とおく．0 ＝D1＋Eである．
lEl＝0のときは
D2＝D3十… 十Dた， D￠∈Ω§， IDd＝4
となる．従って02∩Ω8＝D2となる任意の02∈Bに対して，帰納法の仮定より02＝
03＋…＋0海かつq∩Ω8＝D2をみたすq∈Bが存在する．このときC1需0とすれ ば0＝01＋02＋…＋0んかつq∩Ω8＝D乞が成り立つ．
［El＝2または4とする．このときE＝OE∩Ω8となる任意のoctad OEに対して，帰 納法の仮定よりOE＝σ2＋…＋qかっ02∩Ω8＝恥をみたすq∈Bが存在する．これ
より
0易＝08十…十〇9
が成り立つことから0疹∈B となる．従ってE∈Ω§が得られる．0 ＝Z）1＋Eであるの
で補題2．30より0＝01＋Oo，01∩Ω8＝D1，00∩Ω8＝Eをみたす01，00∈IBが存在す
る．このOoに対して，再び帰納法を適用してOo＝02＋…＋q， q∩Ω8＝D琶
をみたすα∈Bが存在する．このとき01，．．．，0たが求めるoctadである．
最後にIEI竃6または8とする．このときDi＝D1＋Ω8， Dl寓D2＋Ω8とする
とIDII＝4かっ五）1∈Ω惹である。また
0 ＝Dl十Dl十D3十…十Z）ん， IDI［＝4
が成り立つ．ここで1瑳＋…＋D副＝0または2となるので，前と同様にして 0＝oi＋0益＋0、＋…＋0島oi∩Ω8＝Di， Ol∩Ω8＝D灸，α∩Ω8＝D・
をみたす0｛，q，03，．．．，0た∈Bが存在する．従って01＝0｛＋Ω8，02＝Ol＋Ω8とおけ
2．S（5，8，24）
50
ばσbσ2，．．．，0たが求めるoctadである．
以上で定理が証明された． 贋
定理2，31より次の定理が得られる．
定理2．322つのSteiner system S（5，8，24）を任意に選び（Ω，B），（Ω ，B ）とする．この
とき，これらから得られるM一行列をそれぞれM＝［α茄M ＝［α1ゴ］とすると，写像 σ：Ω∋％ト→暢∈Ω は（Ω，B）から（Ω ，B ）への同型を与える．特にSteiner system S（5，8，24）はすべて互いに同型である．
定義し，その単純性および多重可移性を示す．また（Ω，⑪）への作用から生じる 種々の作用が原始的であることを導く．§3．1では（Ω，◎）の自己同型群として24
次のMathieu群M24を定義し，それがM一順列上正則であることを示す．これ
より脇4がΩ上5重可移であることが導かれ，1，2，3点の固定群として鰯3，鰯2，M21が得られる。またoctad Oの固定群Eを0に作用させたときの核 をNとするとき丑／Nが．48に同型であること，1＞が位数16の基本アーベル 群で0の補集合に正則に作用することを示す．更にM24の位数2の元のΩ上 の置換の型が1828または212のいずれかになること，1828型の元がすべて共
役であることを示す．§3．2では1脇4の⑪への作用が原始的であることを示す．これよりM23，M22，M21の⑪の部分集合への原始的な作用が導かれる．また
それらの作用の1点の固定群の構造を明らかにし，．M21， M22， M23において位 数2の元が互いに共役であることを導く．最後に，これらの結果と鈴木の判定 法により，Mathieu群．M22， M23，．M24の単純性を導く．3．1 Mathieu群M24
以下，この章を通じて（Ω，◎）はSteiner system S（5，8，24）を表すものとする．
定義3．124次のMα伽eu群M24を次のように定める，
M24＝｛σ∈5Ω1⑪σ＝0｝
ただし⑪σ＝｛，Bσ1β∈◎｝である．
M一順列（p、34）を任意に2つ選び
＠、，ω2，∬3，∬4，の5，∬6，ω7），
51
（〃1，2／2，2／3，！ノ4，ツ5，2／6，2／7）
3．Mathieu群
52
とする．これらに対して定理2．19より2つのM一行列M，M が定まる．L＊＊＊＊＊＊」 L＊＊＊＊＊＊！
このとき定理2．32よりMの（乞，の成分をM の（乞，の成分に移す写像は（Ω，⑪）から（Ω，⑪）
への同型（自己同型）となる．この自己同型をσとすると，定義よりσ∈M24である．従っ てル∫24はM一順列全体のなす集合の上に可移に作用する．一方，定理2．19よりM一行列はM一 順列から一意に定まることから，1っのM順列を固定する（Ω，◎）の自己同型は恒等変換に 限る．すなわち！1424はM一順列全体のなす集合の上に正則（p．9）に作用する．特に丑424の 位数はM一順列の個数に等しい．
一方Ωの任意の5点順列（ω1，餌2，… ，』じ5）に対してσ＝σ＠1，コじ2，＿，ω5）とおき，
￠6∈0，∬o∈Ω一〇を選ぶと，M一順列＠o，銑，，＿，ω6）が得られる．逆に，任意のM一順列がこ のようにして得られることから，1晦4の位数はこのような選び方の総数24・23・22・21・20・3・16 に一致する．以上より次の定理を得る．
定理3．2鰯4は（Ω，⑪）の！14一順列全体のなす集合の上に正則に作用する．特に「．M241＝
244823040＝24・23・22・21・20・3・16である．
任意の5点順列を任意の5点順列に移す1脆4の元が存在することから，次の系が得られる．
系3．3M24はΩ上5重可移に，（）上可移に作用する．
M24の◎への作用
次に11424の◎への作用を考える．⑪∋0の固定群をH＝1双0）とおく。
正∫（σ）＝｛σ∈M2410σ＝0｝
である．Hは0に作用するが，その核をN＝N（0）とおく．
補題3．4Hは0上6重三囲に作用する．
Proof Oから2つの6点順列＠1，＿，ω6），ω1，＿，シ6）を任意に選ぶ．、このとき鞠∈Ω一〇
に対してM1＝＠o，￠1，．＿，ω6），1142＝（」じ0，9／1，… ，！ノ6）はM一順列である．従って定理3．2よ
りMf＝M2をみたすσ∈．M24が存在する．ここで
＠・，＿，ω6）σ＝（〃、，．．．，〃6）
が成り立つのでσ∈Eである．ゆえにHは0上6重可移である． i 補題3．5∬はΩ一〇上2重可移に作用する．
ProofΩ一〇∋肋，ッ2，0∋銑，ω2，鞠を任意に選ぶ．01＝0＠1，ω2，鞠，〃1，ッ2）とおくと 10∩011＝4が成り立つ．ここで0∩01＝｛ω1，ω2，∬3，駕4｝，∬o∈σ一〇1とするとM一順列
．M1＝＠0，Z1，∬2，鞠，∬4，〃1，ッ2）が得られる．同様にして任意の〃i，垢∈Ω一〇と∬1，∬2，∬3 とからM一順列ル∫2篇＠6，銑，均，∬3，賜，〃i，yl）が得られる．定理3．2よりMf＝．M2をみた
すσ∈M24が存在する．ここで
∬。，諮1，諮、，∬2，∬3，∬4，賜∈0
であるから0σ＝0かっ（〃1，影2）σ＝（〃i，ッ1）が成り立つ．よってHはΩ一〇上2重可移
である． ・ ■
HのΩ一〇への作用が，実際は3重可移であることを補題3．11で証明する。
補題3．61＞はΩ一〇上正則に作用する．
Proofσ∈NがΩ一〇の点〃を固定すると仮定する．このとき0の任意の6点
錫（1≦乞≦6）を選んでできるM一順列（ッ，ω1，∬2，灘3，飢4，∬5，鞠）はσによって固定される．
従ってσ＝1が成り立つ．ゆえに！＞∋σ≠1はΩ一〇に固定点をもたない。
一方，補題3・4よりHが・上6重可移であることから珊の位数は塁の倍数で ある．従ってH／1Vの38における指数は1または2である．定理H9より．48は単純群
であるから指数2の部分群を持たない．これよりH／1Vは．48またはθ8と同型であることがわかる．一方，系3．3より11424は◎上可移であるから定理1．3よりIM24：珂＝759が
成り立つ．従ってlN［「晦器、Nl一｛㍊慧
が得られる．これよりH／1V配、48のときNはΩ一〇上可移，従って正則となる．以下
NがΩ一〇上可移でないとして矛盾を導くことにする．このときπ／ノV禦38，すなわち
3．Mathieu群
54
1Ni＝8であることからΩ一〇は2つの1V−orbit O1，02に分割される． H／N鯉58より∬には位数5の元αが存在する．の∈Ω一〇，g∈Nに対して
＠・）α謂・α一のα（α｝19α）
となるのでαは欝を含むN−orbitを∬αを含む！V−orbitに移す．すなわちαはN−orbit
の置換を引き起こすが，N−orbitは01と02のみであるから，それらを固定する．従って αは01，02に作用し，それぞれ少なくとも3個の固定点をもつ．固定点から任意に5点
を選び，それを含むoctadを0 とするとαは0 の点をすべて固定する．これはN（0 ） の位数が8であることに矛盾する．よって補題が証明された． ■系3．711Vl＝16および丑／1V禦孟8である．
定理3．8πをΩ一〇へ作用させたときの1点の固定群を且とする。このときH＝！V．A，
1V∩五＝1，．4禦．48が成り立つ．
Proof丑におけるッ∈Ω一〇の固定群をAとする．1VがΩ一〇に正則に作用すること から且∩1V＝1かっH＝．41Vが成り立つ．ここでNく1 Hに注意して定理1．11を適用す
ると
・48鯉H／1＞禦・41V／ノV蟹・4／・4∩ノV蟹孟
が得られる． ■
．4＝H〃を上の定理の通りとし，A＜B≦Hをみたす部分群βが存在したと仮定す る．βは〃を固定しない元丁を含む．ガ＝之とおく．HはΩ一〇に2重可移に作用
するので，定理1．2より．4はΩ一〇一｛〃｝に可移に作用する．従ってΩ一〇一｛ッ｝の任 意のωに対して♂＝ωをみたすλ∈．4が存在する．このとき〃λ一1γλ＝ωが成り立つ．
λ一1Tλ∈Bより，βはΩ一〇に可移に作用する．従ってIB：．41＝16＝IH：、4iとなり 丑＝Bを得る．すなわち孟はHの極大部分肉（p．6）である．
系3．9、4はHの極大部分群である．
系3．101＞は位数24の基本アーベル群である．
Proof Nは位数16の2一群であるから，定理1．21よりべき零群従って定理120より可山 群となる．一方孟が極大部分群であることからNは極小正規部分群である．よって定理 1．22よりNは基本アーベル群である． ．
補題3．11．48蟹五4（2）である．またHはΩ一〇に3重可移に作用する．
Proof 1＞が位数24の基本アーベル群なのでF2上の4次元ベクトル空間とみなすことが できる．さて孟の元λに対して
ム・N㌶ト→♂∈N
と定めると，ムは1Vの自己同型となり，ム∈0ゐ（4，2）が得られる．ここで写像 ノ1∋λトー〉！λ∈GL（4，2）
は準同型であり，その核はΩ一〇のすべての点を固定する孟の元である．Ω一〇はoctad を含むから核は2群である．一方，定理1．19より．4は単純群であるから核は1となる。従っ て孟はσ五（4，2）の部分群に同型であるが1．41コ1．48！＝1（7五（4，2）1より．A貿．48駕GL（4，2）
を得る．ここで（7ゐ（4，2）＝五4（2）であることから．48鯉L4（2）が成り立つ．
また1＞一｛1｝をP（7（3，2）とみなすと定理1．6より・4駕五4（2）はN一｛1｝に2重可
移に作用する．．4は∬のΩ一〇への作用の1点の固定群であるから，定理1．2よりHは Ω一〇上3重可動である， ■
補題3．12鰯4の元σ≠1がΩの6点∬1，ω2，．．．，鞠を固定するとき，次が成り立つ，
（1）6点が5pec弼ならばσは1828型の置換で，固定点の集合はoc孟α4をなす．
（2）6点が初η一spec翻ならばσは1636型の置換である．
特に．M24の元（≠1）の固定点は高々8個である．
Proof X＝｛gじ1，コじ2，．．46｝とおく． Xがspecia1のときσ＝σ（コじ1，駕2，＿，コじ5）とすると
％∈0かつ0σ＝0が成り立つ．従ってσ∈∬＝H（0）である．一方，系3．7よりσは0
上偶置換として作用することからσ∈1＞＝N（0）が導かれる．更に系3．10より。（σ）＝2となり，補題3．6よりΩ一〇に固定点をもたないことがわかる，ゆえにσは1828型であ
り，固定点の集合はoctad Oである．Xがnon−specialのとき，補題2．16のように各1≦乞≦6に対して瓦， octad X（の，
sextet｛：τ1＝（X（の一X∂∪｛∬￠｝｝を定める．このときσが銑，∬2，＿，ω6を固定するこ
3．Mathieu群
56
とから凡，X（のを固定する（1≦②≦6）．従って7『＝易が成り立つ．定理3．2よりσ が∬1，∬2，＿，％以外に固定点をもてばσ＝1となることから，σは1636型である． □ M＝［α司を（Ω，⑪）から得られる1っのM一行列とする．またX（￠）はp．34の補題2．16で，M（切， MωはP．35の定義2．ユ7で，3ん（η，m）はP．38で定めたものとする．
さて
（α・・，α・2，α・3，α・4，α、5，α、6，α2、），（α、2，α、、，α、3，α、4，α、5，α、6，α22）
がM順列になるので定理3．2より
（α・・，α・2，α・3，α・4，α、5，α、6，α2、）σ＝（α、2，α、、，α、3，α、4，α、5，α、6，α22）
となるσ∈ル∫24が唯1つ存在する、ここでX（1）σ＝X（2），X（￠）σ＝X（の（3≦乞≦6），
M（2）σ＝M（2）が成り立つことから（α22，α23，α24）％（α21，α23，α24）が成り立ち
（・、、，・、2，・、3，・、、，・、5，α16，・、、）σ2＝（・、、，・、2，・、3，・、4，・、5，・、6，α21）
が得られる．よってσの位数は2である．また
｛α31，α41｝σ＝＝｛α32，α42｝， ｛α32，α42｝σ・＝｛α31，α41｝， ｛α22，α3歪，α4信｝σ＝｛α2乞，α3琶，α4乞｝（3≦乞≦6）
も導かれる，一方M（5）σ＝M（5）となるので（α25，α26）σ＝（α25，α26）が成り立つ，更に定理 3．8よりσはX（の上で偶置換であるから（α3乞，α4∂σ＝（α4乞，α3∂となる（3≦乞≦6）．以上 からM（3）σ＝M（4）となり
（α3・，α4、，α32，α42）σ＝（α42，α32，α4、，α3、）
を得る．従って
σ＝（α・・，α・2）（α21，α22）（α31，α42）（α4・，α32）（α33，α43）（α34，α44）（α35，α45）（α36，α46）
が示された．以下，この置換をσ2（1）とおく．同様に
（・、1，α12，・、3，・、4，・、5，・、6，・，、）σ・（2）一（・、、，・、3，・、2，・、4，・、5，・、6，・，、）
（・、、，・、2，・、3，・、4，α15，α16，・、、）σ・（3）一（・、、，・、2，・、4，・、3，・、5，・、6，・、、）
（・、、，・、2，・、3，・、4，・、5，・、6，・，、）σ・（4）一（・、、，・、2，・、3，・、5，・、4，・、6，・，、）
（・、、，・、2，・、3，・、4，・、5，・、6，・，、）σ・㈲＝（・、、，・、2，・、3，・、4，・、6，・、5，・、、）
（・、、，・、2，・、3，・、4，α15，・、6，・、、）σ・（1）一（・、、，・、2，・、3，・、4，・、5，・、6，・、、）
をみたす置換がそれぞれ唯1つ存在する，これらの置換は
σ2（2）についてはM（1），M（2），X（4）， M（3）， X（2）， M（8）， X（5）， X（6）への作用，
σ2（3）についてはM（1），X（2）， M（2）， X（3）， M（3）， M（4）， M（5）， X（5）， X（6）への 作用，
σ2（4）についてはM（1），M（8）， X（6），X（3），M（7），M（5），X（2）への作用とIM（3）σ2（4）∩
M（3）！により，
σ2（5）についてはM（1），X（2），X（3）， X（4），M（2），M（5），X（5），M（6）への作用，
σ3（1）については補題3．12とX（のへの作用，
によってその形が定まる，以上から次の定理を得る．
定理3．13M＝［α￠ゴ］を（Ω，◎）のM一行列とする．このときM24は次の置換を含む．
σ2（1）＝（α・・，α12）（α21，α22）（α3・，α42）（α4、，α32）（α33，α43）（α34，α44）（α35，α45）（α36，α46）
σ2（2）＝（α12，α13）（α22，α23）（α31，α41）（α32，α43）（α42，α33）（α34，α44）（α25，α45）（α26，α36）
σ2（3）＝（α13，α14）（α23，α24）（α31，α41）（α32，α42）（α33，α44）（α43，α34）（α35，α45）（α36，α46）
σ2（4）＝（α14，α15）（α44，α45）（α31，α41）（α22，α42）（α23，α33）（α24，α35）（α34，α25）（α26，α36）
σ2（5）＝（α・5，α・6）（α25，α26）（α3・，α4・）（α32，α42）（α33，α43）（α34，α44）（α35，α46）（α45，α36）
σ3（1）＝（α21，α31，α41）（α22，α32，α42）（α23，α33，α43）（α24，α34，α44）（α25，α35，α45）（α26，α36，α46）
これらをM一行列に表したものを付録（p．98）に記す．定理3．13より，鰯4が1828型，およ び1636型の元を含むことがわかる．またσ2（1）σ2（3）σ2（5）は212型の元である．次の定理 は次節でMathieu群の単純性を証明する際に必要となる．
定理3．14位数2の元は1828型または212型である。また1828型の元はすべて共役
である．