2
(1) サイコロを2回振るときの得点は，右 の表のようになる．このとき，確率は，次の表のようになる．
得点 0 2 3 4 5 6 計 確率 21
36 1 36
2 36
3 36
4 36
5
36 1
よって，得点の期待値Eは E =0× 21
36+ 2× 1
36 + 3× 2 36 + 4× 3
36+ 5× 4
36+ 6× 5 36
=35 18
得 点 2回目 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 0 回 3 4 5 6 0 0 0 目 4 5 6 0 0 0 0 5 6 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0
(2) (1)の場合において，最初の目が6であ るとき，2回目の目に関係なく6点であ ると考えればよいので，得点は右の表 のようになる．このとき，確率は，次 の表のようになる．
得点 0 2 3 4 5 6 計 確率 15
36 1 36
2 36
3 36
4 36
11
36 1
よって，得点の期待値Eは
得 点 2回目 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 0 回 3 4 5 6 0 0 0 目 4 5 6 0 0 0 0 5 6 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6 E = 0× 21
36+ 2× 1
36 + 3× 2
36+ 4× 3
36+ 5× 4
36+ 6× 11 36 = 53
18
(3) 最初の目がn以上であるとき(15n 56)，2回目を振らないとすると，そ のときの得点の期待値をE(n)とすると
E(1) = 1 6
∑6 k=1
k
E(n) = 1 36
n−1
∑
k=1
{(k+ 1) + (k+ 2) +· · ·+ 6}+1 6
∑6 k=n
k (25n 56) また，E(n+ 1)は(15n 55)
E(n+ 1) = 1 36
∑n k=1
{(k+ 1) + (k+ 2) +· · ·+ 6}+ 1 6
∑6 k=n+1
k
上の2式から，15n 55のとき E(n+ 1)−E(n) = 1
36{(n+ 1) + (n+ 2) +· · ·+ 6} − 1 6n
= 1 36× 1
2(6−n)(n+ 7)− 1 6n
= 1
72(−n2−13n+ 42)
= 1
72{42−n(n+ 13)} ゆえに
E(2)−E(1) >0, E(3)−E(2) >0, E(4)−E(3)<0, E(5)−E(4) <0, E(6)−E(5) <0
すなわち
E(1)< E(2)< E(3) > E(4) > E(5) > E(6)
したがって，得点の期待値を最大にするためには，最初に3以上の目が出 たときに2回目を振らなければよい．
よって，2回目を振るのは，最初の目が1または2のときである．
3
(1) y= 1x2 を微分すると y0 =− 2 x3 点Q1の座標を
(1 b, 1
b2 )
とすると，
点Q1における接線の方程式は y− 1
b2 =−2
b3(x−b) すなわち y=−2x
b3 + 3 b2 この直線が点P1
(1 a, 1
a2 )
を通るから
O y
a x
−2a 4a
P1
Q1
P2 C1 C2
1
a2 =−2a b3 + 3
b2 ゆえに (b−a)2(b+ 2a) = 0 b6=aであるから b=−2a よって，点Q1の座標は
(
−2a, 1 4a2
)
(2) (1)の計算結果からQ1のx座標bに対し，P2のx座標は−2bであるから，
P2のx座標は4aとなる．
したがって P2 (
4a, 1 16a2
)
ゆえに −−−→
Q1P1 = (
a, 1 a2
)
− (
−2a, 1 4a2
)
= (
3a, 3 4a2
)
−−−→Q1P2 = (
4a, 1 16a2
)
− (
−2a, 1 4a2
)
= (
6a,− 3 16a2
)
よって，4P1Q1P2の面積S1は，a >0に注意して S1 = 1
2 3a×
(
− 3 16a2
)
−6a× 3 4a2
= 81 32a
(3) Pnのx座標をanとすると(n = 1,2,3,· · ·)，4PnQnPn+1の面積Snは Sn= 81
32an
{an}は，初項がa，公比4の等比数列であるから an = 4n−1a よって Sn= 81
32·4n−1a = 81 32a
(1 4
)n−1
(4)
∑∞ n=1
Snは，初項 1
32a，公比1
4の無限等比級数であるから
∑∞ n=1
Sn= 81 32a 1−1
4
= 27 8a
4
(1) 円上の点P(x, y)について，円が角tだけ回転したとき，円の中心をC，x 軸との接点をTとする．このとき，OT = TP =atであるから−→OC = (
at a
)
また−→
CPは，−→
CTを−tだけ回転したものであるから
−→CP = (
cos(−t) −sin(−t) sin(−t) cos(−t)
)−→
CT
= (
cost sint
−sint cost )(
0
−a )
=
( −asint
−acost )
したがって
−→OP =−→
OC +−→
CP
= (
at a
) +
( −asint
−acost )
= (
a(t−sint) a(1−cost)
)
よって，Pの座標は (a(t−sint), a(1−cost))
O y
x t
a 2a
πa 2πa
P
T C
at
(2) 求める面積は，右の図の斜線部分 の面積であるから
S =
∫ 2πa
0
y dx また，x=a(t−sint) より
O y
x S
2πa
dx=a(1−cost)dt ←dxdt =a(1−cost) で，xとtの対応は右のようになる．
よって，置換積分法により x 0−→2πa t 0−→2π S =
∫ 2πa 0
y dx
=
∫ 2π
0
a(1−cost)·a(1−cost)dt
=a2
∫ 2π 0
(1−2 cost+ cos2t)dt
=a2
∫ 2π
0
(
1−2 cost+ 1 + cos 2t 2
) dt
=a2 [3
2t−2 sint+1 4sin 2t
]2π
0
=3πa2
(3) 求める曲線Cの長さをLとすると，dx
dt =a(1−cost)，dy
dt =asint より L=
∫ 2π
0
√(dx dt
)2
+ (dy
dt )2
dt
=
∫ 2π
0
√{a(1−cost)}2+ (asint)2dt=
∫ 2π
0
√2a2(1−cost)dt
= 2a
∫ 2π 0
√ sin2 t
2dt= 2a
∫ 2π 0
sint
2dt= 2a [
−2 cos t 2
]2π
0
=8a
5
(1) 放物線9X = 2Y2に (X Y
)
= (
a b c d
)(
x y
)
= (
ax+by cx+dy
)
を代入すると
2c2x2+ 4cdxy+ 2d2y2 −9ax−9by = 0 これにy=x2を代入して整理すると
2d2x4+ 4cdx3+ (2c2−9b)x2−9ax = 0 上式はxに関する恒等式であるから
2d2 = 0, 4cd= 0, 2c2−9b = 0, −9a = 0 したがって a = 0, b= 2
9c2, d= 0 ここでAによるP(x, x2)の像Q
(2
9c2x2, cx )
が9X = 2Y2全体を動くの で，c6= 0
よって A = (
0 29c2 c 0
)
(c 6= 0) (2) 円X2+ (Y −1)2 = 1から X2+Y2−2Y = 0
( X Y
)
= (
a b c d
)(
x y
)
= (
ax+by cx+dy
)
を代入すると
(a2+c2)x2+ 2(ab+cd)xy+ (b2+d2)y2−2cx−2dy = 0 これにy=x2を代入して整理すると
(b2+d2)x4+ 2(ab+cd)x3+ (a2+c2−2d)x2−2cx= 0 上式はxに関する恒等式であるから
b2+d2 = 0, 2(ab+cd) = 0, a2+c2−2d = 0, −2c= 0 したがって a = 0, b= 0, c= 0, d= 0
よって A= (
0 0 0 0
)
(3) y=x2上の点(0, 0)の像は(0, 0)であるから，Lは原点を通る．
y=x2上の点P1(1, 1)，P2(−1, 1)について，P1(~p1)，P2(~p2)とし，これ らの像をそれぞれQ1(~q1)，Q2(~q2)とすると
A (
~ p1 ~p2
)
= (
~ q1 ~q2
)
これから det(A) det (
~ p1 ~p2
)
= det (
~ q1 ~q2
) · · ·1
Lは原点を通る直線であるから det (
~ q1 ~q2
)
= 0 また，det
(
~ p1 ~p2
)
= 2 6= 0 であるから，1 より det(A) = 0 · · ·2
実際，~p1，~p2は1次独立であるから，Aにより座標平面上のすべての点が Lに移る．Aの固有方程式はλ2−(a+d)λ+ det(A) = 0であるから，2 より，その解は0，a+dであり，固有値a+dに対する固有ベクトルが，
Lの方向ベクトルである．したがって，L上の点(x, y)について (
a b c d
)(
x y
)
= (a+d) (
x y
)
すなわち
( −d b c −a
)(
x y
)
= (
0 0
)
· · ·3 ここで，P(t, t2)のAによる像
( a b c d
)(
t t2
)
= (
at+bt2 ct+dt2
)
がL全体 を動くための条件は b = d= 0, (
a c
)
6
= (
0 0
)
よって，求める直線Lの方程式は，3 より cx−ay = 0
解説
1 は，det(AB) = det(A) det(B)を利用した．また，det(AB) = det(BA)も成り立 つことも覚えておきたい．つまり行列の積について交換法則は成り立たないが，行 列式については交換法則が成り立つ．
一般に，det(A) = 0ならば，Aにより平面上のすべて点は定直線上に移る．
3 より (
a c
)
はLの方向ベクトルである．