スペクトル分解
固有値と固有ベクトルの考え方が本質にあるので，このことについて簡単にまとめ ておく．
行列A = (
a b c d
)
に対して
A~p=λ~p · · ·1
を満たすベクトル~p(~p6=~0)，スカラーλが存在するとき，~pをAの固有ベクトル，λ をAの固有値という．
1 より(A−λE)~p=~0となり，~p6=~0であるから A−λE =
(
a−λ b c d−λ
)
は逆行列をもたないので
(a−λ)(d−λ)−bc= 0
すなわち λ2 −(a+d)λ+ (ad−bc) = 0 · · ·2
が成り立つ．2 をAの固有方程式という．2 の解をα，βとし，λ =αに対する固 有ベクトルを~u，λ=βに対する固有ベクトルを~vとすると
A~u=α~u · · ·3 A~v =β~v · · ·4 このとき，次が成り立つ．
α6=β =⇒ u //~ \ ~v · · ·(∗)
証明 ~u//~vと仮定すると，零でないスカラーkを用いて~v =k~uと表すことがきるの で，これを4 に代入すると
A(k~u) =β(k~u) k 6= 0より A~u=β~u · · ·5
3，5 から，(α−β)~u=~0を得る．これは，α6=β，~u6=~0に反するので，(∗)
が成り立つ． 証終
行列Aが異なる2つの固有値α，βをもつとき，固有値αに対する固有ベクト ルを~u (~u6=~0)，固有値βに対する固有ベクトルを~v (~v 6=~0)とする．
このとき，2つの1次変換を表す行列F，Gを F ~u=~u, F ~v =~0, G~u=~0, G~v =~v で定義すると，次が成り立つ．
F2 =F, G2 =G, F G=GF =O, F +G=E, A =αF +βG
証明 P = (
~ u ~v
) とおくと，~u //\~vであるから，行列P は正則である．
F P = (
~u ~0
)，F2P =F(F P) = F (
~u ~0 )
= (
~ u ~0
)
よって，F2P =F P であり，P は正則であるから F2 =F F GP =F(GP) = F
( ~0 ~v )
=
(~0 ~0 )
よって，F GP =Oであり，P は正則であるから F G=O 同様にして G2 =G，GF =O
(F +G)P =F P +GP = (
~ u ~0
) +
(~0 ~v )
= (
~u ~v )
よって，(F +G)P =P であり，P は正則であるから F +G=E AP =
(
α~u β~v )
=α (
~ u ~0
) +β
( ~0 ~v )
=αF P +βGP
= (αF +βG)P
上式から，P は正則であるから，A=αF +βG 証終 A =αF +βGをAのスペクトル分解といい，この式の両辺をn乗すると
An =αnF +βnG
なお，F，Gは，αF +βG=A，F +G=Eにより F = A−βE
α−β ， G= A−αE β−α
となり，A=αF +βG (α, βはAの固有値)をみたすF，Gは一意的に定まる．
3
数学III：微分法(関数の増減)，積分法(面積)(1) 05t <2πにおいて，x(t) = 0，y(t) = 0を解くと，t= π 4, 5π
4 である．
(2) π4 ごとに動点Pの座標をとると，x軸およ びy軸に関する対称な点の座標がわかる．
右の図のように，t=t1 (05t1 < π)に対 する点をP1とし，x軸およびy軸に関し てP1と対称な点をそれぞれQ，Rとする．
このとき，Q，Rはそれぞれt= 3π2 −t1， t=t1+πに対応する点である．
π 5 t1 < 2πにおいても，変域に注意し てに求めることができる．
O y
x
√1
−√12 2
1
−1
−1 1
t=0
t=π4
t=π2 t=3π4
t=π
t=5π4
t=3π2 t=7π4
P1
Q R
(3) yをxの関数として表し，増減を調べグラフの概形を描く．
(4) (2)で示したでグラフの対称性に注意して，第1象限にある曲線とx軸で 囲まれた部分の面積を求め，それを4倍するとよい．
4
数学B：空間のベクトル(四面体の体積) (1) −→OAおよび−→
OCに垂直なベクトルを求める計算法に外積(ベクトル積)があ る．なお，外積は高校数学の範囲外であるが，空間ベクトルで登場する図 形の面積および体積の計算にも利用することができる．外積について次の ページに掲載した．
(2) 外積を知っていれば，(1)を利用して本題を解かせる問題構成も理解できる．
(3) 05b5a51，05c51，05d51であるから，aとbの間の関係式に 注意しながら，計算する必要がある．
V = bc+ (a−b)d 6
において，b =0，a−b=であることに注意して場合分けを行う．
i) b >0，a−b >0のとき V 5 b·1 + (a−b)·1
6 = a
6 5 1 6 ゆえに V 5 1
6 (等号はa= 1, 0< b <1, c= 1, d= 1のとき) ii) b= 0のとき V = ad
6 5 1 6 ゆえに V 5 1
6 (等号はa= 1, 05c51, d= 1のとき) iii) a−b= 0のとき V = bc
6 5 1 6 ゆえに V 5 1
6 (等号はb =c= 1, 05d51のとき)
外積 ( ベクトル積 )
2つのベクトル~a= (a1, a2, a3)，~b= (b1, b2, b3)が平行でないとき，ベクトル (
a2 a3 b2 b3
,
a3 a1 b3 b1
,
a1 a2 b1 b2
)
は，~aおよび~bに直交する．このベクトルを，~aと~bの外積(ベクトル積)と言い，~a×~b
で表し(内積をスカラー積とも言う)，その成分は
~a×~b = (a2b3 −a3b2, a3b1 −a1b3, a1b2 −a2b1) であるから，~b×~a=−~a×~bが成り立つ．また，その大きさについて
|~a×~b|2 = (a2b3−a3b2)2+ (a3b1−a1b3)2+ (a1b2−a2b1)2
= (a12
+a22
+a32
)(b12
+b22
+b32
)−(a1b1+a2b2+a3b3)2
=|~a|2|~b|2−(~a·~b)2
であるから，~a×~bの大きさは，~a，~bの張る平行四辺形の面積に等しい．
~a×~bと~cのなす角をθ (05θ 5π)とすると (~a×~b)·~c=|~a×~b||~c|cosθ
絶対値をとると
|(~a×~b)·~c|=|~a×~b||~c||cosθ|
~a
~b
~c
~a×~b
h θ
|~a×~b|
~a，~b，~cの張る平行六面体について，~a，~bの張る平面を底面とすると，|~c||cosθ|は，
その高さhであるから，この平行六面体の体積V1は V1 = |(~a×~b)·~c|
−→OA =~a，−→
OB =~b，−→
OC =~cとすると 四面体OABCの体積V は V = 1
6|(~a×~b)·~c|
また，対称性により，|(~a×~b)·~c|=|(~b×~c)·~a|=|(~c×~a)·~b|が成り立つ．
補足 本題(2)で，~a= (a, b, 0)，~b= (c, 0, d)，~c= (1,1,1)とすると
~a×~c= (b,−a, a−b)，(~a×~c)·~b=bc+ (a−b)d よって，四面体の体積V は V = 1
6|bc+ (a−b)d|
5
数学A：確率(余事象の確率)，数学C：確率分布(2項分布)(1) まず個別の事例について考え，全体的な場合の数を求めればよい．
(2) 色の変化が1回も起きない場合，および色の変化が1回だけ起きる場合の 確率を考える．求める確率は，これらの余事象の確率である．
(3) 色の変化する場所を選ぶ組合せとして考えるとよい．
(4) (3)の結果に次式を適用するだけである．
∑n k=0
k·nCk =n·2n−1