Visibility

21 cm線は電波であり,電波干渉計を用いて観測される. 電波干渉計により, 1組のアンテナペアに

やってくる電波によって生じる電圧V₁(t),V₂(t)の相互相関関数(→基本的にこれがVisibility)が得 られる. 下の図13のような状況を考える.

図13: 電波干渉計の模式図

やってくる電波の電場は振動しており, 複素数表示すれば,V (t) = V₀e^−2πiνtという形にかける. こ こで, νはやってくる電波の周波数である. このことから, 時刻tにおいて, アンテナT1に生じる電 圧は,

V1(t) =V0e^−2πiνt (8.1)

のように表すことができる. 一方で,図13のように,アンテナT2には,同位相の電波が,τgだけ遅れ て届く. 二つのアンテナを結ぶベクトル(向きはT2 → T1の向き)をB,電波源の方向を表す単位ベ クトルをnとすると,この位相差(幾何学的delay timeτg)は,

τ_g = T2T₂^′

c = B·n

c (8.2)

のように表すことができる. このdelay timeを考慮すると,時刻tにおいて,アンテナT₂に生じる電 圧は,

V₂(t) =V₀e^{−2πiν(t−τg)} (8.3) のように表すことができる. このV₁(t), V₂(t)の相互相関関数が出力される. 一般に二つの時系列 A(t),B(t)の相互相関関数C₁₂(τ)は,

C_AB(τ) = lim

T→∞

1 2T

Z _T

−T

A(t)B^∗(t−τ) dt (8.4)

で定義される. ^∗は複素共役を表している. 従って,二つの電圧の相互相関関数は, C12(τ) = lim

T→∞

1 2T

Z _T

−T

V1(t)

| {z }

V0e^−2πiνt

V₂^∗(t)

| {z }

V0e^2πiν(^t−τg)

dt

= lim

T→∞

1 2T

Z _T

−T

V₀²e^{−2πiν(τ+τg)}

| {z }

tによらない

dt

= V₀²e^{−2πiν(τ+τg)} (8.5)

のように表されることが分かる. ここで,係数のV₀²はやってくる電波のPower(=単位時間あたりの エネルギー)ϵ(n)に比例する. 電波源の強度分布(単位時間あたりに単位面積を通過する,単位立体 角,単位周波数幅あたりの電波(光)のエネルギー)をIν(n)と表すと,方向n(広がりΩn)から,やっ てくる光のPowerは,周波数幅dνあたり,

ϵ(n) =A_ν(n)I_ν(n) dνdΩn (8.6)

となる. ここで,Aν(n)はn方向からやってきた電波に対する, アンテナの(有効)面積である. V₀² が,この(8.6)に比例することを考慮して, (8.5)の代わりに,

dR(τ;n,B, ν) =Aν(n)Iν(n) dνdΩne^{−2πiν(τ+τg)} (8.7) という量を考える. いろいろな方向nからやってくる電波について足し合わせると,

R(τ,B, ν) = Z

Ωsource

Aν(n)Iν(n) dνe^{−2πiν(τ+τg)}dΩn

= e^−2πiντdν Z

Ωsource

Aν(n)Iν(n) e^−2πiνB·n

c dΩn (8.8)

となる. Ωsourceは,電波源の広がっている領域(立体角)である. この式の2行目の積分部分を以下の

ように,

V (B, ν)≡ Z

Ωsource

A_ν(n)I_ν(n) e^−2πiνB·n

c dΩn (8.9)

V (B, ν)と定義し, Visibilityと呼ぶ. このVisibilityが観測で実際に分かる物理量である. 以下では, 基線ベクトル(アンテナ間を結ぶベクトル)Bを,

ν cB= 1

λB=uB= (u, v, w)↔B =λuB=λ(u, v, w) (8.10) のように,やってくる電波の波長λ= _ν^c で割ったu_B = (u, v, w)を用いて, Visibilityを表すことにす る. すなわち,

V(u_B, ν) =V (u, v, w, ν) = Z

Ωsource

Aν(n)Iν(n) e^−2πiuB·ndΩn (8.11)

のように書く. 電波源の方向を表す単位ベクトルをn= (sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)のように極座標 で表すと, dΩn= sinθdθdφであることから, (8.11)は,

V (u, v, w, ν) = Z

Ωsource

sinθdθdφA_ν(θ, φ)I_ν(θ, φ) exp [−2πi (usinθcosφ+vsinθsinφ+wcosθ)]

(8.12) となる. ここで, (

ξ= sinθcosφ

η= sinθsinφ (8.13)

という変数変換を行う. このとき, dθdφ= √ ^dξdη

ξ²+η²√

1−ξ²−η² であることなどに注意すると, V (u, v, w, ν) =

Z

source

p dξdη

1−ξ²−η²A_ν(ξ, η)I_ν(ξ, η) exp h−2πi

³

uξ+vη+wp

1−ξ²−η²

´i

のように書き直される. ここで,電波源の広がりが十分狭いとして,電波源の点は,n0= (0,0,1)の方 向付近だけに存在するとする. すなわち,n≈n0と考える. このとき|θ| ≪1↔ |ξ|,|η| ≪1として よい. 従って,p

1−ξ²−η² ≈1と近似してよく,結局Visibilityは, V (u, v, w, ν) ≈

Z

source

dξdηA_ν(ξ, η)I_ν(ξ, η) exp [−2πi (uξ+vη+w)]

≈ e^−2πiw Z _∞

−∞dξ Z _∞

−∞dηAν(ξ, η)Iν(ξ, η) exp [−2πi (uξ+vη)]

≈ e^−2πiw Z _∞

−∞dθ¹ Z _∞

−∞dθ²A_ν¡ θ¹, θ²¢

I_ν¡ θ¹, θ²¢

exp£

−2πi¡

uθ¹+vθ²¢¤

(8.14) のように表されることが分かる. ここで,本来ξ, ηの積分領域は電波源が存在する領域だが,アンテナの

「有効面積」Aν(ξ, η)は,電波源が存在する領域以外では0と考えて良い(Window Function)ので,積分 領域を−∞< ξ, η <∞^とした. また,|θ| ≪1であることを考慮して,ξ = sinθcosφ≈θcosφ=θ¹, η = sinθsinφ ≈ θsinφ = θ²とした. ここで登場したθ¹, θ²は電波源を見込む角度であること が理解できる. (8.14)の表式を見ると分かるように, Visibility V (u, v, w, ν)は, 電波源の強度分布 I_ν¡

θ¹, θ²¢

(に“Window Function”A_ν¡ θ¹, θ²¢

をかけたもの)のフーリエ変換になっている. θ¹, θ²は 視線方向に垂直な方向(x¹, x²方向)を指定する量であるから,これは視線方向(x³方向)に垂直な方 向についてのフーリエ変換である. 以下では,w= 0として, (8.14)のoverallの係数e^−2πiwについて は省略する.

次に, (8.14)を, (8.8)に代入し,観測される周波数νについても足し合わせたものを以下のように, S(u, v, τ)とする. (w=0とした)

S(u, v, τ) = Z

e^−2πiντdν Z _∞

−∞dθ¹ Z _∞

−∞dθ²A_ν¡ θ¹, θ²¢

I_ν¡ θ¹, θ²¢

exp£

−2πi¡

uθ¹+vθ²¢¤

| {z }

V(u,v,w=0,ν)

= Z _∞

−∞dν Z _∞

−∞dθ¹ Z _∞

−∞dθ²A_ν¡ θ¹, θ²¢

Fθ(ν)

| {z }

≡W(θ¹,θ²,ν)

I_ν¡ θ¹, θ²¢

exp£

−2πi¡

uθ¹+vθ²+ντ¢¤

= Z _∞

−∞dν Z _∞

−∞dθ¹ Z _∞

−∞dθ²W ¡

θ¹, θ², ν¢ I_ν¡

θ¹, θ²¢ exp£

−2πi¡

uθ¹+vθ²+ντ¢¤

(8.15) ここでν の積分範囲は, 観測される周波数の広がりで決まるが, νについての“Window Function”

Fθ(ν)を用いて, 積分領域を−∞< ν < ∞^とした. また, W¡

θ¹, θ², ν¢

=Aν

¡θ¹, θ²¢

Fθ(ν)は, 電 波源の強度分布Iν

¡θ¹, θ²¢

にかかるWindow Functionである.

8.1.2 21 cm観測で直接分かる量と共動座標の関係

これまでのことを21 cm線の観測の場合にあてはめて考える. 赤方偏移がz_∗付近(z_∗は電波源 のredshiftの平均値(基準値))の領域からやってくる電波の波長はλ=λ₂₁(1 +z_∗)付近,観測され る周波数はν = _λ^c = _1+z^ν21

∗ 付近の狭い範囲となる. 今, (8.15)では, 位置を指定するパラメータは, θ¹, θ²(視線方向に垂直な方向), ν(視線方向)である. これらと, 共動座標x =¡

x¹, x², x³¢

の関係は,

「AP(Alcock-Paczy´nski) Effectが21 cm Power Spectrumに与える影響」の(6.52)より, x=¡

x¹, x², x³¢

= µ

dA(z_∗)θ¹, dA(z_∗)θ²,c(z−z_∗) H(z_∗)

¶

(8.16) である. redshiftzと周波数νの関係は,特異速度の効果ついては小さいとして無視するなら, 1+z= ^ν21_ν である. 従って,

x³ = c(z−z_∗)

H(z_∗) = c H(z_∗)

µν21

ν −ν21

ν_∗

¶

≈ − cν21

H(z_∗)ν_∗² (ν−ν_∗) (8.17) ここで上式の符号−^は,観測者から遠い(redshiftが大きい)ところからやって来た光ほど周波数が小 さくなるためである. ⁴⁰ この,周波数νと共動座標x³の変換係数を

y(z_∗)≡ cν₂₁

H(z_∗)ν_∗² = c(1 +z_∗)²

ν₂₁H(z_∗) (8.18)

のように定義しておく. νの代わりに, ∆ν =ν−ν_∗を変数として用いると, (8.16)は, x=¡

x¹, x², x³¢

=¡

dA(z_∗)θ¹, dA(z_∗)θ², y(z_∗) ∆ν¢

(8.19) となる. [20] これに対応して, (8.15)についても,νの代わりに, ∆νを用いて書き直す. その際に余分 な位相因子e^{−2πiν∗τ} が出てくるが, Power Spectrumを考える際には寄与しないので,省略して,

S(u, v, τ) = Z _∞

−∞d (∆ν) Z _∞

−∞dθ¹ Z _∞

−∞dθ²W¡

θ¹, θ²,∆ν¢ I_ν¡

θ¹, θ²¢

×

×exp£

−2πi¡

uθ¹+vθ²+ ∆ντ¢¤

(8.20) のように表しておく. また, 21 cm線の観測では,その強度IνはCMBの強度I_ν^{CM B}との差で分かる ため(2章を参照), Iν →δIν =Iν−I_ν^{CM B}のように書き直した方が都合がよい. さらに2章では強 度分布Iν の代わりに, 輝度温度分布T_b(ν)≈ _2ν^c2²kBIν を用いていたので,δIν の代わりにδT_b⁴¹を用 いて, (8.14), (8.15)を,

¶ ³

VTb(u, v,∆ν) = Z _∞

−∞dθ¹ Z _∞

−∞dθ²Aν

¡θ¹, θ²¢

δT_b^obs¡

θ¹, θ²,∆ν¢

| {z }

δT¯_b^obs(1+δ21(θ¹,θ²,∆ν))

exp£

−2πi¡

uθ¹+vθ²¢¤

(8.21) S_Tb(u, v, τ) =

Z _∞

−∞d (∆ν) Z _∞

−∞dθ¹ Z _∞

−∞dθ²W¡

θ¹, θ²,∆ν¢

| {z }

Fθ^{(∆ν)Aν(θ1,θ2)}

δT_b^obs¡

θ¹, θ²,∆ν¢

| {z }

δT¯_b^obs(1+δ21(θ¹,θ²,∆ν))

×

×exp£

−2πi¡

uθ¹+vθ²+ ∆ντ¢¤

= Z _∞

−∞d (∆ν)Fθ(∆ν)VTb(u, v,∆ν) e^{−2πi∆ντ} (8.22)

µ ´

と書いておく. ここでもν の代わりに∆ν を用いている. V_Tb は輝度温度(にWindow Function

40以下では,この符号は重要ではないので省略する. Fourier変換を扱うため,適当な変数変換で消すことができる.

412章のnotationに合わせると,δT_b^obsである.

A_ν¡ θ¹, θ²¢

をかけたもの)を視線方向に垂直な方向についてフーリエ変換したものである. また,S_Tb は,輝度温度(にWindow Function W¡

θ¹, θ²,∆ν¢

をかけたもの)のフーリエ変換である. あるいは, Visibility VTb(u, v,∆ν)にWindow Function Fθ(∆ν)をかけて, 視線方向についてフーリエ変換し たものという見方もできる. δT_b^obs¡

θ¹, θ²,∆ν¢

=δT¯_b^obs¡ 1 +δ21

¡θ¹, θ²,∆ν¢¢

と書くと分かるように,

Backgroundの輝度温度は位置によらない量だから, (8.21), (8.22)は実質的には輝度温度の揺らぎ

δT¯_b^obsδ₂₁のフーリエ変換だと考えてよい. 以下では,表記を単純にするために, Θ = ¡

θ¹, θ²,∆ν¢

(8.23)

u_⊥ = (u, v) (8.24)

u = (u, v, τ) = (u_⊥, τ) (8.25)

と書く.

8.2 21 cm線のFisher Information Matrix [20], [25]

21 cm線のFisher Information Matrixは, VisibilityVTb(u, v,∆ν)が期待値(平均値)0, すなわち

〈VTbi〉=〈VTb(u_⊥i,∆νi)〉= 0の多変数ガウス分布に従うとして計算する. すなわち, P(VT_b1,· · ·, VT_bN) = 1

q

(2π)^NdetC exp



−1 2

XN i,j=1

V_T^∗_bi

³ C_V⁻¹

Tb

´

ijVT_bj



 (8.26)

³ C_VTb

´

ij = ­

V_Tbi V_T^∗_bj®

(8.27)

と考える. [25] データの個数N は, 観測でu, v,∆νについてそれぞれ何個のデータがとれるかで決

まる. (N =Nu×Nv×N∆ν) このままVisibility VTbで考えても良いが, ∆νについてもフーリエ変 換した,STbで以下は考えることにする. 分散共分散行列Cとしては, Detector NoiseによるC^N と, Sample Varianceに関係するC^SV を考慮する必要がある.

ドキュメント内 ,,., Cosmic Background ExplorerCOBE, Cosmic Microwave BackgroundCMB., Wilkinson Microwave Anisotropy ProbeWMAP, CMB,. CMB,, photon 00., photon d (ページ 86-90)