代数学ＩＩ（ガロア理論）2011 Akira Masuoka

2011^{年度 学類４年生向け授業 代数学}II

ガロア理論

担当 増岡 彰

はじめに

 知りたい対象の情報を得るのに_, これをよりわかりやすい別の対象と結びつけて_, それ から引き出す_. これはいまや数学全般にわたる常識であるが_, この方法を確立したのは_, エ ヴァリスト・ガロア(1811–1832)^である. 彼は代数方程式の根を考察するのに_, 群の概念 を確立しこれと結びつけた_.

 代数方程式 _{f (X) = 0} は_, ある体 _K に係数をもつ多項式 _{f (X)} により与えられる_{. K} にこの代数方程式の根すべてを添加して体拡大 _L/K が_, さらに _L/K の自己同型全体か

らなる群 _Aut(L/K) が得られる_. これらは根の集合に比べ_, より豊かな代数的構造をも

つ対象であり_, 発展的考察を可能にする_. かくして代数方程式の根₍本文では多項式 _{f (X)} の根と呼ぶ₎の考察が_, 体拡大と自己同型群の考察にとって代られる_. これにより_, 根につ いて知るべきことが正しく定式化され証明されるのである_. 例えば_, 「一般的な代数方程 式が根の公式をもつか否か」といったことが厳密に定式化でき_, この代数方程式が４次以 下であれば公式をもち_, ５次以上であればもたないことが証明できる₍アーベルの定理_).  この授業を通し身につけて欲しい代数学の普遍的方法は次の２つである_.

1. ある対象を考察するのに_, 付随する写像の集合₍例えば自己同型群といった₎に結び つけて行う₍これはホモロジー代数につながる_).

2. 数学的事象を定式化するのに_, ある集合 _X から別の _Y への写像を構成し_, その性 質₍例えば全射_, 単射といった₎を記述する形にする₍これはカテゴリー論につなが る_).

これらの方法を習慣化してしまえば_, ガロア理論はもはや易しい_.

 本文は５節からなり_, 各節はいくつかの小節に分かれる_. 引用の際_, 例えば _3.6 節の命 題_Aを命題 _3.6A と呼ぶ_.

1 ^復習ー環 , ^イデアル , ^剰余環

 この節では上の概念について復習する_.

 この授業を通し_, 環といえば_, 乗法単位元 ₁ を含む可換環で_{, 0} と異なる元を含む₍同値 に_{0 ̸= 1} を満たす₎ものをさす_.

1.1 _Z

 整数全体がなす環を

Z = {0, ±1, ±2, . . . }

で表す_. 次はユークリッドの原理と呼ばれる_. この定理と系に関して_{, [1,} 定理 _{2.1, 2.2,} pp. 68, 69 ]^{を参照のこと}.

定理. n, d ∈ Z, d > 0 ^に対し,

n = d q + r, 0 ≤ r < d

を満たす _{q, r ∈ Z} が１通りに存在する_.

系_{. Z} の各イデアル _I は, I = (d), 0 ≤ d ∈ Z ^{の形に１通りに表せる.}

この _{I = (d)} が素イデアル₍或いは極大イデアル) ⇔ d = 0 or ^{素数(或いは d が素数).}

1.2 _K[X]

 _K を体とする_{. K} に係数を持つ文字_X の多項式 _{f (X) = cnX}ⁿ_{+ cn−1X}ⁿ⁻¹_{+ · · · +} c₀, c_{i ∈ K} ^{全体からなる環を}, K[X] ^で表す. ^しばしば, f (X) ^を単に f ^と書く. c_{n ̸= 0} の場合, n = deg f ^と書き, ^これを f ^{の次数と呼ぶ}. ^次は K[X] におけるユークリッドの 原理である_. この定理と系に関して_{, [1,} 定理 2.17, 2.18, pp. 89, 93] ^{を参照のこと}. 定理. g, f ∈ K[X], deg f > 0 ^に対し,

g = f q + r, deg r < deg f

を満たす q, r ∈ K[X] ^{が１通りに存在する.}

系_{. K[X]} のイデアル _I は必ず I = (f ), f ∈ K[X] ^{の形をしている. (この f を 0 また} はモニックに制限すると_, 表し方は１通り_.)

この _{I = (f )} が素イデアル₍或いは極大イデアル) ⇔ f = 0 or ^{既約(或いは f が既約).}

1.3

 環 _R とイデアル_{I ( R} に対し_, 剰余環 _R/I が構成される_. これは環 _R において _I の 元をすべて ₀ とみなして得られる環_{. R/I} において_{, a ∈ R} の剰余類 _{a + I} を_a と書く

（単に_a で表すこともある_).

例. Z/(d), 1 < d ∈ Z ^{はd個の元}0, 1, . . . , d − 1 ^{からなる. Z/(d) における演算は, これ} らの元を _Z の元 0, 1, . . . , d − 1 ^{と思って計算し,} 最後にまたは途中いつでも_{, d} の倍数を 0 ^{とみなせばよい}. ^ためしに Z/(5) ^において 4³_{− 2 · 3} ^{を計算せよ}.

 「準同型」に替えて「射（_morphism)」という語を用いる_. たとえば環準同型を環（の） 射と呼ぶ_. 環射は ₁ を ₁ にうつすものとする_. 環の同型定理を思い出そう_{. [2,} 定理_2.9, p. 78], [3, ^定理9.7, p. 54] ^{等を参照せよ}.

定理_. 環の射 _{ϕ : R → S} に対し_, 核 _{Ker ϕ} は _R のイデアル_, 像 _{Im ϕ} は _S の部分環で あって_,

ϕ : R/Ker ϕ → Im ϕ, a 7→ ϕ(a)

はwell-defined, ^{さらに環同型になる}.

 勝手な環 _S に対し_, 環射 _{ιS : Z → S} がただひとつ存在し_, それは次で与えられる_.

ι_S(n) = n 1 =







1 + · · · + 1 (n^{個の1の和) n > 0}

0 n = 0

(−1) + · · · + (−1) (−n^個の− 1^{の和) n < 0}

実際_, これは _{ιS(1) = 1} を満たすただひとつの加法群の射であり_, これが積を保つことが 見てとれる_.

定義_{. Ker ιS = (d)} なる 0 ≤ d ∈ Z, d ̸= 1 ^{を以て S の標数と呼び, 記号 ch S で表す.}  _{d = ch S} とするとき_{, ιS} が環同型_{ιS : Z/(d)}

−→ Im ι≃ S(⊂ S) ^{を引き起こす.}

問題 _{1. S} が整域であれば, ch S = 0 or ^{素数である}(^{ことを示せ}). [^以下, ^{問題において}

「ことを示せ」をしばしば省略する_.]

問 題 _2. 環 _S の う ち_, 部 分 環 _{( S} を 持 た な い も の を 素 環と 呼 ぶ_. 素 環 は _Z ま た は Z/(d), 1 < d ∈ Z のいずれかひとつに同型である_.

定義_. 環の部分環のうち体であるものを部分体と呼ぶ_. 体_K であって_, 部分体_{( K} を持 たないものを素体と呼ぶ_.

命題_{A. (1)} 体_K の標数_{ch K} は ₀ または素数である_.

(2) ^素体 K ^は, ch K = 0 ^{であれば有理数体} Q ^に同型, ch K = ^素数p ^{であれば有限} (^個 の元からなる₎体_Z/(p) に同型である_. この素体 _Z/(p) を_Fp で表す_.

証明_{. (1)} これは問題₁ の特別な場合として従う_.

 (2) ch K = 0 ^の場合. Ker ιK = (0), ^すなわち _{0 ̸= n ∈ Z} ^ならばιK(n) = n 1 ̸= 0. 従って_{, ιK} は_eιK : Q → K, eιK(m/n) = (m 1)(n 1)^{−1 に拡張できる}. ^この _eιK ^が環の射 であることは見やすい_. 一般に_, 体からの環の射は必ず単射₍実際_, 核が体の真のイデア ルゆえ ₍₀₎ に等しいから₎ だから_{, Im eιK} は _Q と同型な _K の部分体_{. K} は素体だから K = Im eιK ≃ Q.

 _{ch K =} 素数_p の場合_{. ιK} : Z/(p) → K, n 7→ ιS^{(n) は環の単射. Z/(p) は体だから,}

Im ι_K ^は Z/(p) ^と同型な K ^の部分体. K ^{は素体だから} K = Im ι_{K ≃ Z/(p).}

命題_B. 体_K は最小の部分体として素体を含む（これを _K の素体と呼ぶ_). 具体的に K ^の素体_≃

{Q ch K = 0^の場合 F_p ch K = p > 0^の場合

証明_. 命題_A の証明から従う_. 実際 _{ch K = 0} の場合_{, K} をその部分体 _K^′ に替えて得ら れる_eιK′ は₍値域が _K^′ に替わるだけで_{) eιK} に一致するから_{, K}^′ は_{Im eιK} を部分体とし て含む_. 従って_{, Im eιK(≃ Q)}は _K の最小の部分体である. ch K = p > 0 ^の場合, ^同様に Im ιK_{(≃ F}p)^が K ^{の最小の部分体である}.

問題 _3. 体 _K の素体を _P とする_{. K} から _K 自身への環射 _{ϕ : K → K} は _P 上不変で ある_, すなわち ϕ(x) = x, ∀x ∈ P ^{が成り立つ(2.2} 節で定義される用語を用いると_{, ϕ} は P ^{代数射である}).

2 _K ^代数

 この節を通し_{, K} を体とする_. ガロア理論は _K とそれを含む体との相対的関係を考察 する_. この節では_K を含む環_(K 代数と呼ばれる₎を考察する_. １元生成 _K 代数からの

射を多項式の根を持って記述する命題_2.4 が_, 以後大事になる_.

2.1 _K

定義_{. K} を部分体として含む環を _K 代数と呼ぶ_.

  体 か ら 環 へ の 射 _{ϕ : K → S} は 必 ず 単 射_. そ れ 故 こ れ を _K の _R へ の 埋 め 込 み と 呼 ぶ_{. R} を _K 代数とすると_, 包含写像 _{K ֒→ R} は埋め込みである_. また環 _S と埋め込み ϕ : K → S ^{が与えられると, 各元} x ∈ K ^を ϕ(x) ∈ R ^{と同一視することでK を S の部} 分体と見て_{, S} は _K 代数になる_. こうして_{, K} 代数とは環 _S と _K の埋め込み _{K → S} のペアのことだとしてよい_{. R} を _K 代数とする_. 環の射 _{ψ : R → S} が与えられたとき_, 包含写像 _{K ֒→ R} と _ψ との合成 _{K ֒→ R}

→ Sψ ^{を埋め込みとしてS は K 代数になる.}

特に _R のイデアル _{I ( R} に対し_, 上の _ψ として射影 _{R → R/I} を採り _R/I が_K 代数 になることに注意しよう_.

 _K 代数 _R は_, その和と_{, R} における積 c a (c ∈ K, a ∈ R) の定めるスカラー倍によ り_{, K} 上のベクトル空間になる_. この場合_{, K} 次元 _dimKR を_{[R : K]} と書く_.

例_{. K[X]} は _K 代数_. 無限個からなる _{1, X, X}²_{, . . .} を基底に持つから[K[X] : K] = ∞.  上の注意から, n(> 0)^次多項式

f = c_nXⁿ+ c_n−1Xⁿ⁻¹+ · · · + c0^{, c}i ∈ K, cn ̸= 0

に対し, K[X]/(f ) ^はK ^{代数である}. 命題_. この _{K[X]/(f )} は_{1, X, X}

2, . . . , X^{n−1 を基底に持ち},^従って [K[X]/(f ) : K] = n である_.

証明. 1, X, . . . , X^{n−1 が} K[X]/(f ) ^{を張ることを見るため}, K[X]/(f ) ^{の勝手な元をと} る_. それはある _{g ∈ K[X]} を以て _g の形をしている_{. K[X]} において _g を _f で割った商 を_q, 余りを _{r = b0+ b1}X + · · · + bn−1^{Xn−1 とすれば,}

g = f q + r = r = b₀1 + b₁X + · · · + bn−1^X n−1.

 1, X, . . . , X^{n−1 が} K 上線形独立であることを見るため, K[X]/(f ) ^において d₀1 + d₁X + · · · + dn−1^X

n−1 = 0, d_{i ∈ K}

とする_. これは _K[X]において_, 多項式 _{d0+ d1}X + · · · + dn−1^{Xn−1 がイデアル (f ) に}

属す_, すなわち _f を割ることを意味する_. 次数を比べて_, この多項式が ₀ であること_, す なわち _{d0 = d1} = · · · = dn−1 ^{= 0 が従う.}

例_{. R[X]/(X}²_{+ 1)} は_{, X} の₁ 次以下の多項式a + bX, a, b ∈ R ^{から成る. 各元a + bX} の表し方は１通り_. 和と積はそれぞれ

(a + bX) + (c + dX) = (a + c) + (b + d)X, (a + bX)(c + dX) = ac + (ad + bc)X + bdX²

= (ac − bd) + (ad + bc)X

で 与 え ら れ る_. ま た a 7→ a + 0X ^{を 埋 め 込 み} R → R[X]/(X^{2 + 1) に 持 つ. 高 等 学} 校 で 学 ん だ 複 素 数 体 _C の 定 義 と 照 ら し 合 わ せ_, 虚 数 単 位 _i と _X を 同 一 視 す る こ と で C = R[X]/(X²+ 1) (R^{代数として})^となる.

2.2 _K

 _{R, S} を_K 代数とする_.

定義_{. K} 代数射_{ϕ : R → S} とは_{, K} 線形な環の射_, 同値に ϕ(x) = x, ∀x ∈ K

を満たす環射を指す_. これが更に全単射であるとき_{, K} 代数同型と呼ばれる_. この場合 ϕ⁻¹ _{: S → R}^も K ^{代数同型になる}. S ^の部分 K ^{代数 とは} K ^を含む S ^の部分環 T , ^す なわち中間環_{K ⊂ T ⊂ S} を指す_. この _T 自身 _K 代数になる_.

 次は _K 代数の同型定理と呼ぶべき定理である_.

定理_{. K} 代数射_{ϕ : R → S} に対し_,核 _{Ker ϕ}は_R のイデアル_{(̸= R),}像_{Im ϕ} は_S の部 分_K 代数であって_,

ϕ : R/Ker ϕ → Im ϕ, a 7→ ϕ(a)

はwell-defined, ^さらに K ^{代数同型になる}.

証明_. 定理_1.3 から_, あと _{(i) Im ϕ} が _K を含むこと_{, (ii) ϕ} が _K の各元を保つこと_, を 示せばよい_{. (i)} は _ϕ が _K の各元を保つことから_{, (ii)} は次から従う_. 任意の _{x ∈ K} に 対し, ϕ(x) = ϕ(x) = ϕ(x) = x.

 _K 代数射 _{ϕ : R → S} 全体の集合を _{AlgK(R, S)} と書く_. 続く ₃ 小節において_{, R} が多 項式環またはその剰余環の場合に_, 集合 _{AlgK(R, S)} を記述する_.

2.3 1

_K

 _S を_K 代数とする_.

 元 _{a ∈ S} を固定する_. 各多項式 _{f (X) = cnX}ⁿ_{+ cn−1X}ⁿ⁻¹+ · · · + c0 ^{に, X に a を}

代入して得られる_{f (a) = cna}ⁿ_{+ cn−1a}ⁿ⁻¹+ · · · + c0 ^{を対応させる写像を}

λ_a : K[X] → S, λa(f (X)) = f (a)

と書く₍記号 _λ は「代入」の「入」の連想_). この _λa は_K 代数射_, 従ってその像 Im λ_a = {f(a) ∈ S | f(X) ∈ K[X]}

は_S の部分 _K 代数になる_. これを _K[a] で表す_. これは _a を含む _S の最小の部分 _K 代 数として特徴付けられる_.

定義_{. Ker λa = (0)}の場合_{, a}は_K 上超越的であるという_{. Ker λa ̸= (0)}の場合_{, a}は_K 上代数的であるという_. この場合_{, Ker λa = (pa)} を満たすモニックな多項式 _{pa ∈ K[X]} が一意的に定まる_. この _pa を_a の _K 上の最小多項式と呼ぶ_. これは_{f (a) = 0} を満たす 最小次数のモニック多項式 f (X) ∈ K[X]^{として特徴付けられる. 次数 deg p}a ^{をa の K}

上の次数 と呼ぶ_.

問題 _4. 虚数単位 _{i ∈ C} の _Q 上_{, R} 上_{, C} 上次数をすべて言え_.

 _{AlgK(K[X], S)}を記述しよう_. 各 _{ϕ ∈ AlgK(K[X], S)}は値 _ϕ(X)だけで決まり_, また どんな _S の元に対しても_, それを値 _ϕ(X) にもつ _{ϕ ∈ AlgK(K[X], S)} が存在する_. この 事実は次のように定式化できる_.

命題. ϕ 7→ ϕ(X) ^{が全単射 Alg}K^{(K[X], S)}

−→ S≃ ^{を与える.}

問題 _5. 次を示すことにより_, この命題を証明せよ. ϕ 7→ ϕ(X) ^と a 7→ λa ^{が互いに逆写}

像である_. すなわち

(1) ϕ ∈ AlgK^{(K[X], S)に対し} a := ϕ(X) ∈ S ^{とおくと λa = ϕ,} (2) a ∈ S ^{に対し ϕ := λ}a ∈ AlgK^{(K[X], S) とおくと ϕ(X) = a.}

2.4

 _S を_K 代数とする_. 定数でない多項式_{f ∈ K[X]} を１つ固定する_.

定義. f (a) = 0 ^{を満たす元} _{a ∈ S} ^を, S ^におけるf ^{の根または解} (solution) ^と呼び, ^そ の全体の集合を _{Sol(f ; S)}で表す_. すなわち Sol(f ; S) := {a ∈ S | f(a) = 0}.

 この集合を用いて _AlgK(K[X]/(f ), S) ^{が記述できる}.

命題. ϕ 7→ ϕ(X) ^{が全単射Alg}K(K[X]/(f ), S) −→ Sol(f; S)^{≃ を与える.} 問題 _6. 次を示すことにより_, この命題を証明せよ_.

(1) a ∈ Sol(f; S) ^{ならば, λa} : K[X] → S ^{はイデアル (f ) を零化し, 従ってK 代数射} K[X]/(f ) → S, g 7→ g(a) ^{を引き起こす. この代数射も λ}a ^{と書こう.}

(2) ϕ ∈ AlgK(K[X]/(f ), S) ^に対し, a := ϕ(X) ^とおくと a ∈ Sol(f; S) ^でありλa ^{= ϕ.}

(3) a ∈ Sol(f; S) ^{に対しϕ := λ}a ∈ AlgK(K[X]/(f ), S) ^とおくと ϕ(X) = a. 問題 _7. 次の各集合を決定せよ_.

 _{(i) AlgQ(Q[X]/(X}⁴_{− 1), C) (ii) AlgQ(Q[i], C) (iii) AlgQ}(Q[i], C × C)

 一般に_, 環 _{S1, S2} に対し直積集合 _{S1× S2} は成分ごとの演算で環になる_{. S1, S2} が更 に_K 代数の場合_, 環射 _{K → S1× S2}, a 7→ (a, a) ^{を埋め込みとして S}1× S2 ^{はK 代数}

になる_. 前問題_(iii)において _{C × C} はこの方法で _Q 代数と見る_.

2.5

_K

 _K に係数を持つ _{n(> 0)} 文字 _X1, . . . , X_n の多項式全体からなる環を _K[X1, . . . , X_n] で表す_. これは更に_K 代数である_{. S} を_K 代数とする_.

 _n個の _S の元の組 _{a = (a1}, . . . , a_{n) ∈ S}^{n を固定するとき},^文字 X₁, . . . , X_n ^のそれぞ れに _a1, . . . , a_n ^{を代入する}

λ^a : K[X1, . . . , Xn_{] → S, f(X}1, . . . , Xn_{) 7→ f(a}1, . . . , an)

は_K 代数射である_. これの像

Im λ^a_{= {f(a1}, . . . , a_n) ∈ S | f(X1, . . . , X_{n) ∈ K[X1}, . . . , X_n]}

を_K[a1, . . . , a_n] ^と書く.

定義_{. K[a1}, . . . , an] = S ^の場合, S ^は n^元 a1, . . . , an ^で (K ^上) ^{生成されるという}. ^有 限個の元で生成される _K 代数を有限生成 _K 代数と呼ぶ_.

問題 _{8. 1} 元生成 _K 代数は_{, K[X]} または K[X]/(f ), deg f > 0 ^{のいずれかに同型で} ある_.

 次は命題 _2.3の一般化である_. 問題₅ の方法と同様にして証明できる_.

命題. ϕ 7→ (ϕ(X1), . . . , ϕ(X_n)) ^が全単射Alg_K(K[X₁, . . . , X_n], S)_{−→ S}^{≃ n を与える}.

3 ^体拡大

 この節では体拡大₍定義はすぐ下₎を考察する_. ガロア理論を_, 自己同型群でコントロー ルできる種類の代数体拡大を特徴づける理論と見ることもできる_. その第１の特徴が _3.6 節で論じる分離的という性質である（もう一つの特徴は _4.1 節でみる正規拡大なる性質_). 有限次分離拡大を特徴づける定理_3.6 がこの節の最重要定理である_.

3.1

定義_{. L} が体_{, K ⊂ L}が部分体であるとき_{, L} は _K の拡大体 である_{, L/K} は体拡大 で あるという_. この場合_{, L}は特に_K 代数であるから_,これにこれまでの議論が適用できる_. 例えば _K 次元 _{[L : K]} が定義される_{. [L : K]} を_L/K の拡大次数と呼ぶ_. これが有限か 無限かに従い_{, L/K} は有限次拡大_, 無限次拡大であるという_.

例. [C : R] = 2. ^また, 1 ^{変数有理関数体}, ^すなわち K[X] ^の商体 K(X) = {f/g | f, g ∈ K[X], g ̸= 0}

は_K の無限次拡大体_.

 _L/M/K が 体 拡 大_, つ ま り _{L/M , M/K} が と も に 体 拡 大 の と き_{, M} を _L/K の 中 間 体と呼ぶ_. この場合_, 次が成り立つ_.

定理_{. (aλ)λ∈Λ} を _L の_M 基底_{, (bγ)γ∈Γ} を_M の_K 基底とすると_{, (aλbγ)λ∈Λ,γ∈Γ} は _L の_K 基底になる_. 従って次の等式が成り立つ_.

[L : K] = [L : M ] [M : K]

証明_. 一般に体 _K 上のベクトル空間_V において_, 元からなる系 _(vλ)λ が基底であるため の必要十分条件は_, 写像

·(vλ^{) :}

⊕

λ

K_{λ → V, (cλ) 7→}^∑

λ

c_λv_λ

が全単射であること_. ここに _{Kλ = K(}のコピー_). 有限和

∑

λ^{cλvλ が内積 (cλ}) · (vλ^{) と}

見なせることからこの写像を_·(vλ) と記す_.  従って定理の状況で_, 次の２つの全単射を得る_.

·(aλ^{) :}

⊕

λ

M_{λ −→ L, M}^≃ _λ = M,

·(bγ^{) :}

⊕

γ

K_{γ −→ M, K}^≃ _γ = K.

第２の全単射の _λ に関するコピー _{·(bγ) :}

⊕

γ^Kγλ

−→ M≃ λ ^(Kγλ ^{= K, M}λ ^{= M ) の直}

和

⊕

λ を第１の全単射と合成して_, 全単射

⊕

λ,γ

Kγλ =^⊕

λ

⊕

γ

Kγλ _−→^≃

⊕

λ

Mλ _{−→ L}^≃

を得る_. これが _·(aλbγ) と一致することが見て取れるから_{, (aλbγ)λ,γ} が _L の _K 基底で ある_.

問題 9. [L : K] =^{素数ならば}, L/K ^はL, K よりほかに中間体を持たない_.

3.2

,

 _L/K を体拡大とする_{. L} の元 _a1, . . . , a_n ^{をすべて含むような} L/K ^{の最小の中間体を} K(a₁, . . . , a_n) ^と書き, K ^に a₁, . . . , a_n ^{を添加した体と呼ぶ}. ^これは L ^の部分 K ^代数 K[a1, . . . , an] ^{の商体に等しい}.

定義_{. L} の有限個の元 _a1, . . . , an ^{が存在して}, L = K(a1, . . . , an) ^{となるとき}, L/K ^は 体拡大として有限生成であるという_. 特に ₁ 元生成体拡大 _K(a)/K を単拡大と呼ぶ_. 問題 _{10. L}が体であれば_, 多項式 _{f ∈ L[X]} に対し

因数定理_{. f} が_L のうちに相異なる根 _a1, . . . , a_n ^を持てば, f = (X − a1) . . . (X − an^{) g}

を満たす _{g ∈ L[X]} がただ１つ存在する_.

が成り立つことを証明し_, 不等式

#Sol(f ; L) ≤ deg f

を導け_.

定理_{. K(a)/K} を体の単拡大とする_.

(1) a ^が K ^{上超越的ならば}_{, X 7→ a} ^なる K ^代数同型 K(X)_{−→ K(a)}^{≃ が存在する}. (2) a ^が K ^{上代数的ならば}, K(a) = K[a]. ^拡大次数 n := [K(a) : K] ^は a ^の K ^上の次 数に一致し_{, 1, a, a}², . . . , a^{n−1 が} K(a) ^の K ^{基底を与える}. ^{また任意の体拡大} L/K ^に 対し_, 不等式

#Alg_K(K(a), L) ≤ n

が成り立つ_.

証明_{. (1) a} の超越性から_{, λa} : K[X] → K[a] ^{はK 代数同型になる. これは双方の商体} の間の _K 代数同型 _K(X)

−→ K(a), f(X)/g(x) 7→ f(a)/g(a)≃ ^{に拡張される.}

 ₍₂₎最小多項式_pa の定義_2.3から_{, K} 代数全射 _λa : K[X] → K[a]^{の核は, aのK 上} 最小多項式 _pa が生成するイデアル _(pa). 定理_2.2 から _K 代数同型

K[X]/(p_a)−→ K[a], f(X) 7→ f(a)^≃

が引き起こされる_{. K[a]}は₍体_K(a)の部分₎整域ゆえ_,定理_1.2の系から_pa は既約_,従っ て再び系から_K[X]/(pa) は体_. これと同型な _K[a]はすでに体になるから, K(a) = K[a]. 命題_2.1 から _K[X]/(pa) の _K 次元 _n は _{deg pa (}すなわち _a の _K 上次数₎に一致し_, K[X]/(p_a) ^は1, X, . . . , X^{n−1 を基底にもつ}. ^{上の同型から} [K(a) : K] = a^のK ^上次数 で_{, K(a)} は 1, a, . . . , a^{n−1 を基底にもつ}. ^命題2.3 ^と問題10 ^から

#Alg_K(K(a), L) = #Alg_K(K[X]/(p_a), L) = #Sol(p_a; L) ≤ deg pa ^{= n.}

問題 _11. 体拡大 _L/K において_{, K} 上代数的な元 _{a ∈ L}の _K 上最小多項式 _pa は_{, a} を 根にもつモニック既約多項式_{∈ K[X]} と同義になる_.

例_{. a =}

√3

2 ∈ C ^{とおく. 多項式 X3} − 2 ^{は a を根にもち,} 下記のアイゼンシュタイン 判 定 法 か ら _Q 上 既 約_. 従 っ て _a の _Q 上 最 小 多 項 式 は _X³ _{− 2} に 等 し く_{, Q} 代 数 同 型 λ_a : Q[X]/(X³_{− 2)}−→ Q(a), X 7→ a^{≃ を得る. この同型を通しQ(a) をQ[X]/(X3}− 2)

と同一視し_, 命題 _2.4 を適用する. ω = (−1 +^√−3)/2 ^とおくと Sol(X³− 2; C) = {a, a ω, a ω²} だから_{, AlgQ(Q(a), C)} は３つの _K 代数射からなり_, それらは

a 7→ a, a 7→ a ω, a 7→ a ω² で決まる_. このうち最初の _K 代数射は恒等射である_.

アイゼンシュタインの既約判定法 _([1,定理2.25, p.101] ^参照). ^{整係数多項式} f = c_nXⁿ+ c_n−1Xⁿ⁻¹+ · · · + c0^{, c}i ∈ Z, n > 0

に対し_, 素数 _p で

p ∤ cn, _{p | c}i (0 ≤ i < n), ^{p2 ∤ c0} を満たすものが存在すれば_{, f} は _Q[X] において既約である_.

例_. 上 の 例 を 一 般 化 す る た め_{, p} を 素 数_{, n} を 正 整 数 と し, ζ = exp(2πi/n) ∈ C ^と お く_. ^√n_p の _Q 上 最 小 多 項 式 は _Xⁿ _{− p,} し た が っ て _Q(^√n_p)/Q は _n 次 拡 大_, ま た Alg_Q(Q(^√np), C) ^は

√n

p 7→ ^{√np ζk}, 0 ≤ k < n で決まる _n 個の _K 代数射からなる

3.3

定義_. 体拡大_L/K が代数的である_, または代数拡大であるとは_{, L} のすべての元が _K 上 代数的であるときにいう_.

定理_A. 体拡大_L/K に対し_, 次の３条件は互いに同値である_. (a) L/K ^{が有限次拡大}.

(b) L/K ^{が有限生成代数拡大}.

(c) ^{ある有限個の} K ^{上代数的元}a₁, . . . , a_{n ∈ L} ^に対し L = K(a₁, . . . , a_n).

証明. (a) ⇒ (b). ^{条件 (a) のもと L/K} が有限生成であることを示すため_, 次の操作をす る_{. L = K} の場合_{, L} は _K 上空集合で生成されるから何もしなくてよい_{. L ) K} なら_, 元_{a1 ∈ L \ K} を勝手に選ぶ_{. L ⊃ K(a1) ) K} から

[L : K] ≥ [K(a1) : K] > [K : K] = 1.

L = K(a1) ^{なら操作終わり}. L ) K(a1) ^なら, ^元 a2 _{∈ L \ K(a}1) ^を選ぶ. ^すると [L : K] ≥ [K(a1^{, a}2) : K] > [K(a₁) : K] > 1

を得る_{. L ) K(a1, a2)} なら_, 操作を続け [L : K] ≥ [K(a^{1, a2, a3}) : K] > [K(a1, a2) : K] > [K(a₁) : K] > 1 ^を得るが, ^{この操作は有限回} (n^{回とすると} n < [L : K])^で終わ り_{L = K(a1}, . . . , a_n).

 _L/K が代数拡大であることを示すため_, 勝手な元 _{a ∈ L} をとると, [K(a) : K] ≤ [L : K] < ∞. ^{定理3.2 から a は K 上代数的である.}

 _{(b) ⇒ (c).} これは自明_.

 (c) ⇒ (a). K0 ^{= K, ま た} 0 < r ≤ n ^{に 対 し K}r ^{= K(a}1, . . . , a_r) ^{と お く}. ^{特 に} L = Kn ^である. Kr = Kr−1(ar) ^に注意. ar ^は K ^{上代数的だから}, Kr−1 ^上代数的. ^定 理_3.2 から _{[Kr : Kr−1] < ∞.} 定理_3.1 から

[L : K] = [Kn : Kn−1] [Kn−1 : Kn−2] . . . [K1 : K0_{] < ∞.}

問題 _12. 単拡大 _K(a)/K に対し_, 次の３条件が互いに同値であることを示せ_.

(a) K(a)/K ^{が有限次拡大}. (b) K(a)/K ^{が代数拡大}.

(c) a ^は K ^{上代数的である}. 系 _1. 体拡大 _L/K において_,

M := {a ∈ L | a^{はK 上代数的}}

は中間体であり_, かつそのうち _K 上代数的であるような最大のもの_.

証明_{. M} が_L/K の中間体であることを示す_. 残りは易しい_. 明らかに _{M ⊃ K} だから_, あと_M が_Lの部分体であるのを示すため_,任意の_{a, b ∈ M} に対し３元 _{a−b, ab, a}⁻¹ が M ^{に属すことを見る}. (^元 a^{−1 に関しては} _{a ̸= 0} ^{と仮定する}.) ^定理A ^から, K(a, b)/K は ₍条件_(c) を満たすから₎ 代数拡大_. よって K(a, b) ⊂ M. ^{問題の３元は K(a, b) に属} すから_{, M} にも属す_.

系 _2. 体拡大 _L/M/K に対し_, 次は同値である_. (a) L/K ^が代数的.

(b) L/M, M/K ^{がともに代数的}. 証明. (a) ⇒ (b). ^{これは易しい.}

  _{(b) ⇒ (a).} 定 理 _3.2 か ら_, 任 意 の _{a ∈ L} に 対 し [K(a) : K] < ∞ ^{を 示 せ ば よ} い_{. a} の _M 上 最 小 多 項 式 の 係 数 の す べ て を _c0, . . . , c_{n−1 ∈ M} ^{と す る}. ^{定 理} A ^か ら _{K := K(c}e ₀, . . . , c_n−1) ^は K ^{上 有 限 次}. a ^は K^e 上 代 数 的 だ か ら_, 定 理 _3.2 か ら [ eK(a) : e_{K] < ∞.} ^{これら２つから}

[K(a) : K] ≤ [ eK(a) : K] = [ eK(a) : eK] [ eK : K] < ∞.

問題 _13. 代数体拡大 _L/K に対し_, 「_L の部分 _K 代数」と「_L/K の中間体」は同義語 になる_.

定理_{B. L/K} を有限次体拡大とすると_, 任意の体拡大 _Ω/K に対し

#Alg_K(L, Ω) ≤ [L : K].

証明_. まず定理_A から_{, L}は_{L = K(a1}, . . . , an) ^{の形をしている}. n^{に関する帰納法で定} 理_Bを示す_{. n = 1} の場合は定理_{3.2 (2)} に他ならない_{. M = K(a1}, . . . , a_n−1) ^とおく. L = M (a_n) ^となる. ^{また帰納法の仮定から},

#Alg_K(M, Ω) ≤ [M : K].

制限写像

res : Alg_K(L, Ω) → AlgK(M, Ω), σ 7→ σ|^M

について考えよう_{. τ ∈ AlgK(M, Ω)} の逆像

res⁻¹(τ ) = {σ ∈ AlgK(L, Ω) | σ|M = τ }

は集合

Alg_M(L, (Ω, τ ))

に一致する_. ただし _{(Ω, τ )} は_{, Ω} を埋め込み _{τ : M → Ω} により _M 代数と見たものを表 す_{. n = 1} の場合の結果を _{L = M (an)/M} に適用したものと合わせ_,

#res⁻¹(τ ) ≤ [L : M].

Alg_K(L, Ω) ^は res⁻¹(τ ) ^の _{τ ∈ AlgK}(M, Ω) 全 体 を わ た る 直 和 集 合 (disjoint uinion)

∪

τ^{res−1(τ ) に等しいから,}

#Alg_K(L, Ω) =^∑

τ

res⁻¹(τ ) ≤ [L : M] [M : K] = [L : K].

問題 _{14. L/K} を代数拡大_{, M1, M2} をその中間体とするとき_, 次を示せ_.

(1) ^勝手な元 _{a ∈ M1, b ∈ M2} ^の積 _{ab ∈ L} の有限和全体からなる集合を _M1M2 と書 く_. これは_{, M1, M2} を含む _L/K の最小の中間体である_. これを _M1 と _M2 の合成体と 呼ぶ_.

(2) ^{拡 大 次 数} [M₁ : K], [M₂ : K] が と も に 有 限 で 互 い に 素 で あ れ ば_{, [M1M2 : K] =} [M₁ : K] [M₂ : K].

問題 _15. 拡大次数 _[Q(

√3

2, ω) : Q] ^を求めよ.

3.4

補題_. 体 _Ω に対し_, 次の４条件は同値である_. これらが満たされるとき_{, Ω} を代数閉体と 呼ぶ_.

(a) ^各f ∈ Ω[X], deg f > 0 ^{がΩ のうちに根を持つ.}

(b) ^各f ∈ Ω[X], deg f > 0 ^がΩ[X] において１次式の積に分解する_.

(c) Ω[X] における既約多項式は１次式に限る_.

(d) Ω ^{の代数体拡大は} Ω^{自身に限る}.

証明. (a) ⇒ (b). (a) ^{の仮定のもと, (b) が成り立つことを deg f に関する帰納法で示す.} deg f = 1 ^{の 場 合}, ^{自 明}. deg f > 1 ^{の 場 合}_{, a ∈ Ω} ^を f の 根 と す れ ば_, 因 数 定 理 か ら f = (X − a) g ^を満たす g ∈ Ω[X]^{が存在する. この g} に帰納法の仮定を適用すればよい_{.  (b) ⇒ (c).} 自明_.

 (c) ⇒ (d). L/Ω ^{を代数拡大とし}, L ⊂ Ω ^{を示すため, 元} a ∈ L ^{を勝手に選ぶ. (c) よ} り_{, a} の_Ω 上最小多項式は１次_. 従って _{a ∈ Ω.}

 (d) ⇒ (a). f ∈ Ω[X], deg f > 0^がΩ のうちに根を持つことを示すのに_{, f} を₍その既 約因子に替えて₎既約としてよい_. すると, Ω[X]/(f ) ^は Ω の代数拡大体になるから_{, (d)} より _Ω に一致_. 従って_{deg f = 1} となり_{, f} は _Ω のうちに根を持つ_.

例_. 後述するように _C は代数閉体である_. しかし_{, R, Q} はそうでない_(X²_{+ 1} が _R[X] において_, 従って _Q[X] において既約だから_).

定義_{. K} の代数拡大体 _Ω で代数閉体であるものを_{, K} の（１つの）代数閉包と呼ぶ_. 問題 _16. 有限体_, すなわち有限個の元からなる体は_, 代数閉体でないことを示せ_. 命題_{. Ω/K} が体拡大で_{, Ω} が代数閉体であれば_,

K := {a ∈ Ω | a^{はK 上代数的}}

は_K の₍１つの₎代数閉包である_.

証明_. 定理_3.3A の系₁ から_{, K/K} は代数体拡大_. あと _K が代数閉体であること_, すな わち任意の多項式 f ∈ K[X], deg f > 0 ^{が K のうちに根をもつこと(前補題条件 (a))} を示せばよい_{. f} は _Ω のうちに根 _a をもつ_{. K(a)/K} は代数拡大_. 最初の結果と合わせ ると_, 定理_3.3A の系₂ から _K(a)/K は代数拡大_, よって _{a ∈ K.}

例_{. Q := {}代数的数_,すなわち_Q上代数的な複素数_} は _Qの代数閉包である_.

定理_. 体 _K の 代数閉包が _K 代数同型を除きただ１つ存在する_. 以後これを _K で表す (定理が主張する一意性は_{, eK} を _K の別の代数閉包とすると_{, K} 代数同型 _{K ≃ eK} が存 在するということ_).

 証明はやや長いので省略する_. 例えば _[3, 定理29.13, p. 172] ^{の証明を見られたい}. 系_. 代数拡大 _L/K は_K に埋め込める_. すなわち _K/K の中間体 _L^′ で_K 代数として_L と同型なものが存在する_.

証明_{. L} の代数閉包 _Ω をとると_, 問題₁₇（の解答）から_, これは _K の代数閉包でもあ る_{. K} の代数閉包の一意性から_{, K} 代数同型 _{ϕ : Ω}

−→ K≃ ^{が存在する. ϕ(L) をL′ とせ}

よ_.

規約_. この系により_, 代数拡大 _L/K は必ず _K/K の中間体であるとしてよい_. 今後常に そうする_.

問題 _{17. L/K} が代数拡大であれば _{L = K} である_.

3.5

 _K を体とする_. 各 f ∈ K[X], deg f > 0 ^はK[X] において１次式の積として f = c

∏n i=1

(X − a^i), 0 ̸= c ∈ K, aⁱ ∈ K

の形に１通りに分解し_{, K} において重複度を込めちょうど _{n = deg f} 個の根 _a1, . . . , a_n を持つ_.

定義_{. K} の拡大体 _L が _f の根 _a1, . . . , a_n ^{を含むとき}, L ^を f ^{の分解体と呼ぶ}. ^そのう ち最小の _K(a1, . . . , a_{n)(⊂ K)} ^をf ^{の最小分解体と呼ぶ}.

例_{. C} は _R 上_X²_{+ 1}の最小分解体である_. 問題 _{18. Q(}

√3

2, ω) ^はQ ^上 X³_{− 2}^{の最小分解体である}.

3.6

 _K を体とする_. 定義_. 多項式

f = c_nXⁿ+ c_n−1Xⁿ⁻¹+ · · · + c0 ∈ K[X] の導分 _f^′ _{(∈ K[X])} を

f^′ = n c_nXⁿ⁻¹_{+ (n − 1)cn−1}Xⁿ⁻²+ · · · + c1

により定義する_.

問題 19. f, g, h ∈ K[X], a ∈ K ^{とする. 次を示せ.} (1) (f + g)^′ = f^′+ g^′, (a f )^′ = a f^′

(2) (f g)^′ = f^′g + f g^′

(3) f = (X − a)^{2h の場合 f′} = (X − a) {2h + (X − a) h^′} 補題_A. 多項式f ∈ K[X], deg f > 0 ^{に対し, 次は同値である.}

(a) f ^は K において重根を持たない₍前小節の _f の表示で _a1, . . . , a_n ^{が相異なる}). (b) f ^と f^{′ とが} K[X]において互いに素である_.

証明. (a) ⇒ (b). 対 偶 を 示 す た め_{, f} と _f^′ が 素 で な い と す る と_, こ れ ら は ₍共 通 因 子 の 根 と し て₎ 共 通 根 _{a ∈ K} を も つ. f = (X − a) g, g ∈ K[X] ^{と 書 け る が, f′ =} g + (X − a) g^{′, f′(a) = 0 より}, g(a) = 0. ^従って a ^は f ^{の重根になる}.

 (b) ⇒ (a). (b)^{を仮定すると, ある} g, h ∈ K[X]^{に対し, 等式 f g + f′h = 1 が成り立} つ_{. (a)} に反し _f が重根_{a ∈ K} をもつとすると_,問題₁₉₍₃₎ から _f^′_{(a) = 0} となるが_, こ れは上の等式と矛盾する_.

定義_{. f} を _K[X] における既約多項式とする_{. f} が分離的であるとは_{, f} が _K において 重根を持たない_, 同値に _f^′ _{̸= 0} を満たすときにいう₍同値性は_{, f} が既約の場合_, 上の条 件(b) ⇔ f ∤ f^′ ⇔ f^′ ̸= 0^{から従う). 分離的でないとき, 非分離的であるという.} 命題A. (1) ch K = 0 ^ならば, ^{すべての既約多項式}_{∈ K[X]} ^{は分離的である}.

(2) ch K = p > 0 ^の場合, ^既約な _{f ∈ K[X]} が非分離的であるためには_, ある _{g ∈ K[X]} に対しf (X) = g(X^p) が成り立つことが必要十分である_.

証明_. 次 数 _{n > 0} の 多 項 式 _{f = cnX}ⁿ + · · · + c0 ∈ K[X], cn ̸= 0 ^{の 導 分 f′ =} n c_nXⁿ⁻¹+ · · · + c1 ^{が 0} になるための必要十分条件を求める_.

 (1) ch K = 0 ^ならば, K ^において _{n 1 ̸= 0,} ^よって n c_{n ̸= 0.} ^従って f^′ = 0 ^とはなり 得ず ₍₁₎ が従う_.

 (2) ch K = p > 0 ^とする. 0 < r ∈ Z ^{とするとき, K において r 1 = 0 が成り立つた} めの必要十分条件は _{p | r.} 従って求めるべき条件は_{, p ∤ r} なる 0 < r ≤ n ^{に対し c}r ^{= 0}

が成り立つこと_,すなわちある _{g ∈ K[X]}に対しf (X) = g(X^p) ^{が成り立つこと}. ^これよ り₍₂₎ が従う_.

 一般の多項式 f ∈ K[X], deg f > 0 ^{が分離的であるとは, その K[X] における各既約} 因子が分離的であるときにいう_. この場合も分離的でないとき_, 非分離的であるという_. 定義_. 元 _{a ∈ K} が _K 上分離的であるとは_, その _K 上最小多項式 _pa が分離的であると きにいう_. 代数体拡大_L/K が分離的である_, または分離拡大であるとは_{, L} のすべての元 が _K 上分離的であるときにいう_. この場合も分離的でないとき_, 非分離的である_, 非分離 拡大であるという_.

定義_. 体_K が完全体であるとは_{, K/K} が分離拡大であるときにいう_. 問題 _20. 完全体の代数拡大体はまた完全体である_.

命題_{B. (1)} 標数ゼロの体はすべて完全体である_.

(2) ^標数 p > 0 ^の体 K が完全体であるための必要十分条件は_{, K = K}^p_, すなわち各元 a ∈ K ^{に対しa = bp を満たす元} b ∈ K ^{が(必然的にただ１つ)存在することである.} 証明_{. (1)} これは命題_A(1) から従う_.

 ₍₂₎ 必要性_{. a ∈ K} に対し_{, f := X}^p _{− a ∈ K[X]} の _K における１つの根 _b をとる_. f = (X − b)^{p に注意([1, 定理}2.15, p.84], ^問題 21 ^参照)^すると, b ^の K ^{上最小多項式} p_b (f ^を割る) が重根をもたないために _{pb = X − b} でなければならず_{, b ∈ K,} よって a = b^p _{∈ K}^p.

 十分性_{. K = K}^p と仮定し_{, K[X]} の既約多項式がすべて分離的であることを示せば

よ い_. こ れ に 反 し_, 非 分 離 的 既 約 な _{f ∈ K[X]} が 存 在 し た と す る_. 命 題 _A(2) か ら_, あ る _{g = cnX}ⁿ+ · · · + c⁰ ∈ K[X] ^に対し f (X) = g(X^p). ^{仮定を用い}, ci = b^p_i ^を満たす b_{i ∈ K} ^を選び h = b_nXⁿ+ · · · + b0 ^とおけば, f (X) = g(X^p) = h(X)^p. ^これは f ^の既 約性に反す_.

系_. 有限体はすべて完全体である_.

証明_{. K} を有限体とする_{. ch K =}素数_p となる_. 問題₂₁から _p乗射: K → K, a 7→ a^p は環の射_{. K} が体だから必然的に単射_{. K} が有限だから全射_, すなわち _{K = K}^p_. 命題 B(2)^から, K ^は完全体.

例. ch K = p > 0 ^の場合K(X) ^{は完全体でない}. ^これは, X /_{∈ K(X)}^{p より命題}B(2) ^か ら従う_. あるいは_, 文字 _Y を _Y^p _{= X} となるように定めると _{K(Y )/K(X)} が_(p 次₎非 分離拡大である₍これを確かめるため_{, Y} の_K(X) 上最小多項式が_{, T} の非分離的多項式 T^p_{− X} ^{であることを示せ}) ^{としてもよい}.

問題 21. ch K = p > 0 ^の場合, p 乗射またはフロベニウス射 Fr : K → K, x 7→ x^p

は_Fp 代数射である₍前命題₍₂₎ の条件 _{K = K}^p はこの射が同型であることに同値_).  次の定理はたいへん重要である_.

定理_. 有限次体拡大 _L/K に対し_, 次の３条件は同値である_. (a) L/K ^{は分離拡大である}.

(b) K ^{上分離的な} L ^の元 a ^でL = K(a) を満たすものが存在する_.

(c) #Alg_K(L, K) = [L : K]. (^{一般には不等号} _≤ ^{が成り立つのみ}. ^定理 3.3 ^参照.)

 この定理の証明に次の２つの補題を用いる_. 補題_B. 元_{a ∈ K} に対し次は同値である_.

(a) a ^が K ^{上分離的である}.

(b) #Alg_K(K(a), K) = [K(a) : K].

証明_. 命題_2.4 から _(b)の式の左辺_{= #Sol(pa; K).} また_, 右辺 _{= deg pa. (a) ⇔} 前２式 の右辺が一致 _{⇔ (b).}

補題_C. 有限次体拡大 _L/M/K に対し次は同値である_. (a) #Alg_K(L, K) = [L : K].

(b) #Alg_K(M, K) = [M : K] ^かつ #Alg_M(L, K) = [L : M ]. 証明_. 定理_3.3Bの証明から_,

Alg_K(L, K) =^∪

τ

Alg_M(L, (K, τ )).

ここで_, 右辺の

∪

τ ^{は τ ∈ Alg}K^{(M, K) 全体をわたる直和集合}(disjoint union)^を表し, (K, τ ) ^は K ^{を埋め込み} τ ^により M ^{代数と見たものを表す}. ^問題17 ^から τ (M ) = K. τ ^を通し M ^と τ (M ) ^{を同一視する}. M = τ (M ) の代数閉包の一意性から_{, K} 代数同 型 _{ρ : K = M}

−→ τ(M) = K≃ ^で ρ|M ^{= τ} を満たすものが存在する. σ 7→ ρ ◦ σ ^が全 単射 _{AlgM(L, K)}

−→ Alg≃ M(L, (K, τ )) ^を与え, 従ってこれら２つの集合の個数は一致す る_. 最初の等式と合わせ_,

#Alg_K(L, K) = #Alg_M(L, K) #Alg_K(M, K).

これと等式 [L : K] = [L : M ] [M : K],^{３つの不等式}

#Alg_K(L, K)≤ [L : K], #AlgM(L, K) ≤ [L : M], #AlgK(M, K) ≤ [M : K]

からこの補題が従う_.

定 理 の 証 明. (b) ⇒ (a). ^{補 題B に よ り, 勝 手 な 元} b ∈ L ^{に 対 し, #Alg}K(K(b), K) = [K(b) : K] ^{を示せばよい}. ^{定理の条件} (b) ^から補題B (b) ^{の等式が成り立つ}. ^補題C ^か ら満たすべき等式を得る_.

 _{(a) ⇒ (c).} 定 理 _3.3A か ら_{, L} は _{L = K(a1}, . . . , a_n) ^{の 形}. 有 限 次 分 離 拡 大 _L/K が _(c) を 満 た す こ と を_{, n} に 関 す る 帰 納 法 で 示 す_{. n = 1} の 場 合_, 補 題 _B か ら _OK.

M = K(a1, . . . , an−1)^とおくと, ^{帰納法の仮定から},

#Alg_K(M, K) = [M : K].

a_n ^は M ^{上分離的だから}, ^補題B^を L = M (a_n)/M ^{に適用でき}

#Alg_M(L, K) = [L : M ]

を得る_. これら２つの等式と補題_C から条件 _(c) の等式が従う_.

 (c) ⇒ (b). K ^{が有限体の場合. L も有限体. 後に補題4.3 で見るように, L の乗法群} L \ {0} ^{は巡回群. a をその生成元とすると}, L = {0} ∪ {1, a, a², . . . }, ^{従ってL = K(a).}  _K が無限体の場合_. 再び定理_3.3A から_{, L} は _{L = K(a1}, . . . , a_n) ^の形. (c) ^を満たす L/K ^が (b) ^{を満たすことを}, n ^{に関する帰納法で示す}. n = 1^の場合, ^補題B, (b) ⇒ (a) を適用すればよい_{. n > 1} の場合_{, M = K(a1}, . . . , an−1) ^とおく. ^補題C ^から M/K ^に 帰 納 法 の 仮 定 を 適 用 で き_{, M = K(b)} を 満 た す 元 _{b ∈ M} が 存 在 す る_{. c = an} と お く_.

Alg_K(L, K) の元すべてを（重複がないように）書き出したものを

σ₁, . . . , σ_r, r = [L : K]

とすると_{, (σi(b), σi(c))} は _i ごとに相異なる_{. K} 無限体の仮定より_{, σi(c) ̸= σj(c)} なる いかなる _{i, j} に対しても_{, (σi(b) − σj(b))/(σj(c) − σi(c)) ̸= t} となるような元 _{t ∈ K} を 選べる_. すると

σ_i(b + t c), 1 ≤ i ≤ r

は_i 毎に相異なる. a = b + t c ∈ L ^{とおくと, これは次を示している.}

#Alg_K(K(a), K) ≥ r = [L : K]

左辺 ≤ [K(a) : K] ≤ ^{右辺だから,} ３つの不等号は等号に替わり_, 特に [L : K] = [K(a) : K], ^よって L = K(a). 

問題 _{22. Q(}

√3

2, ω) = Q(a) ^{を満たす元} a ^{を１つ求めよ}. 命題_C. 代数体拡大 _L/M/K に対し_, 次は同値である_.

(a) L/K ^が分離的.

(b) L/M, M/K ^{がともに分離的}.

証明. (a) ⇒ (b). ^{これは易しい. 問題20 の解答参照.}