Ionization Fraction x i - ,,., Cosmic Background ExplorerCOBE, Cosmic Microwave BackgroundCMB.,

Ionization Fractionxiは宇宙の歴史に沿って見ていくと,次のように変化していく. まず, Recom-bination以前z & z_rec〜1000では, 陽子や電子は自由な状態で完全にイオン化していると考えられるため,x_i = 1である. やがて, 宇宙の温度が下がってきて, z.z_rec〜1000くらいになってくると, 中性水素原子が形成されはじめるため,x_iは, 1から0に変化していき,宇宙は中性になっていく. 21 cm線のsignalが存在するのは,この宇宙が中性の時期である. さらにz〜6-10程度になってきて,星が形成され始めると,徐々に,水素原子が電離され始め, Reionizationが起こると考えられる. そのため,xiは再び0から1に変化していくと思われるが,このように中性水素原子が徐々に少なくなっていくと, 21 cm線は見えなくなっていく. 21 cm輝度温度の表式(2.30)に現れるx_HI = 1−x_iが0になっていくからである. 後で, 21 cm線の揺らぎを考えるが,その際には, Neutral Fractionx_HIの揺らぎδ_x_HIも考慮する. しかしながら,現時点では, Reionizationの詳細についてはほとんど分かっていないため,この時期のNeutral Fractionの揺らぎδ_x_HI やIonization Fractionの揺らぎδ_x_iを見積もるのは容易ではない.

6 21cm 輝度温度の揺らぎと Power Spectrum[1]

2章では(2.30)のように, 21 cm線の輝度温度を求めた. この章では,この輝度温度δT_b^obsの揺らぎδ₂₁≡ ^δT^b^obs_δT¯⁻_b^obs^δ^T^¯^b^obsがどのように表されるかについて述べる. (2.30)を見ると分かるように,δ₂₁は, δH,δxHI,δTγ,δTs,及び特異速度のgradient

³→ ^dv_dr^p∥´

を用いて表すことができる.

6.1 21cm輝度温度の揺らぎ [16], [17], [18]

21 cm線の輝度温度の揺らぎδ21=δ_δT^obs

b は, δ₂₁(x, η;z) =δ_δTobs

b (x, η;z)≡ δT_b^obs

³ν21

1+z,x, η

´−δT¯_b^obs

³ν21

1+z, η

δT¯_b^obs

³ν21

1+z, η

´ =

δT_b^obs

³ν21

1+z,x, η

δT¯_b^obs

³ν21

1+z, η

´ −1 (6.1)

で定義される量である. ここでδT¯_b^obsは(ある固定した赤方偏移zにおいて),全空間にわたる輝度温度の平均値であり, (2.30)から,

δT¯_b^obs = 3c³hA₂₁x¯_HIn¯_H 32πν₂₁² kB(1 +z)H(z)

· 1−T¯_γ

T¯s

(6.2) のように表される. 21 cm輝度温度は数10 mKの大きさである. ここで特異速度の項

δ_∂v ≡ 1 +z H(z)

dv_p_∥

dr (6.3)

も摂動量として扱う. このとき21 cm輝度温度は,各物理量の揺らぎ(1.1)を考えると, δT_b^obs = 3c³hA21x¯_HI(1 +δx_HI) ¯n_H(1 +δ_H)

32πν₂₁² kB(1 +z)H(z)

1−T¯γ

¡1 +δTγ

¢ T¯s(1 +δTs)

(1−δ_∂v)

= 3c³hA₂₁x¯_HIn¯_H 32πν₂₁² kB(1 +z)H(z)

µ 1−T¯γ

T¯s

(1 +δ_x_HI) (1 +δ_H)×

× 1 1 +δ_T_s

· 1 +

T¯sδTs−T¯γδTγ

T¯s−T¯γ

(1−δ_∂v)

≈ δT¯_b^obs µ 1

1 +δ_T_s

¶ ·

1 +δ_H +δxHI + T¯s

T¯s−T¯γ

δ_T_s− T¯γ

T¯s−T¯γ

δ_T_γ−δ_∂v +

δxHIδH + T¯s

T¯_s−T¯_γδxHIδTs− T¯γ

T¯_s−T¯_γδxHIδTγ

−δxHIδ∂v+ T¯s

T¯_s−T¯_γδHδTs− T¯s

T¯_s−T¯_γδ∂vδTs

¾¸

(6.4) のように表される. ここで,陽子の個数密度の揺らぎδ_H, CMB photonの温度揺らぎδ_T_γ, Matterの特異速度の揺らぎδ_∂v はいずれも微少量であると考え,それらの積で表される,δ_Hδ_T_γ等の項は無視した. 一方で, Neutral Fractionの揺らぎx_HIは, Reionizationの時期などには,O(1)になり得る量であるので, 必ずしも微少量ではない. また, (4.125)より, スピン温度の揺らぎδTs もδC10 を通して, δxHIに依存しているので, O(1)になり得る量であるとして扱った. (6.4)の{·}の部分は, δxHI

がO(1)になり得る量であること(その結果, δTsもO(1)になり得る)を考慮したために現れた項であ

る. Neutral Fractionの揺らぎδ_x_HIが十分小さいときには,{·}^{の部分は無視してよい}. (6.1)と(6.4)より, 21 cm輝度温度の揺らぎδ₂₁は,

δ21 =

µ 1 1 +δ_T_s

¶ ·

1 +δ_H +δx_HI+ T¯s

T¯s−T¯γ

δ_T_s− T¯γ

T¯s−T¯γ

δ_T_γ −δ_∂v +

δxHIδH+ T¯s

T¯s−T¯γ

δxHIδTs− T¯γ

T¯s−T¯γ

δxHIδTγ

−δxHIδ∂v+ T¯s

T¯_s−T¯_γδHδTs− T¯s

T¯_s−T¯_γδ∂vδTs

¾¸

−1

(6.5) のように表されることが分かる. この式に, δ_T_s をδ_H,δ_x_HI, δ_T_g,δ_T_γ,δ_T_α,δ_P₁₀ で表した式²⁹を代入すると, 21 cm線の輝度温度の揺らぎは,結局,「陽子の個数密度の揺らぎδ_H」,「Neutral Fraction の揺らぎδ_x_HI」,「CMB photonの温度揺らぎδ_T_γ」,「ガス(水素原子)の温度揺らぎδ_T_g」,「(星などから放射される)Lymanαphotonの温度揺らぎδTα」, 「Lymanαphotonによる遷移の効果を表すP10の揺らぎδP10」,及び「特異速度のgradientδ∂v」で表されることが分かる.

以下では,平衡状態のときのスピン温度の形を仮定して話を進める. このとき最も一般の形のδ21は, (6.5)に(4.124)及び, (4.125)を代入することで求められる. しかしながら,それは煩雑な式になり, 後で宇宙論的パラメータの制限に使う際にも使わないので,次の2つの場合をここでは考える.

¶ ³

• (1)δ_x_HI を微少量として扱うことができるとき(→δ₂₁はδの一次の項だけで書ける.)

• (2)T_s≫T_γが成り立っているとき

(2.30)で

1−^T_T^γ_s´

の項を無視することができる.

µ ´

6.1.1 (δ_x_HI ≪1)の場合の21 cm輝度温度の揺らぎ

RecombinationやReionizationなどのように, Ionization FractionあるいはNeutral Fractionが大きく変化する時期以外では,基本的にこの仮定は成り立っていると考えられる. このときδ21は, (6.5) で,δδの形になっている項を全て無視できるので,

δ21 ≈ (1−δTs)

1 +δH +δxHI+ T¯s

T¯_s−T¯_γδTs − T¯γ

T¯_s−T¯_γδTγ −δ_∂v

−1

≈ δH +δxHI+ T¯γ

T¯_s−T¯_γδTs − T¯γ

T¯_s−T¯_γδTγ −δ_∂v (6.6) のように表すことができる. 当然のことながら,δ21はδの一次の式で表される. ここに,平衡状態のときのスピン温度の式(4.124)と,δ_x_HI が微少量として扱えるときの,スピン温度の揺らぎの式(4.127) を代入すると,詳細な計算はAppendixに記すとして,ここでは結果を書くと,

δ21 ≈ qHδH +qxHIδxHI+qTγδTγ+qTgδTg +qTαδTα+qP10δP10+q_∂vδ_∂v (6.7) のようになる. (6.7)は, ここの文脈では, 実空間での表式である. すなわち省略されている引数は,

(x, η;z)である. しかしながら,全ての揺らぎが線形の形で寄与しているので,そのままフーリエ空間

29平衡状態のスピン温度の表式(4.124)を用いた場合には(4.125)のこと. もっと一般には, (4.117)を解いて,Tsの表式を求め,さらにそこからδTsの表式を求めることになる.

での関係(引数が(k, η;z)ということ)と見なすこともできる. ここで登場した各揺らぎの係数qは,

q_H = 1 +

C¯10

nA10

T⋆

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ +^P^¯_T_¯¹⁰

³ 1 T¯α −T¯¹g

´o hC¯₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ + ¯P₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹α

´i ³A10

T⋆ +^C^¯_T_¯¹⁰

γ +^P^¯_T_¯¹⁰

´ (6.8)

q_x_HI = 1 +

C¯₁₀ nA10

T⋆

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ +^P^¯_T_¯¹⁰

³ 1 T¯α −T¯¹g

´o hC¯₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ + ¯P₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹α

´i ³A10

T⋆ +^C^¯_T_¯¹⁰

γ +^P^¯_T_¯¹⁰

´×



C¯₁₀^HH

C¯₁₀ − x¯HI

1−x¯HI



X

i=e,p

C¯₁₀^iH C¯₁₀









(6.9) qTγ = −

A10

T⋆ +^C^¯_T_¯¹⁰

g +^P_T^¯_¯¹⁰

C¯10

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ + ¯P10

³ 1 T¯γ −T¯¹α



1−

A10

T⋆

A10

T⋆ +^C^¯_T_¯¹⁰

γ +^P^¯_T_¯¹⁰



 (6.10)

qTg =

C¯10

T¯g

C¯10

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ + ¯P10

³ 1 T¯γ −T¯¹α

C¯10

nA10

T⋆

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ +^P^¯_T_¯¹⁰

³ 1 T¯α −T¯¹g

´o hC¯₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ + ¯P₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹α

´i ³A10

T⋆ + ^C^¯_T_¯¹⁰

γ +^P^¯_T_¯¹⁰



 X

i=H,e,p

C¯₁₀^iH C¯10

d lnκ^iH₁₀ ¡T¯g

¢ d ln ¯Tg



 (6.11) q_T_α =

P¯10

T¯α

C¯₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ + ¯P₁₀

³ 1 T¯γ −T¯¹α

´ (6.12)

qP10 =

P¯10

nA10

T⋆

³ 1 T¯γ −T¯¹α

´ + ^C^¯_T_¯¹⁰

³1 T¯g −T¯¹α

´o hC¯10

³ 1 T¯γ −T¯¹g

´ + ¯P10

³ 1 T¯γ −T¯¹α

´i ³A10

T⋆ + ^C^¯_T_¯¹⁰

γ +^P_T^¯_¯¹⁰

´ (6.13)

q∂v = −1 (6.14)

のように表される. δ_H, δ_x_HI,δ_T_γ については, (2.30)式に直接含まれていると同時に, (2.30)式中のスピン温度T_sを通して間接的にも含まれている. 係数qには, そのことが現れており, 第一項が前者の寄与(直接的な寄与)を,第二項が後者の寄与(スピン温度の表式を通じての寄与)を表している. 一方で,δTα,δTg,δP10は,スピン温度を通じて21 cm輝度温度の揺らぎに寄与している. またδ∂vは,

(2.30)式に直接含まれており,それが21 cm輝度温度の揺らぎに寄与している.

ここでδ_H, δ_x_HI, δ_T_γ, δ_T_g, δ_T_α, δ_P₁₀ は, いずれも等方的な揺らぎであるのに対して, 特異速度の

gradient δ_∂vだけは非等方的な揺らぎであることに注意しておく. これはδ_∂vの表す式からも分か

るように,視線方向という特定の方向に関する量だからである. このことが後で, 21 cm線のPower SpectrumからMatterのPower Spectrumを分離するのに役立つ. ³⁰

(6.7)で,等方的な揺らぎの部分を,

δ^iso₂₁ =q_Hδ_H +q_x_HIδ_x_HI+q_T_γδ_T_γ+q_T_gδ_T_g +q_T_αδ_T_α+q_P₁₀δ_P₁₀ (6.15) のように書いておく.

30フーリエ空間の波数ベクトルと視線方向のなす角の余弦(cos)=µのベキでまとめたときに,µ⁴の項の係数はMatter のPower Spectrumになる. →後述

○(δ_x_HI ≪1)の場合で, さらにT_g ≈T_αが成り立つとき. ここまでの議論では, Lymanα photon のColor TemperatureT_αとガス(水素原子)の運動学的な温度T_gは一般に異なるとしてきた. しかしながら,この両者が近似的に一致する場合も実際には多くある. (→[1], [19]) それは例えば次のような場合である. [19]でS. A. Wouthuysenが述べているように, Lymanα photonの散乱相手である中性水素原子(ガス系の温度=Tg)が多く,光学的に厚い領域の場合には, Lymanα photonは何度も何度も散乱されることになって,その結果, photonの分布は, Lymanα周波数付近のところでは, 温度T_gの黒体分布に近づいていくと考えられる. このような場合にはT_α≈T_gとできる. この近似により,δ₂₁の表式(係数qの表式) は比較的簡単な形になる. そのときの係数をq˜と表すと, (6.7)は, δ21|_T_α_=T_g ≈q˜HδH + ˜qxHIδxHI+ ˜qTγδTγ + ˜qTgδTg+ ˜qP10δP10+ ˜q_∂vδ_∂v (6.16) のようになる. この係数q˜は,

q_H = 1 + C¯10

C¯10+ ¯P10

A10

T⋆

A10

T⋆ +^C^¯¹⁰_T^{+ ¯}_¯^P¹⁰

(6.17)

q_x_HI = 1 + C¯₁₀ C¯10+ ¯P10

A10

T⋆

A10

T⋆ +^C^¯¹⁰_T^{+ ¯}_¯^P¹⁰



C¯₁₀^HH

C¯10 − x¯_HI 1−x¯HI



X

i=e,p

C¯₁₀^iH C¯10







 (6.18)

˜ qTγ =

T¯g

T¯_g−T¯_γ

A10

T⋆ +^C^¯¹⁰_T^{+ ¯}_¯^P¹⁰

A10

T⋆ +^C^¯¹⁰_T^{+ ¯}_¯^P¹⁰

(6.19)

q_T_g = T¯γ

T¯g−T¯γ

+ C¯10

C¯10+ ¯P10

A10

T⋆

A10

T⋆ +^C^¯¹⁰_T_¯^{+ ¯}^P¹⁰



 X

i=H,e,p

C¯₁₀^iH C¯10

d lnκ^iH₁₀ ¡T¯g

¢ d ln ¯Tg



 (6.20)

qP10 = P¯10

C¯₁₀+ ¯P₁₀

A10

T⋆

A10

T⋆ +^C^¯¹⁰_T_¯^{+ ¯}^P¹⁰

(6.21)

q_∂v = −1 (6.22)

で表される量である. このとき, (6.15)と同様に,揺らぎの等方的な部分は, δ₂₁^iso¯¯

Tα=Tg = ˜q_Hδ_H + ˜q_x_HIδ_x_HI+ ˜q_T_γδ_T_γ+ ˜q_T_gδ_T_g + ˜q_P₁₀δ_P₁₀ (6.23) である. (→詳しい計算はApenndixへ)

6.1.2 (Ts≫Tγ)の場合の21 cm輝度温度の揺らぎ

星形成から十分時間が経って, 星からの輻射でガス(水素〜バリオン)が十分に加熱された場合には,ガスの温度T_gはCMB photonの温度T_γよりも十分大きくなっていると考えられる. このときスピン温度Tsも, CMB photonの温度Tγより十分大きくなっているはずである. こういう状況のときには,この近似が成り立つと考えられる. この場合, (2.30)の式で

1−^T_T^γ_s´

≈1のように近似できるから,スピン温度TsとCMB photonの温度Tγを考慮しなくてもよくなる. 従って, (6.5)式で,δTs, δTγ については,考えなくてもよいことになる. このときδ21は,

δ₂₁ ≈ £

1 +δ_H +δ_x_HI −δ_∂v+{δ_x_HIδ_H−δ_x_HIδ_∂v}¤

−1

≈ δ_H +δ_x_HI −δ_∂v+{δ_x_HIδ_H−δ_x_HIδ_∂v} (6.24)

のように比較的簡単な形に書くことができる. ここで, δの1次の項のうち, δ_H +δ_x_HIの部分は等方的な揺らぎである. 一方, 1次の項のうちδ_∂vは, 視線方向に依存するようなので非等方な揺らぎとなる. また, 後でPower Spectrumを考えるときに少し述べるが, δ_x_HIδ_∂vのような項は, 一般に複雑なµ = |^kk^∥|^{依存性を与え得る}. これには, 実空間での積がフーリエ空間では畳み込みになるということが影響している. (F.12)の表式は基本的には実空間での表式であり, フーリエ空間での関係と見なす際には注意が必要である. というのは,一般にA(x)B(x)をフーリエ変換したときには, ABg(k) = ˜A(k) ˜B(k)とならず,畳み込みの形ABg(k) =R _d3k^′

(2π)³

A˜¡ k^′¢B˜¡

k−k^′¢

になるからである. このことを考慮してフーリエ空間での式を書くと,

δ˜₂₁(k, η;z) ≈ δ˜_H(k, η;z) + ˜δ_x_HI(k, η;z)−δ˜_∂v(k, η;z) +

nδ^_x_HIδ_H(k, η;z)−δ^_x_HIδ_∂v(k, η;z) o

≈ δ˜_H(k, η;z) + ˜δ_x_HI(k, η;z)−δ˜_∂v(k, η;z) +

Z d³k^′ (2π)³

n˜δ_x_HI¡

k^′, η;z¢δ˜_H¡

k−k^′, η;z¢

−δ˜_x_HI¡

k^′, η;z¢δ˜_∂v¡

k−k^′, η;z¢o (6.25) のようになる. このとき, 21 cm線の輝度温度の揺らぎを決めているのは, δ_H, δ_x_HI, δ_∂vの3つの揺らぎである. さらに, 今考えているような時期(z≪z_eq) ³¹ では, 特異速度の揺らぎはフーリエ空間では,δ∂v =−µ²f δbのようにバリオンの密度揺らぎを用いて表されるので, 21 cm線の揺らぎは, Ionization Fractionの揺らぎδxHI とバリオンの密度揺らぎδ_b(〜δH)で決まると言える.

○(T_s ≫T_γ)の場合でさらにδ_x_HI ≪ 1のときもしこのような状況のときには, (6.24)あるいは,

(6.25)で, {·}の部分は無視することができるので, 輝度温度の揺らぎは, 実空間でもフーリエ空間

でも

δ21≈δH +δxHI−δ∂v (6.26)

のように簡単な形で表される.

6.2 21cm 3D Power Spectrum [16]

この節では, 21 cm 輝度温度の3 次元(3D)Power Spectrumについて考える. 3次元のPower Spectrum P₂₁は,

δ₂₁(k)δ₂₁^∗ ¡ k^′¢®

= (2π)³δ^D¡

k−k^′¢

P₂₁(k) (6.27)

のように定義される. 〈·〉はアンサンブル平均を表す. また^∗は複素共役の意味である. また揺らぎを表すのにδという文字を用いているので,ここではDiracのでdelta関数をδ^D(·)のように表記している. ここでのフーリエ変換とフーリエ逆変換の定義(notation)は,

A˜(k) = Z _∞

−∞

Z _∞

−∞

Z _∞

−∞d³xA(x) e⁻ⁱk·x (6.28) A(x) =

Z _∞

−∞

Z _∞

−∞

Z _∞

−∞

d³k (2π)³

A˜(k) eⁱk·x (6.29) である. ただし(˜·)なしの量を実空間での量, ˜(·)付きの量をフーリエ空間での量とした.

ここで, 今扱っている揺らぎδ(x)は, いずれも実数(実関数)なので, δ(x) = δ^∗(x)から, ˜δ(k) = δ˜^∗(−k)が成り立っていることに注意する. 従って, (6.27)は,

δ₂₁(k)δ₂₁¡ k^′¢®

= (2π)³δ^D¡

k+k^′¢

P₂₁(k) (6.30)

31zeqは,物質のエネルギー密度と輻射のエネルギー密度が等しくなる(ρm=ρr)ときの赤方偏移.

のように書いてもよい.

6.1節と同様に,この節でも「δ_x_HI ≪1」の場合と,「T_s≫T_γ」の場合を考える.

6.2.1 (δ_x_HI ≪1)の場合の, 21 cm輝度温度の3D Power Spectrum

この場合には,δ21は, (6.7)のように表されるので,それを(6.27)に代入することにより, 21 cm輝度温度の揺らぎのPower SpectrumP21を求めることができる. (6.15)のように,揺らぎの等方的な部分を定義したので,その表記を用いると,

(2π)³δ^D¡

k−k^′¢

P21(k) =

Dhδ˜₂₁^iso(k)−δ∂v(k)

i h˜δ^iso₂₁ ¡ k^′¢

−δ∂v

¡k^′¢i^∗E

Dδ˜^iso₂₁ (k) ˜δ₂₁^iso^∗¡ k^′¢E

−D

δ˜₂₁^iso(k) ˜δ^∗_∂v¡ k^′¢E

−D

δ˜_∂v(k) ˜δ₂₁^iso^∗¡ k^′¢E

D˜δ_∂v(k) ˜δ_∂v^∗ ¡ k^′¢E

= (2π)³δ^D¡

k−k^′¢ h P_δ^iso

21δ^iso₂₁ (k) +P_δ^iso

21δ∂v(k) +P_δ

∂vδ^iso₂₁ (k) +P_δ_∂v_δ_∂v(k) i

→P21(k) = P_δ^iso

21δ^iso₂₁ (k)−P_δ^iso

21δ_∂v(k)−P_δ

∂vδ₂₁^iso(k) +P_δ_∂v_δ_∂v(k) (6.31) のように, 21 cm輝度温度の揺らぎのPower Spectrumを書き表すことができる. ただし, ここで二つの揺らぎδ_A, δ_Bに対して,

δA(k)δ_B^∗ ¡ k^′¢®

= (2π)³δ^D¡

k−k^′¢

P_δ_A_δ_B(k) (6.32)

のように,P_δ_A_δ_B を定義した. ここでは, P_{_δ_A_δ_B_}(k) = 1

2 h

P_δ_A_δ_B(k) +P_δ_B_δ_A(k) i

(6.33) という表記を導入して, (6.31)を,

P₂₁(k) =P_δiso

21δ₂₁^iso(k)−2P{^δ21^isoδ∂v}(k) +P_δ_∂v_δ_∂v(k) (6.34) のように書いておく. (6.31)あるいは, (6.34)では,引数は全てkと書いたが,δ^iso₂₁ は等方的な揺らぎなので,P_δ^iso

21δ₂₁^isoは,kの大きさk=|k|にしかよらない. また,今考えている時期では,δ∂v ≈ −µ²f δH

のように書ける µ

ただし, µ= |^kk^∥|

ことを思い出すと,P₂₁は「波数ベクトルkの大きさk=|k|^」と

「その視線方向成分の大きさµ= ^k^∥

|k|」に依存していることが分かる. そのことを表すために,P₂₁(k) の代わりに,P₂₁(k, µ)のようにも書いたりもする. これらのことを考慮すると, (6.34)は,

P₂₁(k, µ) = P_δiso

21δ₂₁^iso(k)−2f µ²P{^δ21^isoδH}(k) +f²µ⁴P_δ_H_δ_H(k)

= P_µ⁰(k) +µ²P_µ²(k) +µ⁴P_µ⁴(k) (6.35) のように書くことができる. 第二行目は,µのべきを意識した表記である. (6.35)で重要な点は,P21

はさまざまな揺らぎを反映してはいるが,µのベキで分けたときに,µ⁴の項がMatter(〜Baryon)の密度揺らぎのPower Spectrumだけで書けているということである. このことから, Matterの密度以外の揺らぎ(例えば, Neutral Fractionの揺らぎ等)がどうなっているか分からなかったとしても,

「原理的」には, 21 cm線のPower SpectrumからMatterのPower Spectrumの情報だけを引き出すことができる. (→7章)

ここで,µの各べきの“係数” P_µ⁰, P_µ², P_µ⁴ は,以下のように表される. P_µ⁰(k) = P_δ^iso

21δ^iso₂₁ (k)

= q_H² P_δ_H_δ_H(k) +q²_x

HIP_δ_xHI_δ_xHI (k) +q²_T_γP_δ_Tγ_δ_Tγ (k) +q_T²_gP_δ_Tg_δ_Tg (k) +q²_T_αP_δ_Tα_δ_Tα(k) +q²_P₁₀P_δ_P

10δP10(k)

+2qHqxHIP{^δ^H^δxHI}(k) + 2qHqTγP{^δ^H^δ^Tγ}(k) + 2qHqTgP{^δ^H^δ^Tg}(k) +2q_Hq_T_αP_{_δ_H_δ_Tα_}(k) + 2q_Hq_P₁₀P{^δ^H^δ^P10}(k) + 2q_x_HIq_T_γP{^δxHIδ_Tγ}(k)

+2qx_HIq_T_gP{^δxHIδ_Tg}(k) + 2qx_HIq_T_αP{^δxHIδ_Tα}(k) + 2qx_HIq_P₁₀P{^δxHIδP10}(k) +2qTγqTgP{^δ^Tγ^δ^Tg}(k) + 2qTγqTαP{^δ^Tγ^δ^Tα}(k) + 2qTγqP10P{^δ^Tγ^δ^P10}(k)

+2q_T_gq_T_αP{^δ^Tg^δ^Tα}(k) + 2q_T_gq_P₁₀P{^δ^Tg^δ^P10}(k) + 2q_T_αq_P₁₀P{^δ^Tα^δ^P10}(k) (6.36) P_µ²(k) = −2f P{^δ21^isoδH}(k)

= −2f

q_HP_δ_H_δ_H(k) +q_x_HIP{^δxHIδH}(k) +q_T_γP{^δ^Tγ^δ^H}(k) +q_T_gP{^δ^Tg^δ^H}(k) +q_T_αP_{_δ_Tα_δ_H_}(k) +q_P₁₀P{^δ^T10δH}(k)

(6.37)

P_µ⁴(k) = f²P_δ_H_δ_H(k) (6.38)

各項の係数qは, (F.5), (F.6), (F.7), (F.8), (F.9), (F.10)の通りである. 21 cm輝度温度の揺らぎのPower Spectrumは, このようにさまざまなPower Spectrumを足し合わせたものになり,一般にはかなり複雑なものになる. しかしながら,µのべきで分けてやることにより, “Physical”な情報であるMatterのPower Spectrum P_δ_H_δ_H を“Astrophysical”な情報であるP_δ_xHI_δ_xHI 等から区別することが原理的に可能になるのである.

いろいろなPower Spectrumが登場したが,このうち現時点で理論的に見積もるのが容易でないなのは,δxHI, δTg,δTα, δP10 が関わる項である. その理由は次の通りである. まず, δxHIは, Ionization history(Reionizationの仕組み)の詳細が分かっていないために,見積もるのが難しい. 水素原子の温度T_gについては, X-ray hetaingや, Lymanαhetaingなど星形成の仕組みが関わってくるものがあるため,見積もるのが容易ではない. また,δ_T_α,δ_P₁₀については,星形成でLymanα photonがどれくらい生成されるかということが分からないと評価するのは困難である. 以上のような事情から, 21

cm Power Spectrumを理論的に見積もるのは一般に容易なことではないと言える. しかしながら,後

で考えるTs≫Tγの状況のときには,評価が困難なこの4つの揺らぎのうち,δTg,δTα,δP10については考慮しなくてよくなるため, Ionization historyさえ評価してやれば, 21 cm Power Spectrumを見積もることができることになる.

○さらに, T_α ≈T_gのように近似できるときこの場合には, 21 cm輝度温度の揺らぎは, (F.12)のように表されるので, Power Spectrumは, (6.35)のδ^iso₂₁ をδ₂₁^iso¯¯

Tα=Tgで置き換えたものになる. すなわち,

P₂₁(k, µ) = P_δiso

21|_Tα=Tg^δ^iso21|_Tα=Tg (k)−2f µ²P^

δ^iso₂₁|_Tα=Tg^δ^H^ﬀ(k) +f²µ⁴P_δ_H_δ_H(k)

= P_µ^T0^α^=T^g(k) +µ²P_µ^T2^α^=T^g(k) +µ⁴P_µ^T4^α^=T^g(k) (6.39) のように書き表される. µの各べきの“係数” P_µ^T0^α^=T^g, P_µ^T2^α^=T^g, P_µ^T4^α^=T^g は,先ほどと同様にして,

P_µ^T0^α^=T^g(k) = P_δiso

21|_Tα=Tg^δ21^iso|_Tα=Tg(k)

= q˜_H²P_δ_H_δ_H(k) + ˜q_x²_HIP_δ_xHI_δ_xHI(k) + ˜q_T²_γP_δ_Tγ_δ_Tγ (k) +˜q²_T_gPδ_Tgδ_Tg(k) + ˜q_P²₁₀PδP10δP10(k)

+2˜q_Hq˜_x_HIP{^δ^H^δxHI}(k) + 2˜q_Hq˜_T_γP{^δ^H^δ^Tγ}(k) + 2˜q_Hq˜_T_gP{^δ^H^δ^Tg}(k) +2˜qHq˜P10P{^δ^H^δ^P10}(k) + 2˜qxHIq˜TγP{^δxHIδ_Tγ}(k) + 2˜qxHIq˜TgP{^δxHIδ_Tg}(k) +2˜q_x_HIq˜_P₁₀P{^δxHIδP10}(k) + 2˜q_T_γq˜_T_gP{^δ^Tγ^δ^Tg}(k) + 2˜q_T_γq˜_P₁₀P{^δ^Tγ^δ^P10}(k)

+2˜q_T_gq˜_P₁₀P{^δ^Tg^δ^P10}(k) (6.40)

P_µ^T2^α^=T^g(k) = −2f P^

δ^iso₂₁|_Tα=Tg^δ^H^ﬀ(k)

= −2f

qHPδHδH(k) + ˜qxHIP{^δxHIδH}(k) + ˜qTγP{^δ^Tγ^δ^H}(k) + ˜qTgP{^δ^Tg^δ^H}(k) + ˜qP10P{^δ^T10δH}(k)

(6.41)

P_µ^T4^α^=T^g(k) = f²P_δ_H_δ_H(k) (6.42)

のように表される. 各項の係数q˜は, (F.13), (F.14), (F.15), (F.16), (F.17)に書いてある通りである.

6.2.2 (T_s≫T_γ)の場合の, 21cm輝度温度の3D Power Spectrum

この状況のときの21cm Power Spectrumは,同様に(6.27)に, (6.25)を代入することによって, (2π)³δ^D¡

k−k^′¢

P21(k) =

Dhδ˜H(k) + ˜δxHI(k)−δ˜∂v(k) +

nδ^xHIδH(k)−δx^HIδ∂v(k) oi×

×h δ˜H

¡k^′¢ + ˜δxHI

¡k^′¢

−δ˜_∂v¡ k^′¢

nδ^xHIδH

¡k^′¢

−δx^HIδ_∂v¡

k^′¢oi∗E

Dδ˜_H(k) ˜δ^∗_H¡ k^′¢E

Dδ˜_x_HI(k) ˜δ^∗_x_HI¡ k^′¢E

Dδ˜_∂v(k) ˜δ_∂v^∗ ¡ k^′¢E +

Dδ˜H(k) ˜δ_x^∗_HI¡ k^′¢E

Dδ˜xHI(k) ˜δ_H^∗ ¡ k^′¢E

−D

δ˜_H(k) ˜δ_∂v^∗ ¡ k^′¢E

−D

δ˜_∂v(k) ˜δ^∗_H¡ k^′¢E

−D

δ˜xHI(k) ˜δ_∂v^∗ ¡ k^′¢E

−D

δ˜∂v(k) ˜δ^∗_x_HI¡ k^′¢E +

( Dδ^xHIδH(k) ˜δ^∗_H¡ k^′¢E

Dδ˜H(k)δ^xHIδH

∗¡ k^′¢E +

Dδ^xHIδH(k) ˜δ^∗_x_HI¡ k^′¢E

Dδ˜xHI(k)δ^xHIδH

∗¡ k^′¢E

−D

δ^_x_HIδ_H(k) ˜δ^∗_∂v¡ k^′¢E

−D

˜δ_∂v(k)δ^_x_HIδ_H^∗¡ k^′¢E

−D

δ^_x_HIδ_∂v(k) ˜δ_H^∗ ¡ k^′¢E

−D

˜δ_H(k)δ^_x_HIδ_∂v^∗¡ k^′¢E

−D

δ^_x_HIδ_∂v(k) ˜δ_x^∗

¡k^′¢E

−D

δ˜_x_HI(k)δ^_x_HIδ_∂v^∗¡ k^′¢E +

Dδ^_x_HIδ_∂v(k) ˜δ_∂v^∗ ¡ k^′¢E

Dδ˜_∂v(k)δ^_x_HIδ_∂v^∗¡ k^′¢E +

Dδ^_x_HIδ_H(k)δ^_x_HIδ_H^∗¡ k^′¢E

Dδ^_x_HIδ_∂v(k)δ^_x_HIδ_∂v^∗¡ k^′¢E

−D

δ^xHIδH(k)δ^xHIδ∂v

∗¡ k^′¢E

−D

δ^xHIδ∂v(k)δ^xHIδH

∗¡ k^′¢E)

= (2π)³δ^D¡

k−k^′¢"

PδHδH(k) +Pδ_xHIδ_xHI (k) +Pδ_∂vδ_∂v(k) +

Pδ_Hδ_xHI (k) +Pδ_xHIδ_H(k) i

−h

P_δ_H_δ_∂v(k) +P_δ_∂v_δ_H(k) i−h

P_δ_xHI_δ_∂v(k) +P_δ_∂v_δ_xHI (k) i

+ ( h

P(^δxHIδH)^δH(k) +P_δ

H(^δxHIδH) (k) i

+ h

P(^δ_xHI^δH)^δ_xHI (k) +P_δ

xHI(^δ_xHI^δH) (k) i

−h

P(^δxHIδH)^δ∂v(k) +P_δ

∂v(^δxHIδH) (k) i

−h

P(^δ_xHI^δ∂v)^δH(k) +P_δ

H(^δ_xHI^δ∂v) (k) i

−h

P(^δxHIδ∂v)^δxHI(k) +P_δ

xHI(^δxHIδ∂v) (k) i

+ h

P(^δ_xHI^δ∂v)^δ∂v(k) +P_δ

∂v(^δ_xHI^δ∂v) (k) i

+P(^δxHIδH)(^δxHIδH) (k) +P(^δxHIδ∂v)(^δxHIδ∂v) (k)

−h

P(^δ_xHI^δH)(^δ_xHI^δ∂v) (k) +P(^δ_xHI^δ∂v)(^δ_xHI^δH) (k) i)#

→P₂₁(k) = P_δ_H_δ_H(k) +P_δ_xHI_δ_xHI (k) + 2P{^δ^H^δxHI}(k)

−2P_{_δ_H_δ_∂v_}(k)−2P{^δxHIδ_∂v}(k) +P_δ_∂v_δ_∂v(k) +

(

2P{(^δ_{xHI δH})^δH}(k) + 2P{(^δ_{xHI δH})^δxHI}(k)−2P{(^δ_{xHI δH})^δ∂v}(k)

−2P{(^δ_{xHI δ∂v})^δH}(k)−2P{(^δ_{xHI δ∂v})^δ_xHI}(k) + 2P{(^δ_{xHI δ∂v})^δ∂v}(k)

+P(^δxHIδH)(^δxHIδH) (k)−2P{(^δ_{xHI δH})(^δxHIδ∂v)}(k) + 2P(^δ_{xHI δ∂v})(^δ_{xHI δ∂v}) (k) )

(6.43) のようになる. ここで表記は, (6.32)及び, (6.33)に従っている. δ_∂v≈ −µ²f δ_H であることを考慮すると,

P21(k) = Pδ_Hδ_H(k) +Pδ_xHIδ_xHI (k) + 2P{^δ^H^δxHI}(k)

+2µ²f P_{_δ_H_δ_H_}(k) + 2µ²f P{^δxHIδ_H}(k) +µ⁴P_δ_H_δ_H(k) +

(

2P{(^δ_{xHI δH})^δH}(k) + 2P{(^δ_{xHI δH})^δxHI}(k)−2P{(^δ_{xHI δH})^δ∂v}(k)

−2P{(^δxHI δ∂v)^δH}(k)−2P{(^δxHI δ∂v)^δxHI}(k) + 2P{(^δxHI δ∂v)^δ∂v}(k)

+P(^δxHIδH)(^δxHIδH) (k)−2P{(^δ_{xHI δH})(^δxHIδ∂v)}(k) + 2P(^δ_{xHI δ∂v})(^δ_{xHI δ∂v}) (k) )

(6.44) のように,µのべきでまとめることができる. ここで,{·}^{以外の部分}(すなわち揺らぎのlinearの項だけからできているところ)は,µ⁴の項までで書けるが,P{(^δ_{xHI δH})(^δ_xHI^δ∂v)}(k),P(^δ_{xHI δ∂v})(^δ_{xHI δ∂v}) (k) のところはµの複雑な依存性をもつことになる. それは, 畳み込みの積分が出てくるせいである. P{(^δ_{xHI δH})(^δ_xHI^δ∂v)},P(^δ_{xHI δ∂v})(^δ_{xHI δ∂v})のなどのように高次の項については, Appendixで少しコメントする. [1], [25]

○さらにδ_x_HI ≪1であるときこのときには, (6.44)において,{·}の部分を無視することができるので, 21 cm Power Spectrumは,

P21(k) = P_δ_H_δ_H(k) +P_δ_xHI_δ_xHI(k) + 2P{^δ^H^δxHI}(k)

+2µ²f P_{_δ_H_δ_H_}(k) + 2µ²f P{^δxHIδH}(k) +µ⁴P_δ_H_δ_H(k) (6.45) のように比較的簡単な形で書くことができる. この場合には,µのべきは, µ⁴までで書けていることが分かる. そして,µ⁴の項はMatter揺らぎのPower SpectrumP_δ_H_δ_Hの形になっていることが分かる.

6.3 21 cm 3D Power Spectrumの特徴

ここまでの議論では,δxHI ≪1の場合と,Ts ≫Tγの場合という二つの場合を考えた. (6.35), (6.45) などを見ると分かるように,δxHI ≪1の場合には, 21 cm輝度温度のPower Spectrumのµ⁴の項は,

ドキュメント内 ,,., Cosmic Background ExplorerCOBE, Cosmic Microwave BackgroundCMB., Wilkinson Microwave Anisotropy ProbeWMAP, CMB,. CMB,, photon 00., photon d (ページ 61-72)