クラスター代数入門

京大数理研

2009 年 6 月 12 日

1 1 1 1

1 ?

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2

1 ?

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2

1 3

1

1 ?

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 ?

1 3

1

1 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2

1 3

1 ?

1 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2

1 3 ?

1 7

1 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2

1 3 5

1 7

1 2 ?

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2

1 3 5

1 7 ?

1 2 4

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2 ?

1 3 5

1 7 3

1 2 4 ?

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2 3

1 3 5 ?

1 7 3

1 2 4 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2 3 ?

1 3 5 2

1 7 3 ?

1 2 4 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2 3 1

1 3 5 2 ?

1 7 3 1

1 2 4 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 2 2 3 1

1 3 5 2 1

1 7 3 1

1 2 4 1

1 1 1 1

. . . .

1 1

1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 1

1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1

1 ?

1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 ?

1 2

1 ?

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9

1 2 ?

1 3

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9 ?

1 2 14

1 3 ?

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9 11

1 2 14 ?

1 3 5

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9 11 ?

1 2 14 4

1 3 5 ?

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9 11 3

1 2 14 4 ?

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9 11 3 ?

1 2 14 4 1

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9 11 3 1

1 2 14 4 1

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

1 9 11 3 1

1 2 14 4 1

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

x ₁ x ₃ ? x ₂

1 1 1

x ₁ x ₃ x ₂ x ₄ ?

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₁ x ₃ x ₂ x ₄

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₁ x ₃ x ₂ x ₄

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₁ x ₃ x ₅ ? x ₂ x ₄

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₁ x ₃ x ₅ x ₂ x ₄

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₁ x ₃ x ₅ x ₂ x ₄

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₁ x ₃ x ₅ x ₂ x ₄ x ₆ ?

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₆ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₁ x ₃ x ₅ x ₂ x ₄ x ₆ ?

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^x

^{+ 1} / ^x

= ⁺ / = ^{x +1} + · ^{x x}

x ₁ x ₃ x ₅ x ₂ x ₄ x ₆ ?

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₆ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ( ^x

_x ⁺¹

2

+ 1) · _x

^x _+x

^x

_{+ 1} = x ₁

x ₁ x ₃ x ₅ x ₇ ? x ₂ x ₄ x ₁

1 1 1

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^x

^{+ 1} / ^x

= ⁺ / = ^{x +1} + · ^{x x} =

x ₁ x ₃ x ₅ x ₇ ? x ₂ x ₄ x ₁

1 1 1

x ₃ = ^x

⁺¹ / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₆ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ( ^x

_x ⁺¹

2

+ 1) · _x

^x _+x

^x

_{+ 1} = x ₁

x ₁ x ₃ x ₅ x ₂ x ₂ x ₄ x ₁

1 1 1

x ₃ = ^x

⁺¹ / ^x

x ₄ = ^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^x

^{+ 1} / ^x

x = ⁺ / = ^x

⁺¹ + · ^x

^x

= x

x ₃ x ₅ ?

1 1 1 1

x ₃ x ₅

1 1 1 1

x ₄ = ^x

⁺¹ / ^x

, x ₅ = ^x

⁺¹ / ^x

,

x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

x ₃ x ₅ x ₈ ?

1 1 1 1

x ₄ = ^x

⁺¹ / ^x

, x ₅ = ^x

⁺¹ / ^x

,

x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^{+ 2x}

^{+ 1 +x}

^x

/ ^x

^x

^x

, x ₇ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₈ = ^x

^{+ 1} / ^x

x ₃ x ₅ x ₈

1 1 1 1

x ₄ = ^x

⁺¹ / ^x

, x ₅ = ^x

⁺¹ / ^x

,

x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^{+ 2x}

^{+ 1 +x}

^x

/ ^x

^x

^x

,

x ₇ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₈ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₃ x ₅ x ₈ x ₁₁ ?

1 1 1 1

x ₄ = ^x

⁺¹ / ^x

, x ₅ = ^x

⁺¹ / ^x

,

x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^{+ 2x}

^{+ 1 +x}

^x

/ ^x

^x

^x

,

x ₇ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₈ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₉ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^x

/ ^x

,

x ₃ x ₅ x ₈ x ₁

1 1 1 1

x ₄ = ^x

⁺¹ / ^x

, x ₅ = ^x

⁺¹ / ^x

,

x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^{+ 2x}

^{+ 1 +x}

^x

/ ^x

^x

^x

,

x ₇ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₈ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₃ x ₅ x ₈ x ₁

1 1 1 1

x ₄ = ^x

⁺¹ / ^x

, x ₅ = ^x

⁺¹ / ^x

,

x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

= ^x

^{+ 2x}

^{+ 1 +x}

^x

/ ^x

^x

^x

,

x ₇ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₈ = ^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^+x

^x

/ ^x

^x

,

x ₉ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

= · · · = ^{1 +x}

^x

/ ^x

,

. . . . . 式で表される。

. ^.

. 最初に与えられた変数を除くと、必ず分数式にな り、また分母に現れる単項式はすべて異なる。

. ^.

. しばらく並べると、上のように再び最初の変数が

折れ線状に並ぶ。

1 1 1 1

1 1 1 1

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

,

1 1 1 1

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

, x ₇ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

,

x ₈ = ^x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

,

1 1 1 1

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

, x ₇ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

, x ₈ = ^x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₉ = ^x

^x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₁₀ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1 +x}

^+x

^x

^+x

^x

/ ^x

^x

^x

^x

,

1 1 1 1

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

, x ₇ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

, x ₈ = ^x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₉ = ^x

^x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₁₀ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1 +x}

^+x

^x

^+x

^x

/ ^x

^x

^x

^x

, x ₁₁ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

,

= / ,

1 1 1 1

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

, x ₇ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

, x ₈ = ^x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₉ = ^x

^x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₁₀ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1 +x}

^+x

^x

^+x

^x

/ ^x

^x

^x

^x

,

=

^{+x +x +x +} / ,

1 1 1 1

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

, x ₇ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

, x ₈ = ^x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₉ = ^x

^x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₁₀ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1 +x}

^+x

^x

^+x

^x

/ ^x

^x

^x

^x

, x ₁₁ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

,

= / , = / , = /

1 1 1 1

x ₅ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₆ = ^x

^x

^{+ 1} / ^x

, x ₇ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

^x

, x ₈ = ^x

^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₉ = ^x

^x

^+x

^x

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₁₀ = ^x

^x

^+x

^x

^+x

^+x

^x

^{+ 1 +x}

^+x

^x

^+x

^x

/ ^x

^x

^x

^x

,

=

^{+x +x +x +} / ,

x ₂ x ₄

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

x ₂ x ₄

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₂ x ₄

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₅ = ^1+x

/ ^x

x ₂ x ₄

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₅ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+1+x

/ ^x

^x

,

x ₂ x ₄ x ₆

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+1+x

/ ^x

^x

,

x ₆ = ^{1 +x}

/ ^x

x ₂ x ₄ x ₆

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+1+x

/ ^x

^x

,

x ₆ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^{1 +x}

/ ^x

,

x ₂ x ₄ x ₆

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+1+x

/ ^x

^x

,

x ₆ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^{1 +x}

/ ^x

,

x ₇ = ^{1 +x}

/ ^x

x ₂ x ₄ x ₆

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+1+x

/ ^x

^x

,

x ₆ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^{1 +x}

/ ^x

,

x ₇ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = x ₁ ,

x ₂ x ₄ x ₆ x ₈

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+1+x

/ ^x

^x

,

x ₆ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^{1 +x}

/ ^x

,

x ₇ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = x ₁ , x ₈ = ^{1 +x}

/ ^x

x ₂ x ₄ x ₆ x ₂

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+1+x

/ ^x

^x

,

x ₆ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^{1 +x}

/ ^x

,

x ₇ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = x ₁ , x ₈ = ^{1 +x}

/ ^x

= x ₂

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^x

^+x

^{+ 2 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ 1 +x}

/ ^x

^x

,

x ₆ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^{1 +x}

/ ^x

,

x ₇ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = x ₁ , x ₈ = ^{1 +x}

/ ^x

= x ₂

となって元に戻ります。

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 3x}

^{+ 3x}

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 3x}

^{+ 3x}

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₅ = ^{1 + x}

/ ^x

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 3x}

^{+ 3x}

^{+ 1} / ^x

^x

,

x ₅ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ 2x}

^{+ x}

^{+ 1} / ^x

x

,

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 3x}

^{+ 3x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ 2x}

^{+ x}

^{+ 1} / ^x

x

,

x ₆ = ^1+x

/ ^x

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 3x}

^{+ 3x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ 2x}

^{+ x}

^{+ 1} / ^x

x

,

x ₆ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+2x

^+3x

^x

^+1+x

^+3x

^{+3 x}

/ ^x

x

,

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 3x}

^{+ 3x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^{1 + x}

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x ₆ = ^1+x

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x

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x ₇ = ^{1 +x}

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x ₃ = ^x

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, x ₄ = ^{1 + x}

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, x ₅ = ^{1 + x}

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x

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x ₆ = ^1+x

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x

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x ₃ = ^x

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x

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, x ₈ = ^{1 +x}

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, x ₄ = ^{1 + x}

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, x ₅ = ^{1 + x}

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x

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x ₆ = ^1+x

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/ ^x

x

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x ₇ = ^{1 +x}

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, x ₈ = ^{1 +x}

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x ₃ = ^x

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, x ₄ = ^{1 + x}

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, x ₅ = ^{1 + x}

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x ₆ = ^1+x

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, x ₄ = ^{1 + x}

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^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^{1 + x}

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^{+ x}

^{+ 1} / ^x

x

,

x ₆ = ^1+x

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= · · · = ^x

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^x

^+1+x

^{+3 x}

^+3x

/ ^x

x

,

x ₇ = ^{1 +x}

/ ^x

= · · · = ^x

^+x

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₈ = ^{1 +x}

/ ^x

= ^x

^{+ 1} / ^x

,

x ₉ = ^{1 +x}

/ ^x

= x ₁ ,

x ₃ = ^x

^{+ 1} / ^x

, x ₄ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ x}

^{+ 3x}

^{+ 3 x}

^{+ 1} / ^x

^x

, x ₅ = ^{1 + x}

/ ^x

= · · · = ^x

^{+ 2x}

^{+ x}

^{+ 1} / ^x

x

,

x ₆ = ^1+x

/ ^x

= · · · = ^x

^+2x

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^+1+x

^{+3 x}

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/ ^x

x

,

x ₇ = ^{1 +x}

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^+x

^{+ 1} / ^x

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, x ₈ = ^{1 +x}

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^{+ 1} / ^x

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x ₉ = ^{1 +x}

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