0 ・ ・
Σ〃・2一Σ・・2−1，
乞＝2 乞＝2
べ
Σ臓一〇
￠；2
が成り立つことに注意されたい．さて第1成分が4である（42．022）型のベクトルのσに よる像は（4，．．．．．．）と表されるが，長さが4〜厄であることからA2に含まれる．従って補題 4．6より第1成分が4である絶対一型が（42．022）のベクトルである．従って②≠1とする
と，適当なブにより
（4e1十4e∂σ＝（4e1）σ十・（4e∂σ＝4e1土4eゴ
と表される．これより任意の乞≠1に対してe9＝土eゴとなる．よってσは各行各列に±1 がユつある単項行列である．従ってσ＝σ1σ2と成分がすべて1である単項行列（置換行
列）σ1と成分が土1である対角行列σ2との積として表される．さて0を任意のoctadと
すると
A∋2eo ト≦L＞y＝ω1，一．，〃24）∈A，｛帳面≡…2（mod 4）｝＝0σ1
となる．これより0σ・はoctadとなる．0は任意であったからσ1∈ハf24が成り立つ．一方
の一「勉：？1，D一｛∴一書
Lo…・24」
とおくとΣ差1跳…≡0（mod 8）であるためには1−0∩0・・1が偶数でなければならない．0
は任意のoctadであったことからDと任意のoctadとの交わりが偶数個になる．従って 定理2．27よりD∈rを得る．ゆえにσ2＝εD∈M6が成り立つ．以上でσ＝σ1σ2∈．M。
が示された． ■
定理4．14σ∈0（24）がAσ＝Aかっ（Al）σ＝Alをみたすならばσ∈M。である，
Proofσ∈0（24）がAσ＝Aかつ（Al）σ＝Alをみたすとする．ここで
a＝（4，4，0，．．．，0）， b＝（4，一4，0，．．．，0）
とおく．このときaσ，bσは絶対値型が（42．022）のベクトルである．従って適当なπ∈．M24 と適当なoctad Oを選べば
aσπεσ＝（4，4，0，．．．，0）σπεσ＝（4，4，0，．＿，0）
とすることができる．例えば適当なπ∈M24によりaσπ＝（4，一4，0，＿，0）となった場合 は1を含まず2を含むoctad Oを選べばよい．さてσπεo∈．M。を示せばσ∈M。が得ら
れるので，最初からaσ＝aであるとしてよい．aとbは直交するのでbσはaと直交す
る．従って，必要ならばσを，適当な1脇4の元π と，適当なoctad O によるεσ との積 σπノεo で置き換えることにより，bσは次のいずれかの型のベクトルであるとしてよい．
b＝（4，一4，0．．．，0）， 一b＝（一4，4，0＿．，0）， （0，0，4，4，．．．，0）
bσ＝bのときは
（8e1）σ＝（a十b）σ・＝aσ・十bσ＝a十b＝8e1
となりe了＝e1を得る．ゆえに定理4．13よりσ∈M。が得られる． bσ＝一bのときも同 様に
（8e1）σ＝（a十b）σ＝aσ十bσ＝a−b＝8e2
4．Conway群 84
よりe望＝e2が得られ，定理4．13よりσ∈．M。が導かれる．さてbσ＝（0，0，4，4，＿，0）と仮定する．a， bと直交する絶対値型が（42．022）のベクト ルの個数とa，bσと直交する絶対値型が（42．022）のベクトルの個数とは一致する．ここでa，
bと直交する絶対値型が（42．022）のベクトルは±4が第3成分以下にあるので，4・（誓）＝924 個ある・一方a，bσと直交する絶対値型が（42．022）のベクトルは4＋4・（智）＝764個で 764≠924となり，矛盾が生じる．よってbσ＝士bとなり，σ∈．M。が成り立つ． ■ M。の元は座標の置換と土1倍の操作の合成であるから，ベクトルの絶対値型を不変に する．従って魂はM。により固定される．
補題4．15次の集合は．M。一〇r臨である．
A婁， Al， A窒， A睾， Al， A盛， A§
Proof醗は1匠。により固定されるので，．M。がA円上一応であることを示せばよい，
Alは絶対値型が（28016）のベクトルの集合である． octadを1っ選び0とする。任意
のx∈堵に対してσ∈M。が存在してxσ＝2eoとできることを示せばよい．
x＝＠1ラ＿，ω24）， D＝・｛乞1銑≡2（mod 4）｝
とおく．このとき適当なπ∈M24によりDπ二〇とできる．
xπ＝y＝（！ノ1，・・。，！ノ24）， E＝｛司防＝一2｝
とおく．iE∩Ol≦4のときはoctad O を0 ∩0＝E∩0となるように選べば
xπεo ＝yεσ ＝2eσ
が得られる．IE∩oi＝8のときは
xπεo＝yεσ＝2eoが成り立つ．iE∩Ol＝6のときは0との交わりが0−E∩0であるoctad Fを選び，得 られるdodecad D ＝F＋0から
xπεD ・＝yεD ＝2eo
が導かれる．以上でM。が堵上可移に作用することが示された．
次に，任意のx∈Alを（一3，1，．．．，1）に移す．M。の元が存在することを示す． xの土3
を第1成分になるように．M24の元で移す．次に1を含むoctad Oから得られるεσを作
用させればy＝（一3，！ノ2，．．．，2／24）なる形のベクトルに移すことができる．ここで
D＝｛司跳…≡3（mod 4）｝＝｛司跳＝＿1｝
とおけばD∈rよりεDを作用させて（一3，1，．。．，1）に移すことができる．よってM。は 雌上等移である．
雌については定理4．14の証明中でも述べたように絶対値型が（42．022）である任意の ベクトルを（4，4，0，＿，0）に移すM。の元が存在する．従って．M。は雌上可移である．
Alは絶対値型が（212012）のベクトルのなす集合である． dodecadを1つ選び一Dとす る．任意のx∈Alが．M。の元によって2eDに移されることを示せばよい．
x＝＠1，＿，ω24）， E＝｛￠1銑≡2（mod 4）｝
とおくとEはdodecadである．系3．20よりEπ＝Dとなる7「∈．M24が存在する．ここで
xπ＝y＝（！ノ1，… ，2／24）， ・F＝｛￠i跳＝一2｝
とおき，必要ならばεDを作用させることによりIF［＝0，2，4，6であるとしてよい． i∬1＝0
ならばx〃＝2eDである． IFt＝6でFがspecialのときはFを含むoctad O1と，あ るoctad O2によりD＝01＋02と表される．このときεo、を作用させると2eDに移る，
lFl＝4のときは∬を含むoctad O3と，あるoctad O4によりD＝03＋04と表される．
ここでFを含むsextetと04の交わりが［2402］型となることからDとの交わりがFと なるoctad Oが存在する．従ってεcを作用させて2epに移すことができる． iFl＝2の
ときはD＝05＋06，F⊆05となるoctad O5，06が存在する．ここでεo、を作用させる とIFI＝4の場合に帰着される．1−Flニ6でFがnon−specialのときもDとの交わりが
，Fの4点であるoctad Oを選びεoを作用させてIFI＝2の場合に帰着させることができ
る．以上でM。が蜷上可移であることが示された．Alは絶対値型が（33．121）のベクトルのなす集合である．任意のx∈Alが，M。の元に よりa＝（一3，一3，一3，1，＿，1）に移されることを示せばよい．1匠24はΩ上5重可移である から適当なπ∈．M24によりxの±3を1〜3成分に移すことができる．更に，表2．1（p．31）
からわかるように1，2，3の 3点を含むoctad ， 2点を含み，他の1点を含まないoctad ，
1点を含み，他の2点を含まないoctad が存在するから，そのようなoctadを0とすれ
4．Conway君羊
86 ば7rεoによりxは
y＝（一3，一3，一3，．．．．．．）
に移される．ここで
y＝（2／1，・・。，！ノ24）， D＝｛乞1跳≡3（mod 4）｝＝｛乞1腕＝一1｝
とおけばD∈rが成り立つ．従ってεDを作用させればaに移すことができる．よって
M。は雌上可移である．Alは絶対値型が（41．28．015）のベクトルのなす集合である． octadを1つ選び0と
する．
a＝2eo−4er十4e5＝（α1，＿，α24），γ∈σ，51ぎ0
とおく．任意のx∈雌がM。の元によりaに移されることを示せばよい．
x＝＠1，＿，ω24）， D＝｛乞1銑≡2（mod 4）｝
とおくとDはoctadである，従って7r∈！晦4によりDπ＝0とできる．ここで
xπ＝y＝（〃1，．．．，〃24）， E＝｛乞1跳＝一2｝
とおく■Elは奇数であるから｛丹＋Eは偶数個の元を含む．従って前と同様にM。の元
の作用で0一（｛γ｝＋E）の成分はそのままにして，｛丹＋Eの成分を一1倍することができる．このときyがZ＝（2r1，・。・，2124）に移ったとすると
￠∈0 ニ＝⇒・ 之歪＝α乞
が成り立つ．更に，N（0）がΩ一〇上可移であるからzの5成分が4であるようにできる．
このときz＝aとなる．よってM。は高上可移である．
Alは絶対値型が（51．123）のベクトルのなす集合である． a＝（5，1，＿，1）とおく．任
意のx∈雌がM。の元によりaに移されることを示せばよい．適当なπ∈M24により xπの第1成分が±5となるようにできる．また必要ならば1を含むoctadを0として εoを作用させてxが
y＝（5，＿＿）＝（μ、，＿，924）
に移されたとしてよい．ここでE＝｛司ッ￠≡3（mod 4）｝とおくとE∈rであるからεE
を作用させてyをaに移すことができる．よってM。は堰上可移である．以上で補題が 証明された． ■
定理4．16A4／2Aの剰余類に含まれる直交基底から定まる正規直交基底を適当に選べ
ば，その正規直交基底に関するAのベクトルの座標は定義4．1の3条件をみたす．Proof定理4．8よりA4／2Aの剰余類にはR24の直交基底が存在する．今，その1つを
a1，＿，a24とし叫＝憲a乞と定めるとu1，＿，u24は正規直交基底である．以下，必要ならば u1，＿，u24を置換し，また叫を一二に置き換えることにより，Aのベクトルのu1，．．．，u24 に関する座標が定義4．1の3条件をみたすようにできることを示す．なお，この証明中，座 標はすべてU1，＿，U24に関する座標であるとし，ベクトルの型もこの座標に関するものと
する．
x∈Aの座標を＠1，＿，の24）とすると
X＝ω、U、＋…緬24U24， 銑＝〈X，U乞〉
であるが，補題4．5よりくx，aδは8の倍数である．従って
咽調一〈結a・〉一1〈X，a・〉∈Z
が得られる．また±aバ1≦②≦24）がA／2Aの同じ剰余類に属することからa乞±aゴ∈2A
が成り立つ．これよりaraゴ＝2yとおけばy∈Aであることから
一一〈一uゴ〉一1〈茜a・一馬〉一2（1〈瓦y＞）∈2Z
となる．よって∬￠≡紛（rnod 2）が得られ，（4．1）の成り立つことが示された．
座標が偶数であるAのベクトルのなす集合をLoとおくと，明らかに五〇はAの部分
加群である．ここでx∈五〇に対してOx＝｛司銑……2（mod 4）｝ とおき r ＝〈Ox l x∈五〇〉≦P（Ω）
と定める．x， y∈五〇に対してOx＋y＝Ox＋Oyが成り立つことから，任意の0∈r に 対して0＝Oxとなるx∈Loが存在する．またa乞，圭（a￠士aゴ）∈Aより，座標の型が
（士81．023）および（土4．±4．022）であるベクトルがLoに存在する．
4．Conway群 88 空でない0∈r を任意に選び，x∈五〇を0＝Oxをみたすベクトルとする．また
101＝ηとおく．座標の型が（土81．023），（土4．士4．022）であるLoのベクトルをxに適当に
加減して得られるyについて，0＝Oyが成り立ち，乞∈0ならば1刎＝2，曜0ならば
1纐＝0となるようにできる．一方，補題4．5より32≦目y！！＝4ηとなるのでη≧8が成り 立つ．従って
⑪ 一｛o∈r 1ρ1−8｝
とおくと補題2．1よりdim r ≦12，1⑪ 1≦759が成り立つ．以下， r がBinary Golay Codeであることを示す．
上述のことからilxll＝32かつ賜≡0（mod 2）をみたすベクトルx＝＠1，＿，ω24）∈A の絶対値型は（28．016）または（42．022）である．（42．022）型のベクトルの存在はすでに示し た．それらは4・（242）個ある．一方（28．016）型のベクトルの総数は759・28以下である．こ れら以外にIlxll＝32となるベクトルが存在しないとすると
4・
求{759・2・一1954・8＜・9656・
となり補題4．7に矛盾する．従ってAにlxli＝32かっ銑…1（mod 2）となるベクトルが 存在する。このようなベクトルxの絶対値型は（31．123）である．
さて，必要ならば適当にu￠を一u乞に置き換えて，Aに（一3．123）型のベクトルaが存在 するとしてよい．ベクトルxの絶対値型が（31．123）であるとし，Ox＝｛司銑≡1（mod 4）｝
とおくとx＋a∈五〇よりOx＝Ox＋a∈r を得る．逆にD＝Ox∈r となる，絶対値型
が（31．123）であるxは，乞∈Dのとき跳＝1，曜Dのとき〃￠＝一1と定め，更に，ある1を一3で置き換えるか，ある一1を3で置き換えることにより得られる，ここでDの選び
方は高々lr 1通り，士3に置き換えるのは24通りであるから，絶対値型が（31．123）である ベクトルの個数は高々24・剣呑である．またAに（一3．123）型のベクトルaが存在することと補題4．5より，（28．016）型のベ クトルで座標に一2を奇数個含むものは存在しない．よって（28．016）型のベクトルは高々 759・27個である，lr 1≦212よりilxll＝32となるベクトルの個数は
24・212＋4・
求{759・2・一19656・
以下となるが，補題4．7より11xl！＝32となるベクトルの個数は196560個存在する．従って
（31．ユ23）型のベクトルが24・212個存在することになり，lr 1＝212が得られdim r ＝12 が成り立つ．これよりr はBinary Golay Codeで，（Ω，◎ ）はS（5，8，24）である．定理2．32