2
~a=−→OA，~c=−→
OC，~e⊥~a，~e⊥~c，|~e|= 1とすると，−→
OPは~a，~c，~eを用いて
−→OP =x~a+y~c+z~e (x, y, zは実数)
とおくと，条件により x= 1
4，y= 1
2 すなわち −→
OP = 1 4~a+ 1
2~c+z~e したがって，M，Nの条件により
−−→OM = 1 3
−→OA + 2 3
−→OP = 1 3~a+2
3 (1
4~a+1 2~c+z~e
)
= 1 2~a+ 1
3~c+2 3z~e
−→ON = 1 2
−→OC + 1 2
−→OP = 1 2~c+ 1
2 (1
4~a+ 1 2~c+z~e
)
= 1 8~a+3
4~c+ 1 2z~e α，β，γを実数とし，α~a+β~c+γ~eが，−−→
OMおよび−→
ONに垂直であるとき 1
2α+1 3β+ 2
3zγ = 0, 1 8α+3
4β+1
2zγ = 0 したがって α:β :γ = 2z :z :−2
ゆえに，直線PQの方向ベクトルを~v = 2z~a+z~c−2~eとすると，直線PQは，
媒介変数tを用いて
−→OP +t~v= 1 4~a+1
2~c+z~e+t(2z~a+z~c−2~e)
= (1
4 + 2zt )
~a+ (1
2 +zt )
~c+ (z−2t)~e QはBC上の点であるから，上式より
1
2 +zt= 1, z−2t= 0 すなわち z =±1, t=±1
2 (複号同順) したがって −→
OQ = 5
4~a+~c， −→
CQ = 5 4~a
−→OB =~a+~cであるから −→
BQ = 1 4~a よって BQ : QC = 1
4 : 5
4 =1 : 5
−→OP·−→
OP = (1
4~a+1 2~c+z~e
)
· (1
4~a+ 1 2~c+z~e
)
，z =±1より
OP =
√ 1 16 +1
4 + 1 =
√21 4
3
(1) 1回目，2回目に出た目を，それぞれi，jとすると，|i−j|枚の硬貨は1 回だけ反転し，それ以外の硬貨は反転しないか，2回反転する．したがって，この操作による表の枚数は6− |i−j|である．
ゆえに表が1枚となるとき
6− |i−j|= 1 すなわち |i−j|= 5
これをみたすのは，(i, j) = (1, 6), (6, 1)の2組である．
よって，求める確率は 2 62 = 1
18
(2) LおよびRにおいて出た目を，それぞれi，jとし，これらの操作による 表の枚数をLR(i, j)とする．
i) 2 5i+j 56のとき，(i+j)枚の硬貨は1回だけ反転し，残りの硬貨 は反転しないから LR(i, j) = 6−(i+j)
ii) 7 5i+j 512のとき，(i+j−6)枚の硬貨は2回反転し，残りの硬 貨は1回だけ反転するから LR(i, j) =i+j−6
i),ii)より，LR(i, j) =|i+j−6|となり，求める期待値は 1
62
∑
15i,j56
LR(i, j) = 1 36
∑
15i,j56
|i+j −6|= 1 36
∑
15i,j56
|j−(7−i) + 1|
= 1 36
∑
15i,j56
|j−i+ 1|
= 1 36
∑
15i<j56
|j−i+ 1|+ ∑
15j<i56
|j−i+ 1|+ ∑
15i=j56
|j−i+ 1|
= 1 36
∑
15i<j56
(j−i+ 1) + ∑
15j<i56
(i−j−1) + 6
= 1 36
∑
15i<j56
(j−i+ 1) + ∑
15i<j56
(j−i−1) + 6
= 1 36
∑
15i<j56
(2j −2i) + 6
= 1 36
∑6 j=2
j−1
∑
i=1
(2j−2i) + 1 6
= 1 36
∑6 j=2
{2j(j −1)−j(j−1)}+1 6
= 1 36
∑6 j=1
(j2−j) + 1 6 = 1
36 (1
6·6·7·13− 1 2·6·7
) + 1
6 = 19 9
別解 LR(i, j) =|i+j−6|の値は，右の表のよう になる．したがって，求める期待値は
1·10 + 2·8 + 3·6 + 4·4 + 5·2 + 6 62
=76 36 = 19
9
j i 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (3) この操作により，すべての硬貨が表となるのは，L，Rの操作が終わった
時点で，次の(a)〜(f)の場合である．
(a) 裏表表表表表 (b) 裏裏表表表表 (c) 裏裏裏表表表 (d) 裏裏裏裏表表 (e) 裏裏裏裏裏表 (f) 裏裏裏裏裏裏 最初のL，Rの操作で出た目をそれぞれi，jとする．
(a)〜(e)となる(i, j)の組は，順次，
(6, 5)，(6, 4)，(6, 3)，(6, 2)，(6, 1) (f)となる(i, j)の組は，i+j = 6をみたす5通り．
(a)〜(f)について，最後のLの操作における目の出方は，順次，1〜6であ る．よって，求める確率は
5 + 5 63 = 5
108
4
(1) OBの x軸の正の方向となす角は π3 である
から，T の半径を rとすると，D の座標は (r, √
3r)，OD = 2rである．
右の図より，OD + DB = 1であるから 2r+r= 1 ゆえに r = 1
3 よって D
(1 3,
√3 3
)
，半径1 3
O y
x D
B(12,√23) A
C r
√3r
1 1
−1
−1
S T
π 3
(2) S，T のグラフをy軸方向に−√33 だけ平行移 動した図形をそれぞれ，S0，T0とすると
S0 :x2+ (
y+
√3 3
)2
= 1 T0 :
( x−1
3 )2
+y2 = 1 9
右の図の斜線部分をx軸のまわりに1回転し てできる回転体の体積を求めればよい．
O y
x
1 2
S0 T0
S0およびT0の上半分の曲線の方程式は，それぞれ y =√
1−x2−
√3
3 , y=
√
−x2+ 2 3x 求める回転体の体積をV とすると
V =π
∫ 1
2
0
(√
1−x2−
√3 3
)2
− (√
−x2+ 2 3x
)2
dx
= 2 3π
∫ 1
2
0
(2−x)dx−2√ 3 3 π
∫ 1
2
0
√1−x2dx
ここで，I =
∫ 1
2
0
√1−x2dxとおくと，
Iは右の図の斜線部分の面積であるから I = 1
2·12·π 6 +1
2·1 2·
√3 2
= π 12 +
√3 8 よって
O y
1 x 1
−1
−1
π 6
(12,√23)
V = 2 3π
[
2x−x2 2
]1
2
0
− 2√ 3 3 π×I
= 2 3π×7
8 − 2√ 3 3 π
( π 12 +
√3 8
)
= π 3 −
√3 18π2
5
(1) AB= (x y
−t−x −x )(
5 4
−6 −5 )
= (
5x−6y 4x−5y x−5t x−4t
) より
tr(AB) = (5x−6y) + (x−4t)
= 2(3x−3y−2t),
det(AB) = (5x−6y)(x−4t)−(4x−5y)(x−5t)
=x2−ty−xy ハミルトン・ケリーの定理により
(AB)2−2(3x−3y−2t)AB+ (x2−ty−xy)E =O
(AB)2が対角行列であるから，上式より，3x−3y−2t 6= 0のとき，AB は対角行列である．このとき，ABの(1, 2)成分および(2, 1)成分は，と もに0であるから
4x−5y= 0, x−5t= 0 ゆえに x= 5t, y = 4t よって A=
(
x y
−t−x −x )
= (
5t 4t
−t−5t −5t )
=tB
補足
一般に，det(AB) = det(A) det(B)が成り立つ．
det(AB) = det(A) det(B) = (−x2+ty+xy)·(−1) = x2−ty−xy
(2) (背理法による証明)
3x−3y−2t 6= 0と仮定すると，(1)の命題により，A =tBとなる．
また，B2 =Eであるから
A2 = (tB)2 =t2B2 =t2E, A4 = (A2)2 = (t2E)2 =t4E A4 =Eより t4 = 1 ゆえに t =±1
このとき，A2 =Eとなり，条件に反する．
よって 3x−3y−2t= 0
(3) tr(A) = 0に注意して，Aにハミルトン・ケリーの定理を適用すると A2+ det(A)E =O
したがって A2 =−det(A)E, A4 ={det(A)}2E
条件により −det(A)6= 1，{det(A)}2 = 1 ゆえに det(A) = 1 上式および(2)の結果から
{ −x2 +ty+xy= 1 · · ·1 3x−3y−2t= 0 · · ·2 2 より y=x− 2
3t · · ·20
20を1 に代入して，整理すると tx = 2t2 + 3 このとき，t 6= 0であるから，上式および20より
x= 2t+ 3
t, y = 4t 3 + 3
t
(4) (3)の結果より x−2t = 3
t，y− 3 t = 4t
3 x−2tは整数であるから，第1式より，3
t は整数．
さらに，y− 3
t が整数であるから，第2式より，4t
3 は整数．
ゆえに，tは3の約数かつ3の倍数であるから t=±3
これを(3)に代入して，t=±3のとき x=±7，y=±5 (複号同順) よって A =
(
7 5
−10 −7 )
,
( −7 −5 10 7
)