Hopf 代数による弦の量子化 (Hamiltonian 形式 )

4.2.2節にて古典的なHopf代数H^ph及びH^ph-module代数A^phが導入された．ここでは古典的 なHopf代数H^phをねじる事によってHamiltonian形式でも弦の量子化が行えることを見る．そ

してHamiltonian形式の経路積分量子化での正規順序積についても議論する．

4.3.1 Hopf代数によるWick縮約（Hamiltonian形式）

まずは3.2.1節と同様に，経路積分量子化でのWick縮約の操作をHopf代数にて構成する．再

び発見的に次の2つの写像を考える．

N^ph−1.:A^ph→ A^ph, N^ph−1 =exp 1 2

¨

d²zid²zj

δ

δuE(zi)·GE(zij) δ δuE(zj)

O[u_E]

G_E(zij) = 1 2π











−_4πα¹ 0(Bg⁻¹B−g)∂σi∂σj −¹₂(∂τi−iBg⁻¹∂σi)

−¹₂(∂_τj+ig⁻¹B∂_σj) −πα⁰g⁻¹











ln|z_ij|²

τ :A^ph→C, τ(I[P_E, X]) =I[P_E, X]

uE=0

ここで，Green関数GEはPE, Xに依存しないため特にN^ph−1 ∈U(C)である．τはH^ph-module 代数A^ph の中に入っている場PE, Xを共に0に置く写像である．この2つの写像の合成写像に よって，経路積分期待値(4.3)を再現することができる．すなわち，

τ ◦ N^ph−1.:A^ph→C

hI[P_E, X]i₀ =τ ◦ N^ph−1. I[P_E, X] (4.14) である．このやり方はただ単に経路積分のWick縮約を取る操作をHopf代数で読み替えたに過ぎ ないので，以後この(4.14)を経路積分V.E.V.と呼ぶ．経路積分量子化ではそのままWick縮約を 取ると自己縮約による発散が生じるため，その発散を取り除くべく経路積分に挿入されている頂 点演算子は正規順序化されていると考えている．したがって経路積分の書き換えである(4.14)^で も同じ発散が生じるため，(4.14)の表式をwell-definedにするためには，頂点演算子に対して正規 順序化を行う必要がある．この正規順序化をHopf代数で書けば，自己縮約から来る発散項を取り 除けばよいので，

:F[P_E, X] : (z) =N^ph. F[P_E, X](z)

とすればよい．この正規順序化のためのN^phと，Wick縮約のためのN^ph−1はHopf代数H^phと して逆元になっているので，例えば1つの局所演算子の経路積分V.E.V.は

h:F[PE, X] : (z)i₀ =τ◦ N^ph−1.(N^ph. F[PE, X](z))

=τ(F[PE, X](z))

となる．これはF[P_E, X]が定数項を持たない限り0となる．2つの局所演算子の積の経路積分 V.E.V.に対しては

h:F[PE, X] : (z1) :G[PE, X] : (z2)i₀=τ ◦ N^ph−1. m h

(N^ph⊗ N).(F[PE, X]⊗G[PE, X]) i

=τ ◦mh

∆(N^ph−1)(N^ph⊗ N^ph).(F[P_E, X]⊗G[P_E, X])i (4.15)

となる．ここで，∆(N^ph−1)(N^ph ⊗ N^ph)の部分の作用について考えると，今のGreen関数が G^>_E(z_ji) =G_E(z_ij)でありG_E がP_E, Xに依存しないため，3.2.1節での議論が同様に成り立つ．¹ 従って，

∆(N^ph−1)(N^ph⊗ N^ph) =exp¨

d²z_id²z_j δ

δu_E(z_i) ·G_E(z_ij)⊗ δ δu_E(z_j)

(4.16)

と書ける．(4.16)の作用ははテンソル積にまたがった部分のみWick縮約を取り，自己縮約は取ら ない事に相当する．ここからツイスト要素F^phを

F^ph:=exp

−

¨

d²zid²zj

δ

δuE(zi) ·GE(zij)⊗ δ δuE(zj)

∈ H^ph⊗ H^ph (4.17)

と定義する．以上のことから正規順序化された2つの局所演算子の積の経路積分V.E.V.^は，

h:F[P_E, X] : (z1) :G[P_E, X] : (z2)i₀ =τ ◦m h

F^ph−1.(F[P_E, X]⊗G[P_E, X])

i (4.18) と書ける．

4.3.2 量子化をHopf代数のツイストと捉える(Hamiltonian形式)

4.3.1節での議論から，2点相関関数のV.E.V.はHopf代数ではツイスト要素F^phを用いて書く ことができることが分かった．ここでは3.2.2^{節での議論と同様に，}Hopf^{代数によるツイスト量} 子化を推し進める．まずはツイスト要素F^phにより古典的な代数のセット(H^ph,A^ph)がツイスト された代数のセット(H^ph_Fph,A^ph_Fph)に変わることを見ていく．

ツイスト量子化のセットアップは

• H^ph =U(X^ph)を汎関数ベクトル場のHopf^{代数とする．}

• A^ph を古典的な汎関数の代数とする．（A^phにはm積のH^ph-module代数の構造が入って いる．）

• ツイスト要素F^phとしては2-cocycle conditionを満たすものを用いる．

いま用いている(4.17)^{のツイスト要素}F^phはGreen^関数GEにPE, X依存性が無いため，Fと同 様に2-cocycle conditionを満たす．

ツイスト要素F^phが与えられると，ツイストされたHopf代数H^ph_Fphを作ることができる．

1計算の詳細は付録Iに示した．

ツイストされたHopf代数

ツイストされたHopf^{代数の元は}Hopf^{代数と変わらず} H^ph_Fph =U(X^ph)

であり，この上に演算µ, ι,∆F, , SFが定義されている．µ, ι, はHopf代数の時と変わらない が，∆_Fph, S_Fphについてはツイストされており

∆_Fph(h) =F^ph∆(h)F^ph−1

S_Fph(h) =U S(h)U⁻¹ , U =µ(id⊗S)F^ph ただし，h∈ H^ph_Fph =U(X^ph)

とする．

Hopf代数がツイストされることに合わせて，H^ph-module代数A^phの方もツイストされH^ph_Fph-module 代数A^ph_Fph になる．A^ph_Fph の元はA^ph と変わらないが，その上での積はツイストされm_Fph に変 わる．

m_Fph(F⊗G) :=m◦ F^ph−1.(F ⊗G) :=F∗_FphG

このm_Fphは結合則を保つ．Hopf代数がツイストされると同時に，module代数も積をm_Fphにツイ ストすることで共変性が保たれる．また，いま用いているツイスト要素(4.17)はG^>(z₁₂) =G(z₂₁) であるため，m_Fph は可換積F ∗_FphG=G∗_FphF である．

このH^ph_Fph-module^代数A^ph_Fphの元に対してのV.E.V.の取り方を以下のように定義する．

I[P_E, X]∈ A^ph_Fph

V.E.V. : τ(I[PE, X]) (4.19)

τ :A^ph_Fph −→C

I[PE, X]7−→τ(I[PE, X]) =I[PE, X]

uE=0

A^ph_Fph の元同士の積のV.E.V.^{については，}A^ph_Fph上の積が∗_Fph であることに注意し，

V.E.V. : τ(F∗_FphG) (4.20)

F, G∈ A^ph_Fph となる．このV.E.V.^{の求め方は}

τ(F ∗_FphG) =τ ◦mh

F^ph−1.(F⊗G)i

であるので，経路積分V.E.V.^の取り方(4.18)^{と一致している．}2-cocycle condition^{が結合則を保} 証しているので，n個のA^ph_Fph の元の積も同様に

V.E.V. :τ(F₁∗_FphF₂∗_Fph· · · ∗_FphF_n)

と定義することができる．このV.E.V.もやはり経路積分V.E.V.と一致する．以上のことから，

(4.17)のツイスト要素F^phを用いたHamiltonian形式のツイスト量子化はHamiltonian形式の経 路積分量子化と同じV.E.V.を与える．

3.2.2節で述べたことの一部繰り返しになるが，ツイスト量子化では，古典的な代数(H^ph,A^ph) が与えられていて，更にツイスト要素F^phが与えられれば量子的な代数(H_F^ph_ph,A^ph_Fph)が決まり

V.E.V.が定まる．これはツイスト要素F^phが量子化全体を支配していることを意味する．した

がって，世界面のトポロジーが変わるような場合や，標的空間の計量が変化するような場合は，そ れに合わせて量子化を支配するツイスト要素F^phを変える必要がある．対称性とツイスト要素F^ph の関係性については，これから4.4節にて述べていく．