master thesis 最近の更新履歴 浜田 道昭＠早稲田大学 産総研 日本医科大学

ある種の分布関数不等式を用いたティープリッツ

及びハンケル作用素の解析

修士論文 ₍ 東北大学 ₎

濱田道昭

平成 14 年 1 月 31 日

序論

Dを複素平面の単位開円板, T を複素平面内の単位円周とする. f _{∈ L}^∞(T) に対して, Hardy 空 間 _H²上の作用素_{Tf, Hg}を

Tfg = P (f g), Hfg = J(I_{− P )(fg)}

と定義して_{, それぞれ H}²上のToeplitz 作用素, Hankel 作用素と呼ぶ. ここで P は L^2からH^2へ の射影作用素_{, J は L}²上のunitary 作用素で Jf (w) = wf (w) で定義されるものである. ただし次 の作用素_HfをHankel 作用素と呼ぶ研究者も多い: _Hfg = (I− P )(fg). この定義より明らかなよ うに_Hfは_H²から_(H²₎^⊥への有界線型作用素である_{. 本論文では Hf}の方をHankel 作用素と呼 ぶが，_Hf,Hf はともに類似の性質を持つ作用素である. ひとつの例としては H², (H²)^{⊥の標準的} な基底について行列表現をすると_{, Hf,Hf} は共にskew-diagonal が等しい無限行列となる.

Toeplitz 作用素と Hankel 作用素のコンパクト性に対しては昔より多くの研究がなされてきた. その中でも特に美しい結果は, 1970 年代後半に Axler-Chang-Sarason-Volverg ([1],[20]) によって 与えられた, Toeplitz 作用素の semi-commutator のコンパクト性の特徴付けであろう. その証明に は_H^∞ _{(:= H}²_{∩ L}^∞) における関数論 (Corona の定理, Chang-Marshall の定理など) と共に, あ る種の分布関数不等式 (Distribution function inequality) が本質的に使われる. Toeplitz 作用素, Hankel 作用素の解析にこのような分布関数不等式が用いられたのは [1] が最初である. その後 90 年代にZheng ([26]) が, Toeplitz 作用素の semi-commutator のコンパクト性に対するもうひとつ の同値条件を与えた. 以上は次のようにまとめられる.

Theorem 0.1 ([1],[20],[26]) f, g_{∈ L}^∞とする. この時以下は同値である. (1) ([Tf, Tg) :=) TfTg_{− T}f g^{がコンパクト作用素}.

(2)_∥Hfkz_∥2_∥Hgkz_∥2→ 0 (z → T).

(3) 任意の m_{∈ M(H}^∞+ C) に対して f_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m ^またはg_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m

(4) H^∞[f ]_{∩ H}^∞[g]_{⊆ H}^∞+ C.

ここでC は T 上の複素数値連続関数空間を, M (H^∞+ C) は H^∞+ C の maximal ideal space を, さらに supp m は m の (一意に定まる) 表現測度の support を表すとする (詳細については本 文を参照). さらにこれらの方法を発展させ 1999 年に Gorkin-Zheng は二つの Toeplitz 作用素の commutator のコンパクト性を次のように特徴付けた.

Theorem 0.2 ([10]) f, g_{∈ L}^∞とする. この時以下は同値である. (1) ([Tf, Tg] :=) TfTg_{− T}gTf^{がコンパクト作用素}.

(2)_∥(Hfkz)_{⊗ (H}gkz)_{− (H}gkz)_{⊗ (H}fkz)∥ → 0 (z → T). (3) 任意の m_{∈ M(H}^∞+ C) に対して次のどれかが成り立つ：

(a) f_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m^かつg_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m. (b) f_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m^かつg_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m.

(c) 同時には 0 にならない a, b∈ C が存在して, (af + bg)|^{supp mが定数.} (4) H^∞[f, g]_{∩ H}^∞[f , g]_∩ ^T

(a,b)̸=(0,0)

H^∞[af + bg, af + bg]_{⊆ H}^∞+ C.

上の二つの結果に関連して, 比較の為に Brown-Halmos ([3]) による次の結果を挙げておく: TfTg= 0 となる必要十分条件は_{f ∈ H}^∞または_{g∈ H}^∞となることである_{. また TfTg− TgTf = 0 となる}

必要十分条件は_{f, g∈ H}^∞または_{f , g∈ H}^∞ または, ある同時には 0 にならない複素数 a, b が存 在してaf + bg が定数となることである.

本論文では, Toeplitz 作用素 (正確には analytic Toeplitz 作用素) と Hankel 作用素の積のコンパ クト性, 及び二つの Hankel 作用素の commutator のコンパクト性を Theorem 0.1, Theorem 0.2 と 類似の方法で, ある種の分布関数不等式を用いることにより特徴付けた. 本論文の主結果は以下で ある_.

Theorem 0.3 (主結果 1) f _{∈ H}^∞, g_{∈ L}^{∞のとき次は同値である}. (1) TfHg^{がコンパクト作用素}.

(2) lim_z→T∥Tfkz_∥2

°°H_g^∗kz

°

°2^{= 0.}

(3) 任意の m_{∈ M(H}^∞+ C) に対して f_|supp m= 0 または g^∗_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m. (4) H^∞[f , f g^∗]_{∩ H}^∞[g^∗]_{⊆ H}^∞+ C

ここで_f^∗は_f^∗(w) = f (w) で定義される.

Theorem 0.4 (主結果 2) f, g_{∈ L}^∞とする. この時以下は同値である. (1) ([Hf, Hg] =) HfHg_{− H}gHf^{がコンパクト作用素}.

(2)_∥Fz_{∥ = ∥(H}fkz)_{⊗ (Hg}^∗kz)_{− (H}gkz)_{⊗ (Hf}^∗kz)∥ → 0 (z → T). (3) 任意の m_{∈ M(H}^∞+ C) に対して次のどれかが成り立つ：

(a) f_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m ^かつg_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m. (b) f^∗_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m^かつg^∗_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m. (c) 同時には 0 にならない a, b_{∈ C が存在して,}

(af + bg)_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m^かつ(af + bg)^∗_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m. さらに_{f, g∈ H}^∞であるとき上は次とも同値である_.

(4) H^∞[f, g]_{∩ H}^∞[f^∗, g^∗]_∩ ^T

(a,b)̸=(0,0)

H^∞[af + bg, (af + bg)^∗]_{⊆ H}^∞+ C.

比較のため, Brown-Halmos の手法 ([2]) を用いて示せる次の結果を挙げる:

• T^{fHg = 0 (f} ∈ H^∞)⇔ f = 0 or g ∈ H^∞.

• H^fHg− H^{gHf = 0}⇔ ∃(a, b) ̸= (0, 0), af + bg ∈ H^{∞ ([25]).}

主結果2 の corollary として Hankel 作用素が本質的正規作用素になる必要十分条件も得られる. Theorem 0.3 と 0.4 の証明で用いられる, 分布関数不等式は, それぞれ以下のものである (記号の 詳細については, セクション 2 を参照).

Proposition 0.5 l > 2 を任意に固定する. このとき p, r∈ (1, 2) で 1/l + 1/r = 1/p を満たすも のと, 十分大きな a > 0 に対して, ある定数 Ca > 0 が存在して

¯

¯

¯

nw_{∈ I}z: A2δ(z)(Sfu)(w)A2δ(z)(_Hgv)(w)

< a²_£|f|^l(z)^¤1/l_£|g−_{− g}−(z)_|^l(z)^¤1/l inf

w∈Iz

Λr(u)(w) inf

w∈Iz

Λr(v)(w)^o¯¯_{¯ ≥ C}a_|Iz_|

が 任 意 の _{f, g ∈ L}^∞_{, u ∈ (H}²₎^⊥_{, v ∈ H}^∞_{, 1/2 <} |z| < 1 に対して成立する. ここで C^{a は} lima→∞Ca = 1 となるものを取ることができる.

Proposition 0.6 f, g _{∈ L}^{∞を固定する}. 任意の 2 < l < 3 と十分大きな a > 0 に対して定数 Ka> 0 と r∈ (1, 2) が存在して

¯

¯

¯

¯

½

w_{∈ I}z: B_2δ(z)(u, v)(w) < a²Nl_∥Fz_∥^(l−1)/l inf

w∈Iz

Λr(u)(w) inf

w∈Iz

Λr(v)(w)

¾¯

¯

¯

¯^{≥ Ka|Iz|} が任意の_{1/2 <}|z| < 1 と u, v ∈ H^{∞について成立する. さらに Kaはlima→∞Ka = 1 なるよう} にとることができる_{. ここで Nl}はl にのみ依存する正定数である.

各セクションの概略であるが, まずセクション 1 では主結果の証明に必要な予備知識を準備する. 論点を明確にするために必ずしも証明は書いていない. 次にセクション 2 では分布関数不等式につ いて統一的に扱った. 中には主結果の証明には使われないものもあるが，今後ほかの適用がなされ る可能性を考慮し, あげられている. そしてセクション 3 ではいくつかの必要な lemma の後に主結 果の証明が述べられている. 最後にセクション A では本文中の補足として f_|supp m _{∈ H}^∞_|supp m

が_f^∗_{|supp m∈ H}^∞_{|supp m}とは一般には同値にならない例などを述べた_.

謝辞

本論文を執筆するにあたって多くの方々にお世話になりました. 木村文彦さん, 瀬戸道生さん両 先輩には数学に限らず多くのことを教えて頂きました. 作用素論・作用素環論セミナーにご出席の 先生方は, 私のつたない発表を聞き, いろいろな有益な助言をしてくださいました. 新潟大学の泉 池先生には, 昨年末に開催された研究集会で, セクション A の例を教えて頂きました. 北海道大学 の中路先生は, 忙しい中英語版の本論文を読んでくださいました. また同じ修士課程２年の青山君, 斎藤君^∗), 湯川君は, 3 年間共に同じセミナーの仲間として, お互い刺激しあいながら研究を行って きました. そして指導教官の吉野崇先生は, 私たちのことを 3 年間非常に熱心に指導して下さり, 私 が非常に魅力的なToeplitz 作用素, Hankel 作用素の理論について研究をするきっかけを作って下 さいました. これらすべての皆様にこの場を借りまして深く御礼を申し上げます. 本論文を書き上 げることができたのは皆様の力添えのお陰です. 本当に有難うございました.

∗) 斎藤勉君は平成 14 年 1 月 16 日に事故のため亡くなりました. 今まで一緒に頑張ってきた仲間 をこのような形で失うのは非常に残念でやりきれない気持ちで一杯です. ここに斎藤君のご冥福を お祈りしたいと思います_.

平成14 年 1 月 31 日

目 次

序論 ₁

1 ^準備 5

1.1 Hardy 空間 . . . 5

1.2 Toeplitz 作用素・Hankel 作用素 . . . 7

1.3 Corona 定理と Douglas 代数 . . . 9

1.4 ^{その他の準備} . . . 11

2 ^{分布関数不等式} (Distribution function inequality) 13 3 ^主結果 21 3.1 ^{いくつかの補題} . . . 21

3.2 Toeplitz 作用素と Hankel 作用素の積のコンパクト性 . . . 24

3.3 ^{本質的可換}Hankel 作用素 . . . 29

A 補足 36

参考文献 ₃₉

1 ^準備

このセクションでは本論文に必要な予備知識について述べる. 本論文を通じて D は複素平面の単 位開円板を, T は D の境界 (つまり複素平面内の単位円周) を表すものとする. また dσ で T 上の正 規化されたLebesgue 測度を, dA で D 上の正規化された Lebesgue 測度を表す. 1≤ p < ∞ のとき L^pでT上p 乗可積分な関数のつくる空間を, L^∞で T 上本質的に有界な関数のつくる空間をあら わす_{(それぞれのノルムを∥·∥p,∥·∥∞}と書く_{). L}^p ₍₁≤ p ≤ ∞) は Banach 空間となるが, 特に L² は内積_{〈f, g〉 =}

R

Tf gdσ を考えることにより Hilbert 空間となる. さらに C で T 上の複素数値連続 関数のつくるBanach 空間を表す. 以上の通り本論文で使用する関数空間は特に断らない限り T 上 で考える. しかし T 以外の上で同様の空間を考える場合は考える集合を明示することにする.

1.1 Hardy 空間

Definition 1.1 (Hardy 空間) 1≤ p ≤ ∞ に対して L^{pの部分空間Hpを} H^p=

½

f _{∈ L}^p : Z

T

f (w)wⁿdσ(w) = 0 (_{∀n > 0)}

¾

で定義してHardy 空間と呼ぶ. Hardy 空間 H^pはL^{pの閉部分空間となり}, したがって Banach 空 間である_{. 特に H}²は_(L²内積で) Hilbert 空間, H^∞はBanach 環^{1) となる}. また

H₀^p=

½

f _{∈ L}^p: Z

T

f (w)wⁿdσ(w) = 0 (_{∀n ≥ 0)}

¾

と定義する_{. 定義より H}²の基底は_{χn}^∞_{n=0, H0}²の基底は_{χn}^∞_n=1となることがわかる_{. ここで} T上の関数_χnを_{χn(w) = w}ⁿと定義する_.

単位元を持つ可換Banach 環 A に対して A の maximal ideal space (i.e., A 上のゼロでない複素準 同型全体) を M (A) と表すことにする. M (A) は weak∗ 位相でコンパクトハウスドルフ空間となる. f _{∈ A に対して ˆ}f : M (A)_{→ C を ˆ}f (m) = m(f ) (m∈ M(A)) と定義すると ˆf は M (A) 上の連続関 数となる_{(今後 ˆ}f (m) を f (m) と書くことも多い). このとき写像 f _{∈ A 7→ ˆ}f ∈ C(M(A)) を Gelfand 変換と呼ぶ. Gelfand 変換は代数的準同型であるが, 特に任意の f ∈ A に対して ∥f∥^{2=°°f2°° が成} 立するならばGelfand 変換は等距離となる ( i.e., A は C(M (A)) の部分集合と Banach 環として同型 になっている). さらに A が可換 C^{∗環であるときには}Gelfand 変換は A から C(M (A)) の上への_∗ 等距離同型(i.e., A と C(M (A)) は C^{∗環として同型}) となことが知られている (Gelfand-Naimark の定理). 本論文ではこれら作用素環論の基本理論は既知として扱い証明は行わない. 詳細について は例えば[5] 2 章, 3 章を見よ.

Proposition 1.2 D は M (H^∞) の部分集合と同相である. Proof. f _{∈ H}¹, z_{∈ D に対して}

ϕz(f ) = Z

T

f (w)

1_{− zw}^{dσ(w) (1.1)}

と置くとき_{F : z7→ ϕz|H}^∞が D から_{M (H}^∞) の中への同相写像であることを示す.

ϕz_|H^∞がH^{∞で可逆であること}: ϕz^はH¹上の有界線形汎関数であり_{, p∈ P+} (T 上の analytic

1)A が Banach 環であるとは, A が Banach 空間かつ多元環であり, ノルム条件 ∥f g∥ ≤ ∥f ∥∥g∥ (f, g ∈ A) を満たす ことをいう_.

polynomial 全体) に対し, ϕz(p) = p(z) となることが容易にわかる. よって ϕz^は_P+^上でmulti- plicative となる. f, g _{∈ H}^{∞に対して}, ある analytic polynomial _{pn_{}, {q}n} が存在して, n → ∞ のとき_{∥f − pn∥}

2→ 0 かつ ∥g − qⁿ∥2→ 0 となるから ϕz(f g) = lim

n→∞^{ϕz(pnqn) = lim}n→∞^{ϕz(pn)ϕz(qn) = ϕz(f )ϕz(g).}

よって_ϕz|H^∞はmultiplicative となる.

F の連続性: 任意の f_{∈ H}^{∞に対して}, (1.1) より ϕz(f ) は D で解析的になることより明らか. F の単射性: z1_{̸= z}2^とすると, ϕz1(w) = z1_{̸= z}2= ϕz2(w) より従う.

F^{−1の連続性}: M (H^∞) で ϕzn→ ϕ^{z とすると, zn= ϕz}n^(w)→ ϕ^z(w) = z より従う. _✷ Remark 1.3 これにより今後 D を M (H^∞) の部分集合とみなす. 後で述べるように D は M (H^∞) で稠密である_.

Proposition 1.4 A を H^∞とL^{∞ の間の}closed algebra とすると, M (A) は M (H^∞) の部分集 合と同相である_.

Proof. η : M (A)_{→ M(H}^∞) を η(m) = m_|H^{∞と定義すると}η は連続である. また m_{∈ M(A) よ} り_{, ある m}^′_{∈ (L}^∞₎^∗_{≡ C(M(L}^∞₎₎^∗が存在して_{, m}^′_{|A= m かつ∥m}^′∥ = ∥m∥ = 1 (Hahn-Banach の定理). よってある M (L^∞) 上の正規測度 ν が存在して,

m^′(f ) = Z

M (L^∞)

f dν,ˆ _∥m^′_{∥ = ∥ν∥}

となる_{. また}

ν(M (L^∞)) = m^′(1) = m(1) = 1 =_{∥m∥ = ∥m}^′∥ = ∥ν∥ = |ν|(M(L^∞))

よりν は正測度であるから m^{′ は}L^{∞ 上の正値汎関数である}. Gleason-Whitney の定理 (cf.[5, Theorem 6.33]) より m^{′ は}m^′_|H^∞ に応じて一意にに決まる. よって η は一対一. したがって η は

同相写像となる_{. ✷}

Remark 1.5 上の証明により m∈ M(A) ならば, m の L^∞上へのHahn-Banach の定理による拡 張は常に正値汎関数であり_{, 拡張は m|H}^∞ に応じて一意に決まる. 上の証明における M (L^∞) 上の 確率測度_{ν を m}∈ M(A) の表現測度 (representing measure) と呼ぶ. 表現測度も m|^{H∞ に応じて} 一意的に定まる. この測度 ν の台 (support) を m の support set とよび supp m と書く.

m_{∈ M(H}^∞) に対してこの一意に決まる拡張を ζ(m) とするとき, f _{∈ L}^∞, m_{∈ M(H}^∞) に対し てf (m) = ζ(m)(f ) と定義する. この定義は well-difined であり (Gelfand 変換の定義とも矛盾しな^ˆ い), さらに M (H^∞) 上で連続である. 特に z_{∈ D(⊂ M(H}^∞)) のとき

f (z) =ˆ Z

T

f (w)Pz(w)dσ(w) (1.2)

となる_{. ここで Pz}はPoisson 核と呼ばれ, z∈ D, w ∈ T に対して P^{z(w) = (1}− |z|^2)/|1 − zw|^2で 定義される_{. 今後 z ∈ D に対して ˆ}f (z) を単に f (z) と書くことにする. さらに f_{∈ L}^{1に対しても}, z∈ D のとき f(z) =^R_T^{f (w)Pz}(w)dσ(w) と定義して, f の調和拡張 (harmonic extension) と呼ぶ.

H^∞(D) を D 上の有界な正則関数全体のつくる空間で, ノルムとして sup norm を入れた空間と する_{. このとき H}^∞(D) は Banach 環となるが, H^∞とBanach 環として等距離同型となることが 知られている_{. 同型写像は H}^∞の元_{f に対して, H}^∞(D) の元としてその調和拡張 ˆf を対応させる ものである_{(逆写像は f∈ H}^∞(D) に対してその境界値関数を対応させるようなものである). 従っ て今後_H^∞と_H^∞(D) の元は区別をしないで考えることを注意しておく.

Definition 1.6 (内部関数・外部関数) f _{∈ H}^∞がinner function (内部関数) であるとは, ほとん どいたるところで|f| = 1 となることである. また g ∈ H^2がouter function (外部関数) であると は_gP+が_H²で稠密となることである_{. ここでP+}はanalytic polynomial 全体を表す.

1.2 Toeplitz 作用素・Hankel 作用素

Definition 1.7 (Toeplitz・Hankel 作用素) f_{∈ L}^∞に対し, H^{2上の作用素}Tf, Hf ^を

Tfg = P (f g) (g_{∈ H}²) Hfg = J(I− P )fg (g ∈ H²⁾

と定義して_{, それぞれ H}²上のToeplitz 作用素と Hankel 作用素と呼ぶ. ここで P は L^2からH² への射影作用素_{, J は L}²上のunitary 作用素であり f _{∈ L}^{2に対して}(Jf )(w) = wf (w) で定義さ れるものである_.

Remark 1.8 定義から容易にわかるように, J は次の性質を持つ: (1) J²= I (J = J^∗).

(2) J(I− P ) = P J (JP = (I − P )J).

Remark 1.9 次の作用素_Hf^をHankel 作用素と呼ぶこともある: H^{fg = (I}− P )fg (g ∈ H^2).

定義より_Hf は_H²から_(H²₎^⊥への有界線型作用素であり_{, Hf = JHf}となる_{. また (H}²₎^⊥上の 作用素_Sfを

Sfg = (I− P )(fg) (g ∈ (H^2)⊥)

で定義してdual-Toeplitz 作用素と呼ぶ.

Proposition 1.10 (Toeplitz 作用素の性質) f, g_{∈ L}^{∞のとき次が成立する}. (1) T_f^∗= T_f.

(2) Tαf +βg= αTf+ βTg, α, β _{∈ C.} (3) Tf = 0_{⇔ f = 0.}

(4)_∥Tf_{∥ = ∥f∥}∞.

(5) f_{∈ H}^∞またはg_{∈ H}^∞_{⇒ T}fTg= Tf g.

Proof. 定義より容易に示せる. _✷

Proposition 1.11 (Hankel 作用素の性質) f, g_{∈ L}^{∞のとき次が成立する}.

(1) H_f^∗= Hf^∗. ただし f^∗(z) = f (z) とする. (2) Hαf +βg= αHf+ βHg α, β_{∈ C.} (3) Hf = 0_{⇔ f ∈ H}^∞.

(4)_∥Hf∥ = dist(f, H^∞). ただし dist(f, H^∞) = inf_{{∥f − g∥∞}: g_{∈ H}^∞_{} とする.}

(5)_∥Hf_∥ess= dist(f, H^∞+ C). ただし_∥A∥ess= inf{∥A + K∥ : K はコンパクト作用素 }. Proof. (1)∼(3) は定義により容易に示せる. 残りは容易ではないが良く知られている結果なので

証明は省略する. 例えば [17], [25] などを見よ. _✷

Proposition 1.12 f, g_{∈ L}^∞とする. (1)_H^∗_fHg= H_f^∗Hg = T_{f g− Tf}Tg. (2) f_{∈ H}^∞ならばT_f^∗Hg= HgTf^∗. (3) f_{∈ H}^∞ならばSf_Hg =_HgTf.

Proof. 定義より容易に示される. _✷

Lemma 1.13 (Adamyan-Arov-Krien Theorem) f _{∈ L}^∞で_∥f∥∞< 1 とする. このときあ るunimodular function (i.e., 絶対値が 1) u_{∈ f + H}^{∞が存在して}Tu^{が可逆となる}.

Proof. F : C→ [0, ∞) を F (c) = dist(f + c, zH^∞) と置く．Proposition 1.11 (4) より F (c) =

∥H^{zf +¯¯ zc}∥ であるから F は連続関数である．また F (0) = ∥H^zf¯ ∥ ≤ ∥f∥^∞< 1 かつ F (c)_{→ ∞ (|c| →}

∞) より中間値の定理を用いるとある c ∈ C に対して F (c) = 1 となる．f^c = f + c と置くと dist(¯zfc, H^∞) = dist(fc, zH^∞) = 1.

これは_∥Hzf¯

c∥ = 1 を意味する．また dist(f^{c, H∞}) = dist(f, H^∞) < 1 であるから dist(¯zfc, H^∞+ C)_{≤ dist(¯zf}c, ¯zH^∞) = dist(fc, H^∞) < 1

より_∥Hzf¯c∥

ess< 1 (Proposition 1.11 (5)). よって Hzf¯c^{はそのノルムを}attain する (一般に作用素 A がノルムを attain しないなら，任意のコンパクト作用素 K に対して∥A + K∥ ≥ ∥A∥ となる)．

次に_{F ∈ ¯zfc+ H}^∞で_{∥F ∥∞} = 1 なるものとする．上述の通りある H^{2の単位ベクトル}g で

∥H^Fg∥ = ∥H^F∥ = 1 なるものが存在する．このとき

1 =_∥HFg∥ = ∥(I − P )(F g)∥ ≤ ∥F g∥ ≤ ∥g∥ = 1

であるからF が unimodular でなければならない．u = zF と置くと u は unimodular かつ u _∈ f + H^{∞である．}

dist(u, H^∞) = dist(f, H^∞) < 1

であるから_∥Hu∥ < 1. よって任意の h ∈ H^{2に対して，}

∥T^uh∥²⁼∥uh∥²− ∥H^uh∥²≥ (1 − ∥H^u∥²⁾∥h∥²

であるから_Tuは左可逆．上で得られた単位ベクトル_{g∈ H}²に対して

∥T^{zu¯ g}∥²⁼∥T^Fg∥²⁼∥g∥²− ∥H^Fg∥^{2= 0}

となる．よって_{Tug∈ ker Tz¯}であるが_Tuは左可逆であるから，ある定数_λ̸= 0 が存在して T^{ug = λ} となる．よって_{1∈ TuH}²_{. また}

z = Tz1 = TzTu

g

λ^{= TzTu¯zz} g

λ ^{= TzTz¯} hTu

³z^g λ

´i

= Tu

³z^g λ

´−^hTu³z_λ^g´i(0)

であるから_{z∈ TuH}²．帰納的に_zⁿ _{∈ TuH}²_(n≥ 0) が得られる．よって T^uはbounded below か

つdense range であるから可逆である． _✷

Remark 1.14 上で u は H^∞[u] (i.e.H^∞とu で生成される L^∞のclosed subalgebra) で可逆であ る_.

Proof. ある unimodular 関数 v と outer function uo^{が存在して}u = vuo^とできる([5, Corollary 6.25]²⁾)．uo^はouter かつ L^{∞で可逆であるから，}H^{∞で可逆である}([5, Proposition 6.20]³⁾)．よっ て_Tuoは可逆([5, Theorem 7.21]⁴⁾)．Tu= TvTuo ^{であるから}Tvも可逆であることがわかる．よっ てあるouter function h が存在して∥v − h∥ = ∥1 − vh∥ < 1 となる ([5, Corollary 7.31]^5))．した がって_{vh は H}^∞[v] で可逆．ところで uo^はouter であり u = vuo^{であるから，}H^∞[v] = H^∞[u]. さらにh は outer かつ L^{∞で可逆より}H^{∞で可逆．したがって}u は H^∞[u] で可逆である． _✷

1.3 Corona 定理と Douglas 代数

以下のTheorem 1.15, Theorem 1.17 は本論文で本質的な役割を果たす. しかし証明は相当の準 備を必要とし, 本論文の趣旨とは外れるので省略する.

Theorem 1.15 (Carleson の Corona 定理) (cf.[6],[8]) D は M (H^∞) に稠密に埋め込める. Definition 1.16 (Douglas 代数) ある inner functions から成る H^{∞の部分集合}_{B に対して, H}^∞ と_{B で生成される L}^∞のclosed algebra (これを [H^∞,_{B] または H}^∞[B] と書く) を Douglas 代数 と呼ぶ_.

Theorem 1.17 (Chang-Marshall) ([4],[16])

(1) B を L^∞とH^∞の間のclosed algebra とする. このとき inner functions から成る H^∞の部分 集合_{B が存在して MB = M}

[H^∞,B]^となる.

(2) A, B を L^∞とH^∞の間のclosed algebra とする. このとき M (A) = M (B) ならば A = B と なる_.

Remark 1.18 (1), (2) より L^∞とH^{∞の間の任意の}closed algebra は Douglas 代数である. し たがって今後_H^∞と_L^∞の間のclosed algebra を Douglas 代数と呼ぶ.

Douglas 代数の maximal ideal space については次のような特徴づけができる.

2)_{f ∈ L}2

が|f | ≥ ε > 0 を満たすとき, ある outer function g が存在して, |g| = |f | となる.

3)_{ϕ ∈ H}^∞

が_H

∞

で可逆である必要十分条件は_{, ϕ が L}

∞

で可逆かつouter function となることである.

4)_{ϕ ∈ H}^∞

のとき_{, Tϕ}が可逆である必要十分条件は_{ϕ が H}

∞

で可逆となることである_.

5)_{ϕ ∈ L}^∞_をunimodular function とするとき, Tϕが可逆となる必要十分条件は, ある outer function ψ が存在し て_{∥ϕ − ψ∥}

∞< 1 となることである.

Proposition 1.19 B を Douglas 代数とする. よってある inner functions から成る H^{∞の部分集} 合B が存在して B = [H^∞,B] となる. このとき

M (B) = ^\

ϕ∈B

{m ∈ M(H^{∞) :}|ϕ(m)| = 1} .

Proof. m∈ M(B), ϕ ∈ B とする. ϕ ∈ B であるから |m(ϕ)|² = m(ϕ)m(ϕ) = m(ϕ)m(ϕ) = 1. 逆向きを示す_{. m∈ M(H}^∞) を固定する. 任意の ϕ∈ B に対して |m(ϕ)| = 1 とすると, すぐ後に 証明するLemma 1.20 より ϕ_|supp m^は定数. よって m_{∈ M([H}^∞,B]) = M(B) である. ✷ H^∞+ C は closed algebra であり (cf.[5, 6.31]), H^{∞を真に含む最小の}Douglas 代数である (cf.[5, Corollary 6.40]) ことが知られている. また Proposition 1.19 を用いると M (H^∞+C) は M (H^∞)_\D と同一視することができる(cf.[5, Corollary 6.42]).

Lemma 1.20 u を unimodular function で m_{∈ M(H}^∞) とする. このとき|m(u)| = 1 となる必 要十分条件は_{u|supp m}が絶対値1 の定数になることである.

Proof. |m(u)| = 1 とする. supp m 上で |u| = 1 であるから, m の表現測度を µ^{mとすると} 1 =_{|m(u)| =}

¯

¯

¯

¯ Z

supp m

udµm

¯

¯

¯

¯^≤ Z

supp m^|u|dµ m= 1.

よって_{u|supp m}は絶対値1 の定数となる. 逆は明らか. _✷

Lemma 1.21 m_{∈ M(H}^∞), f _{∈ L}^∞とする. このとき

m_{∈ M(H}^∞[f ])_{⇐⇒ f|}supp m_{∈ H}^∞_|supp m.

Proof. (→) Chang-Marshall の定理よりある inner function の部分集合 B が存在して, H^{∞[f ] =} H^∞[B] となる. 任意の b ∈ B に対して 1 = |m(bb)| = |m(b)|^{2 と な る. よって}|m(b)| = 1. Lemma 1.20 より b_|supp m^はunimodular constant. H^∞_|supp m^{は閉集合である6) から}f_|supp m_∈

H^∞_|supp m.

(_{←) f|}supp m_{∈ H}^∞_|supp m^とする. このときある g_{∈ H}^{∞が存在して}f_|supp m= g_|supp m^となる. m の表現測度を µm^とすると

m(ϕ) = Z

supp m

ϕdµm

であるから, 任意の n と任意の h_{∈ H}^{∞に対して}, m(hfⁿ) = m(hgⁿ) = m(h)m(g)ⁿ = m(h)m(f )ⁿ

である_{. よって m∈ M(H}^∞_{[f ]) である. ✷}

Corollary 1.22 m_{∈ M(H}^∞) とする. このとき

m_{∈ M(H}^∞[f, g])_{⇐⇒ f|}supp m_{∈ H}^∞_|supp m^かつg_|supp m_{∈ H}^∞_|supp m.

Proof. (→) Lemma 1.21 より明らか. (←) Lemma 1.21 の証明より明らか. ✷ 次はD. Sarason による unpublished result である.

6)[12, p207] より support set は weak peak set であるから, [7, p57] より H^∞|supp m^はC(supp m) の closed algebra になる.

Lemma 1.23 (Sarason) Aα^をDouglas 代数の族とするとき M (_∩Aα) = [_∪M(Aα)]^∼

が成立する_{. ただし [X]}^∼は位相空間_{X の閉包を表す.}

Proof. ([10]) Aα^{のどれかが}H^∞である時は結果は明らか. よってすべての Aα^がH^∞+ C を 含むと仮定する_{. [∪M(Aα)]}^∼ _{⊆ M(∩Aα}) となることは容易にわかる. 逆の包含関係を示すため に_{m ∈ M(H}^∞+ C) かつ m /_{∈ ∪[M(A}α)]^∼とする. このときある m の開集合 V が存在して [V ]^∼_{∩ [∪M(A}α)]^∼=_{∅ となる.}

case 1. m が non-trivial point (Gleason part^{7)が一点でない}) の場合

[13] より補間 Blaschke 積 b が存在して, b の零点の閉包が [V ]^{∼に含まれ}m(b) = 0 となる. よって b は任意の α に対して Aα^{で可逆である}. よって b_{∈ ∩A}α. 今 m(bb) = 1 である一方 m(b) = 0 であ るから, m(b)m(b) = 0. よって m /_{∈ M(∩A}α).

case 2. m が trivial point (Gleason part が一点) の場合.

[9, Corollary 3.2] により non-trivial point x∈ V で supp x ⊆ supp m となるものが存在する. この時 case 1 の証明より x /_{∈ M(∩A}α). Proposition 1.19 より, M (_∩Aα) =_{{m ∈ M(H}^∞) : u_{∈ (∩A}α)⁻¹ なる任意の内関数_{u に対して}|m(u)| = 1} であるからある inner function u で ∩A^{αで可逆であ} るものが存在して_, |x(u)| < 1 となる. したがって Lemma 1.20 によって u|^{supp xは定数ではな} い. したがって u は supp m で定数ではないから|m(u)| < 1 となり再び Lemma 1.20 によって

m /_{∈ M(∩A}α). _✷

1.4 ^{その他の準備}

x, y_{∈ L}^{2に対して}L^2上のrank 1 作用素 x_{⊗ y を} (x⊗ y)z = 〈z, y〉x

と定義する. x, y, u, v_{∈ L}², A_{∈ B(L}²) とするとき次は定義により容易に示せる. (1)∥x ⊗ y∥ = ∥x∥∥y∥

(2) (x_{⊗ y)}^∗= y_{⊗ x}

(3) (x⊗ y)(u ⊗ v) = 〈u, y〉x ⊗ v

(4) A(x⊗ y) = (Ax) ⊗ y, (x ⊗ y)A = x ⊗ (A^∗y) z∈ D に対して T 上の関数 k^{z(w), ϕz(w) を}

ϕz(w) = ^{z− w}

1_{− zw} ^{, kz(w) =}

(1_{− |z|}²)^1/2

1_{− zw} ^{(w∈ T)}

と置く_{. kz}は_H²の正規化された再生核(normalized reproducing kernel) と呼ばれる. (Kz(w) = 1/(1− zw) を再生核 (reproducing kernel) と呼ぶ. このとき (1.2) により f(z) = 〈f, K^z〉 となる.) Lemma 1.24 z∈ D に対して次が成立.

7)ϕ, ψ ∈ M (H^∞) に対して ρ(ϕ, ψ) = sup{|ϕ(f )| : ∥f ∥ ≤ 1, ψ(f ) = 0, f ∈ H^∞} と定義する. このとき関係 ∼ を ϕ ∼ ψ ⇔ ρ(ϕ, ψ) < 1 と定義するすると, これは M (H^∞) の同値関係になり, これによる同値類を M (H^∞) の Gleason 部分と呼ぶ_.

(1) ϕz_{◦ ϕ}z(w) = w.

(2)_|ϕ^′_z(w)_{| = |k}z(w)_|²= Pz(w). (3) kz_{⊗ k}z= I_{− T}ϕz^Tϕz^.

Proof. すべて簡単な計算により示せる. _✷

Proposition 1.25 (Littlewood-Paley formula) f, g_{∈ L}²(T) とするとき

〈f, g〉 = f(0)g(0) + Z Z

D∇f(z) · ∇g(z) log ¹

|z|^{dA(z) (1.3)}

が成立する. ここで f (z) は f の調和拡張である. また_{∇ =}^³_∂x^∂ ,_∂y^{∂ ´は}gradient (勾配) を_{· は C}² の内積を表す_.

Proof. 定義より

∇f(z) · ∇g(z) = ^∂f_∂x^∂g_∂x^+∂f_∂y^∂g_∂y ^{= 2µ ∂f}_∂z^∂g_∂z ^+∂f_∂z^∂g_∂z

¶

(1.4)

となることが容易に確かめられる_{. ここで} ^∂

∂z ⁼ 1 2

³∂

∂x− i∂y^∂

´, _∂z^∂ =¹₂^³_∂x^∂ + i_∂y^{∂ ´と定義する}. f = P∞

k=−∞^{fkeikθ, g =}

P∞

l=−∞^gleilθをf, g の Fourier 展開とする. このとき_{〈f, g〉 =}^P∞_k=−∞fkgk, f (z) = f0+^P∞_k=1fkz^k+^P∞_k=1f−kz^k, g(z) = g0+^P∞_l=1glz^l+^P∞_l=1g−lz^{l であるから}z_{∈ D に} 対して

∂f

∂z ⁼

∞

X

k=1

kfkz^{k−1 ∂f}

∂z ⁼

∞

X

k=1

kf−kz^k−1

∂g

∂z ⁼

∞

X

l=1

lgkz^{l−1 ∂g}

∂z ⁼

∞

X

l=1

lflz^l−1.

ところが簡単な計算により Z Z

D

z^k−1z^l−1log ¹

|z|^{dxdy =}







1/2k² k = l 0 k_{̸= l}

であるから(1.3) の右辺は f0g0+^P∞_k=1fkgk+^P∞_k=1f−kg−k となりこれは左辺に等しい_{. ✷}

2 ^{分布関数不等式} (Distribution function inequality)

 _{h∈ L}², 1 < r < 2, w_{∈ T に対して}

Λrh(w) = [M (_|h|^r)(w)]^1/r= sup

I:w を含む区間

· 1

|I| Z

I^|h(z)| r_dσ(z)^¸

1/r

と定義する_{. ただし M (}·) で Hardy-Littlewood の maximal function を表す. また Γ^{wで頂点が} w∈ T で開きが π/2 である中心と w を結ぶ直線に対して対称な角領域として, Γ^{w,εでΓwとw を} 中心とする半径ε の円板との共通部分とするとき

Aε(h)(w) =

" Z

Γw,ε

|∇h(z)|^2dA(z)

#1/2

.

と定義する. この右辺の積分はほとんどいたるところの w で存在する ([15]). Iz^{は T の閉部分弧で}

中心が_z/|z|, 測度 (1 − |z|) であるものとする. また δ(z) = 1 − |z| と置く. さらに f ∈ L^2に対し て_{f+= P f , f−= (I}− P )f と置く.

Lemma 2.1 (D.F.I. for_Hf) ([26, Theorem 6]) l > 2 を任意に固定する. このとき p, r_{∈ (1, 2)} で1/l + 1/r = 1/p を満たすもの^8)と, 十分大きな a > 0 に対して, ある定数 Ca> 0 が存在して

¯

¯

¯

nw_{∈ I}z: A2δ(z)(_Hfu)(w) < a[_|f−_{− f}−(z)_|^l(z)]^1/l inf

w∈Iz

Λr(u)(w)^o¯¯_{¯ ≥ C}a_|Iz_|

が任意の_{f ∈ L}^∞_{, u∈ H}^∞_{, 1/2 <}|z| < 1 に対して成立する. ここで C^{aはlima→∞Ca = 1 を満た} すようにとることができる_.

Proof. u _{∈ H}^∞, 1/2 < |z| < 1 に対して H^{fu = (I}− P )u^{1+ (I} − P )u^{2と分解する. ただし} u1= [f−_{− f}−(z)](χ2Izu), u2 = [f−_{− f}−(z)](χ_T\2Izu) である. ここで χ は特性関数を, 2Iz^はIz

を_z/|z| を中心として測度を 2 倍した T の閉部分弧を表す.

今l > 2, p, r∈ (1, 2) で 1/l + 1/r = 1/p を満たすものを固定する. Step 1. ある定数 C > 0 が存在して

h^Z

Iz

{A^ε((I− P )u¹⁾}^pdσ(w)i1/p ≤ C|I^z|^1/p£|f⁻− f^−(z)|^l(z)¤1/l_w∈I^inf

z

Λru(w) (2.1)

が任意の_{1/2 <}|z| < 1, f ∈ L^{∞, u}∈ H^{∞に対して成立する.}

Proof of step1. [15] より [Aεf ](w) は L^{q 有 界}(1 < q < ∞) である. また I − P も L^{q 有 界} (1 < q <_{∞) であり u}1_{∈ L}^p であることに注意すると_,

Z

Iz

{A^ε((I− P )u¹⁾}^pdσ(w)

≤ ∥A^ε((I− P )u¹⁾∥^pp≤ C∥u¹∥^pp

≤ C Z

T^|u

1_|^pdσ(w) = C Z

2Iz

|f^−(w)− f^−(z)|^p|u(w)|^pdσ(w)

≤ C|2I^z|

· 1

|2I^z| Z

2Iz

|f^−(w)− f^−(z)|^ldσ(w)

¸p/l· 1

|2I^z| Z

2Iz

|u|^rdσ(w)

¸p/r

8)このようなl, p, r は必ず存在する. 0 < ε < (l − 2)/2 に対して, p = l/(l − ε), r = pl/(l − p) とすれば良い

ここで定数_{C は f∈ L}^∞_{, u∈ H}^∞と_{1/2 <}|z| < 1 に依存しない. また定数 C > 0 が存在して

· ₁

|2I^z| Z

2Iz

|u|^rdσ(w)

¸1/r

≤ Λ^ru(w)

と_{, 任意の w∈ 2Iz}に対して_Pz(w) > C/_|2Iz| が成り立つ. よって Step 1 が成立する. Step 2. l > 2 に対してある C > 0 が存在して, 任意の 1/2 <|z| < 1 に対して,

A2δ(z)((I_{− P )u}2)(k)_{≤ C[|f}−_{− f}−(z)_|^l(z)]^1/l inf

w∈Iz

Λl^′(u)(w)

が任意の_{k∈ Iz}について成立する. 但し 1/l + 1/l^′ = 1 である. Proof of step 2. z^′_{∈ D に対して}

[(I_{− P )u}2](z^′) = Z

T

z^′ξu2(ξ) 1_{− z}^′ξ ^dσ(ξ). よって_{[(I− P )u2](z}^′) は D で co-analytic である. したがって (1.4) より

|∇[(I − P )u^2](z′)| ≤ ^√2 Z

T

|u^2(ξ)|

|1 − z^′ξ|^2dσ(ξ)

= ^√2 Z

T\2Iz

|[f^−(ξ)− f^−(z)]u(ξ)|

|1 − z^′ξ|^{2 dσ(ξ)} 一方C > 0 が存在して任意の ξ_{∈ T\2I}z^とz^′_∈^S_k∈IzΓk,2δ(z)^に対して

¯

¯

¯

¯ 1_{− ξz} 1_{− ξz}^′

¯

¯

¯

¯^{≤ C} となる_{. よって z}^′_∈

S

k∈Iz^{Γk,2δ(z)に対して}

|∇[(I − P )u^2](z′)| ≤ C Z

T\2Iz

|[f^−(ξ)− f^−(z)]u(ξ)|

|1 − zξ|^{2 dσ(ξ)}

≤ ₁ ^C

− |z|^{2[|f−− f−(z)|}

l_(z)]1/l_[

|u|^{l′(z)]1/l′. (2.2)} (2.2) の最左辺, 最右辺を 2 乗して z^{′について}Γk,2δ(z)^{上積分をすると}

(Z

Γk,2δ(z)

|∇[(I − P )u^2](z′)|^2dA(z′) )1/2

≤ C[|f⁻− f^−(z)|^l(z)]1/l[|u|^{l′(z)]1/l′}

となる. ところが non-tangential maximal function は Hardy-Littlewood maximal function の定 数倍で抑えられるから(cf.[8, p22, Theorem 4.2]), 任意の k_{∈ I}z^に対してz_{∈ Γ}k,2δ(z)^{であること}

より

h|u|^l′(z)i1/l

′

≤ ^sup

z^′∈Γk,2δ(z)

h|u|^{l′(z′)i1/l}

′

≤ CΛ^{l′u(k) (}∀k ∈ I^z)

となる. よって題意を得る.

Step 3. この step で証明を完了する. _Hfu = (I_{− P )u}1+ (I _{− P )u}2^{であるから}Minkowski の不等式より_{A2δ(z)(Hfu)(w) ≤ A2δ(z)((I− P )u1)(w) + A2δ(z)((I− P )u2})(w) である. よって i = 1, 2, a > 0 に対して

Ei(a) =

½

ξ_{∈ I}z: A2δ(z)((I_{− P )u}i)(ξ)_{≤ a[|f}−_{− f}−(z)_|^l(z)]^1/l inf

w∈Iz

Λr(u)(w)

¾