CCR モデルと BCC モデル

本節では、まず、中国各省における農村への貸付業務評価の分析を、CCR モデル分析に より検証する。CCR モデルは規模に対して収穫一定（CRS；Constant Return to Scale）を 仮定するモデルである。

ここでは、n 個の省があるものとし、各省における p 個の投入要素と q 個の産出要素で 特徴づけられているものとする。いま、x_ijを第 j 省の第 i 種貸付資源の投入総量を示すも のとし、y_rjを第 j 省の第 r 種産出総量を示すものとする。したがって、第 k 省の DEA 問題 は、次の数式化によって示すことができる。ここで、θは DMU の効率値を表す変数であり

、λ_jは DMU の入出力値の非負結合係数を表す変数である。また、S_i⁺は DMU の入力 i に対す るスラック変数であり、Sr−は DMU の出力 j に対するスラック変数を表す。εは無限小正数 である。

MIN θ−ε(∑ S^m _i⁺

i=1 + ∑t Sr−

r=1 ）

s. t. θx_∗− S_i⁺= ∑ⁿ_j=1x_ijλ_j i=1，……m ｊ=1，……n

∑ⁿ_j=1y_ijλ_j− S_r⁻= y_∗ r=1，……t λ_j，S_i⁺，S_r⁻≧ 0， ∀j，i，r

（4-1）

（4-1）を、包絡形式のインプット指向型 CCR モデル（CCRD－I）という。最適解がθ＝

１かつ、すべてのスラック変数が 0 であるときにのみ効率的である。また、CCRD－I にお ける、非アルキメデス無限小定数εが用いられているが、効率性を計算するときに、最適 な目的関数値がスラック変数に割りあてられる値によって影響されるのを防ぐことができ る。⁵³ただし、このεの値によって求める解が変化することがありえるので、εに特定の 値を与えて解かなくとも、以下の最適化を 2 段階に分けて行う方法が一般的に用いられて いる。そこでは、まず第 1 段階目として、以下の最適問題：

MIN θ

53 Charnes,Cppoer and Rhodes(1978)

s. t. θx_∗− ∑ⁿ_j=1x_ijλ_j≥ 0 i=1，……mｊ=1，……n

∑n yij

j=1 λ_j≥ y∗ r=1，……t λ_j≧ 0， ∀j，i，r

（4-2）

を解き、式 4-2 の最適目的関数値をθ*とする。次に第 2 段階として、以下の最適問題

：

MIN − (∑ S^m _i⁺

i=1 + ∑t Sr−

r=1 ）

s. t. θ^∗x∗− S_i⁺= ∑n xij

j=1 λ_j i=1，……mｊ=1，……n

∑n yij

j=1 λ_j− Sr−= y∗ r=1，……t λ_j，S_i⁺，Sr−≧ 0， ∀j，i，r

（4-3）

を解くものである。式 4-2、式 4-3 の解について、式 4-1 の最適解と同じものが存在す るが、本論文での CCRD－I の適用計算は、式 4-3 によるものである⁵⁴

次に、規模に対して収穫可変である VRS（Variable Return to Scale）モデルは、DEA では BCC モデルで検証される。これは、式 4-1 に新しい制約式をつけ加えた DEA モデルで ある。すなわち、

MIN θ−ε(∑ S^m _i⁺

i=1 + ∑^t S_r⁻

r=1 ）

s. t. θx∗− S_i⁺= ∑n xij

j=1 λ_j i=1，……mｊ=1，……n

∑n yij

j=1 λ_j− Sr−= y∗ r=1，……t

∑ λ_j

n

j=1 = 1

λ_j，S_i⁺，S_r⁻≧ 0， ∀j，i，r

（4-4）

これを包絡形式のインプット指向型 BCC モデル（BCCD－I）という。CCRD－I の 2 段階最 適化計算方法を参考にして、まず第 1 段階目として、

MIN θ

s. t. θx_∗− ∑ⁿ_j=1x_ijλ_j≥ 0 i=1，……mｊ=1，……n

∑n yij

j=1 λ_j≥ y∗ r=1，……t

∑ⁿ λ_j

j=1 = 1

λ_j，S_i⁺，S_r⁻≧ 0， ∀j，i，r λ_j≧ 0， ∀j，i，r

（4-5）

を解き、式 4-5 の最適目的関数値をθ*とする。次に第 2 段階目として、

MIN − (∑ S^m _i⁺

i=1 + ∑t Sr−

r=1 ）

s. t. θ^∗x∗− S_i⁺= ∑n xij

j=1 λ_j i=1，……mｊ=1，……n

∑n yij

j=1 λ_j− Sr−= y∗ r=1，……t

∑ λ_j

n

j=1 = 1

λ_j，S_i⁺，S_r⁻≧ 0， ∀j，i，r

（4-6）

を解く。本節での BCCD－I の適用計算は、式 4-6 を用いている。効率性の判定条件は、

CCRD－I の場合と同じである。⁵⁵

55 Banker. Charnes.and Cooper.(1984)

最後に、DEA モデルに基づいて、生産概念にもとづく効率性を測定する。すなわち、技 術的効率（Technical Efficiency）⁵⁶、技術・スケール効率(Technical and Scale Efficiency)⁵⁷や規模の効率(Production-based Scale Efficiency)⁵⁸を測る。