ベクトル空間のテンソル積

 K ^を体とし, V, W, Z ^を K 上のベクトル空間とする. ^以下, ^{ベクトル空間}, (^双または 多重)^{線形射といえば},K ^{上のものをさす}.

Hom_K(V, W) ={^線形射V →W ^全体} と書く.

定義. ^写像 φ:V ×W →Z ^{が双線形射であるとは},

(i) ^すべての w ∈ W ^に対して φ(−, w) : V →Z ^が線形, ^すなわちφ(av+bu, w) = aφ(v, w) +bφ(u, w), ∀a, b∈K, v, u∈V, ^かつ

(ii) ^すべての v ∈ V ^に対して φ(v,−) : W → Z ^が線形, ^すなわちφ(v, aw+bx) = aφ(v, w) +bφ(v, x), ∀a, b∈K, w, x∈W

をみたすときにいう. そのような写像全体からなる集合を Bihom_K(V ×W, Z) ^と書く.

問題 32. ^双線形射 φ : V ×W → Z ^と線形射 f : Z → Z^′ (Z^{′ ベクトル空間})^の合成 f ◦φ:V ×W →Z^{′ は双線形射である}.

命題A. V, W ^の基底 {vi}^i∈I, {wj}^{j∈J を１組ずつ選び}, ^直積集合 I ×J ^{に添え字をも} つ Z ^の元 z_ij ^の組 (z_ij)_(i,j)∈I×J ^全体(^写像 I ×J → Z ^{全体ともみなせる})^{からなる集} 合を Z^{I×J と書く}. ^このとき, φ7→(φ(v_i, w_j))_(i,j)∈I×J ^が全単射

Bihom_K(V ×W, Z)−→^≃ Z^I×J を与える.

証明. Z^{I×J の元} (z_ij)_(i,j)∈I×J ^に対し, ^写像 φ:V ×W →Z ^を φ(∑

i

a_iv_i, ∑

j

b_jw_j) =∑

i,j

a_ib_jz_ij, a_i, b_j ∈K

により定めると, ^{これが双線形射であり}, ^対応 (z_ij)_(i,j)∈I×J 7→φ ^{が命題に与えられた写} 像の逆写像であることが確かめられる.

 V, W ^{に 対 し}, ベ ク ト ル 空 間 Z ^{と 双 線 形 射} φ : V ×W → Z か ら な る あ ら ゆ る ペ ア

(Z, φ) ^を考える(Z ^{も変わってよい}). ^このうち, ^次の(^普遍性)をみたすものを普遍的ペ

アと呼ぼう.

(^普遍性) ^{任意のペア} (Z, φ) ^に対し, ^{次の図式を可換にする}(^すなわち φ =f ◦ι ^をみたす) 線形射f :U →Z ^{がただひとつ存在する}.

U

f

V ×W

ι

;;

ww ww ww ww w

ϕ

##

GG GG GG GG G

Z

この性質は次のように言い換えられることを確かめよ.

(^普遍性) ^{任意ベクトル空間}Z ^に対し, ^写像

ι^∗ : Hom_K(U, Z)→Bihom_K(V ×W, Z), ι^∗(f) =f ◦ι が全単射である. (^{この写像の値域が}Bihom ^{なのは問題}32 ^{の結果から}.)

定理. ^{普遍的ペア}(U, ι) ^が存在し, 次の意味で一意的である: (U^′, ι^′) ^{も普遍的ペアとする} と次の図式を可換にする(^すなわちι^′ =g◦ι ^をみたす)^線形同型 g: U −→^≃ U^{′ がただひ} とつ存在する.

U

≃ g

V ×W

ι

;;

vv vv vv vv v

ιG^′GGGGG## GG G

U^′

証明. ^存在: V, W ^の基底 {vi}^i∈I, {wj}^{j∈J を１組ずつ選ぶ}. U ^を (vi, wj)_(i,j)∈I×J ^を 基底にもつベクトル空間とし, ι :V ×W →U ^を

ι(∑

i

a_iv_i, ∑

j

b_jw_j) =∑

i,j

a_ib_j(v_i, w_j), a_i, b_j ∈K

に よ り 定 め る. こ れ は 双 線 形 射 (前 命 題 の 対 応 で 元 (vi, wj)_(i,j)∈I×J ∈ U^{I×J に 対 応 す} る). Z を 勝 手 な ベ ク ト ル 空 間 と す る. 基 底 の 性 質 か ら, ^各 f ∈ Hom_K(U, Z) ^{に 対 し}, (f(v_i, w_j))_(i,j)∈I×J ∈ Z^I×J を 対 応 さ せ る こ と に よ り, ^{全 単 射} Hom_K(U, Z) −→^≃ Z^I×J が得られる. ^{この全単射}, ^{前命題の全単射}, ι^∗ からなる次の図式は可換であることが見て 取れる. ^よって, ι^{∗ は全単射であり}, (^普遍性)^{が確かめられた}.

Hom_K(U, Z)

≃

((

PP PP PP PP PP PP

ι^∗

Z^I×J

Bihom_K(V ×W, Z)

≃

66

nn nn nn nn nn nn

 一意性: (U, ι) ^{の普遍性から}, ι^′ =g◦ι ^{をみたす線形射} g :U →U^{′ がただひとつ存在} する. これが同型であることを示せばよい. (U^′, ι^′)^{の普遍性から},ι =h◦ι^{′ をみたす線形} 射 h :U^′ → U ^{がただひとつ存在する}. g ^と h が互いの逆写像であることを示せばよい. h◦g ^と恒等射 id_U ^は, (h◦g)◦ι=ι= id_U ◦ι ^をみたす. (U, ι) ^の普遍性(^{における線形} 射の一意性)^から, h◦g= id_U. ^{同様にして}, (g◦h)◦ι^′ =ι^′ = id_U^′◦ι^{′ と}(U^′, ι^′)^の普遍 性から, g◦h= idU^′.

 ひとくちに「一意的」といっても強弱がある. 上にいう「一意的」は同型がただひとつ であるという強い一意性である. ^従って, ^{普遍的ペアのひとつ} (U, ι) ^{を選んで次のように} 定義してよい.

定義. U ^をV ⊗W,ι(v, w) ^を v⊗w ^とかき, (V ⊗W, ι) ^または V ⊗W ^をV ^とW ^の テンソル積と呼ぶ.

 ι ^{の双線形性から}, V ⊗W において次の等式が成り立つ. (v+u)⊗w=v⊗w+u⊗w, v⊗(w+x) =v⊗w+v⊗x, av⊗w =a(v⊗w) =v⊗aw.

ここに, v, u∈V, w, x∈W, a∈K.

 次は前定理の証明から従う.

命題B. V, W ^{それぞれの基底} {vi}^i∈I, {wj}^{j∈J を勝手に選ぶとき}, ^{テンソル積} V ⊗W は{v_i⊗w_j}(i,j)∈I×J を基底にもち, ^従ってdim_K(V ⊗W) = (dim_KV)(dim_KW).

語法. ^{定義の記号を用いると}, (^普遍性)^{は次のように表せる}. ^{勝手なベクトル空間} Z ^と双 線形射φ: V ×W → Z ^に対し, ^線形射 f : V ⊗W →Z ^で f(v⊗w) = φ(v, w), ∀v ∈

V, w ∈W をみたすものがただひとつ存在する. ^この f ^を φ の引き起こす線形射と呼び, v⊗w7→ φ(v, w) ^で表す. （最後の対応は写像を直に定義するものではない. V ⊗W ^の 元は v⊗w で表せるものだけではなく, 一般の元はこの形の元の和であり, ^{またその表示} も一意的でない.)

例. ^例えば, ^線形射

τ_V,W :V ⊗W →W ⊗V

をτ_V,W(v⊗w) =w⊗v^{により定義できる}. ^これは,φ:V×W →W⊗V, φ(v, w) =w⊗v が双線形射であり, それが引き起こす線形射として τ_V,W ^{を定義するという意}. ^この τ_V,W はτW,V を逆写像にもつ同型である. ^{これをひねり射と呼ぶ}.

問 題 33. x ⊗ v 7→ xv (^{ま た は} v ⊗ x 7→ xv) ^{が 線 形 同 型} K ⊗V −→^≃ V (^{ま た は} V ⊗K −→^≃ V) ^を与える. これらを標準的同型と呼ぶ.

問題 34. ^{２つの線形射} f :V →V^′, g :W →W^{′ から}, v⊗w7→f(v)⊗g(w) ^により与 えられる線形射 V ⊗W →V^′⊗W^{′ が引き起こされる}. ^これを f ⊗g ^で表し, f ^と g ^の テンソル積と呼ぶ. f ^と g ^{がともに同型ならば} f ⊗g ^もそう.

 ２重テンソル積V ⊗W ^を n ^重の V1⊗ · · · ⊗Vn に一般化しよう.

定義. n > 1 ^{を整数とする}. n ^{個のベクトル空間} V₁, . . . , V_n ^に対し, ^{別のベクトル空間} Z ^{に値を持つ写像} φ : V₁× · · · ×V_n → Z ^{が多重線形射または} n ^{重線形射であるとは}, 各 1≤ i ≤n ^{について第} i 成分だけ動かして得られる φ(v₁, . . . , v_i−1,−, v_i+1, . . . , v_n) : V_i →Z が線形射であるときにいう. ^とくに, ２重線形は先に定義した双線形に一致する. 定理. n^{個のベクトル空間} V₁, . . . , V_n ^に対し, ^{ベクトル空間} V₁⊗ · · · ⊗V_n ^{と多重線形射}

ι:V₁× · · · ×V_n →V₁⊗ · · · ⊗V_n, ι(v₁, . . . , v_n) =v₁⊗ · · · ⊗v_n が存在して次を満たす.

(^普遍性) 勝 手 な ベ ク ト ル 空 間 Z と 多 重 線 形 射 φ : V₁ × · · · × V_n → Z ^{に 対 し}, ^{線 形 射} f :V1⊗ · · · ⊗Vn→Z ^でf(v1⊗ · · · ⊗vn) =φ(v1, . . . , vn), ∀v1 ∈V1, . . . , vn ∈Vn

をみたすものがただひとつ存在する. (^この f ^をφ の引き起こす線形射と呼ぶ.) この性質をもつペア (V₁⊗ · · · ⊗V_n, ι) は一意に決まる同型を除きただひとつである. 問題 35. 前定理の証明に倣ってこれを証明せよ.

 ２重テンソル積からの線形射に関する先の語法を n 重テンソル積に一般化して用いる. 問題 36. v1⊗v2⊗v3 7→(v1⊗v2)⊗v3 およびv1⊗v2⊗v3 7→v1⊗(v2⊗v3) ^がそれぞ れ線形同型V₁⊗V₂⊗V₃ −→^≃ (V₁⊗V₂)⊗V₃,V₁⊗V₂⊗V₃ −→^≃ V₁⊗(V₂⊗V₃) ^を与える.  上の２つの同型を合成して, ^線形同型

(V₁⊗V₂)⊗V₃ −→^≃ V₁⊗(V₂⊗V₃), (v₁⊗v₂)⊗v₃ 7→v₁⊗(v₂⊗v₃) が得られる. ^{より一般に}, ^例えば

(V₁⊗V₂)⊗(V₃⊗V₄)−→^≃ V₁⊗(V₂⊗V₃)⊗V₄, (v₁⊗v₂)⊗(v₃⊗v₄)7→v₁⊗(v₂⊗v₃)⊗v₄ のように, ^同じV₁, . . . , V_n から多重テンソル積を繰り返し用いて構成されるベクトル空間 の間に自然な線形同型が存在する. ^問題33 に与えたものに加えこれらすべても標準的同 型と呼ぶ.

 線形射 f_i :V_i →V_i^′, 1≤i ≤n^の n ^{重テンソル積}

f₁⊗ · · · ⊗f_n :V₁⊗ · · · ⊗V_n →V₁^′⊗ · · · ⊗V_n^′, v₁⊗ · · · ⊗v_n7→f₁(v₁)⊗ · · · ⊗f_n(v_n) が定義される. ^各 fi が同型ならば f1⊗ · · · ⊗. . . fn もそう.