基底

証明

(1)

については

[Ta], p.141

を

,

その他については

[Ba2]

を参照されたい

.

系

7.6

各

℘

_ij···r

(u + v)

は

℘

ij

(u), ℘

ij

(v), ℘

hij

(u)

および

℘

hij

(v)

達の

Q (λ

0

, · · · , λ

2g+1

)

上の有理式として表される

.

証明

7.4

の式を

u

と

v

のそれぞれに関して対数微分したあと

,

その両者を辺々加えると

2(log σ(u + v) − 2 log σ(u) − 2 log σ(v))

の

℘

_ij

(u), ℘

_ij

(v), ℘

_hij

(u).

および

℘

_hij

(v)

達による式 が得られる

.

それに

∂

²

∂u

i

∂u

j

を施せば

℘

ij

(u + v)

が

℘

ij

(u), ℘

ij

(v), ℘

hij

(u), ℘

hij

(v ), ℘

ijk`

(u),

℘

ijk`

(v), ℘

ijk`m

(u)

および

℘

ijk`m

(v)

達の有理式として表される

.

あとは後述の

8.34

の等式

達を用いて結論を得る

.

g = 2

の時の詳しい議論が

[Gr]

にある

.

8 Set of Defining Equations of the Jacobian Variety 8.1 Matrix whose entries are ℘-functions

Fundamental formula to a matrix

いま

u

は

C

上の

g

個の点

(x

1

, y

1

), · · · , (x

g

, y

g

)

と

(8.1) u = Z

^(x1,y1)

∞

+

Z

(x2,y2)

∞

+ · · · +

Z

(xg,yg)

∞

ω

なる関係があるとせよ

.

このとき

fundamental relation (8.2)

X

g i=1

X

g j=1

℘

ij

u − Z

(x,y)

∞

x

ri−1

x

^j−1

= F (x

r

, x) − 2y

r

y (x

r

− x)

²

が成り立つ

.

これから

Jacobi

多様体の自然な方程式系を導くのが本節の目標である

.

まづ

(8.2)

から

,

いくつかの必要な式を導いておく

. (8.2)

の分母を払つて

,

(8.3) (x

r

− x)

²

X

g

i=1

X

g j=1

℘

ij

u −

Z

(x,y)

∞

x

ri−1

x

^j−1

− F (x

r

, x) − 2y

r

y

= 0

を得る

.

ここで

x = 1/t

²

, y = 1/t

^2g+1

+ · · ·

として

, (8.3)

の左辺を

t

で展開すれば

,

その

t

に関する各係数が消える

.

特に最低次とその次の項が消えることから

,

各

r

について

(8.4) 2y

r

= ℘

ggg

x

rg−1

+ ℘

gg,g−1

x

rg−2

+ · · · + ℘

gg2

x

r

+ ℘

gg1

,

x

^g_r

= ℘

gg

x

rg−1

+ ℘

g,g−1

x

rg−2

+ · · · + ℘

g2

x

r

+ ℘

g1

が成り立つ

. (8.5)

X

g i=1

X

g j=1

℘

_ij

(u)x

_rⁱ⁻¹

x

_s^j−1

= F (x

_r

, x

_s

) − 2y

_r

y

_s

(x

r

− x

s

)

²

つぎに

r 6 = 1

についての

(8.3)

において

(x

1

, y

1

) → ∞

としてから

, (x, y) → (x

1

, − y

1

)

とす れば

(8.6) (x

r

− x

1

)

²

X

g

i=1

X

g j=1

℘

ij

(u)x

ri−1

x

1j−1

− F (x

r

, x

1

) − 2y

r

y

1

= 0

となる

. (x

1

, y

1

)

以外についても同様な操作が可能であるから

,

すべての

r, s

について

(8.7) (x

r

− x

s

)

²

X

g i=1

X

g j=1

℘

ij

(u)x

ri−1

x

sj−1

− F (x

r

, x

s

) − 2y

r

y

s

= 0

が成り立つ

.

これを

(8.8) 2 y

r

y

s

=

^t

W (x

r

)HW (x

s

)

の形に変形する

.

但し

,

(8.9) W (x) =

^t

[1, x, · · · , x

^g−1

, x

^g

, x

^g+1

]

である

.

このときの

H = [h

ij

]

の成分は

(8.10) h

ij

= 2℘

i−1,j−1

− ℘

i−2,j

− ℘

i,j−2

+ δ

ij

(µ

2g+6−4i

+ µ

2g+6−4j

)

+ (δ

_i,j+1

µ

_4g+8−4i

+ δ

_i+1,j

µ

_4g+8−4j

)

となる

.

例へば

g = 4,

つまり

(8.11) y

²

= x

⁹

+ µ

2

x

⁸

+ µ

4

x

⁷

+ · · · + µ

18

のときは

(8.12) H =

2 66 66 64

2µ18 µ16 −℘11 −℘12 −℘13 −℘14

µ16 2℘11+ 2µ14 ℘12+µ12 2℘13−℘22 2℘14−℘23 −℘24

−℘11 ℘12+µ12 2℘22−2℘13+ 2µ10 ℘23−℘14+µ8 2℘24−℘33 −℘34

−℘12 2℘13−℘22 ℘23−℘14+µ8 2℘33−2℘24+ 2µ6 2℘34−℘34+µ4 −℘44

−℘13 2℘14−℘23 2℘24−℘33 2℘34−℘34+µ4 2℘44+ 2µ2 1

−℘14 −℘24 −℘34 −℘44 1 0

3 77 77 75

.

このとき

,

もちろん

(8.13) − 2f (x

_r

) =

^t

W (x

_r

)HW (x

_r

).

いま

(8.14) U (x) =

^t

[1, x, · · · , x

^g−1

, x

^g

]

とおき

, (8.8)

を

(8.15) x

rg

= ℘

gg

x

rg−1

+ ℘

g2

x

rg−2

+ · · · + ℘

g,g−1

x

r

+ ℘

gg

を利用して ^t

U (x

r

)KU (x

s

)

の形に変形すれば

,

この

K

は

(8.16) K = h

det H

^»_j^{i g}_g^{+ 1}_{+ 1} ^g_g^{+ 2}_{+ 2}^–

i

15i5g,15j5g

となる

.

実際

, (8.17)

W

⁰

(x) =



 

 

 

 1 x .. . x

^g−1

x

^g



 

 

 



, U (x) =



 

  1 x ...

x

^g−1



 

  , H =

"

H

11

H

12 t

H

₁₂

0

#

, H

11

=

"

H

₁₁⁰

H

₁₂⁰

t

H

₁₂⁰

h

_g+1,g+1

# ,

とするとき

t

W (x

r

)HW (x

r

)

= [

^t

W

⁰

(x

r

) x

rg+1

]

"

H

11

H

12 t

H

12

0

# "

t

W

⁰

(x

s

) x

sg+1

#

= [

^t

W

⁰

(x

r

)H

11

+ x

rg+1t

H

12

0]

"

t

W

⁰

(x

s

) x

sg+1

#

, ((8.16))

=

^t

W

⁰

(x

_r

)H

₁₁

W

⁰

(x

_s

) + x

_r^g+1t

H

₁₂^t

W

⁰

(x

_s

)

=

^t

W

⁰

(x

r

)H

11

W

⁰

(x

s

) + x

rg+1

· 0

=

^t

U(x

r

)H

₁₁⁰

U(x

s

) + x

rg t

H

₁₂⁰

U(x

s

) +

^t

U (x

r

)H

₁₂⁰

x

sg

+ x

rg

h

g+1,g+1

x

sg

=

^t

U(x

r

)H

₁₁⁰

U(x

s

) +

^t

U(x

_r

)



 

℘

_1g

...

℘

gg



 

^t

H

₁₂⁰

U(x

_s

)

+

^t

U(x

r

)H

₁₂⁰

[℘

1g

· · · ℘

gg

]U (x

s

) +

^t

U(x

r

)



 

℘

1g

...

℘

gg



  h

g+1,g+1

[℘

1g

· · · ℘

gg

]U(x

s

)

=

^t

U(x

r

) h

det H

^»_j^{i g}_g^{+ 1}_{+ 1} ^g_g^{+ 2}_{+ 2}^–

i U(x

s

).

(

ここの計算は全く形式的なもの

).

また

,

2 y

_r

= ℘

_ggg

x

_r^g−1

+ ℘

_gg,g−1

x

_r^g−2

+ · · · + ℘

_gg2

x

_r

+ ℘

_gg1

なので

,

4 y

r

y

s

= X

g

i=1

X

g j=1

℘

ggi

℘

ggj

x

ri−1

x

sj−1

=

^t

U(x

r

)



 

 

℘

gg1

℘

gg1

℘

gg1

℘

gg2

· · · ℘

gg1

℘

ggg

℘

gg2

℘

gg1

℘

gg2

℘

gg2

· · · ℘

gg2

℘

ggg

.. . .. . . .. .. .

℘

ggg

℘

gg1

℘

ggg

℘

gg2

· · · ℘

ggg

℘

ggg



 

  U (x

s

)

である

.

ここで

[

^t

U (x

1

)

^t

U (x

2

) · · ·

^t

U(x

g

)]

は

generic

には正則行列なので

, (8.18)

¹₂

℘

ggi

℘

ggj

+ det H

^»_j^{i g}_g^{+ 1}_{+ 1} ^g_g^{+ 2}_{+ 2}^–

= 0 (i, j = 1, · · · , g)

である

.

これが

Jacobi

多様体を定義する十分な量の方程式を含んでゐることを示さう

.

いま

(8.19) { P

₁₁

, · · · , P

_gg

} , { P

_gg1

, · · · , P

_ggg

}

をその

1

つの解とせよ

.

（どれがどの変数に対応してゐるかは言ふまでもないと思ふが）

.

このとき

(8.20) y = P

_ggg

x

^g−1

+ P

_gg,g−1

x

^g−2

+ · · · + P

_gg2

x + P

_gg1

, x

^g

= P

gg

x

^g−1

+ P

_g,g−1

x

^g−2

+ · · · + P

g2

x + P

g1

が与へる

g

個の根を

(8.21) (x

₁

, y

₁

), · · · , (x

_g

, y

_g

)

とし

,

これから

(8.22) u =

Z

(x1,y1)

∞

+

Z

(x2,y2)

∞

+ · · · +

Z

(xg,yg)

∞

! ω

を定めると

,

先の等式

y

r

= ℘

gg1

x

rg−1

+ · · · , x

^g

= ℘

g1

x

rg−1

+ · · ·

により

,

(8.23) P

g1

= ℘

g1

(u), · · · , P

gg

= ℘

gg

(u), P

gg1

= ℘

gg1

(u), · · · , P

ggg

= ℘

ggg

(u)

となる

.

後は方程式を

i, j

の大きい方から順に辿つて

,

順に

,

その他の組

(i, j)

について

P

_ij

= ℘

_ij

(u)

が了解される

.

実際

,

例へば

g = 4

なら

,

まづ

(8.24) 1

2 ℘

4442

= −

2℘

33

− 2℘

24

+ 2µ

6

℘

34

+ µ

4

− ℘

44

℘

34

+ µ

4

2℘

44

+ 2µ

2

1

− ℘

44

1 0

と

(8.25) 1

2 P

4442

= −

2P

33

− 2P

24

+ 2µ

6

P

34

+ µ

4

− P

44

P

34

+ µ

4

2P

44

+ 2µ

2

1

− P

₄₄

1 0

より

P

33

= ℘

33

(u)

でなければならない

.

さらに

(8.26) 1

2 ℘

443

℘

444

= −

℘

23

− ℘

14

+ 2µ

8

2℘

24

− ℘

33

− ℘

34

℘

₃₄

+ µ

₄

2℘

₄₄

+ 2µ

₂

1

− ℘

44

1 0

と

(8.27) 1

2 P

443

P

444

= −

P

₂₃

− P

₁₄

+ 2µ

₈

2P

₂₄

− P

₃₃

− P

₃₄

P

34

+ µ

4

2P

44

+ 2µ

2

1

− P

44

1 0

により

, P

23

= ℘

23

(u)

でなければならない

.

以下順に進めると

P

gg,i+1

P

gg,j+1についての方程 式から

P

ij

= ℘

ij

(u)

が得られて

,

結局

,

すべての

i, j

について

P

ij

= ℘

ij

(u), P

ggj

= ℘

ggj

(u)

となるで

,

上の解

{ P

ij

, P

ggj

}

は

Jacobi

多様体の上の座標を与へる

.

従つてこれらの解は

,

確かに

Jacobi

多様体の

1

つの点の座標を与へる

.

以上から上の方

程式系は

Jacobi

多様体の定義方程式系である

.

ちなみに

Jacobi

多様体の次元

g

は変数

(8.28) { ℘

11

, ℘

12

, · · · , ℘

gg

} , { ℘

gg1

, · · · , ℘

ggg

}

の個数 ¹

2

g(g + 1) + g

から

,

方程式の個数 ¹

2

g(g + 1)

を差し引いたものと一致してゐて

,

辻 褄が合つてゐる

.

以上を定理としてまとめておく

.

定理

8.29

超楕円曲線

C

の

Jacobi

多様体の

1

つの

model

の定義方程式は

(8.30)

¹₂

℘

ggi

℘

ggj

+ det H

^»_j^{i g}_g^{+ 1}_{+ 1} ^g_g^{+ 2}_{+ 2}^–

= 0 (i, j = 1, · · · , g)

で与へられる

.

これは特異点を含み得る

.

注意

8.31

これは特異点を含み得るが

,

それはこの方程式系を偏微分して得られる方程式 により（座標を

℘

ijk` などで増やせば）解消されていく

.

8.2 ℘ 函数のみたすその他の微分方程式

Weierstraß

の

℘

函数は

℘

⁰

(u)

²

= 4℘(u)

³

− g

2

℘(u) − g

3 なる微分方程式を満たす

.

超楕円 函数の場合も

℘

ij

(u)

はいくつかの微分方程式を満たす

.

本章では

[Ba3]

に従つてこのこと について説明する

.

8.2.1

種数

3

以下の場合

任意の

j, k, · · · , r ∈ { 1, · · · , g }

に対して

(8.32) ℘

jk···r

(u) = ∂

∂u

j

℘

k···r

(u)

と定めると

℘

jk···r

(u)

はすべて

Λ

を周期とする周期函数つまり

Jacobi

多様体

J = C

^g

/Λ

上の有理型函数になっている

.

種数

g = 1

のときは

℘

11

(u)

は

(

定数の差を除いて

)

いわゆ る

Weierstraß

の

℘

函数である

.

σ

函数は

Θ + Λ

を

1

位の零の因子としているので

,

定義

5.37

にも述べたように

,

(8.33) ℘

ij

(u) ∈ Γ(J, O (2Θ)), ℘

ijk

(u) ∈ Γ(J, O(3Θ))

となることがわかる

.

ここで

Γ(J, O (nΘ))

は

Θ

に

n

位の極をもち

,

他の点では正則である ような

J

上の函数全体のなす空間をあらわす

.

命題

8.34 X

はいままで通り

, (3.5)

の方程式

y

²

= µ

0

+ µ

1

x + · · · + µ

2g+1

x

^2g+1 で定義さ れているものとする

.

簡単のために

℘

ijk`

= ℘

ijk`

(u), ℘

ij

= ℘

ij

(u)

とかくと以下の方程式が

g = 1, 2

または

3

のとき成り立つ

:

(1) ℘

3333

− 6℘

²₃₃

= 2µ

5

µ

7

+ 4µ

6

℘

33

+ 4µ

7

℘

32

, (2) ℘

3332

− 6℘

33

℘

32

= 4µ

6

℘

32

+ 2µ

7

(3℘

31

− ℘

22

), (3) ℘

3331

− 6℘

31

℘

33

= 4µ

6

℘

31

− 2µ

7

℘

21

,

(4) ℘

3322

− 4℘

²₃₂

− 2℘

33

℘

22

= 2µ

5

℘

32

+ 4µ

6

℘

31

− 2µ

7

℘

21

, (5) ℘

3321

− 2℘

33

℘

21

− 4℘

32

℘

31

= 2µ

5

℘

31

,

(6) ℘

3311

− 4℘

²₃₁

− 2℘

33

℘

11

= 2∆,

(7) ℘

₃₂₂₂

− 6℘

₃₂

℘

₂₂

= − 4µ

₂

µ

₇

− 2µ

₃

℘

₃₃

+ 4µ

₄

℘

₃₂

+ 4µ

₅

℘

₃₁

− 6µ

₇

℘

₁₁

, (8) ℘

3221

− 4℘

32

℘

21

− 2℘

31

℘

22

= − 2µ

1

µ

7

+ 4µ

4

℘

31

− 2∆,

(9) ℘

3211

− 4℘

31

℘

21

− 2℘

32

℘

11

= − 4µ

0

µ

7

+ 2µ

3

℘

31

, (10) ℘

3111

− 6℘

31

℘

11

= 4µ

0

℘

33

− 2µ

1

℘

32

+ 4µ

2

℘

31

, (11) ℘

2222

− 6℘

²₂₂

= − 8µ

2

µ

6

+ 2µ

3

µ

5

− 6µ

1

µ

7

− 12µ

2

℘

33

+ 4µ

3

℘

32

+ 4µ

4

℘

22

+ 4µ

5

℘

21

− 12µ

6

℘

11

+ 12∆, (12) ℘

2221

− 6℘

22

℘

21

= − 4µ

1

µ

6

− 8µ

0

µ

7

− 6µ

1

℘

33

+ 4µ

3

℘

31

+ 4µ

4

℘

21

− 2µ

₅

℘

₁₁

,

(13) ℘

₂₂₁₁

− 4℘

²₂₁

− 2℘

₂₂

℘

₁₁

= − 8µ

₀

µ

₆

− 8µ

₀

℘

₃₃

− 2µ

₁

℘

₃₂

+ 4µ

₂

℘

₃₁

+ 2µ

3

℘

21

,

(14) ℘

2111

− 6℘

21

℘

11

= − 2µ

0

µ

5

− 8µ

0

℘

32

+ 2µ

1

(3℘

31

− ℘

22

) + 4µ

2

℘

21

, (15) ℘

1111

− 6℘

²₁₁

= − 4µ

0

µ

4

+ 2µ

1

µ

3

+ 4µ

0

(4℘

31

− 3℘

22

)

+ 4µ

1

℘

21

+ 4µ

2

℘

11

.

ここに

(8.35) ∆ = ℘

32

℘

21

− ℘

31

℘

22

+ ℘

²₃₁

− ℘

33

℘

11

.

ただし

, g = 1

または

2

のときは

j > g

なる添字を含むような

℘

函数や

i > 2g + 1

なる添 字を含む

µ

_i はすべて

0

とする

.

とくに

g = 1

のときは方程式

(15)

のみ意味があるが

,

それは

℘

⁰

(u)

²

= 4f(℘(u))

から導 かれる

.

証明

[Ba3]

を参照されたい

.

そこでは

,

一般の種数に対して一般的な見地から議論がなさ

れている

.

参考文献

[Ba1] Baker, H.F. : Abelian functions – Abel’s theorem and the allied theory including the theory of the theta functions – Cambridge Univ. Press, 1897

[Ba2] Baker, H.F. : On the hyperelliptic sigma functions Amer. J. of Math., XX(1898)301-384

[Ba3] Baker, H.F. : On a system of differential equations leading to periodic functions, Acta math., 27(1903)135-156

[Ba4] Baker, H.F. : An introduction to the theory of multiply periodic functions Cam-bridge Univ. Press, (1907)

[BEL1] Buchstaber, V.M., Enolskii, V.Z. and Leykin, D.V. : Kleinian functions, hyperel-liptic Jacobians and applications, Reviews in Math. and Math. Physics, 10(1997)1–

125

[BEL2] Buchstaber, V.M., Enolskii, V.Z. and Leykin, D.V. : Rational analogs of Abelian functions, Functional Anal. Appl., 33(1999)83–94

[BEL3] Buchstaber, V.M., Enolskii, V.Z. and Leykin, D.V. : Uiformaization of Jacobi varaieties of trigonal curves, Functional Anal. Appl., 34(2000)159-171

[BG] Bauldwin, S., and Gibbons, J. : Genus 4 trigonal reduction of the Benney equa-tions, J.Phy. A, 39(2006)3607-3639

[EEMOP] Eilbeck, J.C., Enolskii, V.Z., Matsutani, S., ˆ Onishi, Y. and Previato, E. : Abelian functions of trigonal curves of genus three, to appear in “Int. Math.

Res. Notices”,

[FK] Farkas, H.M. and Kra, I. : Riemann Surfaces (2nd ed.), Grad. Text in Math.,71 [Gr] Grant, D. : Formal groups in genus two, J. reine angew. Math., 411(1990)96–121 [Gu]

軍司圭一

: Abel-Jacobi

の定理

I,

本報告集

[HL] Hensel, K. and Landsberg, G. : Theorie der algebraischen Funktionen einer

Vari-abeln und ihre Anwendung auf algebraische Kurven und Abelsche Integrale,

Teub-ner, 1902

[I]

岩澤健吉

:

代数函数論

, 1952,

岩波書店

[Kl] Klein, F.: 19

世紀の数学

, 1995,

共立出版

[Ko]

小林 真一

: Algebraic theory of Abelian varieties via schemes

本報告集

[Ku]

楠 幸男

:

函数論

, 1973,

朝倉書店

[L] Lang, S. : An introduction to Algebraic and Abelian Functions (2nd ed.), Springer-Verlag, 1982

[Ma] Macdonald, I.G. : Symmetric functions and Hall polynomials, 1995, Clarendon Press, Oxford

[Mu1] Mumford, D. : Tata lectures on theta I (Prog. in Math. 28), 1983, Birkh¨auser [Mu2] Mumford, D. : Tata lectures on theta II (Prog. in Math. 43), 1984, Birkh¨auser [Mu3] Mumford, D. : Abelian varieties, 1985, Oxford Univ. Press

[N]

中屋敷 厚

:

シグマ函数の代数的表示 本報告集

[Og]

小川裕之

:

代数曲線の

Riemann-Roch

の定理

,

本報告集

[OU]

尾崎 学

,

梅垣敦紀

: Abel-Jacobi

の定理

II,

本報告集

[Ta]

竹内端三

:

楕圓凾數論

, 1936,

岩波全書

[TD]

田中俊一

·

伊達悦朗

: KdV

方程式 （第５・６章）

, 1979,

紀伊國屋数学叢書

16

[Wei] Weil, A. :

数学の創造

, 1983,

日本評論社

[Wey] Weyl, H. : Die Idee der Riemanschen Fl¨ ache, Tuebner, 1913,

「リーマン面」

,

田 村二郎訳

,

岩波書店

, 1974

[Y]

吉富賢太郎

:

リーマン面と代数曲線

,

本報告集

シグマ関数の代数的表示

中屋敷 厚

^∗

1 ^はじめに

Weierstrass

の楕円関数論の大きな特徴は

,

楕円曲線の定義方程式に直接結びついた代数

的性格にある

. Eisenstein

級数の間の関係式の導出などはその帰結の一つである

.

楕円関数

℘(u),

加法的関数

ζ(u)

はシグマ関数の対数微分として記述されるという意味で

,

シグマ関

数が最も基本的である

.

シグマ関数の代数的性質は

,

その原点におけるべき級数展開の係 数が

,

楕円曲線の定義方程式

y

²

= 4x

³

− g

₂

x − g

₃

(1)

の係数

g

2

, g

3の同次多項式

(deg g

i

= 2i)

となるという事実の中に基本的には表現しつくさ れていると思われる

.

現今の関数論では

, ℘(u)

の満たす非線形微分方程式を導いてそれか らシグマ関数のべき級数展開を決定するが

,

これを多変数で一般に実行しようとすると困

難が多い

. Weierstrass

自身は楕円関数論をシグマ関数を定義することから始めそれを用い

て

℘(u), ζ (u)

を定義した

.

さらにシグマ関数の満たす線形の微分方程式を導出し

,

べき級

数展開を決定している

.

さて

Klein

はシグマ関数を代数的積分を用いて表示する公式を見出した

.

その直接の帰

結としてシグマ関数のべき級数展開の係数は

g

₂

, g

₃の同次多項式になることが分かる

.

さ

らに

Klein

はその公式を拡張することにより種数

2

以上の超楕円曲線に対してシグマ関数

の拡張を定義した

.

それは

g

変数の擬周期的正則関数であるが

,

その定義の仕方から原点に おけるべき級数展開の係数は

,

超楕円曲線の定義方程式の係数の適当な同次多項式になる ことが分かる

. Klein

の公式はシグマ関数の代数的性格を見事に表現したものと言える

.

本稿ではまず

Weierstrass

のシグマ関数に対する

Klein

の公式について説明し

,

その後よ り一般の平面代数曲線のシグマ関数に対する同様の公式について簡単に説明する

.

本稿の 詳細については

[7]

を

,

シグマ関数についての基本的な事柄や本稿で触れていない重要な性 質については本報告集中の大西さんによる原稿をご参照ください

.

2 Weierstrass ^{のシグマ関数}

拡張された場合の記述に都合のよいように

, Weierstrass

のシグマ関数を

3

次曲線

(1)

か ら出発して定義する

. Weierstrass

の楕円関数論についての参考文献として

[9, 10]

をあげて

∗九州大学大学院数理学研究院 e-mail: [email protected]

177

おく

. 3

次曲線

(1)

の判別式

∆ = g

₂³

− 27g

²₃

6 = 0

とし

,

それから定義されるコンパクトリー マン面を

X

とする

.

有理型微分

du = dx

y dr = xdx y

はそれぞれ

X

上の第一種

,

第二種微分を定義する

. X

上に標準ホモロジー基底

{ α, β }

を とり

,

2ω

1

= Z

α

du, 2ω

2

= Z

β

du, − 2η

1

= Z

α

dr, − 2η

2

= Z

β

dr,

により

4

つの周期を定義する

(

大西さんの原稿では

,

左辺の

2

はなく

, η

iの符号は逆である

).

du, dr

は

1

次元コホモロジー

H

¹

(X, C )

の交叉型式

◦ : du ◦ dr := X

Res Z

p

du

dr

について

du ◦ dr = 1

を満たすので

,

リーマンの周期関係式から

ω

2

η

1

− ω

1

η

2

= πi 2

が成り立つ

.

これはルジャンドルの関係式とよばれているものである

.

またリーマンの不 等式から

ω

₁

6 = 0

であること

, Im τ > 0, τ = ω

₁⁻¹

ω

₂であることがわかる

.

 従って特に

ω

₁

, ω

2は

R

上

1

次独立であることが分かる

.

この

ω

1

, ω

2

, η

1

, η

2を用いて

,

シグマ関数を次のよ うに定義する

.

定義 次の条件を満たす関数

σ(u)

をシグマ関数という

. (i) C

上正則である

.

(ii)

次の擬周期性を満たす

:

σ(u + `)

σ(u) = χ(`) exp L(u + 1 2 `, `).

ただし

` = 2ω

1

`

⁰

+ 2ω

2

`

⁰⁰

, `

⁰

, `

⁰⁰

∈ Z ,

L(u, v) = (2η

1

v

⁰

+ 2η

2

v

⁰⁰

)u, v = 2ω

1

v

⁰

+ 2ω

2

v

⁰⁰

, v

⁰

, v

⁰⁰

∈ R .

χ(`) = ( − 1)

^`0+`00+`0`00

.

(iii)

原点におけるべき級数展開は次の形をしている

: σ(u) = u + O(u

²

).

条件

(i), (ii)

を満たす関数は

,

ヤコビ

-

リーマンのテータ関数

θ

ドキュメント内 ii 15 Abel,,,.,,,.,,, ( ) ( ) 8 24 ( ) : : ( ), ( ) 8 20 ( ) 15:30 16:10 16:30 17:00 (ページ 176-187)