・lM。1＝
48
48
−8315553613086720000コ222・39・54・72・1：L・13・23
を得る． □
次に任意の4点集合丁から・0の元ξT￠M。が定まることを示す．Tを成分とする
sexteもをθとして，まずη3を1
eゴη5＝eゴーヂ防 （砺はブを含む3の成分）
をみたす線型変換とする．このときηθ∈0（24）であることは容易に確かめられる．ここで ξT＝η3εTとおくとξT∈0（24）かつξT￠．M。は明らかであるが，ξT∈・0となることを示
そう．以下，MはTを第1列，5の丁以外の成分を2〜6列とするM一行列の1つであ
るとする．このようなM一行列がいくつか存在することに注意されたい．
0をoctadとして（28．016）型のベクトルx＝2eσのξTによる像を考える．0と
3との交わりが［4204］型のときxη5は（一28．016）型のベクトルである．このときxξTは（一28．016）型，または（一24．24．016）型のベクトルyとなり，｛司y乞≡2（mod 4）｝；0よ り，Aに含まれる．θとの交わりが［3115］型のときxη5は（一31．一118．15）型のベクトル である．このときxξTは（31．18＿115）型，または（一31．17．一116）型のベクトルyであ
り，｛引跳≡1（mod 4）｝は10∩θ11＝3のとき0であり，10∩5」＝3σ≠1）のとき 0＋M（1のである．ゆえにxξ・はAに含まれる．5との交わりが［2402］型のときxηsは
（一28．016）型のベクトルである．このときxξTは（一28．016）型，または（一26．22．016）型のベク トルyである．ここで1σ∩3￠1＝2となる乞を乞1，22，￠3，乞4とおくと，｛戯訓≡2（mod 4）｝
は0＋M（ZIZ2）＋M（乞3￠4）となるので，xξT∈Aを得る．
xが（一31．123）型のベクトルのときxη5は（一31．13．一120）型のベクトルである．こ のときxξTは（31．一123）型，または（一31．17。一116）型のベクトルyとなり，｛州〃乞≡1
（mod 4）｝はのまたはM（1のとなりAに含まれる．従ってxが（一31．123）型のベクトルの ときxξT∈Aが成り立つ．
以上の結果と補題4．4よりAξT≦Aが得られる．またAITは長さ4＞写のベクトルを
196560個含むのでA2に一致する．一方AξTはA2で生成されるAの部分加群であるから
Aに一致する．ゆえにAξT＝AとなるのでξT∈・0が示された．定理4．19・0はA2， A3に可移に作用する．
Proof・0の元はベクトルの長さを変えないのでA2， A3を不変にする．従ってA2， A3は
・0−orbitに分割される．まずA2が・0−orbitであること，すなわち・0がA2上丁丁である ことを示す．補題4．15よりA2＝昭UA塁∪場はA2のM。一〇rbitへの分割である．従って 3つの軌道に属するベクトルが・0の元で移りあうことを示せばよい．
0をoctadとしてx＝2eoとおくとx∈A釜である．【0∩T【＝3となるように4点
集合丁を選ぶと，上で示したようにxξT∈Alが得られる．従ってAlとAlは同じ・0−orbitに含まれる．ここで
lA舞1十IA引＝759・27十24・212＝195456＝27・3・509
は1・0「を割り切らないので定理1．3よりAl U AIは・0−orbitでない．よってAl U AIを含 む・0−orbitはA2となる．
次に・0がA3上可移であること，すなわちA3が・0−orbitであることを示す．補題4，15
よりA3＝AlUAIuA9uAlはA3のM。一〇rbitへの分割である．従って4つの軌道に属す
るベクトルが・0の元で移りあうことを示せばよい．
4点集合丁から定まるsextetをθ驚｛3別1≦2≦6｝とおく．ただしθ1＝Tとす る．＆を乞列とするM一行列をM，D＝M（1）＋M（56）とおく． Dはdodecadであり，
x二2eDとおくとx∈Alである．このときxξTは（一32．31．16．一115）型のベクトルとなる．
従ってxξT∈Alが得られ， AlとAlは同じ・0−orbitに含まれる．
octad Oを1≦ブ≦4のとき1σ∩5レi＝2となるように選び，乞∈θ5，グ∈31として x＝4er 4eゴ＋2eoとおく．x∈Alである．このときxξTは（一210．22．012）型であるから xξT∈堵が成り立つ．従ってAlと雌は同じ・0−orbitに含まれる．
x＝4e1＋eΩとおくとx∈Alである．このときxξTは（33．一121）型であるから xξT∈Alが成り立つ．従ってA§とAlは同じ・0−orbitに含まれる．以上で・0がA3上可 移であることが示された． ■
定義4．20・0のA2への作用の1点の固定群を・2， A3への作用の1点の固定群を・3
とおく．また・1＝・0／〈一1＞とおき，・1，・2，・3を・0とあわせてOoηωα〃群と呼ぶ．
定理4．19より・2，・3は固定点の選び方によらない．以下・2のA2における固定点をu2＝
一4e1＋eΩ，・3のA3における固定点をu3＝4e1＋eΩとする．
4．Conway君羊
92
一1がu2， u3を固定しないことから一1￠・2および一1￠・3が成り立つ．またM。の 部分群，M24の元でe1を固定するもの全体をル∫23と同一視すると， M23がu2， u3を固定 するので1協23＜・2，M23＜・3が成り立つ．これらを補題として述べておく．補題4．21−1￠・2および一1￠・3が成り立つ．またM23＜・2， M23＜・3が成り
立つ．
定理4．18と定理4．19から1・0：・21＝IA21，1・0：・31＝IA3【が成り立つので，次の定理が 得られる．
補題4．22・1，・2，・3の位数は次のようになる．
卜11＝221・39・54・72・11・13・23 1・21＝218・36・53。7・11・23 1・31＝210・37・53・7・11・23
以下M。の部分群M24の元でe1を固定する位数23の元をαとし，．4＝〈α〉とおく．補
題3．17より！＞M，、（〈α〉）＝〈α，β〉をみたす位数11の元βが存在する．ここでe『＝e1であ ることを注意しておく．
補題4．23σ＝・0とする．このとき次が成り立つ．
0θ（α）＝〈一1＞×孟，NG（且）＝〈一1＞×〈α，β〉
Proofσ∈0σ（α）を任意に選ぶ．
1 0 0 ＊ α＝
0 ＊
… 0
。・・@ ＊
… ＊
と表されるのでσ＝
α11 α21 。 α1ηレ α21 α22 ●○● α2η
αγL1 αγL2 。。 αηη
とおくと
±1 0 … 0
0 α22 … α2π
が成り立つ．
ασ＝σα より σ＝
0 αη2 … απη
従ってe1σ＝±e1となるので定理4．13よりσ∈M。または（一1）・σ∈M。が成り立つ が，一1∈M。より，いずれの場合もσ∈M。が得られる．
M。＝212．ルf24であるからσ＝αわ（α∈212，わ∈M：24）と一意的に表される．ここで
σα＝σ⇒αα＝α，わα＝6⇒αα＝αα，わα＝α6
となることからσ∈02、2（α）．OM24（α）よりOG（α）＝02・2（α）．OM2、（α）が導かれる．補題
3．15よりOM24（α）＝Aである，また任意のεD∈212に対して場＝εD。となることから α＝±1を得る．よってOG（α）＝〈一1＞×．4が示された．
さて・4∈鞠♂23（σ）であるから1σ：NG（孟）1≡1（mod 23）が成り立つ．一方定理 1．8，定理1．9よりNG（ノ4）／OG（蓋） 力弐ノ1賜オ（ノ4）の部分群で，孟u孟（陶は位数22の巡回群であ
るから，INσ（減）：OG（孟）1は1・4三三）1＝22の約数である． I NG（A）：OG（減）1＝22と するとiσ：NG（孟）i≡12（mod 23）となるのでING（孟）：OG（孟）［＝11である．従って 11V：σ（五）1＝2・23・11となり，！％（孟）＝〈一1＞×〈α，β〉を得る． ■
定理4．24・1は単純群である
Proofσ＝・0とおき，σの部分群Hでく一1＞≦H〈σをみたすものはσに限ることを
示せばよい．
［111が23の倍数であるとき，σのSylow 23一部分群はすべてπに含まれるので、4≦H が成り立つ．従って1匠24∩E≠1となり，．M24の単純性より．M24≦∬が得られる．このと き補題4．23よりNG（A）≦〈一1＞×．M24≦∬となることから，Frattini argument（定理1．14）
より
σ＝」田VG（且）≦H・E＝∬
が得られ，σ＝∬が導かれる．
lH！が23の倍数でないときIHiの素因数pを任意に選びP∈5〃Zp（H）とする，Frattini
argumentを適用すると（7＝HNdP）となるのでING（P）1は23の倍数である．従ってP
を適当な共役に置き換えることによりα∈！V：G（P）であるとしてよい．一方，補題4．23よ りOG（α）＝〈一1＞×、4が成り立つ．ここでpが奇数とするとOp（α）＝1より，定理1．15を 適用すれば
lPI…≡［σp（α）1…≡1（mod 23）
が得られる．（穿の位数は222・39・54・72・11・13・23であり
3た≠1（1〈んく9），5鳶≠1（1≦鳶≦4），7た≠1（1≦κ≦2），11≠1，13≠1（mod 23）
4．Conway群 94
となり，このようなPは存在し得ない．ゆえにEは2一群である．このときOH（α）＝〈一1＞
となり，定理1．15より1∬1≡2（mod 23）が得られるが，2以上222以下の2のべきでこ
れをみたすのは2と212のみである．H≠〈一1＞と仮定しているのでIHI＝212となる．
さて〈一1＞≦0σ（∬）ぐ（7であるが，α￠0σ（H）であるからioσ（π）1は23の倍数でない．
従ってHの場合と同様にしてOG（H）＝〈一1＞または10G（∬）1＝212が得られる．ここで
位数13の元θ∈σに対して
1≡IHI≡10H（θ）1（mod 13）
が成り立つことと，一1∈OH（θ）とから10H（θ）【＝212が得られる．よってθ∈0σ（H）とな
り，10G（H）1＝2または212であることに矛盾が生じる．以上でH＝Gが示された． ■
定理4．25・2は単純群であるProofσ＝・2として1≦H＜l GをみたすHがσに限ることを示せばよい■珂が23 の倍数のときはオ≦Hよりσ＝HNσ（五）が得られる．一方，補題4．21よりM23≦（7 であるが，！脇3∩∬≠1とM23の単純性から．M23≦丑を得る．ここで一1￠θよ
り砺（孟）＝〈α，β〉≦．M23となることから
σ＝HIVG（孟）≦HM23＝π よりH＝σが得られる．
1珂が23の倍数でないとする．！測の素因数pに対して一P∈5飾偉）とおくと σ＝HNG（P）となる．必要ならばPを適当な共役で置き換えることによりα∈1＞G（P）
であるとしてよい．一方，一1￠σより0θ（α）＝．4となるのでOp（α）＝1が成り立つ．
よって
lPl≡1（mod 23）
を得るが，これをみたすのはIPI＝211のみである．従ってIHI＝211が成り立つ．位数が 23の倍数でない正規部分群（≠1）の位数は211であることが示されたのでH＝OG（H）か つHはσの極小正規部分群である．
さてG／0σ（H）≦．4頭H）＝σ五（11，2）よりσ／Hは（7五（11，2）の部分群に同型であ る．補題4．22より1σ／Hlは53で割り切れ，定理1．4より1σL（11，2）1は53で割り切れな い．よって矛盾が得られたのでσの正規部分群（≠1）の位数は23の倍数となり，σに一
致することが示された． ■
Proofσ＝・3として1≦」ワ〈（7をみたす11がσに限ることを示せばよい．1∬iが23の
倍数のときは．4≦11よりG＝∬〈嵐孟）が得られ，定理4．25の証明と同様にしてH＝σ が得られる■則が23の倍数でないとすると，iHIの素因数pに対してP∈鞠娠H）と
おくと，定理425の証明と同様にしてlPl≡1（mod 23）
が導かれるが，これをみたす1刑は存在しない．よって矛盾が得られ，定理が証明された．■
以上で・1，・2，・3の単純性が示された．
付録
M一行列を定義するoctad
定義2・17で用いた8つの8鹸合の元ρ位置を行列内の・で表すと次のようになる
M（1）± M（2）＝
M（3）＝
M（5）＝
M（7）＝