こ の セ ク シ ョ ン を 通 し, K を 標 数 ゼ ロ の 体 と す る. こ の 場 合, ガ ロ ア 拡 大 L/K は あ る多項式f ∈ K[X], degf > 0 (必然的に分離的)の K 上最小分解体として特徴づけら れる.
定義A. n > 1 を整数とする. 有限次体拡大 L/K が n ベキ根拡大であるとは, 中間体 の列
K =K0 ⊂K1 ⊂ · · · ⊂Ks =L, s >0 であって,
(a) K1 =K(ζn), ζn は１の原始 n 乗根,
(b) 各Ki/Ki−1, 1< i≤s は巡回 n クンマー拡大 をみたすものが存在するときにいう.
命題. n ベキ根拡大 L/K は n ベキ根ガロア拡大に埋め込める. すなわち, 体拡大 L/Le であって L/Ke がn ベキ根拡大かつガロア拡大であるものが存在する.
証明. 定義にいう中間体の列の長さ s に関する帰納法: s = 1 の場合, Le = K1 でよい. M = Ks−1 とおき, M /Mf は体拡大で, M /Kf は n ベキ根ガロア拡大とする. Mf はあ る g ∈K[X], degg > 0 の K 上最小分解体. また仮定から L はL =M(√na), a∈ M の形.
f =g ∏
σ
(Xn−σ(a))
とおく. ここに σ はガロア群 G:= Gal(M /K)f を走るとする. f の係数すべてに G の勝 手な元を作用させても f のままだから, f ∈K[X]. Le を f のK 上最小分解体とすると, L⊂Le⊃Mf, L/Ke はガロア拡大.
Mf⊂Mf1 :=Mf(√n
σ1(a))⊂Mf2 :=Mf1(√n
σ2(a))⊂ · · · ⊂L,e
ただしG ={σ1, σ2, . . .}, は巡回n クンマー拡大の列だから, L/Ke は望んだ n ベキ根ガ ロア拡大である.
例. 勝手な元 0 ̸= a ∈ Q に対し, L = Q(√ 1 +√
a)/Q は２ベキ根拡大. 実際, 中間体 の列
Q⊂Q⊂Q(√
a)⊂L
が定義の条件をみたす. 命題にいうLe としてQ(√ 1 +√
a,√ 1−√
a) がとれる.
多項式 f ∈K[X], degf >0 を１つ選ぶ. L をf の K 上最小分解体とする. L/K は ガロア拡大になるが, ガロア群 Gal(L/K) を f のガロア群と呼ぶ.
問題 30. f のL におけるすべての根からなる集合を X = Sol(f;L), この X の上の(置 換全体がなす)対称群を Sym(X) とかく. このとき, 各 σ ∈ Gal(L/K) に対し, その X
への制限 σ|X はSym(X) の元であり, こうして得られる制限写像
Gal(L/K)→Sym(X), σ 7→σ|X は群の単射である.
この結果の帰結として, l = #X とおくと, f のガロア群は l 次対称群 Sl(≃ Sym(X)) の(また l ≤m:= degf だから, 少なくとも m次対称群 Sm の)部分群とみなせる. 定義B. f がベキ根により解ける(またはベキ根可解である)とは, 次の互いに同値な条件 がみたされるときにいう.
(a) f の１つの(同値にすべての)根∈K が,K の元と１のベキ根から四則演算と根号 をとる操作を有限回繰り返し得られる.
(b) f の K 上最小分解体 L が, 十分おおきな n > 1 に対する K の n ベキ根拡大体 (前命題により同値に, nベキ根ガロア拡大体) に含まれる.
定理. 多項式f ∈K[X], degf >0 に対し,
f がベキ根可解 ⇔ f のガロア群が可解群.
証明. (⇒) f の K 上最小分解体が K の n ベキ根ガロア拡大体 Ks (s >0) に含まれる とし,
K =K0 ⊂K1 =K(ζn)⊂K2 ⊂ · · · ⊂Ks
を定義A に与えられたような中間体の列とする. f のガロア群は Ge := Gal(Ks/K) の剰 余群だから, Ge が可解群であることを示せばよい. ガロア対応によりNi ↔Ki, 0≤i≤s とすると正規列
Ge=N0 ◃N1 ◃· · ·◃Ns ={id} を得るが, 剰余群
N0/N1 = Gal(K1/K0)(<(Z/(n))×); Ni/Ni+1 = Gal(Ki+1/Ki), 0< i < s
はいずれもアーベル群だから, Ge は可解群である.
(⇐) L を f の K 上最小分解体とし, G= Gal(L/K), n= [L :K] とおく. L(ζn)/K がn ベキ根拡大であることを示すのが目的.
G=N0 ◃N1 ◃· · ·◃Nr ={e}, 各Ni/Ni+1は巡回群
を巡回正規列とする. ガロア対応により Ni ↔Ki, 0≤i≤s とすれば, 中間体の列 K =K0 ⊂K1 ⊂ · · · ⊂Kr =L
で, 各 Ki+1/Ki が n を割る次数の巡回拡大なるものを得る. このとき, 次の問題の結果 を用いると,
K ⊂K(ζn)⊂K1(ζn)⊂ · · · ⊂L(ζn)
が定義Aの条件(a), (b)をみたす中間体の列であることがわかり,目的が達せられる.
問題 31. L/K を次数が n を割る巡回拡大とすると, L(ζn)/K(ζn) は巡回n クンマー拡 大である.
例. S4 は可解群である(次の例を見よ). 前定理と問題30 の帰結から, ４次以下の多項式 はすべてベキ根可解である.
付記. 可解群について(復習)
定義. 有限群G が可解とは, 次の互いに同値な条件をみたすときにいう. (a) G がアーベル(または巡回)正規列
G=N0 ◃N1 ◃· · ·◃Nr ={e}, 各Ni/Ni+1がアーベル(または巡回)群 を含む.
(b) あ る 正 整 数 r に 対 し Dr(G) = {e}. こ こ に, Dr(G) は, 帰 納 的 に D(G) = [G, G], Di(G) =D(Di−1(G)) で定義される第 i 交換子群を表す.
例. 上述のように,S4 は可解群. アーベル正規列S4 ◃A4 ◃⟨(1 2)(3 4),(1 3)(2 4)⟩◃{e} を含む.
命題. 有限可解群の部分群, 剰余群はまた可解である.