dt 2 , となりそれを用いて計算すると

exp 1

2 Z

p¯2

¯ p1

Z

p2

p1

b ω

= 2 √ t

1

t

2

t

1

+ t

2

1 − g

2

24 (t

⁴₁

+ t

⁴₂

− t

³₁

t

2

− t

1

t

³₂

) − g

3

240 (11t

⁶₁

+ 11t

⁶₂

− 6t

1

t

⁵₂

− 6t

⁵₁

t

2

− 10t

³₁

t

³₂

) + · · · .

また

x

1

− x

2

√ y

1

y

2

= t

²₂

− t

²₁

2 √

t

1

t

2

1 + g

2

16 (t

⁴₁

+ t

⁴₂

) + g

3

16 (t

⁶₁

+ t

⁶₂

) + · · ·

である

.

これらを用いて計算すると

σ(u

2

− u

1

)

= (t

2

− t

1

) 1 + g

2

48 (t

⁴₁

+ t

⁴₂

− 2t

³₁

t

2

− 2t

1

t

³₂

) + g

3

120 (2t

⁶₁

+ 2t

⁶₂

+ 3t

1

t

⁵₂

+ 3t

⁵₁

t

2

+ 5t

³₁

t

³₂

) + · · ·

となる

.

最後の式で

t

1

= 0, t = t

2

, u = u

2とすると

σ(u) = t + g

₂

48 t

⁵

+ g

₃

60 t

⁷

+ · · ·

= u − g

₂

240 u

⁵

− g

₃

840 u

⁷

+ · · ·

となる

.

展開係数が

Q [g

2

, g

3

]

の元であること

, deg u = − 1, deg g

i

= 2i

により

σ(u | g

2

, g

3

)

は

− 1

次同次式であることなどもこのような計算で分かる

.

さて

,

種数

g

のリーマン面に対するシグマ関数の表示を作ろうと思うと

σ( P

g

i=1

u

i

)

のよ うなものを記述することになる

. Weierstrass

のシグマ関数に対してはそのような関数を

2

変数の関数

σ(u − v)

を用いて記述する公式がある

. Frobenius-Stickelberger

の公式という のがそれで

,

少し書き換えると次のようになる

:

σ X

N

i=1

(u

i

− v

i

)

!

=

Q

N

i,j=1

σ(u

i

− v

j

) Q

i<j

σ(u

i

− u

j

)σ(v

j

− v

i

) Q

N

i,j=1

(℘(v

j

) − ℘(u

i

)) D

N

D

N

= det ℘

⁽ⁱ⁻¹⁾

(u

j

)

1≤i,j≤2N

, (7)

ただし

D

Nにおいて

u

N+j

= − v

j

, 1 ≤ j ≤ N

とおいた

. Klein

はシグマ関数の高種数へ

の拡張を

, (5), (7)

を手掛かりに同様の公式を作ることで与えたのである

.

3 (n, s)- ^{曲線のシグマ関数}

n, s

を互いに素な自然数で

s > n ≥ 2

をみたすものとする

.

このとき

f (x, y) = y

ⁿ

− x

^s

− X

ni+sj<ns

λ

ij

x

ⁱ

y

^j

の形の多項式を考える

. f(x, y) = 0

で定義される代数曲線は非特異であると仮定し

,

対応す るコンパクトリーマン面を

X

とする

. X

を

(n, s)

曲線とよぶ

.

種数は

g = 1/2(n − 1)(s − 1)

である

.

さてシグマ関数を変換性を用いて楕円曲線の場合のように定義しようとするとき必要に なるデータは周期である

.

その周期は勝手ではなく

,

変換性が矛盾なく定義出来るような ものでなくてはならない

. Weierstrass

のシグマ関数の場合

, 4

つの周期はルジャンドルの関 係式をみたしていた

.

そのような関係式が必要である

.

以下で与えるデータの満たす条件 は

,

そのような要請から出てくるものである

.

シグマ関数を定義するために以下のようなデータを用意する

. (i)

標準ホモロジー基底

{ α

i

, β

j

} . i.e.

交点数が次を満たす

:

α

i

· β

j

= δ

ij

, α

i

· α

j

= β

i

· β

j

= 0.

(ii)

標準コホモロジー基底

{ du

_i

, dr

_j

} .

 ただし

{ du

_i

}

は第一種微分の基底

, dr

_jは第二種微 分

.

条件はコホモロジー

H

¹

(X, C )

の交叉型式

◦

について

du

i

◦ dr

j

= δ

ij

, du

i

◦ du

j

= dr

i

· dr

j

= 0.

このデータを用いて

4

つの周期行列を

2ω

1

=

Z

αj

du

i

!

, 2ω

2

= Z

βj

du

i

!

, − 2η

1

= Z

αj

dr

i

!

, − 2η

2

= Z

βj

dr

i

!

,

で定義する

. { du

i

, dr

j

}

の交叉条件からリーマンの関係式は次の形になる

: M J

^t

M = − πi

2 J, M = ω

1

ω

2

η

1

η

2

!

, J = 0 I

− I 0

! .

これは

t

M JM = − πi 2 J (8)

と同値である

.

実際変換性を示すときに使うのはこちらの形である

.

またリーマンの不等 式から

det ω

1

6 = 0, Imτ > 0, τ = ω

₁⁻¹

ω

2

, (9)

が成り立つ

.

ただし

> 0

は正定値であることを意味する

.

次の

du

_iは第一種微分の基底となる

:

du

i

= − x

^ai−1

y

^n−1−bi

dx f

y

, (10)

ここで

{ (a

i

, b

i

) }

は

1 ≤ b ≤ n − 1, 1 ≤ a ≤ [ sb − 1 n ],

を満たす非負整数の組

(a, b)

を

− na

₁

+ sb

₁

< · · · < − na

_g

+ sb

_gを満たすように並べたもの である

.

以下この

du

iをデータ

(ii)

の

du

iとする

.

X

はアフィン代数曲線

f (x, y ) = 0

に

1

点を付け加えて出来るが

,

その

1

点を

∞

であらわ す

. ∞

における

gap sequence

を

w

1

< · · · < w

gとする

.

例

(n, s) = (2, 2g + 1): (w

₁

, ..., w

_g

) = (1, 3, ..., 2g − 1), (n, s) = (3, 4), g = 3: (w

₁

, w

₂

, w

₃

) = (1, 2, 5), (n, s) = (4, 5), g = 6: (w

1

, ...w

6

) = (1, 2, 3, 6, 7, 11),

変数

u

_iの次数を

deg u

i

= − w

i

で定義する

.

基点を

∞

としたときのリーマン定数の指標を

δ =

"

δ

⁰

δ

⁰⁰

#

∈ 1 2 Z

^2g

とする

. du

iを上のように指定したとき

, (i), (ii)

のデータに対しシグマ関数を次のように定 義する

[2].

定義 次の条件を満たす関数

σ(u)

をシグマ関数という

. (i) C

^g上正則である

.

(ii)

次の擬周期性を満たす

:

σ(u + `)

σ(u) = χ(`) exp L(u + 1 2 `, `).

ただし

` = 2ω

1

`

⁰

+ 2ω

2

`

⁰⁰

, `

⁰

, `

⁰⁰

∈ Z

^g

,

L(u, v) = (2η

1

v

⁰

+ 2η

2

v

⁰⁰

)u, v = 2ω

1

v

⁰

+ 2ω

2

v

⁰⁰

, v

⁰

, v

⁰⁰

∈ R

^g

. χ(`) = ( − 1)

^{2(tδ0`0+tδ00`00)+t`0`00}

.

(iii)

原点におけるべき級数展開は次の形をしている

:

σ(u) = S

λ(n,s)

(T ) |

T_wi=ui

+ · · · .

ただし

S

λ(n,s)

(T )

はシューア関数とよばれる

{ T

i

}

の多項式で

, S

λ(n,s)

(T ) |

T_wi=uiは

{ u

i

}

の同 次多項式となる

. · · ·

部分は

deg S

_λ(n,s)

(T ) |

T_wi=uiより次数の小さい同次多項式の（無限）和 である

.

楕円曲線の場合と同様に条件

(i), (ii)

を満たす関数はリーマンのテータ関数を用いて簡 単に作ることが出来るがそれについては大西さんの原稿を見てください

.

条件

(iii)

は自明

ではなく

, Klein

の公式の拡張を作ることでシグマ関数の存在が証明される

.

先に進む前にここでシューア関数

S

_λ(n,s)

(u)

についてごく簡単に説明する

.

詳しくは

[6, 7, 8, 3]

などをご覧ください

.

T

1

, T

2

,...

の多項式

p

n

(T )

を

exp(

X

∞ n=1

T

_n

k

ⁿ

) = X

∞ n=0

p

_n

(T )k

ⁿ

,

で定める

.

p

0

= 1, p

1

= T

1

, p

2

= T

2

+ T

₁²

/2, p

3

= T

3

+ T

1

T

2

+ T

₁³

/6

等である

.

整数の組

(λ

1

, ..., λ

l

)

が

λ

1

≥ · · · ≥ λ

l

≥ 0

をみたすとき分割という

.

分割

λ

とそ の後に

0

を任意個付け加えた分割

(λ

1

, ..., λ

l

, 0, ..., 0)

を同一視し

, λ

k

= 0, k ≥ l + 1

と置く

.

分割

λ = (λ

1

, ..., λ

l

)

に対して

T

1

, T

2

,...

の多項式

S

λ

(T )

と

t

1

, t

2

,...

の対称多項式

s

λ

(t)

を

S

λ

(T ) = det (p

λi−i+j

(T ))

_1≤i,j≤l

, (11)

s

_λ

(t

₁

, ..., t

_n

) = det(t

^λ_j^i+l−i

)

_1≤i,j≤l

Q

1≤i<j≤l

(t

i

− t

j

) , n ≥ l

(12)

により定める

.

どちらもシューア関数という

. 2

つのシューア関数は次の関係で結ばれて いる

:

S

_λ

(T ) = s

_λ

(t

₁

, ..., t

_n

), T

_i

=

Pn j=1tⁱ_j

i

.

(13)

ドキュメント内 ii 15 Abel,,,.,,,.,,, ( ) ( ) 8 24 ( ) : : ( ), ( ) 8 20 ( ) 15:30 16:10 16:30 17:00 (ページ 189-193)