第 6 章 結論 77
C.2 モフォロジーを用いた曲面形状進化の理論
C.2.
モフォロジーを用いた曲面形状進化の理論
97と定義される．またBが凸であれば，nBはBと同じ形状でサイズがn倍になっている．よっ てある図形Aの構造化要素Bによるdilationをn回行うことと，Bをn倍に拡大したサイズ
nの集合nBによるdilationを一回行うことは等しい．つまり，
A⊕nB = A⊕(B⊕ · · · ⊕B)
= (· · ·(A⊕B)⊕ · · ·)⊕B (C.7) である．代数的には，dilationの結合則を用いて証明できる．erosionについても同様に，あ る図形Aの構造化要素Bによるerosionをn回行なうことと，Bをn倍に拡大したサイズn
の集合nBによるerosionを一回行なうことは等しい．つまり，
A nB = A (B⊕ · · · ⊕B)
= (· · ·(A B) · · ·) B (C.8) である．代数的には，erosionの分配則を用いて証明できる．さて逆に，サイズを大きくする のではなく小さくしても同じことがいえる．つまり，凸な構造化要素を用いたモフォロジー 演算を解析するには，形状が同じで大きさが1/nの構造化要素を用いてn回演算をほどこし てやれば良い．さらにn→ ∞とすると，図形の時間による微小変化が可能である．
次の性質は，モフォロジー演算を用いてある図形SをS0に変形する作業は，境界面∂Sだ けにモフォロジー演算をして∂S0に変形する作業に集約されるという点である．
三つ目の性質は，十分小さな構造化要素を用いて連続な境界面に対してモフォロジー演算 を施してやると，法線方向にある量だけ変形していることと等しいことである．(ある量につ いては後ほど，β(s, t)という形で説明を加える)．今述べたことを解析的に考察する．ある図 形S(s, t)に構造化要素B(λ) を用いてモフォロジー演算をした結果が，S(s, t+λ)になる場 合について考える．ここで，Sの最初の変数は曲面上の点を表す変数，二番目の変数は時間，
Bの変数はサイズの大きさを表す．この変形は次の式で表すことができる．
S(s, t+λ)−S(s, t) = Γ(s, t, λ)N~(s, t) (C.9) ただし，Γは，境界面上S(s, t)の点P(s)がサイズλの構造化要素によってモフォロジー演 算が施された結果として動いた法線方向，N~ の距離である．Γ(s, t,0) = 0であることに注意 すると，λ→0としてやると
∂S(s, t)
∂t = lim
λ→0
Γ(s, t, λ) λ N~
= ∂Γ(s, t,0)
∂λ N~
= β(s, t)N~ (C.10)
C.2.
モフォロジーを用いた曲面形状進化の理論
98となることがわかる．β(s, t)を成長速度と呼ぶことにする．このβ(s, t)は，等高面法での成 長速度Fにあたる．さて，このβ(s, t)の大きさについて，次のような定理が知られている[?]． Theorem 1 β(s, t)の大きさは，構造化要素Bを点Pにおける法線N~ に射影を下ろした時 の最大値である．
例えば，構造化要素が半径1の球の時，成長速度β(s, t)は，
β =±1 (C.11)
となる．これは，等速度で曲面が変形することを意味する．今度は，構造化要素が長径2A短 径2Bであるような楕円であるとする．x軸と長径の軸の角度が，θBである時，点Pにおけ るβ(s, t)の値は，
β(θ) =
√
A2sin2(θ−θB) +B2cos2(θ−θB) (C.12) となる．ただしθは，点Pにおける接線とxの角度である．
以上より，ホイヘンスの原理による曲面の伝播が，構造化要素が球であるようなモフォロ ジー演算を用いて実現できることが示された．
第 D 章 形状強調フィルタ
Satoらが提案した形状強調フィルタについて述べる[63]．本フィルタでは，輝度値のヘシ アン行列を算出し，算出したヘシアン行列の固有値を用いることで，関心領域の形状を強調 する．xにおける輝度値をI(x)とするとき，ヘシアン行列は，次のように定義される．
∇2I =
Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz
(D.1)
ただし，下付き文字は二次微分を表し，例えばIxx= ∂2
∂x2I を表す．D.1に示すヘシアン行列 の固有値をλ1λ2λ3 (λ1≥λ2 ≥λ3)，対応する固有ベクトルをe1e2e3とすると，e1 は二次微 分が最も大きい方向を表し，λ1はその大きさを表す性質がある．同様にe3，λ3は二次微分が 最も小さい方向とその大きさを表す性質がある．更に，e2，λ2はe1とe3に直交した方向とそ の大きさを表す性質がある．これらの性質から，固有値λ1λ2λ3を用いることで，シート状・
線状・球状といった形状を判別することが可能になる．形状と固有値の関係から，線状の形 状強調フィルタをSatoらは次式のように定義した．
Sline(I) =
|λ3| ×ψ(λ2, λ3)×ω(λ1, λ3) λ3 ≤λ2<0
0 otherwise
(D.2) ただし，
ψ(λs, λt) =
(λs
λt)γ λt≤λs <0 0 otherwise
(D.3)
ω(λs, λt) =
(1 + λs
|λt|)γ λt≤λs ≤0 (1−α λs
|λt|)γ |λt|
α ≥λs≥0
0 otherwise
(D.4)
である．αとγは定数であり，Satoらはα= 0.25，γ = 0.5としている．同様に，シート状 と球状の形状強調フィルタは次式のように定義した．
Ssheet(I) =
|λ3| ×ω(λ2, λ3)×ω(λ1, λ3) λ3 <0
0 otherwise
(D.5)