K 代数のテンソル積と線形無関連性

 ２重テンソル積からの線形射に関する先の語法を n 重テンソル積に一般化して用いる. 問題 36. v1⊗v2⊗v3 7→(v1⊗v2)⊗v3 およびv1⊗v2⊗v3 7→v1⊗(v2⊗v3) ^がそれぞ れ線形同型V₁⊗V₂⊗V₃ −→^≃ (V₁⊗V₂)⊗V₃,V₁⊗V₂⊗V₃ −→^≃ V₁⊗(V₂⊗V₃) ^を与える.  上の２つの同型を合成して, ^線形同型

(V₁⊗V₂)⊗V₃ −→^≃ V₁⊗(V₂⊗V₃), (v₁⊗v₂)⊗v₃ 7→v₁⊗(v₂⊗v₃) が得られる. ^{より一般に}, ^例えば

(V₁⊗V₂)⊗(V₃⊗V₄)−→^≃ V₁⊗(V₂⊗V₃)⊗V₄, (v₁⊗v₂)⊗(v₃⊗v₄)7→v₁⊗(v₂⊗v₃)⊗v₄ のように, ^同じV₁, . . . , V_n から多重テンソル積を繰り返し用いて構成されるベクトル空間 の間に自然な線形同型が存在する. ^問題33 に与えたものに加えこれらすべても標準的同 型と呼ぶ.

 線形射 f_i :V_i →V_i^′, 1≤i ≤n^の n ^{重テンソル積}

f₁⊗ · · · ⊗f_n :V₁⊗ · · · ⊗V_n →V₁^′⊗ · · · ⊗V_n^′, v₁⊗ · · · ⊗v_n7→f₁(v₁)⊗ · · · ⊗f_n(v_n) が定義される. ^各 fi が同型ならば f1⊗ · · · ⊗. . . fn もそう.

A⊗A ^τA,A_≃ //

mA

""

FF FF FF FF

F A⊗A

mA

||xxxxxxxxx

A

.

ここで, ^{また今後も}, 名前のない同型はすべて標準的同型であり, τ_A,A ^{はひねり射を表す}. 証明. 第１の図式の可換性を示そう. ^{射はすべて和を保ち}, (A⊗A)⊗A^の元は(a⊗b)⊗c, a, b, c∈ A, ^{の形の元の和だから}, ^{この形の元の行き先が}, ２通りの行き方で一致すること をみればよい. ^{実際に行き先をたどり},

(a⊗b)⊗c7→ab⊗c7→(ab)c,

(a⊗b)⊗c7→a⊗(b⊗c)7→a⊗bc 7→a(bc).

A ^{が満たす結合律により}, (ab)c=a(bc). こうして行き先は確かに一致する.

 同様に, ^１が A の単位元であることから第２の図式の可換性が, A ^{における積の可換性} から第３の図式の可換性が従う.

問題 37. ^逆に, ^{ベクトル空間} A̸= 0 ^と線形射m_A :A⊗A→A, i_A :K →A ^が上の可 換図式すべてをみたせば, A ^は ab = mA(a⊗b) ^を積, iA(1) ^{を単位元として環を}, ^更に i_A ^をK ^{の埋め込みとして}K ^{代数になる}.

 以上より, ^問題37 ^{にいうようなトリプル} (A, m_A, i_A) ^を以てK ^{代数と呼んでよい}. 命題B. (A, m_A, i_A), (B, m_B, i_B) ^を K ^{代数とするとき},^{テンソル積} A⊗B ^は

m_A⊗B : (A⊗B)⊗(A⊗B)−→^≃ A⊗(B⊗A)⊗B^id⊗τ−→^B,A⊗idA⊗(A⊗B)⊗B

−→≃ (A⊗A)⊗(B⊗B)^mA−→^⊗mB A⊗B, mA⊗B((a⊗b)⊗(a^′⊗b^′)) =aa^′⊗bb^′ を積,

i_A⊗B :K −→^≃ K⊗K ^iA−→^⊗iB A⊗B, i_A⊗B(x) =x⊗1(= 1⊗x)

をK ^{の埋め込みとして}K ^{代数をなす}. ^これを K ^代数(^として)^{のテンソル積と呼ぶ}. 証明. ^{積の定義から}, A⊗B ^{は分配律をみたし},i_A⊗B ^{は和を保つ}. ^あと, ^{積の結合律},^可換 性, ^{単位元の存在},i_A⊗B は積と１を保つことを見ればよい. ^積A⊗B×A⊗B→A⊗B

は双線形だから, ^結合律(αβ)γ =α(βγ)^{を示すのに},α =a⊗b, β =a^′⊗b^′, γ =a^′′⊗b^′′

としてよく, ^この場合, A, B における結合律を用いて

(αβ)γ = (aa^′⊗bb^′)(a^′′⊗b^′′) = (aa^′)a^′′⊗(bb^′)b^′′

=a(a^′a^′′)⊗b(b^′b^′′) = (a⊗b)(a^′a^′′ ⊗b^′b^′′) =α(βγ)

と求めるべき結合律が従う. ^{同様にして}, 1⊗1 ^{が単位元であること}, ^{また残りも確かめら} れる.

定義. C ^をK ^代数とし,A, B^{をその部分}K ^{代数とする}. ^双線形射A×B→C, (a, b)7→

ab (C ^{における積}) ^{が引き起こす線形射}

µ:A⊗B→C, µ(a⊗b) =ab

がK ^{代数のテンソル積}A⊗B ^から C ^への K 代数射であることが容易に確かめられる. この µ ^{が単射であるとき}, A ^とB ^はC ^において K 上線形無関連であるという.

問題 38. µ ^が単射 ⇔ µ^′ : B⊗A → C, µ^′(b⊗a) = ba ^が単射. ^{こうして線形無関連性} は, ^{考える部分} K ^{代数の順によらない}.

例. ^{２変数多項式環} K[X, Y] ^において, ^部分 K ^代数 K[X], K[Y] ^は K ^{上線形無関連で} ある.

 上の定義の状況で(しかし線形無関連性は仮定せず), K ^代数射 µ : A⊗B → C ^の像 µ(A⊗B) ^をAB ^と書く. ^これは, ^有限和 ∑

i aibi (ai ∈A, bi ∈B) ^{の形の元全体からな} り, A, B ^を含む C ^{の最小の部分} K ^{代数に一致する}. ^従って, ^問題14 ^{に与えた代数体} 拡大における合成体の記法に一致する. ^{ここで問題}13 ^から, ^{代数体拡大} L/K ^において,

「L ^の部分 K ^{代数」と「}L/K の中間体」が同義であることを思い出そう.

命題C. ^{同じ状況の下}, A, B ^の K ^次元 dim_KA, dim_KB はともに有限であるとすると, (1) dim_KAB ^も有限で, dim_KAB ≤(dim_KA)(dim_KB).

(2) A ^と B ^が K ^{上線形無関連} ⇔ dimKAB = (dimKA)(dimKB).

証明. K ^代数の(というよりベクトル空間の)^同型定理2.2 ^から従う.

例. ^{２つの有限次体拡大}L1/K,L2/K ^に対し, ^拡大次数[L1 :K], [L2 :K] ^{が互いに素で} あれば, [L₁L₂ :K] ^は([L₁ : K], [L₂ :K] ^{の両方を割ることから})^積 [L₁ :K], [L₂ : K]

に一致しなければならない. ^{従って命題}C(2)^{からこの場合}, L₁ ^とL₂ ^はK ^において K

上線形無関連である. ^{具体例を挙げるため}, n, m >1 を互いに素な整数とする. ζnζm は １の原始 nm ^乗根, ^{従って合成体}Q(ζ_n)Q(ζ_m) ^は Q(ζ_nm) ^に一致. ^{しかも定理} 4.3 ^の系 から

[Q(ζnm) :Q] =φ(nm) =φ(n)φ(m) = [Q(ζn) :Q] [Q(ζm) :Q].

従って, n^と m ^{が互いに素であれば}, Q(ζ_n) ^と Q(ζ_m) ^は Q ^{上線形無関連である}.

 より一般にn(>1)^個の K ^代数A₁, . . . , A_n ^に対し, n^{重テンソル積}A₁⊗ · · · ⊗A_n ^は, (a₁⊗ · · · ⊗a_n)(b₁⊗ · · · ⊗b_n) =a₁b₁⊗ · · · ⊗a_nb_n, a_i, b_i ∈A_i

を積, 1⊗ · · · ⊗1 ^を単位元,

i:K →A₁⊗ · · · ⊗A_n, i(x) =x(1⊗ · · · ⊗1)(=x⊗1⊗ · · · ⊗1 =. . .)

をK ^{の埋め込みとして}K ^{代数をなす}. ^特に A1, . . . , An がある K ^代数 C ^の部分 K ^代 数である場合, K ^代数射

µ:A₁⊗ · · · ⊗A_n →C, µ(a₁⊗ · · · ⊗a_n) =a₁. . . a_n

が定義される. ^{これの像を}A1A2. . . An と書く. ^これはA1, . . . , An のすべてを含むC ^の 最小の部分 K ^{代数に一致する}. µ^{が単射であるとき}, A₁, . . . , A_n ^はC ^において K ^上線 形無関連であるという. ^{これは部分} K 代数の順によらない条件である. ^{またこの条件が} みたされる場合, µ ^を通して A1⊗ · · · ⊗An と A1A2. . . An を同一視し, ^しばしば

A₁⊗ · · · ⊗A_n =A₁A₂. . . A_n ^またはA₁A₂. . . A_n=A₁⊗ · · · ⊗A_n のように書く.

問題 39. K ^代数 C ^の部分 K ^代数A₁, A₂, A₃ ^が K 上線形無関連であることと, A₁ ^と A2 がK ^{上線形無関連であり}, ^かつ A1A2 と A3 がK 上線形無関連であることは同値で ある. ^{さらにこれは}, ^個数３を n(>2) ^{に一般化して成り立つ}.

問題 40. K ^代数射σ_i :A_i →A^′_i, 1≤i≤n ^{のテンソル積}

σ₁⊗ · · · ⊗σ_n :A₁ ⊗ · · · ⊗A_n→A^′₁⊗ · · · ⊗A^′_n はK ^{代数射である}. ^各 σi が同型ならば σ1⊗ · · · ⊗σn もそうである.

定理. ^各１≤i≤n ^に対し, Li/K は体のガロア拡大であるとし, Gi = Gal(Li/K) ^と書 く. (^規約3.4 ^に従い L_i ⊂K ^と見て) K ^において, L :=L₁. . . L_n ^とおくと, ^{これはすべ} ての L_i ^を含む K ^{の最小の部分体になる}(L₁, . . . , L_n ^{の合成体と呼ぶ}).

(1) L/K ^{はガロア拡大であり}, ^{制限写像が与える}

ρ: Gal(L/K)→G₁× · · · ×G_n, ρ(σ) = (σ|L¹, . . . , σ|Ln) は群の単射である.

(2) L₁, . . . , L_n ^がK ^{上線形無関連} ⇔ ρ ^が全射(^{従って同型}).

証明. (1) L/K ^{がガロア：} L ^は K 上分離的元で生成されるから, L ⊂ K^sep (4.2^節最 初の例). ^こうして L/K ^は分離的. σ ∈ Alg_K(L, K) ^とすると, ^各 L_i/K ^{の正規性から} σ(L_i) = L_i. ^従って, σ(L) = σ(L₁). . . σ(L_n) = L₁. . . L_n = L. ^定理 4.1 ^より L/K ^は 正規.

 ρ が群の単射：群の射であるのは各制限写像 Gal(L/K) →G_i ^{がそうだから}. ^単射性 は, σ|Li がすべて恒等射ならば, σ 自身恒等射であることから従う.

 (2) ^前の例(^の一般化)^から, ^{線形無関連性は}

[L:K] = [L₁ :K]. . .[L_n :K]

に同値. ^{群の位数を比べて}, ^{この等式の成立と単射} ρ が同型であることが同値になる. 問 題 41. ^{定 理} (2) に お い て 互 い に 同 値 な 条 件 が 満 た さ れ る と き, ρ ^{の 逆 写 像} ρ⁻¹ : G₁× · · · ×G_n →Gal(L/K) ^は

(σ₁, . . . , σ_n)7→σ₁⊗ · · · ⊗σ_n により与えられる.

例. ^{前の例で見たように},^{互いに素な整数} n, m >1 ^に対し, Q(ζ_n) ^とQ(ζ_m)^はQ^上線形 無関連である. ^前定理(2) ^{をこれらの} Q 上ガロア拡大で確かめるため,^{制限写像が与える} 群の射

ρ: Gal(Q(ζ_nm)/Q)→Gal(Q(ζ_n)/Q)×Gal(Q(ζ_m)/Q)

を 考 え る. 1 ^{の 原 始} nm ^{乗 根} ζnm と し て ζnζm を と り, ^{定 理} 4.3 の 群 同 型 を 用 い る と, ^上の ρ ^は環同型 Z/(nm) −→^≃ Z/(n)×Z/(m) (^{中国剰余定理}) ^{の引き起こす群同型} (Z/(nm))^× −→^≃ (Z/(n))^××(Z/(m))^{× と同一視できるから}, ^{確かに同型である}.