超楕円的 Riemann 面とその Abel 微分

無限遠点が

1

点のみの代数曲線

(d, s)-curve

いま

d < s

を互ひに素な

2

つの自然数とし

,

(3.1) f(x, y) = y

^d

+ p

1

(x)y

^d−1

+ · · · + p

d−1

(x)y − p

d

(x)

とおく

.

但し

p

_j

(x)

は

x

の

b

^js_d

c

次の多項式で

,

その係数を

(3.2)

p

j

(x) = X

k

µ

_ds−dk

x

^k

, (1 5 j 5 d − 1)

p

d

(x) = x

^s

+ µ

ds−d

x

^s−1

+ µ

ds−2d

x

^s−2

+ · · · + µ

ds

と書くことにする

.

ここで

(3.3) f(x, y) = 0

で定義される曲線を考へる

.

これは無限遠点に唯

1

つの点をもつ代数曲線

C

の

affine

部 分である

.

この様な曲線を

(d, s)

曲線 と呼ぶ

.

この場合

,

次の

weight

を導入することが できる

.

即ち

(3.4) wt(x) = − d, wt(y) = − s, wt(µ

j

) = − j.

さすれば

, f (x, y)

のみならず

,

この曲線に関するあらゆる等式はこの

weight

について斉次

になる

.

この

note

のほとんどの内容は上のより一般な曲線についても定式化されてつつある

.

一 方例へば

d

と

s

が互ひに素でない様な曲線については

,

それが上の形の曲線と同型でない ならば

,

それの扱ひは今後の課題である様に思はれる

.

超楕円曲線

以下では

d = 2, s = 2g + 1 (

奇数

), p

1

(x) = 0

の場合のみ

,

即ち

, (3.5) y

²

= x

^2g+1

+ µ

₂

x

^2g

+ · · · + µ

_4g+2

により得られる射影曲線⁶

(

超楕円曲線

) C

についてのみ

Abel

函数について述べる

.

ここで

µ

j はすべて定数

( ∈ C )

であり

,

右辺を

f (x)

と書くとき

f (x) = 0

は重根を持たないもの と仮定する

.

この場合

, weight

は

(3.6) wt(x) = − 2, wt(y) = − (2g + 1), wt(µ

j

) = − j

となつてゐる

.

6実際にこれを射影空間内の代数曲線として実現することに関しては, [Mu2], p.3.12-3.16に記されている.

図

3.11

第

1

種微分形式

,

周期行列

第

1

節と第

2

節の

Riemann

面

X

として上の超楕円曲線

C

を取る

.

したがって

, X

の 種数は

g

である

.

次に

, f (x) = 0

の

2g + 1

個の根に順序を適当に入れて

(3.7) c

1

, a

1

, c

2

, a

2

, · · · , c

g

, a

g

, c

とする

.

従つてもちろん

(3.8) f(x) = (x − a

1

) · · · (x − a

g

)(x − c

1

) · · · (x − c

g

)(x − c).

また

,

記号

∞

で

X

の無限遠点を記す

.

また

A

j

(a

j

, 0)

と書く

. 1.13

にある様に

X

には

g

個の

C

上

1

次独立な第

1

種微分形式が存在するが

,

いまの場合は

(3.9) ω

j

= x

^j−1

dx

2y (j = 1, · · · , g)

をそれらに取ることができる

.

さて

,

前章と同様に

X

上に

2g

個の路

(3.10) α

_j

, β

_j

(j=1, · · · , g)

を の様に定めると

,

その交点数は

(3.12) α

_i

· α

_j

= β

_i

· β

_j

= 0, α

_i

· β

_j

= δ

_ij

となつてをり

,

これらは

, X

の

homology

群

H

1

(X, Z )

の基底をなす

.

以下では

,

簡単のた めに

,

(3.13) ω =

^t

h

ω

1

· · · ω

g

i

とかく

.

上の

ω

j に対する

α

j

, β

j の周期のなす行列をやはり

(3.14) Ω

⁰

=

"Z

αj

ω

i

#

, Ω

⁰⁰

=

"Z

βj

ω

i

#

, Ω =

"

Ω

⁰

Ω

⁰⁰

#

と書く

.

系

1.34

により

Ω

⁰ は正則であるが

,

いま

(3.15)

t

h ˆ

ω

₁

· · · ω ˆ

_g

i

:= Ω

^{0−1 t}

h

ω

₁

· · · ω

_g

i

T := Ω

⁰⁻¹

Ω

⁰⁰

とおけば

, (3.16)

"Z

αj

ˆ ω

i

#

= 1

g

,

"Z

βj

ˆ ω

i

#

= T

となる

.

これも本書では

(3.17) ω ˆ =

^t

h

ˆ

ω

1

· · · ω ˆ

g

i

のように書く

.

上記の微分形式

ω ˆ

1

, · · · , ˆ ω

g を正規化された第

1

種微分形式と呼ぶのであ つた

.

3.1.1

標準的な第

1,

第

2

種・第

3

種微分形式とそれらの関係 以下

, X

上の各点

P

における局所径数

t

を考へるが

,

具体的には

(3.18) t =

 

 

 



x − x(P) y(P) 6 = 0, ∞

のとき

,

y y(P) = 0

のとき

y

x

^g+1

y(P) = ∞

のとき とすればよい

.

定義

3.19

定義

1.43

の記号をここでも用いる

:

即ち

(1) 2

点

Q

₁

, Q

₂

∈ X

に対し微分形式

τ

_Q1,Q2 で次の条件を満すものが唯

1

つ存在する

: Q

₁

, Q

₂ 以外のすべての点において正則で

, ord

Q1

τ

Q1,Q2

= ord

Q2

τ

Q1,Q2

= − 1

かつ

Res

Q1

τ

Q1,Q2

= 1, Res

Q2

τ

Q1,Q2

= − 1

であり

,

すべての

j

について

(3.20)

Z

αj

τ

Q1,Q2

= 0

となる

.

(2)

局所径数

t

を与えられた点

P ∈ X

に対して

η

_P,t を

P

以外のすべての点において正則 で

, ord

P

η

P,t

= − 2

で

P

における

Laurent

展開が

(3.21) η

_P,t

=

− 1 t

²

+ · · ·

dt

の形であり

, (3.22)

Z

αj

η

P,t

= 0

となるような微分形式とする

.

次に

H

1

(C, Z )

の生成元

(3.23) α

i

, β

j

(1 5 i, j 5 g)

を

(1.16)

の様に

,

それらの交点数が

α

i

· α

j

= β

i

· β

j

= δ

ij

, α

i

· β

j

= 0

となるやうに選ぶ

.

次に

,

先の

(3.9)

の

ω

j から定まる周期

(3.24) [ Ω

⁰

Ω

⁰⁰

] =

Z

αi

ω

_j

Z

βi

ω

_j

i,j=1,2,···,g

を考へる

.

さらに文字

Z, W

を使つて

C

上の

2

点

P(x, y), Q(z, w)

について

(3.25) [(x, y), (z, w)] = 1

(x − z)

_∂y^∂

f(x, y) X

g k=1

y

^g−k

f (Z, W ) W

^g+1−k

+ W

(Z,W)=(z,w)

とおく

.

これは

weight

が

− d = − 2

で斉次である

.

ただし

, [ ]

⁺_W は

W

について負羃の項 を取り除くことを意味する

.

ドキュメント内 ii 15 Abel,,,.,,,.,,, ( ) ( ) 8 24 ( ) : : ( ), ( ) 8 20 ( ) 15:30 16:10 16:30 17:00 (ページ 155-158)