ベクトル
ベクトルの意味
ベクトルは変化（違い）を表す
A
B 左図はAからBへの変化を表している．
（例１）位置 A にいた人が B に移動した．
→ この人の位置の変化（＝変位）
（例２）A：昨年の身長，体重 B：今年の身長，体重
→ 身長，体重の変化
（例３）A：午前6時の気温 B：正午の気温
→ 気温の変化
ベクトルの表現
ベクトルには，３つの表現がある
（１）矢印 （２）成分 （３）記号
（２，１）
視覚的で
イメージしやすい
具体的で 計算に便利
一般的で
定式化に便利 まずは，矢印でイメージをつかむ．
つぎに，成分で計算練習．
さいごに，記号で性質をまとめる． 学習のコツ
ベクトルの例（矢印）
例：次の変化をベクトルの矢印で表すと？
昨年：身長 1.5 m，体重 60 kg → 前の状態（1.5，60） 今年：身長 1.6 m，体重 55 kg → 後の状態（1.6，55）
A→Bの変化 ＝ AからBへの矢印 重い
高い
（1.5，60）
（1.6，55）
ベクトル
始点 …始状態 終点 …終状態
ベクトルは「向き」と「大きさ」 向き…矢の向き
大きさ…矢の長さ
※「大きさ」だけの量＝スカラー
ベクトルの例（成分）
例：次の変化をベクトルの成分で表すと？
昨年：身長 1.5 m，体重 60 kg → 前の状態（1.5，60） 今年：身長 1.6 m，体重 55 kg → 後の状態（1.6，55） 変化 ＝ 後の状態 ー 前の状態
＝ （1.6，55） ー （1.5，60）
＝ （0.1，－5）
一般に
A→Bの変化 ＝ Bの状態 ー Aの状態 これを とかく
ベクトル
ベクトルの例（記号）
例：次の変化をベクトルの記号で表すと？ 変化 A→B→C→D
それぞれの変化は
＝B－A
＝C－B
＝D－C 全体の変化は A→B→C→D
＝（A→B）＋（B→C）＋（C→D）
＝（B－A）＋（C－B）＋（D－C）
＝D－A
＝
ベクトル
A→B→C→D ＝ AからDへの変化 始点 と 終点 だけが重要
ベクトルの計算
逆ベクトル
逆ベクトル の逆ベクトルは
あるベクトル
これを成分でかくと
「（２，１） の逆ベクトルは （－２，－１）」
マイナス
符号が変わる
向きが逆
スカラー倍
スカラー倍 の２倍は
あるベクトル
これを成分でかくと
「（２，１） の２倍は （４，２）」
係数が倍率
各成分を2倍
長さが2倍
ベクトルの和
和 の和は
あるベクトル
これを成分でかくと
「（３，１）＋（１，２） ＝ （４，３）」
成分ごとの和
継ぎ足し
と
３＋１ １＋２
ベクトルの差
＝
ベクトルの差
は逆ベクトルを足すこれを成分でかくと
「（３，１）－（１，２） ＝ （２，－１）」
成分ごとの差
ー
３－１ １－２
＋
＝
成分と大きさ
成分分解
＝
ｘ 成分と ｙ 成分とに分解
これを矢印でかくと
（３，１） ＝ （３，０）＋（０，１）
＋
＝
ベクトルの大きさ
大きさは三平方の定理から
これを成分でかくと
＝
大きさ
＝矢の長さ
基本ベクトル
単位ベクトル ＝ 大きさ１のベクトル
例：（２，０） 方向の
単位ベクトル
は （１，０）例１：（１，０）は ｘ 方向を表す単位ベクトル
＝x方向の
基本ベクトル
例２：（０，１）は ｙ 方向を表す単位ベクトル
＝ｙ方向の
基本ベクトル
方向を表す のに便利
基本ベクトル ＝ 座標軸方向の単位ベクトル
単位ベクトル（任意の方向）
単位ベクトル の方向を表す
単位ベクトルは あるベクトル
これを成分でかくと
「（２，１） 方向の単位ベクトルは 」
大きさで割る
各成分を大きさで割る
向きが同じ 大きさが１
大きさ＝√５
ベクトルの内積
ベクトルの内積
スカラー同士の積 ＝ 大きさの積×符号（±）
ベクトル同士の積＝大きさの積×向きの情報
なす角 θ
（－３）・２ ＝ ３・２×符号（－） ＝－６
ベクトルの内積
結果はスカラー（別名：スカラー積） 注意 普通の掛け算
内積：特別な場合
平行なベクトルの内積＝大きさの積
なす角 ０ 垂直なベクトルの内積＝ゼロ
なす角 ９０°
内積：一般的な場合
大きさの積 ×コサイン
の内積
なす角
２
３
３ ２
内積と大きさ
自分自身との内積＝大きさの２乗
よって
内積：成分による計算
成分ごとの積を足す
＝（３，４） ・ （２，５） ＝ ３・２＋４・５
＝６＋２０
＝ ２６
の内積
結果はスカラー
内積の利用
「成分 → 内積 → なす角」の計算 成分からなす角が分かる
（１，２）
（３，１）
→ 内積：１・３＋２・１＝５
大きさ：
→
内積（成分で計算）
平行と垂直
平行なベクトル
平行なベクトル：
平行条件：
成分表示： （２，１）＝ｍ（４，２）
定数倍の関係
比でかくと
２：４＝１：２
垂直なベクトル
平行なベクトル：
垂直条件：
成分表示： （－１，２）・（４，２）＝０
内積ゼロ
計算すると
－１・４＋２・２＝０
線形結合
平行でないベクトルを組み合わせる
別の向きのベクトルができる
平行なベクトルを組み合わせる
同じ向きのベクトルができる
線形独立 と 線形従属
このとき， は の代用になる． はなくても困らない．
があれば事足りる．
を で表すことが可能なら，
この状況を表すのに以下の用語を使う．
線形従属：他のベクトルで代用できる（無くても平気） 線形独立：他のベクトルで代用できない（無いと困る）
のようにかける．
ある ベクトル
他の ベクトル
が
線形結合
線形従属
ひとつのベクトルが
他のベクトルの定数倍で 表されるとき，すなわち
のとき，線形従属という
２つのベクトルの組 ３つのベクトルの組 ひとつのベクトルが
他のベクトルの線形結合で 表されるとき，すなわち
のとき，線形従属という 要するに，平行のとき
または または
線形独立
「線形独立」＝「線形従属でないもの」 ２つのベクトル：「線形独立」＝「平行でない」
３つのベクトル：「線形独立」＝「同一平面内にない」
「同一平面内にある」＝「線形従属」＝「線形独立ではない」 線形独立でない例：
３つが同一平面内にある場合，
ひとつのベクトルを他の２つで表すことができる
「ｃ は a と b で 代用できる」
＝「独立でない」
直線
直線の基本
直線を表すのに必要なもの：方向と通る点 方向の表し方：方向ベクトル
通る点の表し方：座標
（２，１）
（０，１），（２，２），（ｘ，ｙ）
（２，２）
（０，１）
（ｘ，ｙ）
（２，１）
方向ベクトル
方向ベクトル：直線上の2点を結ぶベクトル
（無限に存在する） 方向ベクトル（その１）
＝（２，２）ー（０，１）
＝（２，１）
方向ベクトル（その２）
＝（ｘ，ｙ）ー（０，１）
＝（x－０，ｙ－１）
（ｘ，ｙ）
（０，１）
（２，２） 平行
直線の式：考え方
直線の式： x と y の関係式 [求め方]
「方向ベクトルは平行」より
→ （２，１） // （x－０，ｙ－１）
→ ２：１ ＝ ｘ－０：ｙ－１
（２，１）
（ｘ，ｙ）
（ｘ－０，ｙ－１）
（０，１）
方向ベクトルの成分
通る点の座標
比を分数式で表す
直線の式：まとめ
必要なもの： 方向ベクトルと通る点
x-y 平面内の直線 空間内の直線 方向ベクトル
通る点（a, b, c） 方向ベクトル
通る点（a, b）
のときは
のときは
，
平面
平面の基本
平面を表すのに必要なもの：方向と通る点 方向の表し方：法線ベクトル
（面の向きを表す）
通る点の表し方：座標
（２，１，１）
（３，４，５），（ｘ，ｙ，ｚ）
（３，４，５）
（２，１，１）
（ｘ，ｙ，ｚ）
面の方向
通る点
法線ベクトル
法線ベクトル：平面に垂直なベクトル
（無限に存在する） 法線ベクトル
＝（２，１，１）
平面内のベクトル
＝（ｘ，ｙ，ｚ）ー（３，４，５）
＝（x－３，ｙ－４ ，ｚ－５ ）
垂直
（３，４，５）
（２，１，１）
（ｘ，ｙ，ｚ）
平面の式：考え方
平面の式： x，y，z の関係式 [求め方]
「法線ベクトルは垂直」より
→ （２，１，１） ⊥ （x－３，ｙ－４ ，ｚ－５ ）
→ 内積＝０
２（ｘ－３）＋１（ｙ－４）＋ １（ｘ－５） ＝０
法線ベクトルの成分
通る点の座標
（３，４，５）
（２，１，１）
（ｘ，ｙ，ｚ）
平面の式：まとめ
必要なもの： 法線ベクトルと通る点 法線ベクトル
通る点
