理論ゼミ（後期） 2016 P3 quark 5 2

課題研究 ^P3 理論ゼミ

第 ⁵ 章 ^Dirac 方程式 ^5.5 ∼ ^5.7

加須屋春樹

2016

11

24

5.5 スピノールの規格化と完全性関係

規格化

スピノールも単位体積あたり2E個の粒子があるように規格化する:

∫

単位体積

ρ dV =

∫

単位体積

ψ^†ψ dV = u^†u = 2E (1)

u⁽¹⁾, u⁽²⁾(v⁽¹⁾, v⁽²⁾)はヘリシティの異なる固有状態であるから直交し、上と合わせて

u^(r)†u^(s)= 2Eδrs, v^(r)†v^(s)= 2Eδrs (r, s = 1, 2) (2) を得る。ここでu^(s)= N

( χ^(s)

σ·p E+m^χ(s)

)

であったから

u^(s)†u^(s)_{= |N|}² [

1 +

( σ_{· p} E + m

)2^]

= |N|^{2 2E}

E + m ⁽³⁾

より規格化定数は

N =^√E + m (4)

ととれる。v^(s)についても同じNにとれる。

u, ¯ ¯ v

^Dirac

u, vに対するDirac方程式は

{(/p − m)u = 0

(/p + m)v = 0 ⁽⁵⁾

Hermite共役をとって

{u^†(γ^µ†pµ− m) = 0 v^†(γ^µ†pµ+ m) = 0 右からγ⁰をかけ、γ⁰γ⁰= 1を挿入

{u^†γ⁰(γ⁰γ^µ†γ⁰pµ− m) = 0 v^†γ⁰(γ⁰γ^µ†γ⁰pµ+ m) = 0 γ⁰γ^µ†γ⁰= γ^µ _—–(∗)

{u(γ¯ ^µpµ− m) = 0

¯

v(γ^µpµ+ m) = 0 よってu, ¯¯ vに対するDirac方程式は

{u(/p − m) = 0¯

¯v(/p + m) = 0 ⁽⁶⁾

(∗)^{の証明 (γ0)† = γ0, (γi)†}= −γⁱ, {γ^{µ, γν}} = 2g^µνより

γ⁰(γ⁰)^†γ⁰= γ⁰γ⁰γ⁰= γ⁰, γ⁰(γⁱ)^†γ⁰= γ⁰_(−γⁱ)γ⁰= γⁱ (7)

完全性関係

次の関係がなりたつ:

∑

s=1,2

u^(s)(p)¯u^(s)(p) = /p + m, ^∑

s=1,2

v^(s)(p)¯v^(s)(p) = /p − m ⁽⁸⁾

∵ ^∑

s=1,2

u^(s)(p)¯u^(s)(p) = ^∑

s=1,2

√E + m

( χ^(s)

σ·p E+m^χ(s)

) √E + m⁽χ^{(s)† −σ·p}_E+mχ^(s)†)

=

(E + m _{−σ · p} σ_{· p −}^(σ·p)

2

E+m

)

(∵^∑

s^{χ(s)χ(s)†= 12}

)

=

(E + m _{−σ · p} σ_{· p −E + m}

) (

∵_{(σ · p)}²_{= p}²_{= E}²_{− m}²⁾

= (1 0

0 ₋₁ )

E −

( 0 σ

−σ 0 )

· p + m (1 0

0 1 )

= γ^µpµ+ m (9)

同様に

∑

s=1,2

v^(s)(p)¯v^(s)(p) = γ^µpµ− m ⁽¹⁰⁾

5.6 _双 1 _{次形式とその変換性}

4_{× 4}行列Γを用いて表される次の形の量をスピノルの双1次形式と呼ぶ:

ψΓψ¯ (11)

4 × 4行列の独立な成分の数は16より双1次形式のうち独立なものも16個存在し、以下のように分類できる: 名前 形 独立な個数 ローレンツ変換(x^′µ= Λ^µ_νx^ν)に対する変換性 スカラー ψψ^¯ 1 ψ^¯′(x^′)ψ^′(x^′) = ¯ψ(x)ψ(x)

ベクトル ψγ^{¯ µ}ψ 4 ψ^¯′(x^′)γ^µψ^′(x^′) = Λ^µ_νψ(x)γ^{¯ ν}ψ(x) テンソル ψσ^{¯ µν}ψ 6 ψ^¯′(x^′)σ^µνψ^′(x^′) = Λ^µ_ρΛ^ν_λψ(x)σ^{¯ ρλ}ψ(x) 擬スカラー ψγ^{¯ 5}ψ 1 ψ^¯′(x^′)γ⁵ψ^′(x^′) = (det Λ) ¯ψ(x)γ⁵ψ(x)

軸性ベクトル ψγ^{¯ 5}γ^µψ 4 ψ^¯′(x^′)γ⁵γ^µψ^′(x^′) = (det Λ)Λ^µ_νψ(x)γ^{¯ 5}γ^µψ(x) 16

ここでγ⁵= iγ⁰γ¹γ²γ³,σ^µν =₂ⁱ[γ^µ, γ^ν]。 γ⁵の性質

{γ^{5, γµ}} = 0, ^{(γ5)†= γ5, (γ5)2= 1 (12)}

∵ γ⁵γ^µ= iγ⁰γ¹γ²γ³γ^µ_{= (−)}³iγ^µγ⁰γ¹γ²γ³_{= −γ}^µγ⁵ (13) (γ⁵)^† _{= −i(γ}³)^†(γ²)^†(γ¹)^†(γ⁰)^†_{= −i(−γ}³_)(−γ²_)(−γ¹)(+γ⁰) = iγ³γ²γ¹γ⁰

= (−)^{6iγ0γ1γ2γ3= γ5 (14)} (γ⁵)²_{= −γ}⁰γ¹γ²γ³γ⁰γ¹γ²γ³_{= (−)}⁷(γ⁰)²(γ¹)²(γ²)²(γ³)²= −(+1)(−1)(−1)(−1) = 1 ⁽¹⁵⁾

独立性の証明 14, γ^µ, σ^µν, γ⁵, γ⁵γ^µの形で表される16種類の行列が一次独立であることを示す。それぞれ にΓ1, Γ2, · · · , Γ16^{と名前をつけ}

∑16 n=1

anΓn= 0 (an∈ R) ⁽¹⁶⁾

とする。右からΓmをかけ、両辺のトレースをとると

tr (

∑

n

anΓnΓm

)

=^∑

n

antr (ΓnΓm) = 0 (17)

このとき、もしtr(ΓnΓm) ∝ δnm (n, m = 1, · · · , 16) —— (⋆)^なら

am= 0 (m = 1, · · · , 16) ⁽¹⁸⁾

が成立し、Γ1∼ Γ16は一次独立である。ゆえに(⋆)を示せばよい。 地道に計算する。例えば

tr 14= 4 (19)

tr γ^µ=

↑ ^tr

(γ^µ(γ⁵)²⁾=

↑ ^{− tr}

(γ⁵γ^µγ⁵⁾=

↑ ^{− tr}

(γ^µγ⁵γ⁵⁾

(γ⁵)²=1 {γ⁵,γ^µ}=0 tr(AB)=tr(BA)

= − tr(γ^{µ) = 0 (20)}

tr γ⁵= tr⁽γ⁵(γ⁰)²⁾_{= − tr}⁽γ⁰γ⁵γ⁰⁾_{= − tr}⁽γ⁵γ⁰γ⁰⁾_{= − tr γ}⁵= 0 (21) tr(γ^µγ^ν_{) = tr({γ}^µ, γ^ν_{} − γ}^νγ^µ) = 2g^µνtr 14− tr(γ^µγν) ⇒ tr(γ^{µγν) = 4gµν (22)} 表は見出しの行列をかけあわせトレースを計算した結果である。確かに(⋆)がなりたっていることがわかる。

tr(↓ · →) ¹4 γ^ρ σ^ρλ γ⁵ γ⁵γ^ρ

14 4 0 0 0 0

γ^µ 0 4g^µρ 0 0 0

σ^µν 0 0 4(g^µρg^νλ_{− g}^µλg^νρ) 0 0

γ⁵ 0 0 0 4 0

γ⁵γ^µ 0 0 0 0 _−4g^µρ

変換性の証明 ローレンツ変換(x^′µ= Λ^µ_νx^ν)に対して次がなりたつ:

ψ^′(x^′) = ΛDψ(x) —— (♡) ^Λ−1D ^{γµΛD= Λµ}ν^γν —— (♣) ψ¯^′(x^′) = ¯ψ(x) Λ⁻¹_{D —— (♢) Λ}⁻¹_D γ⁵ΛD= det Λ γ⁵ _{—— (♠)}

(23)

[proper,orthochronousの場合]

Λ = e^{−2iθµνMµν (}(M^µν)^ρ_σ = i(g^µρδ^ν_{σ− δ}^µ_σg^νρ)⁾と書いたときΛD= e^{−2iθµνMDµν (}M_D^µν = ⁱ₄[γ^µ, γ^ν]⁾と表 せる。_(♡)は定義より従う。

(♢) [proper,orthochronous]

ψ¯^′(x^′) = ψ^′†(x^′)γ⁰= (ΛDψ(x))^†γ⁰= ψ^†(x)Λ^†_Dγ⁰= ¯ψ(x)γ⁰Λ^†_Dγ⁰ (24) ここで

γ⁰Λ^†_Dγ⁰= γ⁰e^{2iθµν(MDµν)†}γ⁰= e^{i2θµνγ0(MDµν)†γ0}

= e^{2iθµνMDµν} = Λ⁻¹_D (

∵ ^γ

0_(Mµν

D ^)†γ0= −₄^{iγ0[(γν)†, (γµ)†]γ0}

= −ⁱ₄^{[γν, γµ] = M}_D^µν )

(25)

より _ψ¯^′_(x^′_{) = ¯ψ(x) Λ}⁻¹

D ⁽²⁶⁾

(♣) [proper,orthochronous] [γ^ρ, M_D^µν]

µ̸=ν

=↓ ⁱ

2^[γ

ρ_{, γ}µ_γν_{] =} ⁱ

2^({γ

ρ_{, γ}µ_}γν_{− γ}µ_{γρ_{, γ}ν_})

= i(g^ρµγ^ν_{− g}^ρνγ^µ) (µ = νのときも成立)

= i(g^ρµδ^ν_{σ− g}^ρνδ^µ_σ)γ^σ= (M^µν)^ρ_σγ^σ (27)

∴_Λ⁻¹

D ^γ ρ_Λ

D= e^{2iθµνMDµν}γ^ρe^{−2iθµνMDµν}

= γ^ρ+^{[ i} 2^θµνM

µν D ^{, γ}

ρ

] + ¹

2! [ i

2^θµνM

µν D ^,

[ i 2^θµνM

µν D ^{, γ}

ρ

]] + · · ·

=⁽_{1 −} ⁱ 2^θµνM

µν₊ ¹

2! (

−ⁱ 2^θµνM

µν

)2

+ · · ·^)ρ

σ^γ σ

=⁽e^{−2iθµνMµν)ρ}

σ^γ σ _{= Λ}ρ

σ^{γσ (28)}

[一般のLorentz変換の場合]

ΛとΛDの関係を_(♣)で定める。_(♡)は定義より従う。 (♢) [^一般] (♣)^より

Λ⁻¹_D γ^µΛD= Λ^µ_νγ^ν (29)

両辺のHermite共役をとって

Λ^†_D(γ^µ)^†(Λ⁻¹_D )^†= Λ^µ_ν(γ^ν)^† (30) 左右からγ⁰をかけて

γ⁰Λ^†_D(γ^µ)^†(Λ⁻¹_D )^†γ⁰= Λ^µ_νγ⁰(γ^ν)^†γ⁰ γ⁰Λ^†_Dγ⁰γ⁰(γ^µ)^†γ⁰

| {z }

γ^µ

γ⁰(Λ⁻¹_D )^†γ⁰= Λ^µ_νγ⁰(γ^ν)^†γ⁰

| {z }

γ^µ

∴_(γ⁰_Λ^†

D^γ

0_)γµ_(γ0_Λ† D^γ

0₎−1_{= Λ}µ

ν^{γµ (31)}

再び_(♣)より

(γ⁰Λ^†_Dγ⁰)γ^µ(γ⁰Λ^†_Dγ⁰)⁻¹ = Λ⁻¹_D γ^µΛD

∴_(ΛDγ⁰_Λ^†

D^γ 0_)γµ_(Λ

Dγ⁰Λ^†_Dγ⁰)⁻¹ = γ^µ (32)

よってΛDγ⁰Λ^†_Dγ⁰はすべてのγ^µ (µ = 0, 1, 2, 3)と可換であるから、Schurのlemmaより

ΛDγ⁰Λ^†_Dγ⁰= a14 (33)

がなりたつ。ここでaは定数でありa = 1として一般性を失わない。ゆえに

γ⁰Λ^†_Dγ⁰= Λ⁻¹_D (34)

となる。後は前と同様にして

ψ¯^′(x^′) = ¯ψ(x)γ⁰Λ^†_Dγ⁰= ¯ψ(x)Λ⁻¹_D (35) が導かれる。

Schur_のlemma

群Gの完全可約な表現Dが既約であるための必要十分条件は、すべてのD(g) (g ∈ G)^{と可換な1次変} 換AがA = a1 (a ∈ C)に限られることである。

(♠) [^一般]

ϵ^µ0µ1µ2µ3=







+1 (µ0µ1µ2µ3) = (0123)の偶置換

−1 (µ^{0µ1µ2µ3) = (0123)の奇置換}

0 その他

(36)

とすると

ϵµ0µ1µ2µ3 = gµ0ν0gµ1ν1gµ2ν2gµ3ν3ϵ^ν0ν1ν2ν3= g00g11g22g33ϵ^µ0µ1µ2µ3 _{= −ϵ}^µ0µ1µ2µ3 (37) がなりたつ。まず_{4 × 4}行列Aについてそのµν成分をA^µ_νとかくと、行列式は定義より

det A = −ϵµ0µ1µ2µ3A^µ0₀A^µ1₁A^µ2₂A^µ3₃ (38) とかける。次に任意の完全反対称テンソルTµ0µ1µ2µ3 について

Tµ0µ1µ2µ3 _{= −ϵ}µ0µ1µ2µ3T0123 (39) がなりたつ。最後にϵµ0µ1µ2µ3γ^µ0γ^µ1γ^µ2γ^µ3 _{= −4!γ}⁰γ¹γ²γ³より

γ⁵_{= −} ⁱ

4!^{ϵµ0µ1µ2µ3γ}

µ0_γµ1_γµ2_γµ3 ₍₄₀₎

とかける。以上から

Λ⁻¹_D γ⁵ΛD= −_4!^iϵµ0µ1µ2µ3Λ⁻¹_D γ^µ0γ^µ1γ^µ2γ^µ3ΛD (∵ (40))

= − ⁱ

4!^{ϵµ0µ1µ2µ3Λ}

−1 D ^γµ

0_Λ

DΛ⁻¹_D γ^µ1ΛDΛ⁻¹_D γ^µ2ΛDΛ⁻¹_D γ^µ3ΛD

= − ⁱ

4!^{ϵµ0µ1µ2µ3Λ}

µ0

ν0^Λ

µ1

ν1^Λ

µ2

ν2^Λ

µ3

ν3

| {z }

完全反対称テンソル

γ^ν0γ^ν1γ^ν2γ^ν3 _{(∵ (♣))}

= + ⁱ

4!^{ϵν0ν1ν2ν3ϵµ0µ1µ2µ3Λ}

µ0

0^Λ µ1

1^Λ µ2

2^Λ µ3

3^γν

0γ^ν1γ^ν2γ^ν3 (∵ (39))

= (det Λ)γ⁵ (∵ (38)) (41)

したがって

ψ¯^′(x^′)ψ^′(x^′) = ¯ψ(x)Λ⁻¹_D ΛDψ(x) = ¯ψ(x)ψ(x) (∵ (♡), (♢)) ⁽⁴²⁾ ψ¯^′(x^′)γ^µψ^′(x^′) = ¯ψ(x)Λ_D⁻¹γ^µΛDψ(x) = Λ^µ_νψ(x)γ^{¯ ν}ψ(x) (∵ (♡), (♢), (♣)) ⁽⁴³⁾ ψ¯^′(x^′)σ^µνψ^′(x^′) = ¯ψ(x)Λ⁻¹_{D 2}ⁱ[γ^µ, γ^ν]ΛDψ(x) = Λ^µ_ρΛ^ν_λψ(x)σ^{¯ ρλ}ψ(x) (∵ (♡), (♢), (♣)) ⁽⁴⁴⁾ ψ¯^′(x^′)γ⁵ψ^′(x^′) = ¯ψ(x)Λ⁻¹_D γ⁵ΛDψ(x) = (det Λ) ¯ψ(x)γ⁵ψ(x) (∵ (♡), (♢), (♠)) ⁽⁴⁵⁾ ψ¯^′(x^′)γ⁵γ^µψ^′(x^′) = ¯ψ(x)Λ⁻¹_D γ⁵γ^µΛDψ(x) = (det Λ)Λ^µ_νψ(x)γ^{¯ 5}γ^µψ(x) (∵ (♡), (♢), (♣), (♠)) ⁽⁴⁶⁾

5.7 _質量 0 _{のフェルミオン} : 2 _{成分ニュートリノ}

Weyl表示(chiral表示)もよく使われる:

γ^µ=

(0 σ^µ

¯ σ^µ 0

)

(σ^µ_{≡ (1}2, σ), ¯σ^µ_{≡ (1}2_{, −σ))} (47) この表示ではγ⁵が対角化される:

γ⁵=

(−12 0 0 12

)

(48)

Dirac方程式は _





(/p − m)u =

(−m ^σµpµ

¯

σ^µpµ −m )

u(p) = 0 (+m σ^µp ⁾

(

p⁰=^√p²+ m²⁾ (49)

ここでm = 0の場合を考える。u = (χ

ϕ )

, v = (ξ

ζ )

とおけば

{

σ_{· ˆ}p_{χ = −χ} σ_{· ˆ}pϕ = +ϕ

{

σ_{· ˆ}p_{ξ = −ξ}

σ_{· ˆ}pζ = +ζ ⁽⁵⁰⁾

を得る。すなわち上2成分がヘリシティ負、下2成分がヘリシティ正の状態を表す。 一方γ⁵ =

(−12 0 0 12

)

であったから、ψR = (χ

0 )

, ψL = (0

ϕ )

はそれぞれ、γ⁵の固有値(chirality)が_∓1の固 有状態である。

すなわち、m = 0のときはカイラリティ_±1とヘリシティ_±1/2の固有状態は一致することがわかる。

また、m = 0のときは上2成分と下2成分は互いに混じり合わず、独立に理論を組み立てることができる。どちら

か一方のみが関与する相互作用もつくることができる。例えば弱い相互作用のカレントは次のように表される:

J^µ= ¯ψeγ^µ1 2^{(1 − γ}

5_)ψ

ν (51)

弱カレントは(ベクトル_{(V )) − (}軸性ベクトル(A))の形をしており_{V − A}型と呼ばれる。これは左巻き粒子(右巻 き反粒子)のみに結合する。これは実際

1 2^{(1 − γ}

5_{) =}

(12 0 0 0 )

(52) からわかる。

逆に_{m ̸= 0}の場合は質量mを通じてψLとψRの混合が起こる。つまり、質量を持つためには、ψRとψLの両方 が必要となる。これをDirac質量と呼ぶ。しかしながら、粒子と反粒子が同一のフェルミ粒子であるマヨラナ粒子な らば片方のカイラリティ固有状態だけで質量項をもつことができる。これをMajorana質量と呼ぶ。ニュートリノ振 動実験などからニュートリノはわずかだが質量を持つことがわかっているが、右巻きニュートリノは発見されておら ず、ニュートリノの質量起源がディラック質量であるかマヨラナ質量であるかは未だ決着がついていない。

参考文献

[1] 坂本眞人,『場の量子論』量子力学選書,裳華房 [2] 佐藤光,『群と物理』,丸善出版