ツイストされた Hopf 代数とその module 代数への作用 (Hamiltonian 形式 ) 42

と定義することができる．このV.E.V.もやはり経路積分V.E.V.と一致する．以上のことから，

(4.17)のツイスト要素F^phを用いたHamiltonian形式のツイスト量子化はHamiltonian形式の経 路積分量子化と同じV.E.V.を与える．

3.2.2節で述べたことの一部繰り返しになるが，ツイスト量子化では，古典的な代数(H^ph,A^ph) が与えられていて，更にツイスト要素F^phが与えられれば量子的な代数(H_F^ph_ph,A^ph_Fph)が決まり

V.E.V.が定まる．これはツイスト要素F^phが量子化全体を支配していることを意味する．した

がって，世界面のトポロジーが変わるような場合や，標的空間の計量が変化するような場合は，そ れに合わせて量子化を支配するツイスト要素F^phを変える必要がある．対称性とツイスト要素F^ph の関係性については，これから4.4節にて述べていく．

と変換される．以後無限小変換を考えるので，O(ξ_X²)及びO(ξ²_P

E)は無視する．無限小変換である から，I[P_E, X]∈ A^phに対してはu . I[P_E, X] = I[P_E⁰, X⁰]となる．u ∈ H^phが他のH^phの元に 作用するときは，Lie括弧積で作用し，

δ

δX^0µ(z) : =u . δ δX^µ(z)

=

∞

X

n=0

1

n!ξ^phn. δ δX^µ(z)

=e^ξph δ

δX^µ(z)e^−ξph

=u δ

δX^µ(z)u⁻¹

δ

δP_Eµ⁰ (z) : =u . δ δP_Eµ(z)

=

∞

X

n=0

1

n!ξ^phn. δ δP_Eµ(z)

=e^ξph δ

δPEµ(z)e^−ξph

=u δ

δP_Eµ(z)u⁻¹

となる．この計算は(E.2)に示した計算と同様である．この新しいプライム付きの座標系でも汎関

数微分とDiracデルタ関数の関係は変わらず，

δ

δX^0µ(z1) . X^0ν(z₂) =δ_µ^νδ²(z₁₂) δ

δX^0µ(z₁). P_Eν⁰ (z₂) = 0 δ

δP_Eµ⁰ (z₁). P_Eν⁰ (z2) =δ^µ_νδ²(z12) δ

δP_Eµ⁰ (z₁) . X^0ν(z2) = 0

となることが(3.26)と同様の計算により分かる．また，∆(u) =u⊗uであるため(3.27)と同様の 計算により

∆ δ

δX^0µ

= δ

δX^0µ ⊗1 + 1⊗ δ δX^0µ

∆ δ

δP_Eµ⁰

!

= δ

δP_Eµ⁰ ⊗1 + 1⊗ δ δP_Eµ⁰ であることが分かり，やはり_δX^δ0µ と_δP^δ0

Eµ

が基関数であることが分かる．交換関係についても δ

δX^0µ(z1), δ δX^0ν(z2)

=u δ

δX^µ(z1), δ δX^ν(z2)

u⁻¹ = 0 (4.21a)

"

δ

δP_Eµ⁰ (z1), δ δP_Eν⁰ (z2)

#

=u δ

δPEµ(z1), δ δPEν(z2)

u⁻¹ = 0 (4.21b) δ

δX^0µ(z1), δ δP_Eν⁰ (z2)

=u δ

δX^0µ(z1), δ δP_Eν⁰ (z2)

u⁻¹ = 0 (4.21c) であるので，汎関数ベクトル空間X^phの基底として，_δX0µ^δ(z1)と_δX0ν^δ(z2)は独立であり，かつ_δP0^δ

Eµ(z1)

と_δP0^δ

Eν(z2)も独立である．これらのことから，n

δ δX^µ,_δP^δ

Eµ

o

同様にn

δ δX^0µ,_δP^δ0

Eµ

o

を基底として用 いてXを張ることができる．h∈U(C)⊂ H^phなるhに対しては，

u . h:=uhu⁻¹

のため，これはhに含まれる汎関数微分をそれぞれ_δX^δ → _δX^δ0,_δP^δ

E → _δP^δ0

E と変えれば良いことを 意味する．たとえば正規順序化演算子はN^ph∈U(C)であるので，uが作用したときは，含まれる 汎関数微分をプライム0付きの物に取り替えればよい．ツイスト要素F^ph∈U(C)⊗U(C)に対す る変換の作用は，u∈ H^phとして

F^0ph =u .F^ph

= (u⊗u)F^ph∆(u⁻¹) (4.22)

と余積による作用として定義する．変換uによってツイスト要素がF^ph 7→ F^0phに変化した．こ のF^0phの具体的な形は

F^0ph=u .F^ph

=exp

−

¨

d²z_id²z_j δ

δu⁰_E(z_i) ·G_E(z_ij)⊗ δ δu⁰_E(z_j)

(4.23)

δ δu⁰_E(z) =











δ δP_Eµ⁰ (z)

δ δX^0µ(z)











である．この新しいツイスト要素F^0phが2-cocycle condition(3.14)を満たすのは n δ

δX^0µ,_δP^δ0 Eµ

o が 基関数である事と(4.21a)(4.21b)(4.21c)の交換関係が成り立つことから分かる．

4.4.2 量子対称性としてのツイストされたHopf代数(Hamiltonian形式)

理論の持つ古典的な対称性は理論が量子化される際に量子対称性に変化する．ここではツイス トされたHopf代数H_F^ph_phの作用を考えることで，Hamiltonian形式の理論の量子対称性について 議論する．

ここまでは古典的な代数(H^ph,A^ph)に対する古典対称性変換v∈ H^phの作用を見てきたが，こ こではツイストされたmodule^代数A^ph_Fph に対する量子対称性変換v∈ H^ph_Fphの作用を考える．ツ イストされた代数(H^ph_Fph,A^ph_Fph)の元は古典的な代数(H^ph,A^ph)の元と変わらず，H_F^ph_phのA^ph_Fph に対する作用の仕方はH^phのA^phに対する作用の仕方と同じで，

I[u_E]∈ A^ph_Fph , v∈ H^ph_Fph I[u⁰_E] =v . I[u_E]

となる．ただしv ∈ H^ph_FphによってはP_E, Xがともに変換される場合も，いずれか片方のみが変 換される場合もある．従ってここでの表記u⁰_E は場P_E, Xの両方が変換された場合と，P_E, Xの いずれか片方のみが変換された場合の両方を含む書き方とする．A^ph_Fphの積についての作用は積が

∗_Fphであるのため，

F[u_E], G[u_E]∈ A^ph_Fph , v ∈ H^ph_Fph

v .(F[u_E]∗_FphG[u_E]) =v . m◦ F^ph.(F[u_E]⊗G[u_E])

=m◦∆(v)F^ph−1.(F[uE]⊗G[uE])

=m_Fph∆_Fph(v).(F[u_E]⊗G[u_E]) (4.24)

となる．最終行の∆_Fph(v).を見るに，vがツイストされたHopf代数H^ph_Fphの元として作用して いる．これは古典的なHopf^{代数の元としての変換}v∈ H^phがツイストされた変換v∈ H^ph_Fphに変 わったことを意味している．別の言い方をすれば，古典的な対称性が，量子対称性になったとい える．

(4.24)を別の形に書くことも可能で，

v .(F[u_E]∗_Fph G[u_E]) =v . mh

F^ph−1.(F[u_E]⊗G[u_E])i

=m◦∆(v)F^ph−1.(F[u_E]⊗G[u_E])

=m◦∆(v)F^ph−1(v⁻¹⊗v⁻¹)(v⊗v).(F[uE]⊗G[uE])

=m◦ F^0ph−1(v . F[uE]⊗v . G[uE])

=F[u⁰_E]∗_F0ph G[u⁰_E] (4.25) とも書ける．こちらの(4.25)を見るに，変換がツイストされたmodule代数A^ph_Fphの元に作用する と，その元に含まれる変数がX^µ7→X^0µ, P_Eµ7→P_Eµ⁰ と古典的に変化するのみならず，A^ph_Fph上の 積がm_Fph →m_F0phと変わっている．これはすなわち，ツイスト要素がF^ph 7→ F^0phと変わった ことを意味する．この変換を行う写像をρ^ph:A^ph_Fph → A^ph_F0phとすれば

F[u_E]−−^v.→ρ(F[u_E]) =v . F[u_E]

F[uE]∗_FphG[uE]−−^v.→ρ(F[uE]∗_FphG[uE]) =ρ(F[uE])∗_F0phρ(G[uE])

とかける．変換を表す写像ρ^phによっては標的空間の背景を変えることもあるため，背景の異な る量子化に対応する2つのツイスト要素F^phとF^0phとの関係をρ^phが表している．

このことをより具体的に見るために，具体的な変換として相空間における一般座標変換及びB 変換を考える．初めに一般座標変換を考え，その生成子を古典的なHopf^代数H^phの元として定 める．配位空間での一般座標変換の場合，座標変数をX 7→X⁰ とするだけでよかったが，相空間 での一般座標変換の場合は少し事情が異なる．というのは相空間では，X 7→X⁰ と座標変換する 際に，PEについての変換も考える必要がある．今考える無限小の一般座標変換を正準変換とする 場合は，付録Jでの議論から，

X^µ7→X^0µ=X^µ+ξ^µ[X]

P_Eµ7→P_Eµ⁰ =P_Eµ−P_Eν∂_µξ^ν[X]

とX の変換に合わせてPE の方も変換されねばならない．これは一般座標変換を正準変換と捉え る場合，座標変数X が変化すれば，それに合わせて正準共役運動量PE も変化することを意味し ている．この一般座標変換の生成子は

生成子:ξ_diff = ˆ

d²z

−P_Eν(z) (∂µξ^ν) [X(z)] δ

δPEµ(z) +ξ^µ[X(z)] δ δX^µ(z)

と書け，有限の一般座標変換は

H^ph 3u_diff=e^ξdiff となる．

この一般座標変換のもとでツイスト要素F^phは(4.23)のように新しいツイスト要素F_diff^0phに変 わるが，この新しいツイスト要素F_diff^0phの汎関数変分に付いているプライム0の影響をGreen^関数 に押しつける事ができ，それを行うと

F_diff^0ph=exp

−

¨

d²z_id²z_jG⁰_E(z_ij) δ

δuE(zi) ⊗ δ δuE(zj)

G⁰_E(zij) :=GE(zij) +δGE(zij) +O(ξ²_diff)

δGE(zij) :=











δGP P µν(zij) δG_{P X λ}^µ (zij) δG_{XP ρ}^ν(z_ij) δG_XXρλ(z_ij)











δG_{P P µν}(z_ij) = (∂_µξ^ρ) [X(z_i)]G_{P P ρν}(z_ij) +G_{P P µρ}(z_ij) (∂_νξ^ρ) [X(z_j)] +G_{P Xµ}^ρ(z_ij)P_Eλ(z_j)

∂_ν∂_ρξ^λ

[X(z_j)]

+P_Eλ(z_i)

∂_µ∂_ρξ^λ

[X(z_i)]G_{XP ν}^ρ (z_ij)

δG_{P X λ}^µ (z_ij) = (∂_µξ^ρ) [X(z_i)]G_{P Xρ}^ν(z_ij)−G_{P Xµ}^ρ(z_ij) (∂_ρξ^ν) [X(z_j)] +P_Eλ(z_i)

∂_µ∂_ρξ^λ

[X(z_i)]G_XX^ρν(z_ij) δG_{XP ρ}^ν(zij) = (∂ρξ^µ) [X(zi)]G_{XP ν}^ρ (zij) +G_{XP ρ}^µ (zij) (∂νξ^ρ) [X(zj)] +G_XX^µρ(zij)P_Eλ(zj)

∂ν∂ρξ^λ

[X(zj)]

δG_XXρλ(z_ij) = (∂_ρξ^µ) [X(z_i)]G_XX^ρν(z_ij)−G_XX^µρ(z_ij) (∂_ρξ^ν) [X(z_j)]

となる．ただしG_E := G_{P P µν} G_{P X λ}^µ G_{XP ρ}^ν G_XXρλ

!

とした．この計算を行うに当たり，汎関数微分の連鎖 則を用い，2次以上の微小項は無視した．このように一般座標変換の下ではGreen関数が変化す る．特にδG_XXρλ(z_ij)に注目すれば，標的空間の計量が定数g_µνから

g_µν →g_µν⁰

g^0−1µν :=g^−1µν−(∂ρξ^µ) [X]g^−1ρν−g^−1µρ(∂ρξ^ν) [X]

と変化していることが分かる．すなわち，勝手な一般座標変換により標的空間の計量が変化した．

これは配位空間での場合と同じである．

これらの事を踏まえ，量子化の観点から(4.24)と(4.25)を見ると，それぞれに異なる見方がで きる．

初めに(4.24)の立場での見方を説明する．まず理論を量子化する為にツイスト要素F^phを決め，

古典的な代数のセット(H^ph,A^ph)をツイストし量子的な代数のセット(H^ph_Fph,A^ph_Fph)を得る．その 際に，理論が持っていた古典的な対称性に対応する変換v ∈ H^phもツイストされ，量子対称性の 変換v∈ H_F^ph_phとなる．つまり，古典的な対称性は量子対称性へと変化し，例えば2^{つの局所演算} 子の積に対する対称性変換の作用は古典的には∆(v)で作用していたものが,

量子的に∆_Fph(v)で作用するようになる．この際量子化を決定しているツイスト要素F^phは変 化せず，量子化は変わらない．

次に一方の(4.25)の立場で見方を説明する．こちらの立場でも理論を量子化するためにツイスト 要素F^phを決めなくてはならない．ツイスト要素F^phを決め，古典的な代数のセット(H^ph,A^ph)

をツイストし量子的な代数のセット(H^ph_Fph,A^ph_Fph)を得る．ここまでは全く同じである．ここで，

(4.25)^の第4^{行目に着目すると，}v∈ H^ph_FphがF[u_E], G[u_E]に対して，それぞれ古典的なHopf^代数 H^phの元の作用と同じように作用している．この作用によってF[uE], G[uE]はそれぞれF[uE]−^v.−→ F[u⁰_E], G[uE]−^v.−→G[u⁰_E]と古典的に変換される．加えてツイスト要素F^phがvの影響によりF_diff^0ph に変わる．これは，局所演算子の中の変数の変換を古典的にPE 7→ P_E⁰, X 7→X⁰と変換するなら ば，同時にツイスト要素もF^ph 7→ F_diff^0phと変えなくてはならない事を意味する．

再び注意しなくてはならないのは，Poincaré変換の特殊性についてである．(4.24)の立場で言 えば，Hamiltonian形式のツイスト量子化でもPoincaré^{変換の生成子}h^ph ∈ H^phに対しては，

Bµν = 0ならばツイスト余積∆_Fph(h^ph)∈ H^ph_Fph⊗ H_F^ph_phが古典的な余積∆(h^ph)∈ H^ph⊗ H^phと 一致し，対合写SについてもS_Fph(h^ph) =S(h^ph)と一致する．すなわち，Bµν = 0の場合，ツイ ストされたHopf代数H_F^ph_phとして表される量子的なPoincaré対称性は，古典的なHopf代数H^ph として表される古典的なPoincaré対称性と変わらないことを意味する．すなわち，Poincaré変換 をしたければ，古典的に頂点演算子に含まれる変数をP_E 7→P_E⁰ , X 7→X⁰と取り替えるだけでよ い．一方(4.25)の立場で言えば，ツイスト要素F^phにPoincaré変換h^ph∈ H^phを作用させても，

B_µν = 0の場合はh^ph.F^ph =F^phであり，ツイスト要素は変わらない．従って，B_µν = 0の時 のPoincaré変換では，単に頂点演算子に含まれる変数を古典的にPE 7→P_E⁰, X 7→X⁰と変えるだ けで，ツイスト要素F^phは変わらない．

次に相空間でのB変換について具体的に考えていく．まず，B変換の生成子を古典的なHopf代 数の元として考える．B変換では

PEµ(z)→P_Eµ⁰ (z) =PEµ(z)− i

2πα⁰Bµν∂σX^ν(z) X^µ(z)→X^0µ(z) =X^µ(z)

と変換され，この変換の生成子は ξ_B−tr.=− i

2πα⁰ ˆ

d²σB_µν∂_σX^ν(σ) δ δP_Eµ(σ) と書け，有限のB変換は

H^ph 3u_B−tr.=e^ξB−tr.

となる．このB変換の下でツイスト要素F^phは4.23により，新しいツイスト要素F_B^0ph_−tr.に変わ る．この新しいツイスト要素F_B^0ph_−tr.の汎関数微分に付いているプライム0の影響をGreen関数に 押しつける事がここでもできる．簡単のためB_µν =const.の場合で考える．B_µν = 0のツイスト 要素F^ph(B = 0)に対して無限小のB変換を行い，その影響をGreen関数に押しつけると，

ξ_B−tr..F^ph(B = 0) =F_B^0ph_−tr.

=exp

−

¨

d²z_id²z_jG⁰_E(z_ij) δ

δuE(zi) ⊗ δ δuE(zj)

=F^ph(B) (4.26)

G⁰_E(z_ij) := 1 2π

−_4πα¹ 0(Bg⁻¹B−g)∂_σi∂_σj −¹₂(∂_τi−iBg⁻¹∂_σi)

−¹₂(∂_τj+ig⁻¹B∂_σj) −πα⁰g⁻¹

!

ln|z_ij|² (B_µν =const.)

となる．このB変換後の新しいGreen関数G⁰_Eは，B場を含む作用SE(4.1)から求められるGreen 関数3と一致する．この部分の計算の詳細は付録Lに示した．

この一致は量子化の観点では次のことを示している．B = 0の理論の量子化を行うツイスト要 素F^ph(B = 0)とB 6= 0の理論の量子化を行うツイスト要素F^ph(B 6= 0)が無限小B変換により お互いに結びついている．言い換えれば，B場の有無により標的空間の背景が異なるため，それ ぞれで異なる量子化が行われるが，量子化間はB変換により関連付いている．Bµν 6=const.^の場 合でも同様にHopf代数によるB変換をツイスト要素F^phに施すことは可能であるため，経路積 分では量子化の難しいBµν 6=const.の場合についても量子化を行えると期待できる．

経路積分による弦の量子化では，背景を変えるごとに別の量子化を考える必要があり，背景に よっては量子化が困難な場合もある．一方ツイスト量子化ならば，ある背景において量子化がで きれば，その背景からHopf代数による変換（一般座標変換及びB変換）で結びつく他の背景での 量子化についても，ツイスト要素の変換を行えば直ちに分かる．従って，Hopf^{代数による変換を} 用いて量子化が困難な背景を既に量子化が分かっている背景と結びつけ，量子化が困難な背景上 でも量子化を行うことを可能にする．特にBµν 6=const.な背景上での量子化を行う時，経路積分 では量子化が難しいが，ツイスト量子化ではB変換の下でのツイスト要素F^phの変化を調べるこ とで量子化が行える．

最後に再びPoincaré変換の特殊性について議論する．平坦な標的空間で量子化された弦理論は標 的空間のPoincaré変換に対する対称性がある．先に述べたようにPoincaré^{変換の生成子}h^ph∈ H^ph に対しては，∆_Fph(h^ph) = ∆(h^ph)及びh^ph.F^ph =F^phであるため量子対称性が古典対称性と変 わらないのであった．ここでは，背景にB場が存在する場合のPoincaré対称性に対応する標的空 間の対称性について議論する．B変換により，Poincaré対称性の生成子h^ph∈ H^phは

h^0ph:=u_B−tr.. h^ph =u_B−tr.h^phu⁻¹_B−tr.

と変換される．このh^0phによって生成される変換をツイストされたPoincaré変換と呼ぶ．このツ イストされたPoincaré変換の生成子のツイスト余積での作用の仕方は，

∆_F0ph

B−tr.(h^0ph) =F_B^0ph_−tr.∆(h^0ph)F_B^0ph₋⁻¹_tr.

= ∆(u_B−tr.)F^ph∆(u⁻¹_B−tr.)∆(u_B−tr.h^phu⁻¹_B−tr.)∆(u_B−tr.)F^ph−1∆(u⁻¹_B−tr.)

= ∆(u_B−tr.)F^ph∆(h^ph)F^ph−1∆(u⁻¹_B−tr.)

= ∆(u_B−tr.)∆(h^ph)∆(u⁻¹_B−tr.)

= ∆(u_B−tr.h^phu⁻¹_B−tr.)

= ∆(h^0ph)

となるため，量子的な作用が古典的な作用と変わらない．一方ツイスト要素F_B^0ph_−tr.については，

h^0ph.F_B^0ph_−tr.= ∆(h^0ph)F_B^0ph_−tr.∆(h^0ph−1)

= ∆(u_B−tr.h^phu⁻¹_B−tr.)∆(u_B−tr.)F^ph∆(u⁻¹_B−tr.)∆(u_B−tr.h^ph−1u⁻¹_B−tr.)

= ∆(u_B−tr.h^ph)F^ph∆(h^ph−1u⁻¹_B−tr.)

= ∆(u_B−tr.)F^ph∆(u⁻¹_B−tr.)

=F_B^0ph_−tr.

となり，ツイストされたPoincaré変換はツイスト要素F_B−tr.^0ph を変えない．これはB6= 0の時のツ イストされたPoincaré^変換が，B = 0の時のPoincaré変換に対応していることを示している．交換

ドキュメント内 ホップ代数を用いた相空間形式の弦の量子化 (ページ 43-51)