経路積分での対称性

3.3.2節ではツイスト量子化の方法により，対称性の変換をツイストされたHopf代数H_F の元

の作用として見て扱ってきた．ここではこれらの対称性の議論が慣れ親しんだ経路積分量子化で はどのように捉えられるのかを確認しておく．経路積分量子化に捉え直すためには正規順序化代 数( ˆH,A)ˆ の言葉で書くのが自然なため，ここでもそうしていく．

まずは一般座標変換が正規順序化module代数Aˆにどのように影響するのかを見ていく．た だし，Aˆは背景の計量に強く依存するので，この議論はA_F の場合とは幾分異なるものになる．

H 3u=e^ξなる古典的なHopf代数の元は正規順序化演算子N ∈ Hに対して，

N⁰ =u .N =uNu⁻¹ (3.36)

と作用する．N⁰は座標変換された後のI[X⁰]∈ Aに対する正規順序化演算子となる．正規順序化 演算子N は:F[X] :=N . F[X]と働くが，この両辺に左から古典的Hopf^代数の元u ∈ Hを作 用させると，

u.:F[X] : =uN . F[X]

=uNu⁻¹u . F[X]

=N⁰. F[X⁰] (3.37)

なる等式が得られる．この(3.37)の右辺第三行目は座標変換された後のH-module代数Aについて 正規順序化を行っている．一方(3.37)の左辺は少し注意が必要である．というのは，:F[X] :∈Aˆで あるにもかかわらず，u∈ Hが作用しているからである．もし作用しているのがH 3ˆ u˜=NuN⁻¹ ならば，(3.37)の左辺はu.˜ : F[X] :=: u . F[X] :となり全体がAˆの元に正規順序化されていて 経路積分にて発散が生じずwell-definedとなるのだが，実際はu.:F[X] :であるため，Aˆの元と して経路積分で発散が生じwell-definedでない．そこでここで新しく別の正規順序化module代数 Aˆ⁰を導入し，その上で経路積分がwell-definedになると考えよう．この新しい正規順序化module 代数Aˆ⁰は3.2.3^節にてA_F −→^∼ AˆとしてAˆを導入したように，A_F⁰ −−→^∼0 Aˆ⁰として導入される．た だし，∼⁰はN⁰による正規順序化を表す．具体的には

A_F⁰ 3F[X⁰] ^∼

0

−−→^◦_◦F[X⁰]^◦_◦=N⁰. F[X⁰]∈Aˆ⁰

と定義する．ここで同時に^◦_◦F[X⁰]^◦_◦なる新しい正規順序積の記号も導入した．A_F,Aˆ間に成り立っ ていた関係はすべて同様にA_F⁰,Aˆ⁰間にも成り立ち，F⁰ = N⁰⁻¹⊗ N⁰⁻¹

∆(N⁰)等が成り立つ．

さて，新しい正規順序化module代数に対するV.E.V.の取り方を定義する必要がある．それにあ たり，3.2.3節での考え方と同様に，A_F⁰に対するV.E.V.の取り方(3.34)からAˆ⁰に対するV.E.V.

の取り方を決めることを考える．(3.32)を式変形すると，

F[X⁰]∗_F⁰G[X⁰] =m◦ F⁰⁻¹.(F[X⁰]⊗G[X⁰])

=m◦ F⁰⁻¹.(F[X⁰]⊗G[X⁰])

=m◦∆(N⁰⁻¹)(N⁰⊗ N⁰).(F[X⁰]⊗G[X⁰])

=N⁰⁻¹. m

(N⁰⊗ N⁰).(F[X⁰]⊗G[X⁰])

=N⁰⁻¹.^◦_◦F[X⁰]^◦_◦^◦_◦G[X⁰]^◦_◦ (3.38) となる．この(3.38)の左辺はA_F⁰の元であるので，左辺のV.E.V.はτ⁰によりτ⁰(F[X⁰]∗_F⁰G[X⁰]) と定められる．従って(3.38)の両辺にτ⁰ を作用させると，τ⁰(F[X⁰]∗_F⁰ G[X⁰]) = τ⁰ ◦ N⁰⁻¹ .

◦◦F[X⁰]^◦_◦^◦_◦G[X⁰]^◦_◦となり，^◦_◦F[X⁰]^◦_◦^◦_◦G[X⁰]^◦_◦ ∈Aˆ⁰であるので，新しい正規順序化module代数Aˆ⁰に 対するV.E.V.^{の取り方を}

V.E.V. : τ⁰◦ N⁰⁻¹. I[X⁰] I[X]∈Aˆ⁰

と定義する．

結局，u ∈ Hにより変数変換を行うと，正規順序化演算子がN −−→ N^{u. 0}と変わるために，正規 順序化module代数Aˆは新しい正規順序化module代数Aˆ⁰に変化する．Aˆ⁰とAˆの関係は積に対 しては，

◦

◦F[X⁰]^◦_◦^◦_◦G[X⁰]^◦_◦=m

N⁰⊗ N⁰

. F[X⁰]⊗G[X⁰]

=m

N⁰⊗ N⁰

(u⊗u).(F[X]⊗G[X])

=m[(u⊗u) (N ⊗ N).(F[X]⊗G[X])]

=m[∆(u) (N ⊗ N).(F[X]⊗G[X])]

=u .(:F[X] ::G[X] :) (3.39)

となっている．これより，左辺^◦_◦F[X⁰]^◦_◦^◦_◦G[X⁰]^◦_◦∈Aˆ⁰のV.E.V.^は τ⁰◦ N⁰⁻¹. ^◦_◦F[X⁰]^◦_◦^◦_◦G[X⁰]^◦_◦

=τ⁰◦ N⁰⁻¹.(u .(:F[X] ::G[X] :))

=τ⁰◦uN⁻¹u⁻¹.(u .(:F[X] ::G[X] :))

=τ◦ N⁻¹.(:F[X] ::G[X] :)

となり，右辺:F[X] ::G[X] :∈AˆのV.E.V.と一致する．これは望ましい結果である．ここで，写 像ρˆ: ˆA →Aˆ⁰を新たに定義する．

ˆ

ρ: ˆA →Aˆ⁰

:F[X] :7→ρ(:ˆ F[X] :) =u.:F[X] :=N⁰. F[X⁰] =^◦_◦F[X⁰]^◦_◦

この写像ρˆによって(3.37)及び(3.39)はそれぞれ，ρ(Nˆ .F[X]) =N⁰.ρ(Fˆ [X])及びρˆ(N .(F[X]∗_F G[X])) = N⁰. ρ(F[X]∗_FG[X])と書くことができ，これを見るに写像ρˆは代数準同型写像である．そして

各代数の関係を可換図式で整理すれば，

AF

−→ Aρ _F⁰

N. ↓ ↓ N⁰. Aˆ −→^ρˆ Aˆ⁰

となる．ここでツイスト量子化と経路積分量子化を比べてみる．(HF,AF)のセットを用いるツイ スト量子化では古典的な一般座標変換ρを行う場合は，それに合わせツイスト要素Fを変えなけ ればならなかったが，一方の経路積分量子化では古典的な一般座標変換ρˆを行うと，それに合わ せて正規順序積の取り方をN 7→ N⁰と変えなくてはならない．ただしPoincaré変換u∈U(P)の 場合は[u,N] = 0であるので，N⁰=uNu⁻¹ =N となり，正規順序は変わらない．ツイスト量子 化の際に述べたことの言い換えになるが，我々は普段は背景を変えない座標変換を対称性として みており，そのような変換の元では正規順序積演算子N は変わらないため，経路積分における正 規順序の取り方及びV.E.V.の取り方を変える必要はなかった．しかし背景を変えるような変換を 考える場合にはそれに応じて経路積分の正規順序の取り方及びV.E.V.の取り方を変えなくてはな らない．

第 4 ^章 Hopf 代数のツイストによる量子化（相