E［【X古12］：＝T（舌）とおく．（5．25）と補題3．1．8，およびXoと｛σ。｝の独立性から
T（孟）一E［e脚鵬＋ズ卿鄭）4り］
E［（・韓X・）2］＋E［〈ズ・鳶一σ（・）刺
＋2E［・伽X・］E［ズ・脚）伽賊］
・・伽E［X・・］イe・がF＠）伽・（・）2d・＋・
となり，T（のは明らかに微分可能である。一般に，
議ノぐア（ち8）d8一ノ学畠∫（ち8）（」8一ト！（ちの
が成り立つことに注意すれば
二丁（オ）一2F（オ）・・脚吻［為・］＋・（孟）2＋∠㌧F（の・・πF＠）面・（・）24・
が分かる．すなわち
議丁（の一2F（オ）T（オ）＋・（オ）2 （5・32）
である，また（5．26）と（5．31）からθ（のも微分可能となるから，（5．31）の両辺を微分して，
薯（オ）一三（T（オ圃X・］・e・溶一ズ綱2d・）
一読丁（の一2F（舌）恥］・一（！（ちオ）2＋ズ2綱畠帥・）
を得る．（5．32），（5，29）より
議丁（亡）一2瑚重剛・，！畔儲θ（亡））2，畠∫（・・岬亡）M
であるから（5．31）より
誓（孟）一2F（オ）｛T（のイ！陣ノ廊一珂瓦］・｝＋・（オ弓1；3（ザ 一2F（のθ（の一三ili；θ（ザ＋・げ
が成り立つ．
以上を踏まえてX古の満たす確率微分方程式を求める．
（5．28）から
瓦一・・（孟）イ！（照，・・（孟）一E岡
であるが，（5．26）より珂X亡］が微分可能であることに注意すれば次の補題が得られる．
補題5．2．17次の関係式が成り立つ．
腐一重（の餅！（ち孟）礁＋（ノ：孟畠！（・・の鵡）d孟
【証明】（5．28）で定義した！（8，のは5≦オのときのみ意味を持つから，あらためて
綱÷鴎］一｛堺凡］ll妻1
とれば，任意のオ∈［0，司に対して
ズ（罵M凪）d孟一ズ（侃！（易繊）砒
が！戎り立つ・
ここで右辺の積分の順序交換が可能であることを示す．補題5．2。12により
E［π畠柳例く・・
を示せばよい．（5．29）より
蕉ノ醐2一ズ∬（G（5）3（5の D（5））メFω伽d孟2
揺ノ醐2≦嚇θ￠幽）伽d孟2
≦κ2ズ1θ（・）12ぜ1・伽伽2痂
■
（5．33）
（5．34）
（5．35）
と定義しても差し支えない．このとき！（・，の∈五2［0，T］となる．また，任意にu∈［0，T］を
（5．36）
（5．37）
となるが，F（の， G（の， D（オ）は［0，図上有界でinfρ（の＞0だから，あるκ≧0があって
5．線形フィルター フ5
が成り立つ・ここで1・脚）・・！2＜・・は明らかであり・さらに（瑚より
附・一E［剛一刺2≦4E［剛2≦4E［響1刈2＜・・
であるから（5．37）がいえた．従って（5．33），（5．35）に注意すれば
ズ（侃掴）砒）dオーズ（蘇栴オ）dうd凡イ（βMのd凡
一ズ（！（8，賜）一！（・，・））鵡一＆一・・（撹）一ズ嗣砥
が成り立つから，（5．36）から
丸一・b（u）イ！（照＋ズ（β！（照）砒
となり，これを微分形で表せば補題を得る．
最後のまとめに入る。補題5．2．15および（5．26）より
！（ちオ）」辮），畠！岡一F（オ）綱
・6（ 4の＝三訂濁］一議（珂X・］・焉・←）幽）一F（の・・（の
であるから（5．33）に注意すれば（5．34）は次のように書ける．
轟一F（重）・・髄＋G辮）d瓦卿）（三一・・（亡））d孟
一∬（オ勲＋σ辮）鵡
峨一施鵡一三（dZt−G（のXt dのを（5．38）に代入すれば 鵡一F（オ勲＋σ辮）（d三一・（舌勲）
一（F（t）一σ辮孟））細G鑑ll！孟）必
となり（5．7）を得る．
次に，序章で触れた「生物の個体数変動の，
いう問題の一つのモデルを与え，この結果を応用して考察する．
圏
（5。38）
以上五つのStepをまとめると，1次元Kalman−Bucyフィルター（定理52．2）が従う．
ノイズ を含む観測に基づく最良の推定」と
5．3・定数係数過程への応用
まず，係数が定数の場合を一般的に論ずる，
例5．3．1次のような線形フィルターの問題を考える．
（系過程） 4濁＝FXオ砒＋04研，瓦0は定数
（観測過程）4乙＝σ四珠＋Dd聾，G≠0， D＞0は定数
付随するRiccati方程式はαを定数として藷3（の一2F3（孟）一面3（の・＋σ1，θ（・）一E［（X・一E［X・］）・］・一・・
である．この方程式の解は，次のロジスティック曲線によって与えられる．
α・一κα・exp｛（α笏諾圭叫 （5．39）
3（オ）一
トK・xp｛（α2君去叫
ただし，α1＝σ一2（．FD2−DF2D2十G202），α2＝（7−2（FD2＋DF2D2十G202），
1（＝（α2一α1）／（α2一α2）である．
Hω：＝F一霧θ（のとおけば，定理5．2．2により瓦の満たすべき方程式は次で与えられる．
轟E（孟）細川3（の必，￡・一E岡 （圃
e％嗣嘆一￡。一
一一 e−」ずH（％）du・】農Σ3（8）dζZ』
を得るから，求める解は次のようになる，
瓦一￡・e脚伽＋釘メ恥）触・）d属
（539）で舌を十分大きくとれば，5 （の鯉α2がいえるから（5．41）は
撫緬｛（F讐ン｝＋睾ズα∞｛（F一籍）（トの｝仏
と近似できる．さらにF一掬：；一βとおいて次を得る．
駆評（瓦磯2∠舷）
関蜘切一・xp｛略Hω伽｝・とセミマルチンゲール｛（ち瓦）｝に騰の公式を用いて
ズ（一H（s）ピ脚峨）廊＋ズ茜H＠）蟻 ズ
（5．41）
（5．42）
5．線形フィルター
77
例5・3・2（個体数変動のノイズのある観測）生物の個体数変動の簡単なモデルを考え，そ のノイズを含む観測を基に個体数の最良の推定を求めてみる．（系過程） 4Xl＝γXl砒， E［Xol＝δ＞0， E［（Xo−b）2｝＝α2，γは定数
（観測過程）d易＝Xε砒＋md巧， m＞0は定数
上の例に当てはめれば，まず（5．39）より 一2γ・ηz2κe27ε α2
8（の「一K，・。・・κ一。・一2。m・
ムを得，さらに（5．40）より．濁の満たすべき次の方程式を得る．
腐一C一二）三二 ．．1543）
一｛（ 5（孟） T− m2）名＋．響オ）♂｝研響覗，瓦一b（圃
（5．43）を解けば（5．41）より
瓦一δ・溶磯）伽＋㌶・鳶囎）鞠d4
となる・さらにオが十分大きいときθ（の禦2Tm2，β＝γであるから（5．42）から近似的には
舘〆（6＋2・∠㌔・・dZ・）一〆（δ鶴かゐ伽ズ凱）
となることが分かる、
バ例5・3・2で得られた｛濁｝が系過程｛ろ｝の変化をどのように推定しているか，コンピュー タ・シミュレーションで確認してみる．
尚，以下のMathematicaによるプログラミングは文献［11， PP．230−232］を参考にした．
＜＜Stati8tics、Co既tinuousDistτibutioロs、
．s¥tei【r＿ 凪＿ t＿ k」・・M。dule【｛n・data｝9 n＝F：Loor［k t】〜dt旨コ．！k
data昌NestList【｛盤［【1】】やdt，響【［2】】＋《（r−2 ＝費Exp［2 r★響【【1】】】ノ （2＝mA2−1＋Exp【2r★響【【1】】】））響［［2］1＋
20：【★Exp【3＝排H1】］］！《2＝＝ロA2一：L＋Exp［2＝禽響【【1n】））
dt÷2m＝★Exp［2 r★響【［1］］］！（2＝瓜A2一ユ＋Exp【2＝★響【【1】n）
Random【No＝ma1Disセコib雛セion［O， Sqτ七【dセ】】】｝＆，
｛0，工0｝，a1；
91＝ListPユot【data， Ploセσoined一〉「2瓢e， P■otRa籍ge一〉為ユ：L，
Frame一〉τrue， GridLine3一＞Auto皿ati6，
PlotLabeユー〉｛｛雪1＝璽㌧r｝，｛冒1皿豊㌧鵬｝，｛讐審dt冒㌧N【dt1｝｝，
AspectRatio一＞1」】
suitei［0．02，3，50，1001
1．Xo＝Xoの揚合（初期値の推定が実際の数値と一致した場合）
｛｛r，0．02｝， ｛1n，3｝， ｛dt，0。01｝｝
27．5
22．5
20
17．5
15
12．5 10
0 10 20 30 40 50
2．Xo≠Xoの場合（初期値の推定が実際の数値と一致しなかった場合）
｛｛r， 0。02｝， ｛皿，3｝， ｛dt， 0．01｝｝
27．5
25
22．5
20
17．5
15
12．5
10
0 10 20 30 40 50