体の間の環射ι: k→Kを体拡大(field extension)と呼ぶ．このιは必然的に単射であ る(それゆえ埋入(embedding)とも呼ぶ)．しばしばιを包含と見て，この記号を書か ない．
(Ti)i∈I を変数の族とするとき，多項式環k[(Ti)i∈I]は整域．その商体をk((Ti)i∈I)と記 す．これはkの体拡大である．
Kのk-ベクトル空間としての次元を[K : k]と記し，体拡大k → Kの次数(degree) とも呼ぶ．k→ Kの部分拡大(subextension)とはKのk-部分代数で体であるものを 指す．部分体の族の共通部分はまた部分体である．(ai)i∈I をKの元の族とするとき，
k((ai)i∈I)によりすべてのaiを含む最小の部分体を表す．
定義88 体拡大ι: k→Kが
(1) 有限(次) (finite): ιが有限(定義11)．
(2) 代数(的) (algebraic): ιが整(定義51). 元a∈Kがk上代数的とはそれがk 上整．
(3) 超越(的) (transcendental): 代数的でない．
(4) 純超越(的) (purely transcendental): k上代数的独立な元ti ∈Kの族(ti)i∈I が 存在してK=k((ti)i∈I); 同値にKk((Ti)i∈I)．ここに(Ti)i∈Iは変数の族. (5) 有 限 生 成 (finitely generated): 有 限 個 の 元a1, . . . ,an ∈ K が 存 在 し てK =
k(a1, . . . ,an).
(6) 分離(的) (separated): 勝手な体拡大k→Lに対しK⊗kLが被約．
注意89
(1) k→KとK→Lを体拡大とする．合成k→Lが有限/代数的/有限生成 ⇔
k→KおよびK→Lが当該性質を持つ．
(2) 体拡大が有限 ⇔ 代数的かつ有限生成．
(3) 純超越拡大は分離的．
定義90 体kが
(1) 代数閉(algebraically closed): kの非自明な代数拡大が存在しない．
(2) 分離閉(separably closed): kの非自明な分離代数拡大が存在しない．
(3) 完 全 (perfect): kの 体 拡 大 が す べ て 分 離 的; 同 値 に char(k) = 0，ま た は char(k)=p>0かつFrobenius射k→k, x7→ xpが全射．
43
体が代数閉 ⇔ 完全かつ分離閉．
kを体とする．kの代数閉包(algebraic closure)/分離閉包(separable closure)/完全閉 包(perfect closure)とは，Kが代数閉/分離閉/完全なる体拡大k→Kであって，当 該性質をもつ体拡大k→Lに対しk-代数射K→Lが存在するものをいう．
命題91 体kの代数閉包/分離閉包/完全閉包は必ず存在し，k上代数的/分離代数 的/純非分離的である．kの代数閉包/分離閉包はk-代数同型を除き一意的．kの完 全閉包は一意的に決まるk-代数同型を除き一意的である．
k→Ωを代数閉/分離閉なる拡大体とすると，勝手な代数拡大/分離代数拡大k→K に対しk-代数射K→Ωが存在する．
命題/定義92 k→Kを体拡大とする．
(1) k上代数的独立な元ti∈Kからなる族(ti)i∈I が存在してKはk((ti)i∈I)上代数 的になる．この族を体拡大k→Kの超越基底(transcendental basis)と呼ぶ．
(2) k→Kのどの２つの超越基底も同じ濃度をもつ．この濃度を超越次数
(tran-scendental degree)と呼びtrdegkKで表す．
(3) K→Lを第２の体拡大とするとtrdegkL=trdegkK+trdegKL.
(4) k → K が 有 限 生 成 で あ れ ば ，有 限 超 越 基 底 (t1, . . . ,tn) が 存 在 し て K は
k(t1, . . . ,tn)上有限になる．
従って，体拡大k→Kが代数的 ⇔ trdegkK=0.
分離拡大の特徴づけに必要な次を想起しよう．Aを環，Mを A-加群とするとき，Z-線形射d : A→Mであって，d(aa′)=ad(a′)+a′d(a) ∀a, a′∈Aを満たすものを導分 (derivaion)という．
命題93 体拡大k→Kに対し次が互いに同値になる．
(i) k→Kが分離拡大．
(ii) kの任意の有限純非分離拡大体Lに対しK⊗kLが被約．
(iii) kの完全拡大体k′が存在してK⊗kk′が被約．
(iv) Kの代数閉拡大体Ωとk上線形独立な元a1, . . . ,an∈Kが勝手に与えられた
とき，Ωのk-自己同型σ1, . . . , σnでdet(
σi(aj))
i,j,0を満たすものが選べる．
(v) K-ベクトル空間Vと導分d : k→V (Vはk→Kを通しk-ベクトル空間と見 なす)が勝手に与えられたとき，dがある導分D : k→Vに延長できる．
k→Kが代数拡大の場合，(i)–(v)は次と同値．
(vi) 各元a∈Kがk上分離的(すなわちaのk上最小多項式が，kのある/勝手な
代数閉拡大体において，重根をもたない).
k→Kが有限生成の場合，(i)–(v)は次と同値．
(vii) k→Kの超越基底(t1, . . . ,tn)が存在してk(t1, . . . ,tn)→Kが有限分離拡大に なる．
命題94 (原始元定理) 有限分離拡大は一元で生成される．
k→Kを体拡大とする．集合
kalg:={a∈K : aはk上代数的}
ksep:={a∈K : aはk上分離かつ代数的}
はいずれもKの部分体．それぞれ, kのKにおける代数閉包,分離閉包と呼ぶ．kが Kにおいて代数閉,分離閉であるとは，それぞれk=kalg, k=ksepが成り立つ場合に いう．
44
定義95 代数体拡大k→Kが
(1) 非分離(的) (inseparable): 分離的でない．
(2) 純非分離(的) (purely inseparable): kがKにおいて分離閉.
(3) 正規(normal): 代数閉なる拡大体k→Ωとk-代数射σ: K→Ωが勝手に与 えられたとき，σ(K)⊂K (すると必然的にσ(K)=K)が成り立つ．
(4) Galois: 正規かつ分離．
k→Kを代数体拡大とする．ksep→Kは純非分離になる．
(16.1) [K : k]sep=[ksep: k], [K : k]insep=[K : ksep]
とおき，それぞれk→ Kの分離次数(separability degree),非分離次数(inseparability degree)と呼ぶ．
注意96 k→Kを代数体拡大とする．
(1) 定義から直ちに
[K : k]=[K : k]sep[K : k]insep.
(2) Ωをkの代数閉拡大体とする．[K : k]sepが有限であるためには，k-埋入K→Ω からなる集合Homk-alg(K,Ω)が有限であることが必要十分であって，その場合
[K : k]sep=# Homk-alg(K,Ω).
(3) K→Lを第２の代数拡大とするとき，(1), (2)から
[L : k]sep=[L : K]sep[K : k]sep, [L : k]insep=[L : K]insep[K : k]insep.
補題97 ２つの体拡大k→K, k→Lに対し
dim(K⊗kL)=min{trdegkK, trdegkL}.
(trdegkK, trdegkLがともに無限濃度の場合，dim(K⊗kL)=∞を意味する.)
証明 trdegkK ≤ trdegkL としてよい．T = (Ti)i∈I を K のk上超越基底とすると，
k(T )⊗kL⊂K⊗kLは整拡大ゆえ同一次元(定理54 (3))．よってK=k(T )としてよい．
するとK⊗kLはL[T ]の局所化．∴trdegkK=#I<∞ならばdim(K⊗kL)≤#I．
冒頭の不等号からk-埋入K→Lが，従ってL-代数全射φ: K⊗kL→Lが存在．その 核m⊂K⊗kLは極大イデアル．m∩L[T ]はTi−φ(Ti), i∈Iで生成されるから
dim(K⊗kL)≥ht(m)=ht(m∩L[T ])≥#I (Iが無限の場合#I :=∞)
Iが無限の場合これから，有限の場合には前段の結果と合わせて，補題が従う．
命題98 体拡大k→Kに対し次が互いに同値になる．
(i) kがKにおいて分離閉．
(ii) 各体拡大k→ Lに対しK⊗kLがただ１つの極小素イデアルをもつ(同値に, ベキ零根基
√0が素イデアル)．
(iii) 各有限分離体拡大k→Lに対しK⊗kLがただ１つの極小素イデアルをもつ．
(iv) ある分離閉なる拡大体k→Ωに対しK⊗kΩがただ１つの極小素イデアルを もつ．
証明 一般に，２つの閉真部分集合の和で表せないような位相空間を 既約 とい う．
環 A に 対 し ，Spec(A) の 既 約 閉 集 合 は 一 意 に 決 ま る p ∈ Spec(A) を 以 てV(p) = {pを含む素イデアル}で与えられる．従って，Aがただ１つの極小素イデアルをもつ
⇔ Spec(A)が既約．この場合にAが既約と言おう．既約な位相空間の連続写像によ
うる像は既約ゆえ次が成り立つ．
(事実) 環の射A→Bに付随するSpec(B)→Spec(A)が全射(例えばA→ Bが忠実 平坦)の場合，Bが既約ならばAもそう.
45
(ii)⇒(iv). 自明. (iv)⇒(iii). 各有限分離体拡大k→Lは勝手なΩにk-埋入できる (命題91あと)から，上の(事実)より従う. (iii)⇒(i). (i)が成り立たない，すなわ ちk→Kが非自明な有限分離部分拡大k→Lを含むとすると，L⊗kLは非自明なベ キ等元を含む．同値にSpec(A)は非連結．とくにAは可約になり，(事実)より(iii)が 成り立たない．
(i)⇒(ii). kの拡大体Lを有限生成部分拡大体の有向和集合L=∪
αLαとして表すと，
K⊗kL (=∪
αK⊗kLα)のベキ零根基
√0はK⊗kLαのそれらの和集合．従って，(i)か ら(ii)を示すのにLをk上有限生成としてよい．k→Lが純超越拡大であればK⊗kL はL上多項式環の局所化ゆえUFD．このK⊗kLにおいて，L上分離かつ代数的な元 はL (=k⊗kL)の元に限ることに注意しよう37.
k→Lが分離拡大の場合, K⊗kLは整域である．実際L=ℓ[T ]/(p(T ))．ここにk→ℓ は有限生成純超越拡大，p(T )はℓ上分離的モニック既約多項式．前段で見たように R=K⊗kℓはUFD．R[T ]においてp(T )を割るモニック既約多項式q(T )を勝手に選 ぶ．q(T )の最高次よりほかの係数は，p(T )の（Frac(R)を含む体における）根の積和 ゆえℓ上分離かつ代数的．前段の注意からq(T )∈ℓ[T ]．従ってq(T )はℓ上既約とな り p(T )に一致．こうしてp(T )はR[T ]の素元．K⊗kL=R[T ]/(p(T ))は整域．
一般の場合．char(k) = p > 0 としてよい．ある有限生成分離拡大 k → ℓ を以て，
L=ℓ[T1]/(T1pe1−a1)⊗ℓ· · · ⊗ℓℓ[Tr]/(Trper−ar), ei≥0の形．前段の結果からR=K⊗kℓ は整域．rに関する帰納法により，既約なℓ-代数Rと純非分離単拡大ℓ→ℓ[T ]/(Tpe−a) とのテンソル積S =R[T ]/(Tpe −a)がまた既約であることを示せばよい．RをR/√
0 に替えて整域としてよい．θ=T mod(Tpe−a)のFrac(R)上の最小多項式はTpd−apd−e, 0≤d ≤eの形だが,上と同じ(事実)からapd−e ∈R．R[T ]/(Tpd−apd−e)は整域となる が，これはS/√
0に一致する．
系99 体拡大k→Kに対し次が互いに同値になる．
(i) k→Kが純非分離(とくに代数的).
(ii) 各体拡大k→Lに対しk-埋入K→Lは高々１つしか存在しない．
(iii) 各体拡大k→Lに対しK⊗kLはただ１つの素イデアルをもつ．
証明 (i)⇒(iii). 補題97よりdim(K⊗kL)=0．(i)のもと，命題98よりK⊗kLは ただ１つの極小素イデアルをもつから(iii)が従う.
(iii)⇒(ii). Homk-alg(K,L)=HomL-alg(K⊗kL,L)⊂Spec(K⊗kL)より(最後の包含は L-代数射φにその核Ker(φ)を対応させる).
(ii)⇒(i). (ii)においてLとしてkの代数閉包を選べ．
References
[Atiyah–MacDonald] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
[Bourbaki] N. Bourbaki, Commutative algebra, Herman, 1972.
[松村] 松村英之「可換環論」共立出版, 1980.
[Waterhouse] W. C. Waterhouse, Introduction to affine group schemes, Springer, Graduate Texts in Mathematics Vol. 66, 1979.
37
一般に，体k上の有限生成代数Rにおいて，有限次元分離部分代数(kの有限分離拡大 体の有限直積と同型であるような部分代数)のうち最大のものπ0(R)が存在し，これは係数 体の拡大k→Lで保たれる[Waterhouse, Section 6.5]．いまの場合，L上分離かつ代数的な元 x=∑
iai⊗bi∈K⊗kLに対し, R⊂Kをaiたちが生成する部分代数とすれば，x∈π0(R⊗kL)= π0(R)⊗kL=L.
46
演習題
頭の番号で関連する節（例えば演習題7.1, 7.2は第７節）を表す．
断りがなければAは（可換）環を表す．
1.1 k[T ]を体k上の1変数多項式環とする．元 f ∈k[T ]−kに対し，次が互いに同 値であることを示せ．
(i) fがkの代数閉包において重根をもたない．
(ii) k[T ]/( f )がk-代数として，有限個のk上有限次分離拡大体の直積に同型．
(iii) 勝手な体拡大k→Lに対しL[T ]/( f )が被約．
1.2 A, Bを体k上の局所代数とするとき次を示せ．
(1) k→B/mBが代数拡大であれば，k-代数射A→Bは必ず局所的である．
(2) Bが有限生成k-代数の極大イデアルにおける局所化であれば，k-代数射A→B
は必ず局所的である．
(3) 一般にk-代数射A→Bが局所的とは限らない(例証せよ)．
4.1 Pを加群に関する，次のいずれかの性質とする．有限生成，有限表示をもつ，平 坦，忠実平坦，有限生成射影的．忠実平坦射A→Bによる係数拡大が性質Pを反射 (reflect)すること，すなわちA-加群Mに対しB-加群B⊗AMが性質Pをもてば，M 自身も同じ性質をもつことを示せ．
5.1 A-加群Mの台(support)を
Supp(M)={p∈Spec A : Mp ,0}
により定義する(命題57 (4)). M, Nを有限生成A-加群とするとき Supp(M⊗AN)=Supp(M)∩Supp(N) を示せ．
6.1 X :=Spec AをZariski位相をもつ位相空間(脚注17)と見て，次を示せ．
(1) 有限生成A-加群Mの台Supp(M)は閉集合．実際Supp(M)=V(Ann(M))． A-加群Mが有限生成でなくてもSupp(M)⊂V(Ann(M))が成り立つ．
(2) 有限生成射影的A-加群Mに対し，p7→ rkAp(Mp) (=dimκ(p)(κ(p)⊗A M))が与 える写像X→N={0,1,2, . . .}（離散位相空間）は連続である．
(3) 有限生成射影的A-加群Mが与えられたとき，Xの各連結成分Xα の基本開 集合による有限被覆Xα =∪rα
i=1D( fi)をうまく選んで，各1 ≤i≤rαに対し MfiがAfi 上自由であるようにできる．
X=Spec AのZariski位相とは，すべての
V(a)={p∈X :p⊃a}, a⊂Aイデアル を閉集合とするもの．等しく，すべての
D( f )={p∈X : f <p}, f ∈A を開集合基とするものである．
7.1 素数pに対し，Zの素イデアル(p)における局所化をZ(p)とする．QのZ(p)に よる剰余Z-加群Q/Z(p)において，各非負整数nに対しp−n modZ(p)の生成する部分 Z-加群をGnとかく．次を示せ．
(1) GnがQ/Z(p)の真部分加群のすべてを与え，0=G0(G1(G2(. . . . (2) Z-加群Q/Z(p)はArtinであるがNoetherでない．
47
7.2 脚注10にある準素分解に関する事実の証明を与えよ．
7.3 次を示せ．代数閉体k上の有限次元代数A,0は，
k[T1, . . . ,Tr]/(T1n1, . . . ,Trnr), ni>0, r≥0 の形をしたk-代数の有限直積に同型である．
8.1 N={0,1,2, . . .}を添え字集合にもつA-加群の射影系の短完全列 0→ {Ln}−→ {{fn} Mn}−→ {{gn} Nn} →0
(すなわち各0→Ln fn
−→Mn gn
−→Nn →0がA-加群の短完全列で，{fn},{gn}がともに 射影系をなす射と両立する）が与えられたとき，次を示せ．
(1) 0→lim
←−Ln lim←−fn
−→lim
←− Mn lim←−gn
−→ lim
←−Nnは完全．
(2) 射影系
({Ln}n, {unm}m≤n)
がMittag-Leffler条件を満たす，すなわち∀n∃n0 ≥ n : Im(unn0+k)がk≥0によらず一定（例えばun+1n がすべて全射であれば，こ れは満たされる）とすると，lim
←−gn: lim
←− Mn→lim
←−Nnは全射．
(3) 一般には(2)の結論は成り立たない（例証せよ）.
8.2 系41からとくに，局所Noether環Aにおいて
∩
n≥0
mnA=0.
これから次を導け．
(1) Noether環Aにおいて
∩
m極大イデアル
∩
n≥0
mn=0.
(2) Noether整域Aにおいて勝手な真のイデアルb(Aに対し
∩
n≥0
bn=0.
注意 これら一連の等式はKrull交叉定理と呼ばれる．
8.3 kを実数体Rまたは複素数体Cとするとき次を示せ．1変数形式ベキ級数環 k[[T ]]において，正の収束半径をもつもの全体k{T}は部分局所環をなし，その（極 大イデアルによる）完備化はk[[T ]]に一致する．
またこれを多変数の場合に一般化せよ．
9.1 Aを局所Noether環，(a1, . . . ,ar)をA-正則列（定義58）とする．Aが体kを部 分体として含むとき，a1, . . . ,arはk-上代数的独立であって，Aはk[a1, . . . ,ar]上平坦 である．下を順に示してこれを導け．
(1) φ(Ti)=ai(1≤i≤r)が与えるk-代数射φ: k[T1, . . . ,Tr]→Aが平坦であるこ とさえ示せば，その単射性が従い，残りの代数的独立性を得る．
(2) その平坦性を示すには，定理48を環k[T ]=k[T1, . . . ,Tr]とイデアル(T1, . . . ,Tr), k[T ]-加群Aに適用することにより
Tork[T ]1 (k,A)=0
さえ示せばよい(定理の証明にある条件(iii)′を用いる)．
48
(3) 上記Torを計算するために，kのk[T ]-自由分解として，k[T ]/(Ti)のk[T ]-自 由分解
· · · →0→0→k[T ]−→Ti k[T ]→k[T ]/(Ti)→0
を 1 ≤ i ≤ r に わ たってk[T ] 上 テ ン ソ ル し た も の（ 境 界 作 用 素 の 符 号 を 適 宜 変 え る ）が 選 べ る ．こ れ を F• → k → 0 と か く と ，A⊗k[T ] を 施 し た A⊗k[T ]F•→A/(a1, . . . ,ar)→0は完全となり，従って
Tork[T ]n (k,A)=
A/(a1, . . . ,ar) n=0,
0 n>0.
注意 A⊗k[T ]F•はKoszul複体と呼ばれる．
10.1 Aを整域，K=Frac(A)をその商体とするとき次を示せ．
(1) Aが整閉整域の場合，Kを含む代数拡大体の元bがA上整であれば，bのK
上最小多項式はすべての係数をAにもち，B=A[b]はAの整拡大でA-加群 として有限生成自由，Frac(B)=K⊗ABとなる．
(2) Aが整閉整域でない場合，上が成り立つとは限らない．
10.2 AをUFDとする．B=A[√f]
はAを含む整域であって，square-freeな（=ど んな素元の２乗でも割れない）Aの元f の２乗根
√f でA上生成されているとする．
次を示せ．
(1) 2∈A×であればBは整閉整域になる．
(2) Aが体k上の多項式環k[T1, . . . ,Tn]の場合，char(k),2であればBは整閉整 域になる．char(k)=2の場合，f が仮定「すべてのTiに関し偶数次であるよ うな単項式を含まない」を満たせば，同じ結論が成り立つ．
10.3 Aを整閉整域，Lを商体K =Frac(A)の正規拡大体，BをAのLにおける整 閉包とする．G = Aut(L/K)を LのK-自己同型群とする．Gの Lへの作用はBの
(A-代数)自己同型に制限されるから，Spec(B)上の置換を引き起こす．Spec(B)/Gに
よりSpec(B)におけるG-軌道全体の集合を表すとき，包含φ: A ֒→ Bに付随する
aφ: Spec(B)→Spec(A)が全単射
Spec(B)/G−→≃ Spec(A) を引き起こすことを示せ．
10.4 kを体とする．次を示せ.
(1) A,0を有限生成k-代数とし，定理56 (Noether正規化定理)にいうk-代数単 射φ: k[T1, . . . ,Td]→Aを包含と見る．AのT1, . . . ,Tdが生成するイデアル による剰余環A/(T1, . . . ,Td)は，非零有限次元k-代数である．これより，A の極大イデアルmで有限余次元なる（A/mがk上有限次元である）ものが 少なくとも１つ存在する．
(2) (Hilbert零点定理)有限生成k-代数A,0の極大イデアルはすべて有限余次
元である．またAのJacobson根基r(A)とベキ零根基
√0は一致する．
(3) kが代数閉体であれば，多項式環k[T1, . . . ,Td]の極大イデアルは (T1−a1, . . . ,Td−ad), (ai)∈kd
の形に1通りに表される．こうして全単射
kd −→ {≃ k[T1, . . . ,Td]の極大イデアル} が得られる．
49
12.1 Noether環A,0上の１変数多項式環A[T ]について dim A[T ]=dim A+1
が成り立つ(dim A=∞の場合dim A[T ] =∞と了解する)ことを，次を順に示して 導け．
(1) 包含φ: A→A[T ]は忠実平坦ゆえ，付随するaφ: Spec B→Spec Aは全射 である．これより，勝手なp∈Spec Aと，その上にある素イデアルのうち極 大なq∈Spec Bに対し
htq=htp+1 を示せばよい．
(2) 命題65を平坦射Ap→Bqに適用して，上の等式は ht(q/pB)=1
に同値である．
(3) qBp/pBpは体k=Ap/pAp上の1変数多項式環k[T ]の0と異なる素イデアル であり，これより(2)の等式が従う．
12.2 kを体とするとき次を示せ．
(1) 多項式環k[T1, . . . ,Td]の次元はdに等しく，従って素イデアル鎖(0)⊂(T1)⊂
(T1,T2)⊂ · · · ⊂(T1, . . . ,Td)は最長である．
(2) k上の有限生成代数Aが既約(命題98証明; √
0が素イデアル）であれば，す べての極大イデアルmに対し高さht(m)は一定でdim Aに等しい．
12.3 体k上の３変数形式ベキ級数環k[[T1,T2,T3]]のイデアルa=(T1)∩(T2,T3)に よる剰余環をA=k[[T1,T2,T3]]/aとし，TiのAにおける自然な像をtiとかく．この とき次を示せ．
(1) Aは２次元局所Noether環で，極小素イデアルは(t1)と(t2,t3)から成る．
(2) t2, t1+t3はAの巴系を成すが，t2は極小素イデアルに含まれるからht(t2)=0． とくに(t2, t1+t3)は定昇列（補題61 c）ではない．
13.1 命題66 (iii)⇒(i)の証明を与えよ．
13.2 (1)有理数体Qの付値環とその完備化をすべて求めよ．
(2)実数体R上の１変数有理関数体R(T )の付値環のうち，R[T ]を含むものすべてを 求めよ．またそれらの完備化を同型によって分類せよ．
13.3 命題69 (1)の証明を与えよ．
13.4 命題69 (3)の証明に引用した，次の事実を証明せよ．有限次体拡大L/KとL
の付値vに対し，付値群の指数（分岐指数）e(L/K) =[v(L×) : v(K×)] は拡大次数 [L : K]を超えない．
14.1 命題70 (1)の証明にある（事実）を証明せよ．
14.2 命題73 (iii)⇒(ii)の証明にある（事実）を証明せよ．
14.3 体k上の既約な(演習題12.2)有限生成代数が A=k[T1, . . . ,Tn]/( f1, . . . ,fr), r>0
の形に表されているとする．点 a = (a1, . . . ,an) ∈ kn がすべての1 ≤ i ≤ r に対し fi(a)=0を満たすとする．すると
m:=ma =(T1−a1, . . . ,Tn−an)/( f1, . . . ,fr) がAの極大イデアルになる．次が互いに同値であることを示せ．
(i) 局所化Amが正則局所環である;
50