付値環

A ⊂ B

を局所環の包含とする．

m

_A

⊂ m

_B^{または同値に}

m

_B

∩ A = m

_A^が成り立

つとき

B

^は

A

^を支配

(dominate)

^{するという．体}

K

において，部分局所環全体

の集合は支配を順序にもつ帰納的順序集合になる．

定義

/

^命題

66 K

^を体，

A

^{をその部分環とする．}

A

^が

K

^の付値環

(valuation

ring)

であるとは，次の互いに同値な条件が満たされるときにいう．

(i)

^各元

x ∈ K

^×に対し

x ∈ A

^または

x

⁻¹

∈ A

^{が成り立つ．}

(ii) Frac(A) = K

^，かつ

A

のイデアル全体が包含に関し全順序集合をなす．

(iii) A

が局所環であって，支配順序に関し極大である．

(iv) K

^{のある付値}

v

^に対し

A = { a ∈ K : v(a) ≥ 0 } (

^{証明の後を見よ}

)

^．

28B/mAB^がm_A上のファイバー環であることに注意して(^不)等式の幾何学的意味を考えよ. 30

証明 (i)⇒(ii). (i)を仮定．明らかにFrac(A)=K．また，単項イデアル全体が全順 序集合になることに注意．a,bをイデアル，a1bと仮定．∃a∈a\b．∀b∈bをとる とa<(b)．(a)1(b)ゆえ注意から(a⊃) (a)⊃(b) (∋b)．∴a⊃b.

(ii)⇒(iii). (ii)を仮定．するとAの極大イデアルはただ1つ．すなわちAは局所環．

Aを支配する部分局所環B⊂Kを選び，x=a/b (a,b∈A\ {0})をその勝手な非零元 とする．x∈Aを示したい．(ii)から(a)⊂(b)または(a)⊃(b)．非自明な後者の場合，

x⁻¹∈A．x∈Bゆえx⁻¹<m_B．m_A ⊂m_Bゆえx⁻¹ ∈A\m_A=A^×．∴ x∈A.

(iii)⇒(i). [Bourbaki, Chap. VI, Sect. 1.2, Theorem 1] (a)⇒(b)⇒(c) の証明参照．

(iv)⇒(i). x∈K^×に対し，v(x)+v(x⁻¹)=0ゆえv(x)≥0またはv(x⁻¹)≥0.

(ii)⇒(iv). 一般に整域Aとその商体Kに対し，商群G=K^×/A^×は，非零単項分数イ デアルxA (⊂K), 0,x∈K 全体が積に関し成す群と同一視される．後者がもつ，包 含の逆に関する順序により，このGは順序群(演算が順序と両立)になる．Gの演算 を加法で表す．(ii)を仮定するとGは全順序加法群．標準的準同型v : K^×→Gの延 長K→G∪ {∞}(v(0)=∞)を同じ記号で表す．v(x)≥v(y) ⇔ xA⊂yA in K に注意．

明らかにA={a ∈K : v(a) ≥0}．あとは下記(13.1)の確かめ．(x+y)A ⊂xA+yA．

後者はxA，yAのうち，包含に関し大きい方に含まれる.

体

K

^の付値

(valuation)

^とは

,

^乗法群

K

^×からある全順序加法群（加法と両立

する²⁹全順序を伴う加法群）

G

^{への群準同型}

v

^を

v(0) = ∞

^{と定めて延長した} 写像

v : K → G ∪ {∞}

^{であって，}

(13.1) v(x + y) ≥ min { v(x), v(y) } , x, y ∈ K

を満たすものをいう（ただし

g < ∞ , g ∈ G

^）．

A = { a ∈ K : v(a) ≥ 0 }

^は

K

^の 部分環（実際，上の意味の

K

の付値環）になる．部分群

v(K

^×

) ⊂ G

^を

v

^の値

群（

value group

^{）と呼ぶ．これは}

K

^×

/A

^×に同型な，ねじれをもたないアーベ

ル群である．

系

67 K

^を体，

R ⊂ K

^{を部分環，}

p ⊂ R

を素イデアルとすると，

R

^を含む

K

の付値環

A

^{が存在して}

m

_A

∩ R = p

^{を満たす．}

証明 RをRpに替え，(R,p)を局所環としてよい．Rを含むKの部分環Aで1<pAを 満たすものすべてを考える．Zornの補題により，包含に関し極大なAを得る．m⊃pA なるAの極大イデアルmを選べばm∩R=p．極大性からAm=A，すなわち(A,m)は 局所環．AがKの付値環であることを見るのに，∃0∈x∈K : (i) x<Aかつ(ii) x⁻¹<A として矛盾を導く(命題66)．(i)によりA[x])Aゆえ1∈pA[x]．すなわち

1=a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ, a_i∈pA, n>0 と表せる．1−a0 ∈A^×ゆえ逆元を乗じて

1=b1x+· · ·+bnxⁿ, bi∈pA, n>0.

この関係式をnが最小となるように選ぶ．(ii)より同様に，関係式 1=c1x⁻¹+· · ·+cmx^−m, ci∈pA, m>0

をmが最小となるように選べる．n≥mの場合，この式にbnxⁿを乗じ前の式から引 くと，nがより小さい関係式が得られ矛盾．n>mの場合も同様に，mの最小性に矛 盾する関係式が作れる.

定義

/

^命題

68 A

を体でない整域とする．

A

^{が離散付値環}

(discrete valuation

ring)

であるとは，次の互いに同値な条件が満たされるときにいう．

(i) A

^が局所PID．

29gi≤hiin G, i=1,2, ^ならば g1+g2≤h1+h2. 31

(ii) A

^{が１次元局所}

Noether

^{整閉整域．}

(iii) A

^が

Noether

^付値環．

(iv) A

^が局所

Noether

^{環，極大イデアル}

m

_A^{が単項イデアル．}

(v) A

^が

Z

に値をもつ付値

v : Frac(A) → Z ∪ {∞}

^{の付値環．}

証明 m=m_A, K=Frac(A)とかく．

(v)⇒(i)⇒(iv)⇒(v)．(v)を仮定．v(π)=1を満たす元π∈Aを１つ選ぶ．∀x∈ K に対しm =v(x) (∈Z)とおくと ∃u∈ A^× : x =uπ^mが見て取れる．勝手なイデアル 0,a(Aに対しn=min{v(a) : a∈a}は正整数．先の結果からa=(πⁿ)が従い，(i) を得る．(後のため，m=(π),a=mⁿに注意せよ.)

(i)⇒(iv)は自明．(iv)を仮定．m=(π)とする．系41から

∩

n>0(πⁿ)=0．∀0∈a∈ A∃!0 ≤n ∈ Z : a ∈ (πⁿ)\(πⁿ⁺¹)．u =aπ⁻ⁿ とおくとu ∈ A\m = A^×．これより次 が見て取れる．∀x∈K^×∃!(n, u)∈Z×A^×: x=uπⁿ．従ってx7→ nが順序群の同型 K^×/A^×Zを与え，(v)が従う (命題66 (ii)⇒(iv)の証明を見よ).

(v)⇒(iii)⇒(iv). 上で見たように(v)のもとAはNoetherゆえ(iii)を得る．(iii)を 仮定．Aを与える付値をvとせよ．Noether性から，あるπ ∈ Aに対しv(π)が値群 v(K^×)の中の正の最小値となる．明らかに(π)⊂m．逆の包含を示すため∀a∈mを選 ぶ．v(aπ⁻¹)≥0よりa∈(π).

(v)⇒(ii)⇒(iv)を示せば終わる. 付値環は整閉整域(命題70 (5))．また(v)のもと，

上の注意からdim A≤1ゆえ(ii)が従う．

(ii)⇒(iv)．m ,0に注意．0 ,a ∈ mを勝手に選ぶ．dim A = 1とする．A/(a)は Artin．mは(a)の素因子になるから∃b∈A : ((a) : b)=m．x=a⁻¹b (∈K)とおくと xmはAのイデアルで，x<m(∵x∈A とすると1∈((a) : b))．

AをNoether整閉整域とするとxm=A (∵反してxm⊂mとすれば，行列式を用い

た議論でxはA上整. x<Aに反す)．x⁻¹∈m．m=x⁻¹xm⊂(x⁻¹)⊂m．∴m=(x⁻¹).

(後のための注意して，前段の結論はmが(a)の素因子であれば成り立つから，次が

示された．局所Noether整閉整域において，極大イデアルmを素因子にもつ単項イ デアルが存在すれば，mは単項イデアルである.)

A

を離散付値環とするとき，極大イデアル

m

_A ^{を生成する元}

π

^{を素元または} 一意化元

(uniformizing element)

^と呼ぶ．

A

の非零イデアルは，ある整数

n ≥ 0

を以て

(π

ⁿ

)

で与えられる．さらに条件

(v)

^の付値

v

^を以て，

(13.1) A

^×

= { a ∈ A : v(a) ≥ 0 } , m

_A

= { a ∈ A : v(a) > 0 } .

v

^{が正規化されている}

(normalized)

^とは，

v

が全射のとき，同値にある

/

^勝手 な素元

π

^が

v(π) = 1

^{を満たすときにいう．}

命題

69 v : K → G ∪ {∞}

^{を全順序加法群}

G

^{に値をもつ体}

K

^{の付値とする．}

(1) v

^は

K(T ) (T

^は超越元

)

^の

(

^同じ

G

^{に値をもつ}

)

^{付値に延長可能．}

(2)

^{勝手な体拡大}

L/K

^に対し，

v

^は

L

^{の付値に延長可能．}

(3) L/K

が有限次体拡大の場合，

v

^{が離散付値}

(

^すなわち

v(K

^×

) Z )

^であ ればその延長もすべて離散付値である．

証明 (1) [Bourbaki, Chap. IV, Sect. 10.1, Proposition 1]を見よ．ng,0 ∀n∈Z\ {0} を満たすg∈Gを勝手に選ぶとき，v(T )=gなる延長が一意に存在する．

(2) vを与える付値環をA={a ∈K : v(a)≥0}，剰余体をk=A/m_A，その代数閉包 をkとする．Aを含むLの部分環Bと射影A → kを延長する射 f : B→ kからな るペア(B,f )全体を考え，そこに自然な順序を入れる．Zornの補題から極大なペア

32

(B,f )が存在．f (B)は体ゆえm=Ker( f )は極大イデアル．ペアの極大性からB=Bm． 従って(B,m)は局所環で，明らかにAを支配する．このBがvの延長を与える付値 環であるのを見るのに，あと定義66の条件(i)を確かめればよい．x∈L^×とする．x が B上整の場合．f を延長する射 B[x] → kが構成できる³⁰からペアの極大性から x∈B．xがB上整でない場合．x<B[x⁻¹]が成リ立ち，x⁻¹はB[x⁻¹]の非単元．標準 射B→B[x⁻¹]/(x⁻¹),0は非零環への全射となるから，x⁻¹を含むB[x⁻¹]の極大イデ アルnが存在してB/m=B[x⁻¹]/n．ペアの極大性からx⁻¹∈B.

(3) 一般に体拡大L/KとLの付値vに対し，付値群の指数 e(L/K)=[v(L^×) : v(K^×)] を 分岐指数と呼ぶ．L/Kが有限次拡大であればe(L/K)は有限 (実際e(L/K)≤[L : K]) で あることが知られている[Bourbaki, Chap. VI, Sect. 8.1, Lemma 2]．この場合v(K^×)Z であれば，v(L^×)はねじれをもたない階数１の有限生成アーベル群，すなわち Z.

ドキュメント内 代数学ＩＢ2016冬学期ー可換代数入門 Akira Masuoka (ページ 30-33)