Proof lO∩7嘱。くたく5の最大値が1以下ならばlq≦6となり矛盾が生じる．従って10∩聾1 の最大値は2，3または4である．
最大値が4のときρ∩矧＝4，C∩乃≠のとなる乞≠ゴが存在する．このとき 賜U乃∈Bかつ10∩（zul弓）1≧5であるから0＝7｝U7》が成り立つ・従ってこの場合
10∩7刻。鮪く5は4が2個，0が4個である．
最大値が3であるとしてio∩7｝1＝3とする．いま10∩男1≧2となるブ≠乞が存在
すると仮定する．このとき10∩（男U％）1≧5となり0＝鴇U乃が得られ，10∩7為1＝3
であることに矛盾する．従ってゴ≠￠に対してio∩7｝1≦1である．よってこの場合は3
が1個，1が5個である．
2．S（5，8，24）
34 最大値が2であるとして1σ∩矧＝2とする．いま10∩℃1＝1となる￠≠ゴが存在
すると仮定すれば10∩（男U％）1＝3となり補題2．12に矛盾する．よってこの場合は2が4個，0が2個である． ■
以下octadとsextetの交わりが上の定理の（1），（2），（3）のいずれになるかにより，［4204］
型，［311『型，［2402］型と呼ぶことにする．
次に任意のsextetに対して3っの型が起こり得ることを示す．
3＝｛別0≦乞≦5｝をsextetとして7｝＝｛％無傷d￠｝とおく．このとき乃U男は
octadであり，5との交わりは［4204］型である．0＝0（αo，α1，α2，α3，α4）とおく．0の残りの3点がどの成分に含まれても1σ∩7U＝1 となる宮が存在する．従ってこの場合は［3115］型である．
0＝0（αo，わ。，α1，δ1，α2）とおく■0∩7bl≧2，10∩：τll≧2，10∩乃1≧1であるから
［4204］型，［3115］型ではあり得ない．従ってこの場合は［2402］型である．
M一行列
Ωの部分集合Xに対してXを含むoctadが存在するときXはspecialであるという．
specialでないときnon−specialであるという．また｛∬1，ω2，ω3，ω4，ω5，％｝がnon−specialで あり，｛∬2，瓢3，ω4，劣5，ω6，∬7｝がspecialであるような7点順列＠1，瓢2，ω3，∬4，∬5，∬6，∬7）を
（Ω，B）のM一順列，または単にM一順列という，
補題2．16ηoη一3pεc刎なX＝｛銑，コじ2，∬3，∬4，賜，鞠｝に対してX￠＝X一｛∬乞｝，瓦を 含むoc如dをX（の，男＝（X（の一X∂U幅｝とおく（1≦乞≦6）．このとき｛男｝1 6
は8e撹θオである．
Proof Xがnon−specialであるから鎧￠￠X（のである．従って1男1＝IX（乞）1−IX￠1＋
1＝4が成り立つ．また乞≠ブのとき簸∈X（のよりX（の≠X（のとなる，ここで 蕩∩Xゴ⊆X（の∩X（の，【蕩∩Xゴ1＝4より蕩∩Xゴ＝X（の∩X（のを得る．よって
Xω∩X（の＝｛賜1κ≠琶，がが得られる．これより陽∩乃＝のが導かれる．元の個数を考えるとΩ＝処U7bu…U％が得られる．一方奄≠ゴのとき％U％＝X（の＋X（の，
lX（の∩X（の1＝1＆∩Xレ・1＝4であるから，補題2．13より鴇u7》はoctadである．よって
｛賜｝1 6はsextetである． ■
以下本論文を通じてnon−specialなX＝｛銑，∬2，∬3，晦，賜，∬6｝に対してX（2）は上の 補題で定めたoctadを表すものとする．
次にM一行列の概念を導入する．M一行列とはΩの元を成分とする4×6行列であり，
octadが特別な位置に配置されたものである．次節でSteiner systemθ（5，8，24）の一意性を 示すのに必要となる．定義の前に記号などを準備する．
M＝
α11 α12 α13 α14 α15 α16 α21 α22 α23 α24 α25 α26 α31 α32 α33 α34 α35 α36 α41 α42 α43 α44 α45 α46
とおき8点集合M（1），＿，M（8）を
M（1）＝｛α12，α13，α14，α15，α16，α21，α31，α41｝
M（2）＝｛α11，α12，α13，α14，α21，α22，α23，α24｝
M（3）＝｛α11，α12，α13，α14，α31，α32，α33，α34｝
M（4）＝｛α11，α12，α13，α14，α41，α42，α43，α44｝
M（5）＝｛α13，α14，α15，α16，α23，α24，α25，α26｝
M（6）＝｛α13，α14，α15，α16，α33，α34，α35，α36｝
M（7）＝｛α13，α14，α15，α16，α43，α44，α45，α46｝
M（8）＝｛α11，α12，α13，α24，α31，α35，α41，α46｝
と定める（これらを行列の位置で表したものをp．96の付録に記す）．
更に1≦乞≠ゴ≦6に対して
Mω）＝｛α1乞，α2￠1α3￠，α4￠，α1ゴ，α2ゴ，α3ゴ，α4ゴ｝
と定める．M（切は乞列とブ列の和である．
定i義2．17Ωの元を次の条件をみたすように4×6行列Mに配置したものを（Ω，B）
の．M一行列，または単に．M一行列という．
（0）任意の1≦乞≠ゴ≦6に対してM（㊥はocオα4である．
（1）8つの8点集合M（1），＿，M（8）はocオα4である．
M一行列において（α11，α12，α13，α14，α15，α16，α21）がM一順列であることを注意しておく．次に M一行列になるようにΩの点を配置できることを示す．
定理2．18〃L行列は存在する．
2．S（5，8，24）
36
Proofσ∈B，銑￠σ，コじ2，∬3，∬4，∬5，∬6，飾∈σを選ぶと＠1，ω2，瓢3，∬4，∬5，∬6，￠7）はM一
順列になる．補題2．16よりsextet 3＝｛男｝1 6とoctad X（の，5点集合＆が得られる
（1＜乞く6）．ここで
α1乞＝∬乞， 男＝｛α1乞，α2乞，α32，α4乞｝ （1≦乞≦6）
をみたすようにΩの点を配置したものをMとおく．飾∈X（1）よりα21＝∬7であると
してよい．
さてM（励＝男＋勾であるから任意の1g≠ブ≦6に対してM（切はoctadであ
る．従って定義2．17の条件（0）がみたされる．
M（1）＝X（1）であるからM（1）はoctadである．次にM（2），…，M（8）がoctadにな
るように％を並べ換える．ただし，同じ列内で並べ替えるときはM（切がoctadである
ことに影響はない．
五）（の＝0（α1Lα12，α13，α14，α21）とおく。このときX（1）≠D（6）， IX（1）∩D（6）1≧4よ りIX（1）∩D（∂）1＝4を得る．従ってα15，α16，α31，α41￠D（6）が成り立つ．定理2．15より D（δ）と3との交わりは［2402］型となるからD（わ）の残りの3点を列を変えないように α22，α23，α24の位置に移せばM（2）＝D（δ）がoctadとなる．また，このときM（1）がoctad であることに変わりはない．
D（c）＝0（α11，α12，α13，α14，α31）とおく．IX（1）∩D（c）1＝IM（2）∩D（c）1＝4より，θ との交わりは［2402］型となるのでα15，α16，α21，α22，α23，α24，α41￠D（c）である，D（c）の残り
の3点を列を変えないようにα32，α33，α34の位置に移せばM（3）＝D（c）がoctadとなる．
また，このときM（1），M（2）がoctadであることに変わりはない．一方 M（4）＝（（M（2）十M（3））十M（12））十M（34）
であるので補題2．13によりM（4）もoctadである．
D（e）＝0（α13，α14，α15，α16，α23）とおく．IX（3）∩D（e）［＝4よりα11，α12，α33，α43￠D（e）
を得る，従って3との交わりは［2402］型である．3≦ID（e）∩M（2）【≦6よりID（e）∩M（2）1＝
4となるのでα24∈D（e）である．D（e）の残りの2点を列を変えないようにα25，α26の位 置に移せばM（5）＝D（θ）がoctadとなる．また，このときM（1），＿，M（4）がoctadで
あることに変わりはない．
D（！）＝0（α13，α14，α15，α16，α33）とおく．IX（3）∩D（！）1＝4よりα11，α12，α23，α43￠D（！）
を得る．従って3との交わりは［2402］型である．ここで3≦｝D（！）∩M（3）1≦6よ
りiD（ノ）∩M（3）1＝4となるからα34∈D（！）でなければならない．一方iM（5）∩D（ノ）1＝4 であることよりα25，α26￠D（！）が成り立つ．従ってD（！）の残りの2点を列を変えないよ
うにα35，α36の位置に移せばM（6）＝D（！）がoctadとなる．このときM（1），＿，M（5）
がoctadであることに変わりはない．また
M（7）一（（M（5）＋M（6））＋M（34））＋M（56）
であるので補題2．13よりM（7）もoctadである．
D（ん）＝0（α11，α12，α13，α31，α41）とおく．ID（ん）∩M（1）1＝4よりα21，α14，α15，α16，￠
D（ん）が成り立つ．このとき5との交わりは［3115］型となるから，残りの3点は4，5，6列の 2〜4行にある．一方iM（2）∩D（ん）1＝4よりα24∈D（ん）を得る．またIM（5）∩0（ん）1＝2 または4であるが，iM（5）∩D（ん）1＝4とするとα23∈D（ん）となり［3115］型であることに 矛盾する．よってIM（5）∩D（ん）1＝2である．同様にしてIM（6）∩D（ん）1＝2を得る．以 上から残る2点は｛α35，α46｝または｛α36，α45｝である．前者の場合0（ん）＝M（8）はoctad である．後者の場合5列と6列を交換する，すなわちα歪5とα乞6を交換することにより D（ん）＝M（8）とできる．この並べ換えによりM（1），＿，M（7），M（切がoctadであること に変わりはない．
以上でM一行列の条件をみたすようにΩの点を配置することができた． ■
定理2．19《4一順列＠1，∬2，∬3，晦，鞠，％，∬7）に対して銑を（1，の成分とし（1≦乞≦6），
鋤を（2，1）成分とするM一行列が一意に定まる．
Proof M，Nを題意をみたす2つのM一行列としてM，Nの（z，フ）成分をそれぞれ％，暢
とおく．このときα1乞＝α1￠＝賜（1＜画く6），α21＝α灸1＝卿が成り立つ．またM㈲，M（切に対応するNのoctadをN㈲， Nω）と表すことにする．
乞＞1のときoctad M（1）＋M（1のとN（1）＋N（1￠）は5点を共有するので一致する．
従って
｛α22，α3乞，α4乞｝＝｛α灸乞，αも乞，喝
が成り立つ．またこれよりM（切＝N（切が得られる．一方
M（2）＝σ＠1，灘2，コヶ3，ω4，∬7）＝N（2）
2．S（5，8，24）
38
より
｛α22，α・3，α24｝＝｛α身2，α灸3，α§4｝
を得る．以上から
α灸、∈｛α22，α32，α42｝∩｛α22，α23，α24｝
となりα灸2＝α22が成り立つ．同様にしてα灸3＝α23，α釜4＝α24が得られる．
次に
M（5）＝0（α13，α14，α15，α16，α23）；0（α13，α14，α15，α16，α13）＝N（5）
となるので｛α25，α26｝＝｛α15，α灸6｝が得られるが，上と同様にしてα灸5＝α25，α色6＝α26が得 られる．一方
M（8）＝0（α11，α12，α13，α31，α41）＝0（α11，α12，α13，α11，α11）＝N（8）
が成り立つことからα15＝α35，αa6＝α46が得られ，これよりα塩5＝α45，α§6＝α36も得ら れる．更に
M（6）＝0（α13，α14，α15，α16，α35）＝σ（α13，α14，α15，α16，α15）；N（6）
よりα13＝α33，α念4・＝α34を得る．同様にしてM（7）＝N（7），M（3）＝N（3）， M（4）＝N（4）
から残りの成分の一致することが導かれる，以上でM＝Nが示された． ■
Sextet So〜S5
M＝［α司をM一行列として，後節で必要となる6っのsextet 50，＿，85のMでの配置 を求める（これらのsextet 30，51，…，θ5をM一行列に表したものを付録p．97に示す）．定 理2．14より4点集合からsextetが定まることを想起されたい．なお，以下においてsextet 亀＝｛男｝1〈2＜6の成分男，乃の和であるoctadをSた＠のと表すことにする．
（So）Mの1列7ヨ＝｛α11，α21，α31，α41｝によって定まるsextetをθo＝｛男｝壌≦6とす
る．71がM一行列の第1列なのでM（ωがoctadになることから各列がsextetの成分に
なる．
（S1）T1＝｛α11，α22，α32，α42｝によって定まるsextetを51＝｛霧｝1 6とする， T1⊆
M（12）より乃＝｛α12，α21，α31，α41｝，7b⊆M（1）より乃＝｛α13，α14，α15，α16｝が定まる．こ こで乃を含むoctad M（5）， M（6）， M（7）から71＋2＝価3，α乞4，α乞5，囑｝（2 g≦4）が得 られる．
（S2）T1＝｛α11，α12，α21，α22｝1こよって定まるsextetを52とする． M（12），M（2）
が男を含むoctadであることから乃＝｛α31，α32，α41，α42｝，7も＝｛α13，α14，α23，α24｝が定 まる．M（34）， M（5）が乃を含むoctadであることから7≧＝｛α33，α34，α43，α44｝，7も＝
｛α15，α16，α25，α26｝が得られる．従って残りの聡＝｛α35，α36，α45，α46｝も定まる．
（S3）T1二｛α11，α12，α31，α32｝によって定まるsextetを83とする． M（12）， M（3）
がT1を含むoctadであることから乃＝｛α21，α22，α41，α42｝，乃＝｛α13，α14，α33，α34｝が定 まる．M（34）， M（6）が乃を含むoctadであることから7≧＝｛α23，α24，α43，α44｝，鴎＝
｛α15，α16，α35，α36｝が定まり，残りの％＝｛α25，α26，α45，α46｝も定まる．
（S4）㊨＝｛α11，α12，α31，α41｝で定まるsextetを34とする． M（12）， M（8）が男 を含むoctadであることから乃＝｛α21，α22，α32，α42｝，7b＝｛α13，α24，α35，α46｝が定ま る．M（8）＋32（3，6）， M（8）＋（M（35）＋θ3（4，6））が71を含むoctadであるから乃＝
｛α14，α23，α36，α45｝，鶏＝｛α15，α26，α33，α44｝カミ定まり，残りの7も＝｛α16，α25，α34，α43｝も定 まる．
（S5）最：後にsextet 55をT1＝｛α11，α12，α21，α31｝で定まるものとする． M（12）がTlを 含むoctadであることから乃＝｛α22，α32，α41，α42｝が定まる． D＝0（α11，α12，α13，α21，α31）
とするとIM（12）∩Di＝4である．従ってθoとの交わりは［3115］型となる．更にM（1），
M（2），M（3）， M（8）とDとの交わりが4点になるので4列のDの元はα44である．
M（5），M（6）とDの交わりが2点になることから第5，6列の元はα25，α36である．従って 乃＝｛α13，α25，α36，α44｝を得る．またD＋（（M（5）＋M（6））＋M（34）），D＋（M（5）＋M（46））
がT1を含むoctadであるから乃＝｛α14，α26，α35，α43｝，7も＝｛α15，α23，α34，α46｝が定まり，
残りの端；｛α16，α24，α33，α45｝も定まる．
さてM一行列が与えられたとき，1≦2≦3に対して2乞一1，2乞列の和集合としてでき
るoctadを第乞Brickということにする．ここで3次の置i換σのMへの作用を定義する．
σはbrick内での位置は変えず3個のBrickを置き換えるものとする．例えばσ＝（1，2）
はM（1）＝｛α12，α13，α14，α15α16，α21，α31，α41｝に対して，第3Brickの元α15，α16を固定し，
第1Brickにある元α12，α21，α31，α41を第2Brickでの同じ位置に，すなわちα14，α23，α33，α43 の位置に移す．また第2Brickにある元α13，α14を第1Brickの同じ位置，すなわちα11，α12
の位置に移す．従ってM（1）σ＝｛α11，α12，α23，α33，α43，α14，α15α16｝が得られる．なおM（切σ
2．S（5，8，24）
40
がoctadであることは明らかである．
定理2．20（M一行列の対称性）．M一行列Mに3次の置換σを上で定めたように作用さ せるとする．このときM（￠）σは。ぬ4である（1≦乞≦8）．特に！匹行列のβ物κを置換
Proof M（1）σはM（1）， X（3）， X（5）のいずれかであるのでoctadである．ただしXω については補題2．16を参照されたい．M（2）σ， M（5）σはsextet 52の成分の和となる のでoctadである． M（3）σ， M（6）σはsextet 53の成分の和となるのでoctadである．
M（4）＝M（2）＋M（3）十M（12）＋M（34）より
M（4）σ＝M（2）σ十M（3）σ十M（12）σ十M（34）σ
となるが，補題2．13よりM（4）σもoctadである．同様にM（7）＝M（5）＋M（6）＋M（34）＋
M（56）よりM（7）σもoctadである． M（8）σはσに応じてM（8）にM（13）＋M（2），M（7），
M（15）＋θ2（1，5），53（2，4）＋M（2），M（35）＋θ2（3，5）を加えることによって得られる．従っ
て前と同様にM（8）σもoctadである． ■
S（5，8，24）とBinary Goley Code
次に（Ω，Bi）がS（5，8，24）であるときP（Ω）の部分空間〈B＞がBinary Goley Codeで あることを示す．
補題2．21．4，一B∈Bが孟∩β＝のをみたすときΩ一（．4UB）∈Bである
ProofΩ一（、4 U一β）￠Bと仮定して矛盾を導く．Ω一（孟UB）＝｛街，吻，＿，u8｝とお く，0＝0（賜1ラ賜2ラ？Z3，？五4，U5）とすると仮定より0≠Ω一（、4U−B）であるからσはAま
たはBと交わる．Bと交わる場合も同様であるから，以下0∩4≠のとする．このとき 1≦10∩Al≦3より1σ∩、41＝2が成り立つ．従って0≦10∩B1≦1より10∩一Bl＝0
を得る．ここで鴛1，u2，＿，娩∈0，賜7，％8￠0とする．
次にD・＝0（t61ラ賜2，t↓3，錫4，％7）とおく． 10∩Dl＝4となるのでu5，u6￠Dであ
る．0と同様にID∩（Ω一（AUB））1ニ6が得られるのでu8∈Dが成り立つ．更に
E＝0（U1，U2，鴛3，t45，t47）とおく．このときもIE∩（Ω一（且UB））1＝6が得られること