となる．これより任意のα∈Vに対してρα＝ρとなるρは0とσのみであることがわか
る．ゆえにZ（P）＝〈σ〉である． ■補題3．300M24（σ）〉σ≠1ならばσ∈σが成り立つ，
Proof OM24（σ）〉σ≠1と仮定する． P∩σ＝1であるとすればOM24（σ）〉一Pより
σはPの元と可換となり，補題3．26よりσ≦N（0）が得られ，矛盾が生じる．従って P∩σ≠1が成り立つ．一方，Pは2一群であり，P∩σ〈Pであることから，定理1．16よ
り（P∩の∩Z（P）＞1が得られる．よってσ∈P∩σ≦0 が示された． ■
3．Mathieu群
68
定理3．3h＝0，1，2，3に対しM24一εは単純群である．
Proof鈴木の判定法を適用し，オ＝0の場合は定理1．24の条件（1，1）と（1．2），オ＝1，2，3の
ロ し コ か ノド ノ ヨ モ ロム バウ わ じロロ ノ ミ ヤ つ へ を つ へ ち ヤ ロ ロ しロコロ
砺冒ほ余件〔⊥・⊥／ど楠題1．25の粂1午（L3）をみたすことを不す．このときM24一εの位数が4 の倍数であることから鰯4一εの単純性が得られる．以下σは前と同様に1828型の置i換と
し，その固定点からなるoctadを0，α1，α2，α3∈0とする．
まず（7＝ル∫24一舌とおきσ＝〈σG＞を示す．1＞（0）の位数2の元はすべてσの共役 であるからN（0）≦〈σσ〉が成り立つ．またA（の鯉．48％は単純群であり，位数2の元で
生成されるがA（オ）の位数2の元は固定点をもっから1828型でσと共役である．従って
、4（オ）≦〈σσ〉を得る．以上で瓦（0）≦〈σG＞が示された．次に0と異なる01∈0（ので α1，α2，α3を含むものを選ぶ．このとき10∩011＝4であるから0∩01＝｛α1，α2，α3，α4｝
とおく．N（01）は◎許。、α，。、に可移に作用するから0γ≠0をみたすT∈N（01）が存在 する．7∈σσかつT￠瓦（0）であるから瓦（0）⊆〈σσ〉が成り立つ．一方，定理3．22より 瓦（0）はσ＝鰯4％の極大部分群であるからσ＝〈σG＞を得る．よってσは条件（1．1）を みたすことが示された．
オ＝0のときは補題3．30より条件（1．2）が成り立つ．またオ＝1，2，3のときは定理3．23 と定理327より条件（1．3）が成り立つ．ゆえにσ＝M24弓は単純群である． ■ M24，1協3，ル∫22はMathieuの単純群と呼ばれる．なおル∫21はP∬（3，4）に同型であ
ることが知られている．また1＜1協24∩．424〈．M24であるが，．M24が奇置i換を含めば
．M24∩．424≠M24となり定理3．31に矛盾する．従ってM24のすべての元は偶置換である．
R24の直交変換のなす群としてConway群・0を定義し，その剰余群，部分群と してConwayの単純群・1，・2，・3が現れることを示す．なおLeech latticeは 1967年，J． Leechがsphere packingとの関連で発見したR24の格子である．
§4．1ではLeech lattice Aを定義し， Aに含まれる長さ4Vう，4〜原，8のベクト ルの型と個数を決定する．またA／2Aの，長さ8のベクトルを含む剰余類に長さ 8のベクトルからなるR24の直交基底が含まれることを示す．§4．2ではBinary
Golay Codeと！協4からAを不変にする単項行列のなすMonomial groupが
自然に定まることを示し，長さ4＞百以下のベクトルの集合を軌道に分割する．
また長さ8のベクトルからなる直交基底から得られる正規直交基底に関するA
のベクトルの成分表示がLeech latticeの3条件をみたすことを示す．§4．3では Conway群・0，・1，・2，・3を定義し，それらの位数を決定するとともに，・1，・2，・3 の単純性を導く．4．1 Leech lattice
以下R24は24次ユークリッド空間とし，そのベクトルを行ベクトルで表すことにす
る．すなわち
R24一｛（・、，∬，，…，ω24）1賜∈R｝
である。ベクトルX＝＠1，＿，∬24）とy＝（9／1，… ，！ノ24）に対して
〈X，y＞一Σ鋤， Iixll一〈X，X＞一Σ堵
2＝乞 乞＝乞
69
4．Conway群 70
と定める．〈x，y＞はユークリッド空間における通常の内積である．第乞座標が1であり，そ の他の座標が0である基本ベクトルをe2と表す（1≦￠≦24）．更にΩ＝｛1，2，＿，24｝と おき，rをΩ上のBinary Goley Code，（Ω，⑪）をrから定まるS（5，8，24）とする．Ωの部
分集合丁に対してeT＝▽e、とおく．
占 ム＿♂ ロ
￠∈T
定義4．1座標が整数であるR24のベクトルx＝＠1，＿．，ω24）で，次の条件をみたすも の全体からなる集合を加θc耐αオ痂θといいAと表す．
∬1≡労2≡……≡欝24（mod 2） （4．1）
シー｛0（mod 8），∬￠≡0（mod 2）のとき （4．24（mod 8），錫…≡…1（mod 2）のとき）
m＝0，1，2，3に対して｛司銑≡m（mod 4）｝∈rが成り立つ （4，3）
成分が整数であるR24のベクトル全体のなす集合をZ24と表すとZ24はe1，＿，e24をZ基
底とする階数24の自由加群で，A⊆Z24が成り立つ．補題42AはZ24の部分油画である．
Proof x∈Aに対して一xが（4，1），（42），（4．3）をみたすのは明らかである．またx，y∈A に対してx＋yが（4．1），（42）をみたすことも明らかである．従ってx＋yが（4．3）をみた すことを示せばよい．
銑≡防≡0（mod 2）のとき
D＝｛乞i銑≡0（mod 4）｝， E＝｛司跳≡0（mod 4）｝
とおくとD，E∈rより
｛乞ljじ茗十跳…≡2（mod 4）｝＝D十E∈r，｛司」じ乞十跳≡…0（mod 4）｝＝D十E∈r
となるので（4．3）が成り立つ．∬琶≡防≡1（mod 2）のときも同様である．
銑≡0，防…≡1（mod 2）のときは
D ＝｛司錫…≡0（mod 4）｝， E ＝｛ゼ1跳…1（mod 4）｝
とおくとD〜五γ∈rより
｛乞1銑十四≡3（mod 4）｝＝D 十E ∈r，｛司一十跳≡1（mod 4）｝＝D 十E ∈r となるので（4．3）が成り立つ．銑≡1，防≡0（mod 2）のときも同様である． 彊
Aは階数24の自由加群Z24の部分加子であるから，定理1．23より階数が高々24の自
由加群である．一方8e乞は明らかにAに含まれるから｛＠1，∬2，…，欝24）1銑∈Z；，賜≡0（mod 8）｝
は8e1，．．．，8e24を基底とする自由鼠取で， Aの部分加群である．その階数24はAの階数以
下であることからAの階数は24である．
一般にRηの部分加群しが階数ηの自由加群で，RηのR基底を含むとき，Rηの格子
（lattice）と呼ばれる．従ってAはR24の格子である．
以下，整数α，6，c，．．．に対して
P−1｛乞匿＝α｝1，9一囮・・一δ｝1，・一1｛乞1銑一・｝レ・・…
であるようなベクトルxを（αP。わ（1．cT，，．）型のベクトルと呼ぶ．
補題4．3D∈rならば2eD∈Aが成り立つ．また次の型のベクトルはすべてAに含
まれる．
（一31．123）， （81．023）， （一41．41．022）， （42．022）
Proof D∈rのとき，ベクトル2eDは明らかに（4．1），（4．3）をみたす．また［Dlが4の倍 数であるから，成分の和は8の倍数になり（4．2）もみたす．従って2eD∈Aが成り立つ．
（一31．123）型のベクトルxは成分がすべて奇数でΣ鑑銑＝20…≡4（mod 8），およ び｛司銑…≡1（mod 4）｝＝Ω∈rをみたすことからAに含まれる．また（81．023）型のベク
トルがAに含まれることは上に注意した通りである．
（一31．123）型のベクトルは適当な乞により一4q＋eΩと表される．これより，任意の 乞≠ゴに対して
一4eガ十eΩ，一4eゴ十eΩ∈A ⇒ 一（一4eガ十eΩ）÷（一4eゴ十eΩ）＝4e乞一4eゴ∈A 4e￠一4eわ8eゴ∈A ⇒ 4e乞一4eゴ十8eゴ＝4eゼ十4eゴ∈A
4．Conw翫y群
72
が成り立つので（一41．41．022）型，および（42．022）型のベクトルもAに含まれる． 薩
補題4．4Aは（28．016），（一31．123）型のベクトルで生成される．
Proof（一31．123）型のベクトルをy￠＝一4e￠＋eΩ（1≦乞≦24）とし
Ao＝〈2eo， y肩σ∈◎，1≦②≦24＞
とおく．Ao⊆Aは明らかに成り立つのでA⊆Aoを示せばよい． Trio｛01，02，03｝を1つ 選べば
2eo1十2eo2十2eo3＝2eΩ∈Ao
が得られ，これより2eΩ一2y乞＝8e乞∈Ao
も得られる．また補題4．3の証明と同様にして4er 4eゴ∈Aoが得られる．
さて任意のa＝（α1，＿，α24）∈Aを選びa∈Aoが成り立つことを示す．各砺が奇数 であればa＋y1と置き換えることにより，α￠はすべて偶数であるとしてよい．更にaに適
当に4e1−4eたの整数倍を加えることにより，第2〜24日分が0または2であるとして
よい．
ここで
D＝｛②1α￠≡2（mod 4）｝
とおく，a∈AよりD∈rである． D＝ののとき，第2〜24成分はすべて0である．
D＝Ωのときはa−2eΩの第2〜24成分はすべて0である． Dがoctadのときは a−2eoの第2〜24成分はすべて0である． Dがoctadの補集合のときはD＝01∪02
と表されるので，a−2eo、一2eo、の第2〜24成分はすべて0である． Dがdodecadの ときはD＝01＋02と表されるので，a−2eo、一2eo，とすると第2〜24成分は高々2成
分で一4になることを除いて，すべて0である．従って適当な一4e1＋4eたを加えることにより第2〜24成分をすべて0になるようにできる．
以上からaの第2〜24成分はすべて0であるとしてよい．このときα1は8の倍数
であるからaは8e1の整数倍に一致する．よってa∈Aoが示された， ■
補題4．5
（1）任意のx，y∈Aに対して〈x，y＞∈8Zが成り立つ．
（2）任意のx∈Aに対してllxl≡0（mod 16）が成り立つ．ただしllxll＝16をみたす x∈Aは存在しない．
（3）任意のx∈Aに対して〈z，x＞∈8Zをみたすz∈R24はAに含まれる．
Proof x，y∈Aを任意に選ぶ．補題4．4より
x＝∬1a1・十… 十∬24a24， y＝〃1b1十… 十ツ24b24 ＠乞，防∈Z）
と表すことができる．ただしa乞，bゴは（28．016）型，または（一31．123）型のベクトルである．
ここで
〈x，y＞一〈・・a・＋…＋・・4a・4，ツ・b・＋…＋〃24b24＞一Σ・勤〈a・，bゴ〉
乞，ゴ
が成り立つ．従って（1）を示すにはa，bが（一31．123）型または（28．016）型のとき〈a，b＞が 8の倍数であることを示せばよい．
a，bが共に（28．016）型のときa＝2eo， b＝2eDとおく．ただしσ， D∈◎である．こ のとき補題2．12より10∩Dlは偶数である．従って〈a，b＞＝410∩DIは8の倍数である．
a，bが共に（一31．123）型のときa＝一4q＋eΩ， b＝一4eゴ＋eΩとする．このとき 低b＞一｛！：：；；1
となり，〈a，b＞は8の倍数である，
aが（28．016）型，bが（一31．123）型のときa＝・2eo（σ∈◎）， b＝一4eゴ＋eΩとする．
このときも
偽b＞一｛1謡
となり〈a，b＞は8の倍数である． aが（一31。123）型， bが（28．016）型のときも同様である．
以上で（1）が示された．
4．Conway群 74 次にxを前と同様とすると
〈X，X＞＝〈コウ・a・＋…枕24a24，諮、a、＋…枕24a24＞
一Σ鋤〈a￠，aゴ〉
㌶
一Σイ〈・・，a・〉＋Σ2鋤〈a・，a、〉
￠＝1 kゴ
が成り立つ・上式の第2項は〈aI，aゴ〉が8の倍数であることから16の倍数である．一
方〈a乞，a乞〉はa乞が（28．016）型または（一31．123）型のいずれの場合も32である．従って
〈x，x＞は16の倍数である．またu＝（物，＿，u24）∈Aが
〈u，u＞＝㌶＋…＋略4＝16
をみたすとすると，砺の中に0が含まれることになるので，すべての砺は偶数である．あ る乞について砺＝」＝4となるならば，第②成分以外はすべて0となり，Σ￠u￠＝土4≠0
（mod 8）より矛盾が得られる．従って砺は0または土2である．このときも砺≡2（mod 4）
となる乞が4個のみで，Leech latticeの条件（4．3）をみたさない．よって〈u， u＞＝16をみ たすベクトルuはAに存在しない．以上で（2）が示された．
最後に任意のx∈Aに対して〈z，x＞∈8Zをみたすz＝（之1，．．．，z24）∈R24がAに含 まれることを示す．8e￠∈Aより
〈z，8e乞〉＝8麹∈8Z
が成り立つ．従ってz乞∈Zが得られる．次に￠≠プとして
〈z，4e￠一4eゴ〉＝4（麹一βゴ）∈8π
よりβ￠≡z （mod 2）が得られるので定義4．1の（4．1）がみたされる．また 〈・，一4・・＋eΩ〉一4・・＋Σ貌∈8Z
乞
よりΣ漁≡4z、（mod 8）が成り立つ．従って（4．2）もみたされる．
さて，必要ならばzをz−4e1＋eΩで置き換えることによりzの成分は偶数であると
してよい．ここでD＝・｛乞lz乞……2（mod 4）｝1ぎr
と仮定すると，定理2．27より10∩Dlが奇数となるoctad Oが存在する．このとき 〈・，2・・〉≡Σ2・・≡Σ4≡4ρ∩Di≡4（m・d 8）
乞∈C∩D 2∈0∩D
よりくz，2eo＞￠8Zとなり仮定に反する．よってD∈rが成り立ち，（4，3）もみたされるの
でz∈Aが示された． ■
以下π＝2，3，4に対してAπを次のように定める．
A・＝｛x∈Alllxll＝32｝，A・＝｛x∈All図1＝48｝，A・＝｛x∈Alllxll−64｝
A。のベクトルx＝＠1，＿幽4）はΣぜ＝16ηをみたす．A。に属するベクトルxに対
をニヱして（1飢11，＿，1∬241）の型を絶対値型ということにし，まずこれを決定する．なお絶対値型 は便宜上大きい順に並べることにする．以下max｛團｝＝1ωm lとおく．
A2のベクトルx＝＠1，…，ω24）1まΣ♂＝32をみたす・従って團く6が得られる・
信；1
剛＝5のときはΣ♂＝7となり，ある∬琶が0となる．従って，この場合（4．1）を
乞≠mみたさない．
隔1−4のときはΣ・〜一16となる・この場合（42・022）型，（一41・41・022）型，
づ
（一42．022）型ベクトルなど，絶対値型が（42．022）となるものに3条件（4．1），（42），（4．3）
をみたすベクトルがある．一方，成分に±2が現れる絶対値型が（4124．019）であるベ クトルは（4．3）をみたさない．
隔1−3のときはΣ・〜一23となる・・mのほか｝・±3を成分に持て1ず，ある・・
が0となり（4．1）をみたさない．従って絶対値型が（31．123）となるが，実際（一31．123）
型ベクトルなどが3条件をみたす．
1鰍1二2のときは絶対値型が（28．016）となるベクトルで3条件をみたすものがある．
以上からA2のベクトルの絶対値型は（28．016），（31．123），（42．022）のいずれかである． A3， A4 も同様にしてベクトルの絶対値型が決定できる（詳細略）．