(1) L/K はガロア拡大であり, 制限写像が与える
ρ: Gal(L/K)→G1× · · · ×Gn, ρ(σ) = (σ|L1, . . . , σ|Ln) は群の単射である.
(2) L1, . . . , Ln がK 上線形無関連 ⇔ ρ が全射(従って同型).
証明. (1) L/K がガロア： L は K 上分離的元で生成されるから, L ⊂ Ksep (4.2節最 初の例). こうして L/K は分離的. σ ∈ AlgK(L, K) とすると, 各 Li/K の正規性から σ(Li) = Li. 従って, σ(L) = σ(L1). . . σ(Ln) = L1. . . Ln = L. 定理 4.1 より L/K は 正規.
ρ が群の単射：群の射であるのは各制限写像 Gal(L/K) →Gi がそうだから. 単射性 は, σ|Li がすべて恒等射ならば, σ 自身恒等射であることから従う.
(2) 前の例(の一般化)から, 線形無関連性は
[L:K] = [L1 :K]. . .[Ln :K]
に同値. 群の位数を比べて, この等式の成立と単射 ρ が同型であることが同値になる. 問 題 41. 定 理 (2) に お い て 互 い に 同 値 な 条 件 が 満 た さ れ る と き, ρ の 逆 写 像 ρ−1 : G1× · · · ×Gn →Gal(L/K) は
(σ1, . . . , σn)7→σ1⊗ · · · ⊗σn により与えられる.
例. 前の例で見たように,互いに素な整数 n, m >1 に対し, Q(ζn) とQ(ζm)はQ上線形 無関連である. 前定理(2) をこれらの Q 上ガロア拡大で確かめるため,制限写像が与える 群の射
ρ: Gal(Q(ζnm)/Q)→Gal(Q(ζn)/Q)×Gal(Q(ζm)/Q)
を 考 え る. 1 の 原 始 nm 乗 根 ζnm と し て ζnζm を と り, 定 理 4.3 の 群 同 型 を 用 い る と, 上の ρ は環同型 Z/(nm) −→≃ Z/(n)×Z/(m) (中国剰余定理) の引き起こす群同型 (Z/(nm))× −→≃ (Z/(n))××(Z/(m))× と同一視できるから, 確かに同型である.
一般に, 群 Γ において, gn = e をみたす元を n トーション元と呼ぶ. Γ がアーベルで あれば, nトーション元全体は部分群をなす. これを
nΓ ={g∈Γ|gn =e}
で表し, Γ のn トーション部分と呼ぶ. nトーション元ばかりからなる(すなわち nΓ = Γ をみたす)アーベル群Γ をn トーション群と呼ぶ.
定義. K の n クンマー拡大とは, アーベル拡大 L/K でガロア群 Gal(L/K) が n トー ションなるものをいう.
巡回かつ nクンマー拡大が, 4.6節で定義した巡回 n クンマー拡大に一致する. 定理. 有限次体拡大 L/K について次は互いに同値になる.
(a) L/K は n クンマー拡大である.
(b) L/K はいくつかの巡回 nクンマー拡大 Li/K, 1≤i≤r の合成体 L1. . . Lr に等 しい. すなわち, いくつかの元 a1, . . . , ar ∈K× に対しL =K(√na1, . . . , √nar).
(c) L/K は い く つ か の K 上 線 形 無 関 連 な 巡 回 n ク ン マ ー 拡 大 Li/K, 1 ≤ i ≤ r の 合 成 体 L1. . . Lr に 等 し い. す な わ ち, い く つ か の 元 a1, . . . , ar ∈ K× に 対 し L=K(√na1)⊗ · · · ⊗K(√nar).
証明. (c)⇒(b). 自明.
(b)⇒(a). L/K が (b) をみたせばこれはガロア拡大であり, 制限写像が与える群の射
Gal(L/K)→∏r
i=1 Gal(Li/K) は単射(定理5.2(1)の証明を見よ). 各Gal(Li/K) がn トーションゆえ, Gal(L/K)もそう.
(a)⇒(c). G= Gal(L/K) とおく. L/K が(b) をみたせば, 有限生成アーベル群の基 本定理[1,定理2.38, p.116]により,Gの巡回(必然的にnトーション)部分群G1, . . . , Gr が存在してG=G1× · · · ×Gr となる. G の部分群 N1, . . . , Nr を
N1 :=G2. . . Gr, N2 :=G1G3. . . Gr, . . . , Nr :=G1. . . Gr−1 により定めると, これらは皆 G の正規部分群で, 射影 gi 7→ giNi が同型Gi ≃
−→ G/Ni
を 与 え る. ガ ロ ア 対 応 に よ り Ni ↔ Li と す る と, 各 Li/K は ガ ロ ア で Gal(Li/K) = G/Ni ≃Gi. 従って, Li/K は巡回n クンマー. いま, 制限写像が与える群の射
ρ: Gal(L/K)→
∏r i=1
Gal(Li/K), ρ(σ) = (σ|L1, . . . , σ|Lr)
は, 射影 G → G/Ni が与えるG →∏r
i=1 G/Ni に一致. 最後の G1× · · · ×Gr = G→
∏r
i=1 G/Ni は, 先の同型 Gi −→≃ G/Ni たちの直積に一致するから, 同型. 従って上の ρ は同型. 定理5.2(2) により, L =L1 ⊗ · · · ⊗Lr. [5.1–5.2 節をスキップした読者は, ρ の 単射性から, L が合成体 L1. . . Lr = K(√na1, . . . , √nar) に一致することを見て, (a) ⇔ (b) を知ればよい.]
L/K が n クンマー拡大の場合に, ガロア群 Gal(L/K) と群 n(L×/K×) が密接な関 係(双対の関係)にあることを示したい. ここで, 一般の体拡大 L/K に対しn(L×/K×) は, 乗法群 L× の部分群 K× による剰余群 L×/K× のn トーション部分を表す.
補題. L/K を体拡大とする.
(1) n乗射 L× →(L×)n, α7→αn が群同型
n(L×/K×)−→≃ (L×)n∩K×/(K×)n, αK× 7→αn(K×)n を引き起こす.
(2) n(L×/K×) ={√n
aK× |a∈(L×)n∩K×}.
証明. (1)全射性は見やすい. 単射性は,α ∈(K×)n とすると,仮定 ζn∈K よりα ∈K× となることから従う. (2) これは (1) から直ち.
一般に,群Γ からK× への群の射全体からなる集合を X(Γ)とかく. ２元χ, η ∈X(Γ) の積χ η を点ごとに
χ η(g) =χ(g)η(g), g ∈Γ
により定めると, X(Γ) はアーベル群になる. これを Γ の指標群と呼ぶ.
問題 42. 仮定 ζn∈ K のもと, n トーション有限アーベル群 Γ とその指標群X(Γ) は互 いに同型であり, とくに #Γ = #X(Γ).
さ て, L/K を n ク ン マ ー 拡 大 と し, G = Gal(L/K) と お く. 写 像 ⟨ , ⟩ : G×
n(L×/K×)→K× を
⟨σ, αK×⟩= σ(α)
α , σ ∈G, α ∈L×, αn∈K×
により定義する. αK× =α′K× とすると, ある c∈K× に対し α =cα′. σ(c)/c= 1 よ り, σ(α)/α =σ(α′)/α′ となるから, 上の定義は元 α の選び方によらず well-defined. ま
た, (σ(α)/α)n =σ(αn)/αn = 1より, ⟨, ⟩の像は１のn 乗根全体からなる群µn =⟨ζn⟩ に含まれる.
命題A. さらに⟨ , ⟩:G×n(L×/K×)→K× は (1) 双乗法的, すなわち勝手な σ, αK× に対し
⟨σ,−⟩:n(L×/K×)→K×, ⟨−, αK×⟩:G→K× がともに群の射であり,
(2) 非退化. すなわち, ２つの群の射
G→X(n(L×/K×)), σ 7→ ⟨σ,−⟩,
n(L×/K×)→X(G), αK× 7→ ⟨−, αK×⟩ がともに単射(すると必然的に同型).
証明. (1) ⟨σ,(α1K×)(α2K×)⟩=⟨σ, α1K×⟩⟨σ, α2K×⟩ はみやすい.
⟨σ1σ2, αK×⟩=⟨σ1, αK×⟩⟨σ2, αK×⟩
を示そう. i= 1,2 に対し, σi(α) =ζliα, li ∈Z/nZ とすると, σ1σ2(α) = ζnl1ζnl2α から, 示すべき等式の左辺 =ζnl1ζnl2 = 右辺.
(2) 前定理からL はK 上,元α = √n
a, a∈(L×)n∩K× 全体で生成される. これより 第１の群射の単射性が従う. σ(α)/α = 1,∀σ ∈G とすると, α ∈ K×. これより第２の群 射の単射性が従う. (２つの射の単射性と問題41 の結果から, #G≤#X(n(L×/K×)) =
#n(L×/K×), #n(L×/K×)≤#X(G) = #G. よって, ここに現れる群の位数はすべて 等しく, 従って２つ単射は同型になる.)
系. 巡回 nクンマー拡大 K(√na)/K に対し, 群K(√na)×/K× における √naK× の位数 をm とし b= (√n
a)m ∈K× とおくと, Xm−b が √n
a の K 上最小多項式であり, 従っ て[K(√n
a) :K] =m である. 証明. L =K(√n
a) とおく. 明らかに ⟨√n
aK×⟩ ⊂ n(L×/K×). また √n
a の K 上最小多 項式は Xm−b を割る. これらと命題Aから
m≤#n(L×/K×) = [L:K]≤m.
これより, この系が従う. 同時に ⟨√n
aK×⟩=n(L×/K×) も示されたことを注意しておく.
命題B. L/K を nクンマー拡大とする. 前定理の条件 (b) から L=K(√na1, . . . , √nar) の形であることがわかるが, この場合, 群n(L×/K×) は √na1K×, . . . , √narK× で生成さ れる, すなわちn(L×/K×) =⟨√na1K×, . . . , √narK×⟩. さらに次の２条件が同値になる.
(a) L=K(√na1)⊗ · · · ⊗K(√nar);
(b) n(L×/K×) =⟨√na1K×⟩ × · · · × ⟨√narK×⟩.
[5.1–5.2 節をスキップした読者は, 後半部を無視してよい.]
証明. r = 1の場合. 最後の証明の終わりに注意した事実に他ならない.
一般の場合. 明らかに ⟨√na1K×, . . . , √na1K×⟩ ⊂n(L×/K×). 有限生成アーベル群の 基本定理[1, 定理 2.38, p.116] により, この左辺 = ⟨√n
b1K×⟩ × · · · × ⟨√n
bsK×⟩ の形を し て い る. 容 易 に L = K(√n
b1, . . . , √n
bs) が 見 て 取 れ る. r = 1 の 場 合 の 結 果 か ら, 各 1≤i≤s に対し
[K(√n
bi) :K] = #⟨√n
biK×⟩. L は K(√n
bi) たちの合成体だから [L :K]≤[K(√n
b1) :K]. . .[K(√n
bs) :K].
最後の等式, 包含 ⟨√n
b1K×⟩ × · · · × ⟨√n
bsK×⟩ ⊂n(L×/K×), 命題Aから, 上の不等式右辺 = #⟨√n
biK×⟩. . .#⟨√n
bsK×⟩ ≤#n(L×/K×) = [L:K].
従 っ て ２ つ の 不 等 式 に 現 れ る 各 項 は す べ て 等 し く, と く に ⟨√na1K×, . . . , √narK×⟩ =
n(L×/K×) が従う. 同時に, K(√n
b1), . . . , K(√n
bs) が K 上線形無関連であることが従い, (b) ⇒ (a) が示 せた.
逆に (a)を仮定すると, [L:K] = [K(√n
a1) :K]. . .[K(√nar) :K]
= #⟨√n
a1K×⟩. . .#⟨√n
arK×⟩ ≥#n(L×/K×) = [L:K].
ここで不等号は最初に示した結果から従う. この不等号が等号に替わることが従うから (b) が成り立つ.
K×/(K×)n の有限部分群は, (K×)n を有限指数の部分群として含む群 K× の部分群 A を以て A/(K×)n の形. しかもこの A は一意的に決まる. K×/(K×)n の有限部分群