Picard 多様体としての Jacobi 多様体 - ii 15 Abel,,,.,,,.,,, ( ) ( ) 8 24 ( ) : : ( ), ( ) 8 20 ( ) 15:30

コンパクトリーマン面

X

上に直線束はどのくらいあるのか，言い換えれば

Pic(X)

の構造がどうなっているのかを調べることは興味ある問題である．重要なのは

Pic(X)

には代数多様体

(

あるいは射影的な複素多様体

)

の構造が入るという事実である．直線束たちの群演算により

Pic(X)

にも群構造が入り，すなわち

Pic(X)

は代数群になる．

Pic(X)

自体はやや

“

大きすぎる

”

代数群であるため，もう少し細かく分けて調べるほ

うがよい．

Pic(X)

の元はすべて

L = O

(D)

の形をしており，因子

D

は線形同値をのぞいて一意的に定まる．因子の次数は線形同値で不変であるから，これによって直線束の次数

deg L

が定まる．

Pic

ⁿ

(X)

で次数が

n

であるような

Pic(X)

の元からなる部分集合を表すことにする．

このとき

Pic

⁰

(X)

は部分群であり，

Pic(X) = `

Pic

ⁿ

(X)

と分解される．また

X

上の点

P

をとったとき

Pic

⁰

(X) → Pic

ⁿ

(X), L 7→ L ⊗ O (nP )

は全単射であるから，我々の目的は

Pic

⁰

(X) ' Div

⁰

(X)/ Div

(X)

を調べることに帰着される．ただし

Div

⁰

(X)

で次数

0

の因子からなる群を表す．

さてこの稿の一番の目的は，以下の定理について解説することである．

定理

2.2 X

を種数

g

のコンパクトリーマン面とする．このとき

C

^gの中にある格子

Λ

が存在して，

Pic

⁰

(X)

は

g-

次元複素トーラス

C

/Λ

と群同型となる．

言い換えれば

Pic

⁰

(X)

のパラメーター空間として，複素トーラス

C

/Λ

が取れるということである．これを言い換えると

“X

上の次数

0

の直線束のモジュライ空間は複素トーラス

C

/Λ

である

”

ということになる．

注意こうして作られる

C

/Λ

は，単に複素トーラスというだけでなく，射影的な複素多様体である．これにより

C

/Λ

には代数多様体の構造も入る．射影的な複素トーラスを

( C

上の

)

アーベル多様体と呼ぶ．

例

2.1 g = 0

の場合，

Pic

⁰

(X) = { 1

点

}

が定理の主張である．すなわち

P

¹ の因子類は次数のみで決まってしまうということであるが，これは以下のようにして分かる．

D = P

i=1

(P

− Q

)

を

P

¹ 上の次数

0

の因子であるとする．例えば

P

= P

l+1

= · · · = P

= ∞

であり，

P

(1 ≤ i < l), Q

(1 ≤ i ≤ r) ∈ C

であるならば，

ϕ(x) = Q

_l−1

i=1

(x − P

) Q

i=1

(x − Q

)

は

C

上において，零点集合が

{ P

, . . . P

l−1

}

，極の集合が

{ Q

, . . . , Q

}

となる．また無限遠点では分母と分子の次数を比較して

r − l

位の零点を持つことが分かる．ゆえに

(ϕ) = D

である．

この例は極めて簡単であるが，本稿での

Abel

の定理の証明の雛形ともいえるものである．なお，下記の

g = 1

の場合同様，

Riemann-Roch

の定理からも容易に導ける．

例

2.2 g = 1

の場合，次数が

1

の因子

D

に対して，ただ一つの点

P

が存在して

D ∼ P

となる．実際次数の関係から

L(K

− D) = 0

が成り立つことに注意すると，

Riemann-Roch

の定理から

dim L(D) = deg D − 1 + g = 1

であり，

D

と線形同値な有効因子

P

が唯一つ存在することが分かる．よって

X

上の一点

P

0 を固定すれば，

X → Pic

⁰

(X), P 7→ P − P

₀ は同型射になる．すなわち

Pic

⁰

(X) ' X = C /Λ

がなりたつ．

X

がコンパクトリーマン面である場合，こうしてつくられた複素トーラス

C

/Λ

を

Jacobi

多様体と呼び，

Jac(X)

で表す．

Pic

⁰

(X)

がモジュライ空間であるということについて補足しておく．モジュライ空間とは単にパラメーター空間であるというだけではなく，より強い条件を満たすものである．

C

上のスキームのなす圏

Sch/ C

から集合の圏

Set

への反変関手

Pic

⁰_X を

T 7−→ { X × T

上の次数

0

の直線束の同値類

} { pr

^∗_T

( L ) | L

は

T

上の直線束

}

で定める．ただし

pr

_T は

X × T

から

T

への射影であるとし，

X × T

上の直線束が次数

0

とは，

T

の各点で引き戻したときに次数が

0

であると定義する．

このとき関手

Pic

⁰_X は表現可能

(representable)

である．すなわち

C

上の群スキーム

Pic

⁰

(X)

が存在して

Pic

⁰_X

(T ) = Hom

_C-Sch

(T, Pic

⁰

(X))

が成り立つ

(

群の同型

)

．このようなスキーム

Pic

⁰

(X)

を精モジュライ

(fine moduli)

という．実は定理

2.2

より強い主張

:

関手

Pic

⁰_X は表現可能で，精モジュライ

Pic

⁰

(X)

として

C

/Λ

が取れる，が成り立っている．

特に

T = Spec C

とすれば，

X

上の直線束の同値類

Pic

⁰_X

( C )

が

C

/Λ

の各点と対応しているいう主張になる．これが定理

2.2

のいうところである．

注意

“

次数

0”

の条件をはずして関手

Pic

X を考えても表現可能である．この場合

Pic

⁰

(X)

はモジュライ群スキームの単位連結成分に相当する．

注意

X

として一般の射影スキームを考えても

(

次数

0

の条件を適切に置き換えて

)

同様の結果が成り立つ．特に

X

がアーベル多様体のとき，モジュライスキーム

Pic

⁰

(X)

は双対アーベル多様体

X b

になる．この場合，表現可能の定義で

T = X b

とおくと，

Pic

⁰_X

( X) = Hom( b X, b X) b

であるから，

X × X b

上に

id

_X_b に対応する直線束が存在する．

これが

Poincar´e

束に他ならない

(cf [Ko])

．

注意

Jacobi

多様体には，

Albanese

多様体としての側面もある．一般に

X

を射影的な

代数多様体とするとき，

X

に対してアーベル多様体

Alb(X)

と写像

ι : X → Alb(X)

が存在して以下の普遍性を満たす

:

任意のアーベル多様体

A

と

X

から

A

への写像

f

に対して，写像

g : Alb(X) → A

が唯一つ存在して

f = g ◦ ι

が成り立つ．

このような性質を満たす

Alb(X)

を

X

の

Albanese

多様体と呼ぶ．

X

がコンパクトリーマン面である場合には

Alb(X) = Jac(X)

が成り立つ．すなわち，

X

の

Picard

多様体と

Albanese

多様体は一致している

(

実際，コンパクト

K¨ahler

多様体

X

に対しては，

Pic

⁰

(X)

と

Alb(X)

は互いに双対である

)

．

3 ^{複素トーラスとしての} Jacobi ^{多様体の構成}

X

をコンパクトなリーマン面で種数を

g

とする．このとき

X

上の

2g

個の

path α

, . . ., α

, β

₁

, . . ., β

_g を以下の図のように定める．

α

β

₁

β

₂

β

₃

β

H

(X, Z )

は階数が

2g

の自由アーベル群となる．

H

(X, Z)

の交差積

h , i

を，

X

上の

1-cycle γ

と

γ

⁰ に対して，

γ

が

γ

⁰ を左から右に通過するように¹一回交わっているとき

h γ, γ

⁰

i = 1, h γ

⁰

, γ i = − 1

として定める．すなわち上の図では

h α

, α

i = h β

, β

i = 0, h α

, β

i = −h β

, α

i = δ

となる．

注意交差積は次のようにして定義できる

: Poincar´e

双対性から

H

(X, Z ) ' H

(X, Z )

1[Mum, P.137]では逆向きになっているが，この稿とαi,βi の役割が逆になっているため，辻褄は合っている．

であるが，一方普遍係数定理より自然な非退化双線形形式

H

(X, Z ) × H

(X, Z ) −→ Z

が存在する．これらの合成が交差積

h , i

である．

次に紹介する

de Rham

の定理は，

C -

係数

de Rham

コホモロジー

H

(X, C )

と，

sin-gular

コホモロジー

H

_sing¹

(X, C )

との間の自然な同型を与える．

定理

3.1 (de Rham

の定理

)

自然な写像

H

_dRⁱ

(X, C ) → H

_singⁱ

(X, C ) = H

(X, C )

^∗

, [ω] 7→

γ 7→

Z

ω

は同型射となる．ただし

∗

は

dual

を表わし，最後の積分は，

i-form

を

i-cycle

上積分することを意味する．

H

⁰

(X, Ω

)

の元

ω

は

closed 1-form

，すなわち

dω = 0

である．実際

d = δ + δ

と

d

を正則微分と反正則微分に分けると，

ω

が正則であることより

δω = 0

，また

δω

は正則

2-form

になるが，

X

が複素

1

次元であることより

δω = 0

も成り立つ．

以上の考察より，

H

(X, C )

は

2g

次元のベクトル空間であるが，その

de Rham

コホモロジーとしての基底として，

ω

, . . ., ω

, ω

, . . ., ω

(

の与える類

)

が選べることがわかる．以上より次が示された

:

系

3.2

自然な写像

H

(X, Z ) −→ H

⁰

(X, Ω

)

^∗

, γ 7→

ω 7→

Z

ω

は埋め込みを与える．

よって

H

(X, Z )

は

g-

次元

C -

ベクトル空間

H

⁰

(X, Ω

)

^∗ の中の階数

2g

の離散部分群を与える．

H

⁰

(X, Ω

)

^∗ の基底を固定して

C

^g と同一視し，そのもとで

H

(X, Z )

の像を

Λ

とかくことにすると

Λ

は階数が

2g

の自由アーベル群になる．まずはこの

Λ

について詳しく調べよう．

定理

3.3 (Riemann

の関係式および不等式

)

(1) ω, η

を

X

上の正則

1-form

とするとき

X

i=1

Z

αi

ω Z

βi

η

− X

i=1

Z

αi

η Z

βi

ω

= 0.

(2) ω 6 = 0

を正則

1-form

とするならば

Im

X

i=1

Z

αi

ω Z

βi

ω

!

> 0.

証明

X

を

α

i および

β

i によって切り開くと

4g

角形ができる．

1-cycle α

, β

i の左側および右側をそれぞれ

α

⁺_i

, β

_i⁺ および

α

_i⁻

, β

_i⁻ で表すことにすると以下の図のようになる．

α

⁺_i

β

_i⁺

α

⁻_i

β

_i⁻

4g

角形の周囲

∂X

0 は

∂X

= P

i=1

(α

_i⁺

− α

⁻_i

) + P

i=1

(β

_i⁺

− β

_i⁻

)

で与えられる²．このとき

X

0 は単連結であるから，ある

X

0 上の正則関数

f

が存在して，

1-form η

は

η = df

の形で書くことができる．

f ω

は正則

1-

形式より

d(f ω) = 0

．よって

Green

の定理から

0 = Z

d(f ω)

= Z

∂X0

f ω

= X

i=1

Z

α⁺_i

f ω − Z

α⁻_i

f ω + Z

β⁺_i

f ω − Z

β⁻_i

f ω

!

= X

Z

αi

(f |

α⁺_i

− f |

α⁻_i

) ω + X

Z

βi

(f |

β_i⁺

− f |

β⁻_i

) ω.

ここで，

df = η

は

X

上定義されているから，当然

η |

α⁺_i

= η |

α⁻_i であり，よって

f |

α⁺_i

− f |

α⁻_i

は定数でなければならない．

β

i は

α

⁺_i から

α

⁻_i を結ぶ道であるから³，この値は

− R

βi

η

となる．

同様に

f |

β⁺_i

− f |

β⁻_i

= R

η

となり，結局

0 = − X

Z

βi

η Z

αi

ω + X

Z

αi

η Z

βi

ω

が成り立ち，

(1)

を得る．

(2)

については

f = dω

なる

f

をとれば上と同様の計算により，

Z

d(f ω) = − X

Z

βi

ω Z

αi

ω + X

Z

αi

ω Z

βi

ω = 2i Im X

Z

βi

ω Z

αi

ω

!

2[Mum]とは逆の向きになっている.

3βがαを右から左に通過しているから

が成り立つことが分かる．一方

d(f ω) = d f ∧ df = df

dz

dz ∧ dz

であり，

z = x + iy

とかくと，

dz ∧ dz = 2i dx ∧ dy

が成り立つ．ゆえに

ω 6 = 0

ならば

(1/2i) R

f ω > 0

であることから主張を得る．

2

この定理から次の重要な結果を得る．

定理

3.4 ω

₁

, . . . , ω

_n を

H

⁰

(X, Ω

)

の基底とする．

A

_ij

= R

αi

ω

_j，

B

_ij

= R

βi

ω

_j とすると，

det(A

)

i,j

6 = 0

であり，

τ = A

⁻¹

B ∈ H

^g が成り立つ．ここに

H

= { Z ∈ M

( C ) |

Z = Z, Im(Z) > 0 (

正定値

) }

と定める．

証明

ω ∈ H

⁰

(X, Ω

)

がすべての

α

_i に対して

R

αi

ω = 0

を満たせば，定理

3.3 (2)

から

ω = 0

である．よって

det(A

) 6 = 0

が分かる．後半は，

H

⁰

(X, Ω

)

の基底を

R

αi

ω

= δ

となるように正規化しておく．定理

3.3 (1)

で

ω = ω

, η = ω

j とすれば

τ

= τ

ji となる．

最後に

(2)

で

ω = P

a

ω

_i とおけば，

a =

(a

₁

, . . . , a

)

に対して ^t

a Im(τ )a > 0 (a 6 = 0)

が成り立つことより主張を得る．

2

これにより

H

⁰

(X, Ω

)

の基底

ω

, . . . , ω

g を

R

αi

ω

= δ

ij となるように選ぶことができる．この基底を使い

H

⁰

(X, Ω)

^∗

' C

^g と同一視すれば，

H

⁰

(X, Ω

)

^∗

/H

₁

(X, Z ) = C

/Λ

_τ

, Λ

_τ

= Z

+ τ Z

^g が成り立つ．以下この基底を固定して議論を進めることとする．

補題

3.5 Λ

_τは

C

^gの格子

(lattice)

を与える．

証明実際

det 1

τ 1

τ

!

6 = 0

であることから

Λ

_τ

⊗ R = C

^g であることが導かれる．

2

定義

3.1 Jac(X) = C

/Λ

τ とかいて，これをコンパクトリーマン面

X

の

Jacobi

多様体と呼ぶ．

4 ^{周期写像と} Abel-Jacobi ^の定理

コンパクトリーマン面

X

上の基点

P

0 を固定しておく．

X

上の

path γ

に対して，簡

単のため

Z

ω :=

Z

ω

, . . . , Z

ω

∈ C

と記述することにする．このとき

Λ

_τ

= { Z

ω ∈ C

| γ ∈ H

₁

(X, Z ) }

となる．

定義

4.1 D = P

(P

− Q

) ∈ Div

⁰

(X)

を次数

0

の因子とする

(P

i および

Q

i には重複があってもよい

)

．このとき写像

I : Div

⁰

(X) → Jac(X)

を

I(D) = X

Z

ω mod Λ

で定める．

R

P_i

ω mod Λ

τ は

Q

i から

P

i への

path

のとり方によらない．実際

path

の取替えは

1-cycle α

, β

_i 上での積分の整係数線形結合分のずれに相当するため，同じ

Λ

_τ

-

同値類に属する．よって特に写像

I

は

D = P

(P

− Q

)

の書き方にもよらず

well-defined

であることが確かめられる．

補題

4.1 D ∈ Div

(X)

ならば

I(D) = 0

．すなわち

I

は

Pic

⁰

(X) = Div

⁰

(X)/ Div

(X)

から

Jac(X)

への群準同型を導く．この写像も同じ

I

で表し，これを周期写像と呼ぶ．

証明

X

上の有理型関数

f

をとる．

f

を

X

から

P

¹ への写像と考え，

t ∈ P

¹ に対して

f

⁻¹

(t) = D(t)

を

X

の有効因子とみなすことにする．

deg D(t)

はすべての

t

に対して一定であるからこれを

n

とおく．今

X

上の基点

P

0 を固定しておき，

φ : P

−→ Jac(X), t 7−→

Z

D(t) nP0

ω mod Λ

を考えるとこれは正則写像である．

ところが

P

¹は単連結ゆえ，

φ

は

φ e : P

→ C

^gに持ち上がる．

P

¹上定義された正則関数は定数のみであるから

φ e

，よって

φ

は定数写像になる．特に

ϕ(0) = ϕ( ∞ )

であるが，

I(D) = φ(0) − φ( ∞ )

であるから主張を得る．

2

定理

4.2 (Abel-Jacobi

の定理

)

周期写像

I : Pic

⁰

(X) → Jac(X)

は同型射である．

この定理に関しては，周期写像の単射性を

Abel

が，全射性を

Jacobi

が示したとされている．以下これを証明するのがこの稿の目的であるが，その前に曲線の対称積との関連を述べておこう．

5 ^{曲線の対称積}

まず次の補題を示す．

補題

5.1 X

を種数

g

のコンパクトリーマン面とする．

P

∈ X

を基点として固定しておくと，任意の

D ∈ Div

⁰

(X)

に対してある

P

, . . . , P

∈ X

が存在して，

D

は

P

+ · · · + P

− gP

₀ と線形同値になる．

証明

D + gP

0は次数が

g

の因子であるから，

Riemann-Roch

の定理より

l(D + gP

) = l(K

− D − gP

) + deg(D + gP

) − g + 1 ≥ g − g + 1 = 1

が成り立つ．よって

D + gP

0 と線形同値な有効因子

P

+ · · · + P

g が存在する．

2

この補題から

Pic

⁰

(X)

の代表系として

P

i=1

P

− gP

0 の形のものが取れることがわかる．そこで

J : X

:= X | × · · · × {z X }

g個

→ Jac(X), (P

, . . . , P

) 7→ X

Z

ω mod Λ

なる写像を考えると，

Im J = Im I

が成り立つ．さらに

J

は

P

i たちの並べ替えで不変であることに注意すると，

X

^(g)

= X

/S

(S

g は

g

次対称群

)

に対して

J

は

X

^(g) から

Jac(X)

への写像を誘導する．

補題

5.2 X

^(g) は

g-

次元の複素多様体になる．すなわち特異点を持たない．こうして定まる

X

^(g) を

X

の対称積と呼ぶ．

証明

X

^(g)で特異点の出てくる可能性のあるのは，

i 6 = j

に対して

i

番目と

j

番目の成分が等しくなるような点の近傍のみである．ところが

P

_iの

X

での局所座標を

t

_iと書いたとき，例えば

P

= · · · = P

= P

なる点の近傍に対しては，

t

iたちの基本対称式

σ

(t)

が

(P, . . . , P )

の局所座標を与えることが示される．よって

g

個の独立な局所変数が取れる

ため，

X

^(g)は

(P, . . . , P )

で特異点を持たない．

2 Im I = Im J

であったから，例えば周期写像

I

の全射性を言うためには

J

が全射であることを示せばよい．

J

は複素多様体の間の正則写像であるから写像の幾何的な性質を使うことができる．これが対称積を考える利点の一つである．

実は

J

は

“

ほぼ同型

”

である

(

双有理写像

)

．すなわち

X

^(g) と

Jac(X)

は

“

近い

”

複素多様体であることが以下示される．

例

5.1 (

種数

2

のリーマン面

) C

を種数

2

の代数曲線とする．このとき

C

は超楕円曲線であり，定義方程式は

y

= x

⁵

+ · · ·

で表わされる．今

(x, y) 7→ (x, − y)

で与えられる対合

(hyperelliptic involution)

を

ι

で表わすことにしよう．

(x, y) 7→ x

で与えられる写像

f : C → P

¹ を考えると，各

x ∈ P

¹ に対してある

P ∈ C

が存在して，

f

⁻¹

(x) = { P, ι(P ) }

が成り立つ．すなわち

C/ h ι i ' P

¹ である．

対合

ι

は以下のような特徴付けも出来る．すなわち

K

_C を

C

の標準因子としたとき，

各点

P ∈ C

に対して

Riemann-Roch

の定理より

l(P ) − l(K

− P ) = deg P − g + 1 = 0

であるが，留数定理より

l(P ) = 1

，よって

l(K

− P ) = 1

が成り立つ．ゆえに

K

∼ P +Q

が成り立つような

Q ∈ C

が唯一つ定まる．この

Q

が

ι(P )

に他ならない．さて，以上の準備の下で

C

⁽²⁾と

Pic

⁰

(C)

の関係について調べてみよう．

C

の基点

P

0として，無限遠点

∞

をとり，

Ψ : C

⁽²⁾

→ Pic

⁰

(C), (P

₁

, P

₂

) 7→ P

₁

+ P

₂

− 2 ∞

を考える．補題

5.1

から

Ψ

は全射になる．

Riemann-Roch

の定理から

l(P

+ P

) = l(K

− P

) + deg(P

+ P

) + 1 − g = 1 + l(K

− P

)

が成り立つ．

P

6 = ι(P

)

であれば

l(K

− P

) = 0

であり

(

次数が

0

であって主因子ではない

)

，ゆえに

l(P

+ P

) = 1

，すなわち

P

+ P

2と線形同値な有効因子は他に存在しない．これを言い換えると，

D = { (P, ι(P )) ∈ C

⁽²⁾

}

と置いたときに，

C

⁽²⁾

rD

上では

Ψ

は単射になる．一方任意の

P ∈ C

に対して

P +ι(P ) ∼ 2 ∞ ∼ K

Cであるから，

Ψ( D ) = { 0 }

が成り立つ．

D ' C/ h ι i ' P

¹であり，実は自己交点数

( D

) = − 1

が計算できる．ゆえに

Castelnuovo

の定理

([Har, Theorem 5.7, Chapter V])

から

D

は例外因子となることが分かる．すなわちある曲面

Z

と

π : C

⁽²⁾

→ Z

が存在して，ある

z

∈ Z

に対して

π

⁻¹

(z

) = D

かつ

π : C

⁽²⁾

r D → Z r { z

}

は同型写像になる

(z

0 を中心とした

blow-up)

．

Ψ

から誘導される

Ψ : e Z → Pic

⁰

(C)

は全単射である．よってこのようにして作られる曲面

Z

こそが，

我々の求めている

Jacobi

多様体

Jac(C)

に他ならない．

注意自己交点数

( D

) = − 1

は以下のようにして計算できる．自然な写像

pr : C × C → C

⁽²⁾ と対角埋め込み

∆ : C → C × C, x 7→ (x, x)

に対して

ϕ : C × C −−→

^1×ι

C × C −→

^pr

C

⁽²⁾

を考えると

D = ϕ(∆(C))

であり，

deg ϕ = 2

であることから

C × C

において

(∆(C)

) =

− 2

を証明すればよい．

C × C

上での層の完全列

0 → I → O

C×C

→ ∆

_∗

O

→ 0

を考える．ここに

I

は閉埋め込み

∆

に対応するイデアル層であり，

I ' O

C×C

( − ∆(C)) ([Har, Proposition 6.18, Chapter II])

．よって交点数の定義から

(∆(C)

) = deg

∆

^∗

O

^C×C

(∆(C)) = − deg ∆

^∗

I

が成り立つ．一方上の完全系列に局所自由層

I

をテンソルすることにより

0 → I

→ I → ∆

_∗

O

⊗ I → 0

を得る．すなわち

I / I

' ∆

_∗

O

⊗ I

が成り立ち，よって

Ω

¹_C

= ∆

^∗

( I / I

) ' ∆

^∗

I

である

(∆

は閉埋め込みゆえ，

C

上の任意の

O

^C 加群層

F

に対して

∆

^∗

∆

_∗

F = F

が成り立つことに注意

)

．以上より

(∆(C)

) = − deg Ω

¹_C

= 2 − 2g = − 2

が示された．

2

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