは体kゆえとくにUFD．d=1 の場合，条件(iii)からAは離散付値環(命題68)，とくにUFD.
d >1とする．f ∈m\m2を勝手に選ぶ．A/( f )はd−1次元正則局所環 (∵命題61a (2)，系62からd−1=極大イデアルのある生成系の位数≥次元≥d−1) ゆえ整域．
f は素元となるから，命題72 (3), (2)より，Af がUFDを，そのためにht(P)=1なる P∈Spec(Af)が単項を示せばよい．p=P∩Aとおく.
Pが階数1の射影的Af-加群なること，すなわち各 Q ∈ Spec(Af)において局所化 したのち Af と同型になることを示したい．Q∩Aは f を含まないから ( m．(1) よ り (Af)Q = AQ∩A は 次 元 < d の 正 則 局 所 環 に な る ．帰 納 法 の 仮 定 と 命 題72 (2) から P(Af)Q (Af)Q (正確にはこれは P ⊂ Qの場合. しかし P 1 Qであっても P(Af)Q=(Af)Q).
目標のPAfを示そう．上記Serreの定理からpは有限A-自由分解をもつ．それを 局所化してPの有限Af-自由分解0→Fn →Fn−1→ · · · →F0→ P→0 (Fiは有限 生成自由Af-加群) を得る．E =⊕
i偶数Fi，F =⊕
i奇数Fi, r=rank Fとする．前 段の結果から EF⊕P, rank E=r+1 が従う．Af 上(r+1)-次外積をとり
Af =∧r+1(E)
⊕
s+t=r+1
∧s(F)⊗Af ∧t(P)=P.
(5) (前半) 一般に，局所Noether環 A上の有限生成加群M の極小自由分解· · · →
F2 → F1 → F0 → M → 0に⊗Ak (k=A/mA)を施せば. . .→0 F2⊗Ak→0 F1⊗Ak→0
F0⊗Ak→ M⊗Akが従う．これよりTorAn(M,k)=rank Fn(n>0)ゆえ，再びSerreの 定理からAが正則 ⇔ TorAn(k,k)=0, n≫0．
いまA→ Bの平坦性からTornA(k,k)⊗AB=TornB(B/mAB,B/mAB)．三度Serreの定理
から, n>dim Aに対しこれは消滅．A→Bの忠実平坦性と前段の結果からAは正則．
(後半) 命題65よりdim B=dim A+dim(B/mAB)が成り立つ．a1, . . . ,adをAの正則 巴系とし，b1, . . . ,be ∈ mBをmod(mAB)で B/mABの正則巴系をなすものとすれば，
(A → Bは単射ゆえこれを包含と見て)これらの合併はmBを生成する．先の等号か らその合併を正則巴系としてBは正則になる．
(6) dim R = dim ˆR (命題64) とm/m2 = m/ˆ mˆ2 から．あるいは命題73 (ii)を鑑み grm(R)=grmˆ( ˆR)から．あるいは(5)を平坦射R→Rˆに適用してもよい.
(4) B =A[T ]または A[[T ]]とする．極大イデアルP⊂ Bを勝手に選びm= P∩A, k=A/mとおく．
B = A[T ]の場合．BP は Bm = Am[T ]の局所化ゆえ，Aを(Am に置き換え)正則局 所環としてよい．P/mBは B/mB = k[T ]の極大イデアルゆえ，mod(mB)で既約多 項式となる f ∈ A[T ]を以てP = mB+( f )．命題65を平坦射A → BPに適用して dim BP=dim A+dim(k[T ]( f ))=dim A+1．Aの正則巴系と{f}の合併がPを生成．先 の等式からBPの正則巴系になる．
36
B=A[[T ]]の場合．1+T ∈Bが単元ゆえT ∈P．これよりP=mB+(T )であり，
c BP=lim
←−ℓ,n
Am/mℓAm⊗AA[T ]/(Tn)=Acm[[T ]].
Bpが正則を示すのに，(6)よりcBPが正則を示せばよい．上式から，AをAcmに替え，
Aが正則局所環の場合にB=A[[T ]]もそうであることを示せばよい．命題65を平坦 射A→Bに適用してdim B=dim A+dim(k[[T ]])=dim A+1．Aの正則巴系と{T}の 合併がBの極大イデアルmB+(T )を生成．先の等式からBの正則巴系になる. Rを局所Noether環とする．dim R=0の場合，Rが正則 ⇔ Rが体．dim R=1の場 合，Rが正則 ⇔ 極大イデアルが単項 ⇔ Rが離散付値環(命題68).
注意75
(1) 正則局所環はUFD(Auslander–Buchsbaum)．UFDは正規(命題72上)．これ より，正則環は正規環である．
(2) Rを正規環とすると，高さ≤1の素イデアルpに対しRp は正則 (ht(p)=1
であれば，命題70 (3)からRpは離散付値環，同値に正則．ht(p)=0であれ ば，Rpはもとより整域ゆえ体になる)． これより，１次元以下のNoether環 が正規 ⇔ 正則．
２次元のNoether正規環のうちに正則でないものが存在する(演習題14.7)．
定義76 AをNoether環，k≥0を整数とする．
(1) Aが(Rk)を満たすとは，ht(p)≤kなるすべてのp∈Spec(A)に対しAp が正 則であるときにいう．
(2) Aが(Sk)を満たすとは，depth Ap ≥min{ht(p),k}がすべてのp∈Spec(A)に 対し成り立つときにいう．
(3) AがCohen–Macaulayとは，depth Ap=ht(p)がすべてのp∈Spec(A)に対し 成り立つときにいう．
例77 AをNoether環とする．
(1) Aが 正則 ⇔ すべての (Rk), k≥0 を満たす．AがCohen–Macaulay ⇔ す べての (Sk), k≥0 を満たす．
(2) すべてのAは(S0)を満たす．Aが(S1)を満たす ⇔ Aの素因子が極小素イ デアルに限る(換言すると零イデアル(0)が純(命題80))．
(3) Aが被約 ⇔ (R0)と(S1)を満たす．
証明 (2) (後半) ２条件が次に同値．ht(p)>0ならばpAp がApの(同値に,pがA の)正則元を含む． (3)最後の条件，すなわち(S1)に関して
(14.2) (S1) ⇔ 零イデアル(0)が純 ⇔ A→ ∏
p極小
Ap(
⊂ ∏
p極小
(A/p)p)
が単射. 実際，最後の条件は，無駄のない準素分解(0)=q1∩ · · · ∩qrにおいて
√qiたち，す なわち(0)の素因子すべて，が極小素イデアルから成ることと同値．あと，次を用い 可換図式を描いて(3)を得る.
Aが被約 ⇔ A→ ∏
p極小
A/pが単射,
(R0) ⇔ 各極小素イデアルpに対しApが体, 同値にAp→(A/p)pが単射.
命題78 (Serreの正規性判定) Noether環Aが正規であるためには，(R1)+(S2)，す なわち次が成り立つことが必要十分である．
(1) ht(p)≤1ならばApは正則,同値に体または離散付値環．
(2) ht(p)≥2ならばdepth(Ap)≥2.
37
証明 (必要) p∈Spec(A)とする．ApはNoether整閉整域．ht(p)≤1ならばApは体 または離散付値環．ht(p)≥2とすると，勝手な0,a∈Apに対し，(a)のいずれの極 小素因子，等しく素因子(命題70 (3)証明中の(事実))にも含まれない元b∈pApが 存在．このbはAp/(a)において正則元ゆえ(a,b)はAp-正則列．∴depth(Ap)≥2．
(十分) Aはとくに(R0)+(S1)を満たすから被約(例77 (3))．p1, . . . ,prをAの極小素イ デアルのすべてとすれば標準的単射A→∏r
i=1A/piを得る．これは全商環の間の同型 K−→
∏r
i=1
Ki, K :=Frac(A), Ki:=Frac(A/pi)
に延長される(全射性は，引き起こされるK →Kiが全射ゆえ中国剰余定理による).
あとAがKにおいて整閉を示せばよい(∵Kの各ベキ等元e=e2はA上整ゆえe∈A． A → ∏r
i=1A/piは同型．各 A/piは整閉整域になる)．元x=b/a ∈ Kが A上整とす る．ここにa ∈ A\A×は正則元でb ∈ A．(2)より(a)は純 (∵反してht(q) ≥2な る(a)の素因子qが存在すれば,qAq/aAqは零因子だけから成りdepth(Aq)=1) ゆえ A/(a)→∏
ht(p)=1Ap/aApは単射(命題80)．x∈Aすなわちb∈(a)を示すのに，各Ap
(ht(p)=1)においてbの像∈aApを，すなわちxのFrac(Ap)における像(これはAp
上整)∈Apを示せばよい．これは，(1)よりApが正則ゆえ整閉だから成り立つ．
命題79 A→ Bを局所Noether環の間の平坦な局所的射，k≥0を整数とする．
(1) Bが(Rk) (または(Sk))を満たせばAも(Rk) (または(Sk))を満たす．
(2) A およびすべてのファイバー環 B⊗Aκ(p), p∈Spec(A), が(Rk) (または(Sk)) を満たせば，Bも(Rk) (または(Sk))を満たす．
証明 P∈Spec(B)としp=P∩A (∈Spec(A))とおく．命題65を平坦射Ap→ BPに 適用し
(14.3) ht(P)=ht(p)+ht(P/pB).
一方，次が成り立つ[松村,定理23.3].
(事実) 局所Noether環の間の平坦な局所的射A→Bに対し
depth B=depth A+depth(B/mAB).
いまこれをAp→BPに適用し
(14.4) depth BP=depth Ap+depth(BP/pBP).
(1) p∈Spec(A)を勝手に選ぶ．射の忠実平坦性からその上にあるP ∈Spec(B)が存
在．そのうち極小であるようにPを選べばht(P/pB)=0=depth(BP/pBP)．
Bがまず(Rk)を，ついで(Sk)を満たすとする. (14.3)からht(p)=ht(P)．∴ht(P)≤ k ⇒ BP 正則 ⇒ Ap 正則(命題 74 (5))．Aも (Rk)満たす. ついで (14.4)から depth Ap=depth BP≥min{ht(P) (=ht(p)), k}．Aも(Sk)満たす．
(2) ∀P∈Spec(B)に対しp= P∩Aとおく．A, Bp/pBpともにまず(Rk)を，ついで (Sk)を満たすとする.
ht(P)≤kとする．(14.3)からht(p), ht(PBP/pBP)ともに≤kゆえAp, BP/pBPともに 正則．命題74 (5)からBP正則．Bも(Rk)満たす.
ついで(14.4)から従う次によりBも(Sk)満たす. depth BP=depth Ap+depth(BP/pBP)
≥min{ht(p), k}+min{ht(P/pB), k}
≥min{ht(p)+ht(P/pB) (=ht(P)), k}.
(最後の≥を得るにはht(P)≤k≥ht(P/pB)の場合とそうでない場合に分けよ.)
38
命題80 Noether環AがCohen–Macaulayであるためには，Aに関し純性定理が成り 立つ，すなわちイデアルa⊂Aのうちht(a)元で生成されるものがすべて純である– その素因子すべてが同一の高さ(=ht(a))をもつ–ことが必要十分．命題61a (1)によ り，この最後の条件は，aの素因子が極小素因子に限ることと，さらに標準射
A/a→ ∏
pはaの 極小素因子
(A/a)p
が単射であるのと同値である．
証明 最後の同値は(14.2)における議論を一般化し，aの最短準素分解を用いて示さ れる．
(必要) a=(a1, . . . ,ar), ht(a)=rとせよ．aの素因子mがd :=ht(m)>rを満たすと
し矛盾を導く．AをAmに替え(A,m)を局所環としてよい．A/aにおいてm/aは零因 子だけから成ることに注意．mはaの極小素因子ではないから，(a1, . . . ,ar)はAの
巴系(a1, . . . ,ad)に延長される(補題61c (3)の証明)．注意からこれはA-正則列では
なく次の事実に矛盾する．
(事実) 局所Cohen–Macaulay環Aに対し，巴系の一部とA-正則列は同義語である．
後者が前者であるのは見やすい．用いたのは逆．これを示すのにd=dim Aに関する 帰納法で，巴系(a1, . . . ,ad)がA-正則列を示す．一般に，上のようなAにおいて (14.5) dim A=depth A=dim(A/p) ∀p∈Ass(A).
後に用いるより一般の結果として，有限生成A-加群Mに対し (14.6) dim M=depth M=dim(A/p) ∀p∈Ass(M).
([松村,定理17.3]参照.) (14.5)よりa1 <∀p(∵a1 ∈pとするとa2, . . . ,adがA/pに おいて(m/p)-準素イデアルを生成．dim(A/p)<d)．すなわちa1は正則元．系62と命 題83からA/(a1)はd−1次元局所Cohen–Macaulay環．A/(a1)においてa2, . . . ,adは 巴系を，等しく(帰納法の仮定) A/(a1)-正則列を与える．∴(a1, . . . ,ad)はA-正則列．
(十分) p∈Spec(A)，ht(p)=rとする．r=0ならdepth(Ap)=dim(Ap)=0．r>0の
場合，pの元の列(a1, . . . ,ar)で
(14.7) ht(a1, . . . ,ai)=i, 1≤i≤r
を満たすものが選べる．補題61c (3)の証明同様，順次aiを，(a1, . . . ,ai−1)のどの極 小素因子(純性定理より，等しく素因子)にも含まれないように選べばよい．すると この列はA-正則．従ってdepth(Ap)=dim(Ap)=r．
命題81 Aを局所Cohen–Macaulay環とする．
(1) Aのすべての素因子は同一の高さをもつ．すなわちSpec(A)が非孤立成分を
もたない．Spec(A)の各既約成分は同一の次元をもつ．
(2) 真のイデアルa(Aに対し
dim(A/a)+ht(a)=dim A.
また，aの元から成る極大A-正則列の長さは一定でht(a)に一致する．
証明 (1)前半は，零イデアル(0)が純(命題80)の言い換え．後半の“同一の次元 は(14.5)から．
(2) (後半) Aを局所Noether環Aとその真のイデアルa(Aに対し，命題59の一般
化が，“M-正則列”を“aの元から成るM-正則列”に替えて成り立つ
34
．この一般化さ れた結果から“長さ一定”が従う．
34
すなわちaの元から成る極大M-正則列の長さは一定．この一定値をdepth(a,M)で表す が，これはinf{n : ExtnA(A/a,M),0}(<∞)に一致する．命題59の証明を修正してこの一般 化が示せる．注意すべき点として，HomA(A/a,M)=0とするとaがM-正則元を含む．∵含
39
ht(a)=rとする．aの元から成るA-正則列(a1, . . . ,ar)で(14.7)と同じ等式を満たす ものが存在(等式における議論と同様)．あと，そのようなA-正則列(b1, . . . ,bs)に対 しs≤rを示せばよい．確かにs=ht(b1, . . . ,bs)≤r.
(前半) S をaの極小素因子全体の集合とすると
dim(A/a)=sup{dim(A/p) :p∈S}, ht(a)=inf{ht(p) :p∈S}
ゆえ，dim(A/p)+ht(p)=dim A ∀p∈S を示せばよい．前半の結果をpに適用し，長さ r :=ht(p)の，pの元から成るA-正則列(a1, . . . ,ar)を得る．pはイデアル(a1, . . . ,ar) の極小素因子ゆえ(14.6)からdim(A/p)=dim(A/(a1, . . . ,ar))．系62から最後の次元
=dim A−r.
命題82 (Hartshorneの連結性定理) Aを局所Noether環とする．Aの２つのイデアル a, bの共通部分a∩bがベキ零で，根基
√a, √
bの間に包含関係がなければ，a+bは 長さ2以上のA-正則列を含まない．脚注34の記号でdepth(a+b,A)≤1.
証明 一般に次が成り立つ.
(事実) 環A上の加群Mに対し，(a1, . . . ,ar)がM-正則列であれば(an11, . . . ,anrr)もそ
う．ここに ni, 1≤i≤r, は勝手な正整数35．
命題の結論を示すのに(事実)から，a,bをベキan,bn(n>0)に替えてよい(結論に関 し，３つのイデアル(a+b)2n⊂an+bn⊂a+bに関わるdepthの一致が効く)．ab⊂a∩b で，いま後者ベキ零の仮定から，n を十分大きく選びab = 0としてよい．すると (a∩b)(a+b)=0．a∩b,0ならばa+bは零因子だけから成りdepth(a+b,A)=0.
a∩b=0の場合，depth(a+b,A)>1と仮定(矛盾を導く)．するとExt1A(A/(a+b),A)=0 (脚注34)．とくにA-加群の短完全列
0→A=A/(a∩b)−→対角 A/a⊕A/b−→差 A/(a+b)→0
は分裂．元a,b ∈ Aが存在して，(i) a−b ≡ 1 mod(a+b)，(ii) A/a⊕A/bにおいて A(1,1)∩A(a,b)=0を満たす．(i)よりa, bの少なくとも一方，例えばaは単元．する とA/a⊕A/bにおいてb(a,b)=b(1,0)=b(1,1)．(ii)からb(1,0)=0，すなわちa⊃b．
これは仮定
√a 2 √
bに反す．
命題83 Aを局所Noether環とし，そのA-正則列で生成されたイデアルaが勝手に
与えられたとする．このときAがCohen–Macaulay ⇔ A/aがCohen–Macaulay．こ れより，正則環がCohen–Macaulayであることが従う
36
．
証明 a1, . . . ,ar がaを生成するA-正則列であるとせよ．命題59から，これにある
列ar+1, . . . ,adをつなげて極大A-正則列が得られるが，最後の列は極大A/a-正則列で
なくてはならない．∴depth A/a=depth A−r．一方，系62からdim A/a=dim A−r． これら２等式から命題が従う．
まなければ，prime avoidanceによりaはMのある素因子pに含まれ，A/a→ A/p֒→ Mが HomA(A/a,M)の非零元になる.
35(a1, . . . ,ar)をM-正則列とする．まず，∑r
i=1aimi=0, mi∈M ⇒ mi∈∑r
i=1aiM, 1≤i≤r がrに関する帰納法で示せる．(事実)の結論を示すにはn2=· · ·=nr =1の場合で十分．まず an11はM-正則．あとn :=n1に関する帰納法で，1<k≤r, m∈Mに対しakm=an1x1+a2x2+
· · ·+ak−1xk−1, xi∈Mと書ければm∈an1M+a2M+· · ·+ak−1Mとなることを示せばよい．n=1の 場合自明．n>1とする．先の表示と帰納法の仮定からm=an1−1y1+a2y2+· · ·+ak−1yk−1, yi∈M と書ける．∴ an1−1(a1x1−aky1)+a2(x2−aky2)+· · ·+ak−1(xk−1−akyk−1) =0．冒頭の事実から a1xi−aky1∈an1−1M+a2M+· · ·+ak−1M．∴aky1∈∑k−1
i=1aiM.これよりy1∈∑k−1
i=1aiM．最後のm
の表示から示すべき結果が従う.
36
しかし，この最後の事実は既知．脚注33を見よ. 40