Hamiltonian 形式の経路積分期待値 V.E.V

経路積分ではGreen関数G_E を用いることで，任意の頂点演算子の挿入された経路積分V.E.V.

を求めることができる．

このHamiltonian形式の経路積分が普段のLagrangian形式の経路積分と同じV.E.V.を与える かどうか，基本的な2点相関関数を求めることで確認する．ここでは簡単のためB = 0にとる．

まずはもっとも基本的なhX^µ(z₁)X^ν(z₂)i₀についてはHamiltonian形式では hX^µ(z1)X^ν(z2)i₀=exp

1 2

¨

d²zid²zj

δ

δuE(zi) ·G(zij) δ δuE(zj)

X^µ(z1)X^ν(z2) uE=0

=exp 1 2

¨

d²zid²zj

δ δX^ρ(zi) ·

−α⁰

2g^−1ρλln|z_ij|² δ

δX^λ(zj)

X^µ(z1)X^ν(z2) uE=0

=−α⁰ 4

¨

d²z_id²z_j δ²(z_i1)δ²(z_j2)g^−1µνln|z_ij|²+δ²(z_i2)δ²(z_j1)g^−1νµln|z_ij|²

=−α⁰

2 g^−1µνln|z₁₂|² (4.5)

となり，これはよく知られたLagrangian形式での相関関数hX^µ(z1)X^ν(z2)i₀=−^α₂⁰g^−1µνln|z₁₂|² と一致している．次にhP_Eµ(z1)X^ν(z2)i₀についてはHamiltonian形式では

hP_Eµ(z₁)X^ν(z₂)i₀ =exp 1 2

¨

d²z_id²z_j δ

δu_E(z_i)·G(z_ij) δ δu_E(z_j)

P_Eµ(z₁)X^ν(z₂) uE=0

=− 1 8πδ^λ_ρ

¨

d²z_id²z_j δ

δP_Eρ(z_i) ∂_τiln|z_ij|² δ δX^λ(z_j)

+ δ

δX^ρ(z_i) ∂τjln|z_ij|² δ δP_Eλ(z_j)

P_Eµ(z1)X^ν(z2)

= 1 8πδ^ν_µ

−∂_τiln|z₁₂|²−∂τ1ln|z₂₁|²

− 1 4πδ_µ^ν z₁

z12 (4.6)

となる．一方Lagrangian形式では，共役運動量PE を(G.1)によりXで表すことができるので，

この(4.6)の対応物をLagrangian形式で計算すると，

hP_Eµ(z1)X^ν(z2)i₀= 1

2πα⁰gµρ∂τ1X^ρ(z1)X^ν(z2)

0

= 1

2πα⁰g_µρ∂_τ1hX^ρ(z₁)X^ν(z₂)i₀

=− 1

4πδ_µ^ν∂_τ1ln|z₁₂|²

=− 1 4πδ_µ^ν z1

z₁₂

となり，これも相関関数は一致する．最後にhP_Eµ(z₁)P_Eν(z₂)i₀についてHamiltonian^{形式では，}

hP_Eµ(z1)PEν(z2)i₀ =exp 1 2

¨

d²zid²zj

δ

δu_E(zi) ·G(zij) δ δu_E(zj)

PEµ(z1)PEν(z2) uE=0

= 1 2 · 1

8π²α⁰ gµν∂σ1∂σ2ln|z₁₂|²+gνµ∂σ2∂σ1ln|z₂₁|²

= 1

8π²α⁰g_µν∂_σ1∂_σ2ln|z₁₂|²

=− 1

8π²α⁰g_µνz₁z₂

z₁₂² (4.7)

となる．Lagrangian形式ではこの(4.7)の対応物は hP_Eµ(z1)PEν(z2)i₀ =

1

2πα⁰gµρ∂τ1X^ρ(z1) 1

2πα⁰gνλ∂τ2X^λ(z2)

0

= 1

4π²α⁰²g_µρg_νλ∂_τ1∂_τ2D

X^ρ(z₁)X^λ(z₂)E

0

=− 1

8π²α⁰g_µρg_νλg^−1ρλ∂_τ1∂_τ2ln|z₁₂|²

=− 1

8π²α⁰g_µνz₁z₂ z₁₂²

と計算でき，これも相関関数は一致する．従って，基本的な上記3つの相関関数は一致した．よ り一般の相関関数は全てこれらの基本的な相関関数の組み合わせで計算できるため，基本的な相 関関数が一致したために，一般の相関関数も全て一致する事がわかる．

例としてGravitonとTachyonの2点相関関数をHamiltonian形式の経路積分で計算する．そのた めにはまずHamiltonian形式でGravitonを表す頂点演算子を決めなくてはならない．Lagrangian 形式ではGravitonを表す頂点演算子O_Gravitonは，ξ_µνを標的空間の対称テンソル，k_µを標的空 間のベクトルとして，

O_Graviton=ξµν : (∂zX^µ∂z¯X^ν +∂zX^ν∂z¯X^µ)e^ik·X : (4.8) と表される．これを書き換えてHamiltonian^形式のGraviton頂点演算子を得ることを考える．ま ず，z座標系での微分を円筒座標系での微分で書き換える．すなわち，

∂_z = 1

2z(−i∂_σ+∂_τ), ∂_¯z= 1

2¯z(i∂_σ+∂_τ) を用いる．これを(4.8)に代入して整理すれば，

O_Graviton=ξµν : 1

2z¯z(∂σX^µ∂σX^ν+∂τX^µ∂τX^ν)e^ik·X :

が得られる．ここで，B = 0の場合の共役運動量P_Eµ= _2πα¹ 0g_µν∂_τX^νを代入して，

O_Graviton=ξ_µν : 1 2zz¯

n

∂_σX^µ∂_σX^ν+ (2πα⁰)²g^−1µρg^−1νλP_EρP_Eλo

e^ik·X : (4.9) を得る．この(4.9)をHamiltonian形式でのB = 0におけるGraviton頂点演算子O_Gravitonと定 義する．一方のTachyon^{の頂点演算子は}Lagrangian^{形式では，}q_µを標的空間のベクトルとして

O_Tachyon=:e^iq·X :

と表される．Graviton^{の場合と違い}Tachyonの頂点演算子には微分が含まれていないので，共役 運動量PEµが入ってくることはない．従って，Hamiltonian形式でもそのまま

O_Tachyon=:e^iq·X : (4.10)

をTachyonの頂点演算子とする．さて，Hamiltonian形式でのそれぞれの頂点演算子O_Graviton,O_Tachyon

が分かったので，2点相関関数を求められる．上の(4.5)，(4.6)，(4.7)を用いて計算すれば，

O_Graviton(z1)O_Tachyon(z2)

0

=

ξ_µν : 1 2z1z¯1

n

∂_σ1X^µ∂_σ1X^ν+ (2πα⁰)²g^−1µρg^−1νλP_EρP_Eλo

e^ik·X : (z₁) :e^iq·X : (z₂)

0

=ξ_µν 1 2z1z¯1

iq_α

−α⁰ 2 g^−1µα

∂_σ1ln|z₁₂|²·iq_β

−α⁰ 2g^−1νβ

∂_σ1ln|z₁₂|²

+(2πα⁰)²g^−1µρg^−1νλiqα

− 1 4π

z1

z12

δ^α_ρiqβ

− 1 4π

z1

z12

δ^β_λ D

:e^ik·X : (z1) :e^iq·X : (z2) E

0

=ξµν

1 2z₁z¯₁

iqα

−α⁰ (2)g^−1µα

iz1

z₁₂ ·iq_β

−α 2g^−νβ

iz1

z₁₂ +(2πα⁰)²g^−1µαg^−1νβiq_α

− 1 4π

z₁ z₁₂iq_β

− 1 4π

z₁ z₁₂

|z₁₂|^α0k·q

= 0

となる．このようにHamiltonian形式の経路積分でも頂点演算子をPEも用いて定義してやれば，

Lagrangian形式と同じ期待値V.E.V.を与える量子化を行うことができる．ただしLagrangian形 式の頂点演算子をHamiltonian形式の頂点演算子に読み替える際に，共役運動量P_Eと場Xの関 係式(G.1)を用いているため，Hamiltonian形式での頂点演算子の定義はB場に影響される事に 注意する必要がある．

ドキュメント内 ホップ代数を用いた相空間形式の弦の量子化 (ページ 35-38)