Geodesic Active Contours

Geodesic Active Conoursでは，β = 0とした式(2.1)で定義されるエネルギー関数を最小 にするような曲面形状進化を実現する．このような制約を加えることで，エネルギー関数で 曲面形状進化を制御するSnakesと位相変化が可能なgeometric active conoursの融合が可能 になる．また，β = 0としても，他の項の影響によって曲面形状を滑らかにする正則化の効果 がある．つまり，ノイズやギャップ（切れ）に対して頑強である．具体的には，次式で定義さ れるエネルギー関数を最小にするように曲面形状進化を実現する．

E[(C)(p)] = α

∫ ₁

0

∂C

∂p

²dp+γ

∫ ₁

0

g(|∇I(C(p))|)²dp

= Eint(C) +Eext(C) (2.26)

式(2.26)はパラメータpに依存した量であるが，パラメータは対象物体形状とは独立である

ため望ましくない．つまり，パラメータの取り方が変わると，たとえ対象物体の形状が同じ であっても式(2.26)の値が変わり，得られる輪郭もパラメータに依存した値を得る可能性が ある．

しかし，式(2.26)を最小にすることは，パラメータに依存していない次式を最小にする問 題と同値であることが知られている[35]．

E[(C)(p)] =

∫ _L

0

g(|∇I(C(p))|)ds

=

∫ ₁

0

g(|∇I(C(p))|)

| {z } 引力項

|C⁰(p)|

| {z } 正則化項

dp (2.27)

ただし，dsは曲線の長さに関するパラメータ，Lは曲線C(P)のユークリッド距離である．式 (2.22)と比較すると，式(2.27)は輪郭情報を表したg(|∇I(C(p))|)の重み付き長さが最小にな

2.4. LEVEL SET METHOD

を用いた動的輪郭モデル

Fig.2.6: geometric active contours

が利用できない例

2.4. LEVEL SET METHOD

を用いた動的輪郭モデル

る曲線形状を探索することと同値である．従って，式(2.27)を解くことにより，輪郭抽出を 実現することができる．

式(2.27)を最小にするような曲面形状進化の軌跡は，式(2.27)にオイラーラグランジェ方

程式を適用することで，

C_t= (−g(∇I)κ

| {z }

Eext+Eint

+ (−∇g(∇I)·N~)

| {z }

Eint

)N~ (2.28)

のように得られる．式(2.28)の物理的意味は，曲線C(P)の重み付き距離が小さくなるよう に，曲線形状を対象物体境界に向けて進化させるものである．ここで各項を分解して考える．

• ^第一項(−g(∇I)κ)により，曲率による制約を受けながら曲線形状を対象物体境界に向

かって進化することができる．曲率による制約を受けることで，滑らかさを保ちながら 曲線形状進化を実現することができる．この項は，曲線が滑らかであったり(κ = 0)， 曲線が対象物体境界に達していれば(g= 0)，値がゼロとなり曲線形状が進化しない．

• ^第二項(−∇g(∇I)·N~)は，曲線が対象物体境界に達していない限り(∇g6= 0)，曲線形 状進化に影響を与える．具体的には次の2つの役割がある．

(1) 曲率の値に関係なく対称物体境界に曲線形状を進化させる役割．

(2) 対象物体の境界の確率が高い場所に曲線形状を進化させる役割．

(2)の役割によって，図2.6のように対象物体の境界がはっきりしない時でも，最も境 界らしい場所を抽出することができる．

さらに，収束スピードを早めたりエネルギー関数の局所解に陥ることを防ぐため，次式に 示すような曲線形状進化を実現する．

C_t= (−g(∇I)(c₁+c₂κ)− ∇g(∇I)·N~)N~ (2.29) ただし，c1 ∈[0,1]^，c2∈[1,2]^{は正の定数とする．}c1はbaloon force^{に対応する．}

次に，式(2.28)で与えられる成長速度をもつ曲線形状進化は，その進化過程で位相の変化

に対応するため，Level Set Methodを用いて実現する．つまり成長速度F = −(g(∇I)κ+

∇g(∇I)·N~)より，

∂ψ

∂t = (g(∇I)κ+∇g(∇I)·N~)|∇ψ|

= g(∇I)κ|∇ψ|+∇g(∇I)· ∇ψ (2.30) に従って曲線形状進化を実現する．

2次元濃淡画像の輪郭抽出では，gの関数として式(2.24)が最も用いられる．

2.4. LEVEL SET METHOD

を用いた動的輪郭モデル